Giáo án lớp 12a môn Hình học - Phương pháp tọa độ trong không gian (tiếp)

Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chủ đề 1. Hệ tọa độ trong không gian----------------------------------------------- 2 A. Tóm tắt lý thuyết ------------------------------------------------------------------------------------2 B. Bài tập ------------------------------------------------------------------------------------------------------4 Chủ đề 2. Tích có hướng -------------------------------------------------------------------- 6 A. Tóm tắt lý thuyết ------------------------------------------------------------------------------------6 B. Bài tập ------------------------------------------------------------------------------------------------------7 Chủ đề 3. Phương trình mặt phẳng --------------------------------------------------- 8 1. Tóm tắt lý thuyết ---------------------------------------------------------------------------------------8 2. Các ví dụ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 12 3. Bài tập ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 13 Chủ đề 4. Phương trình đường thẳng-----------------------------------------------16 A. Tóm tắt lý thuyết và các ví dụ ------------------------------------------------------------- 16 B. Bài tập ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 21 Bài tập tổng hợp về mặt phẳng và đường thẳng-----------------------------------23 Tổng kết về khoảng cách và góc -----------------------------------------------------------26 Chủ đề 5. Phương trìõnh mặt cầu ------------------------------------------------------29 A. Phương trình mặt cầu --------------------------------------------------------------------------- 29 B. Bài tập về mặt cầu --------------------------------------------------------------------------------- 29 Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 2 Chủ đề 1. Hệ tọa độ trong không gian A. Tóm tắt lý thuyết 1. Hệ trục tọa độ trong không gian Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Oxyz là một hệ thống gồm ba trục tọa độ đơi một vuơng gĩc Ox , Oy , Oz . Gọi i  , j  , k  lần lượt là ba véc-tơ đơn vị trên ba trục Ox , Oy , Oz . Ta cĩ i j k 1      , i.j j.k k.i 0         . i⃗ x O y z j⃗ k⃗ 2. Tọa độ của một véc-tơ, một điểm  Tọa độ của một véc-tơ:  u x;y;z u xi yj zk        . Để xác định tọa độ của véc-tơ u  ta làm như sau: +) Lấy điểm A sao cho OA u   . +) Lấy H , P là hình chiếu của A lên Oxy , Oz ; M , N là hình chiếu của H lên Ox , Oy . +) Ta cĩ:  u OM;ON;OP  . H Tính chất: Cho các véc-tơ  1 1 1 1u x ;y ;z  ,  2 2 2 2u x ;y ;z  và số k tùy ý, ta cĩ Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 3 ☞ 1 2u u    1 2 1 2 1 2 x x y y z z      . ☞  1 2 1 2 1 2 1 2u u x x ;y y ;z z       . ☞  1 1 1 1ku kx ;ky ;kz  . ☞ Giả sử 2u 0   , ta cĩ: 1 2u / /u    1 2m R : u mu      1 2 1 2 1 2 x mx m R : y my z mz        .  Tọa độ của một điểm: Tọa độ của điểm M là tọa độ của véc-tơ OM   M x;y;z OM xi yj zk        .  Tọa độ của véc-tơ AB  :  A A AA x y; ;z ,  B BBB x y; ;z   B A B A B A;AB x x y ;y z z     . Ta cĩ: ☞ M là trung điểm của AB  x xA B M 2 y yA B M 2 z zA B M 2 x y z            . ☞ G là trọng tâm tam giác ABC  x x xA B C G 3 y y yA B BC G 3 z z zA B C G 3 x y z               . ☞ G là trọng tâm tứ diện ABCD  x x x xA B C D G 4 y y y yA B C D G 4 z z z zA B C D G 4 x y z                  . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 4 3. Tích vô hướng của hai véc-tơ: Cho các véc-tơ  1 1 1 1u x ;y ;z  ,  2 2 2 2u x ;y ;z  , ta cĩ ☞  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2u .u u . u cos u ,u x x y y z z          . ☞ 2 2 2 21 1 1 1 1u u x y z      . Hệ quả:  A A AA x y; ;z ,  B BBB x y; ;z       2 2B A B A B A 2AB x x y y z z    ☞   u .u x x y y z z1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2 2 2u . u1 2 x y z . x y z1 1 1 2 2 2 cos u ,u               ( 1u 0   , 2u 0   ). ☞ 1 2u u    1 2u .u 0    1 2 1 2 1 2x x y y z z 0   . B. Bài tập Bài 1. Cho  A 2;3; 1 . Tìm tọa độ hình chiếu vuơng gĩc của A lên các mặt phẳng tọa độ và các trục tọa độ. Bài 2. Cho  M 1;2;3 . Tìm tọa độ của điểm M' lần lượt đối xứng với M qua 1) Gốc tọa độ. 2) Mặt phẳng Oxy , Oyz , Ozx . 3) Trục tọa độ Ox , Oy , Oz . Bài 3. Cho các véc-tơ  a 1;2;3  ,  b 0;1; 1  ,  c 1; 2;4  . Tìm tọa độ các véc-tơ u  , v  biết rằng 1) u 2a 3b 4c       . 2) 23u 4a b 5c       . Bài 4. Cho các bộ điểm 1)  A 2;3;1 ,  B 4; 3; 1  ,  C 3;0;0 . 2)  M 1;2; 3 ,  N 3;6;5 ,  P 2;4;3 . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 5 Hỏi trong các bộ điểm nĩi trên, bộ điểm nào thẳng hàng, bộ điểm nào tạo thành một tam giác? Bài 5. Cho các điểm  A 1;3; 4  ,  B 5;0;5 ,  C 1;2; 1 ,  D 1; 1;2 . 1) Chứng tỏ rẳng ba điểm A , B , C thẳng hàng; ba điểm A , B , D khơng thẳng hàng. 2) Chứng minh gĩc ADB tù. Bài 6. Cho tam giác ABC với  A 1; 1;1 ,  B 0;1;2 ,  C 1;0;1 . 1) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác. 2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Bài 7. Cho tam giác ABC với  A 11;8;4 ,  B 1; 7; 1   ,  C 9; 2;4 . Hãy chứng tỏ tam giác vuơng và tính diện tích của nĩ. Bài 8. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' cĩ  A 4;1; 2 ,  C 3; 2;17  ,  B' 4;5;10 ,  D' 7; 2;11  . Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình hộp. Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' cĩ  A 1;0; 1  ,  B 2; 1; 2   ,  D 1;1; 1  , OC' 4i 5j 5k        . Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình hộp. Bài 10. 1) Trên trục Oy , tìm điểm M cách đều hai điểm  A 3;1;0 ,  B 2;4;1 . 2) Trên mặt phẳng Oxz , tìm tọa độ điểm N cách đều ba điểm  A 1;1;1 ,  B 1;1;0 ,  C 3;1; 1 . Bài 11. Cho tứ diện ABCD với  A 1; 1;1 ,  B 3;1; 2 ,  C 1;2;4 ,  D 5; 6;9 . Tìm tọa đột trọng tâm G của tứ diện. Bài 12. Cho tứ diện ABCD với  A 1;0;0 ,  B 0;1;0 ,  C 0;0;1 ,  D 2;1; 1  . 1) Tính gĩc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện. 2) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD . Tìm tọa độ trung điểm G của MN . Bài 13. Cho tứ diện ABCD với  A 3;0;0 ,  B 0;3 3;0 ,  C 3;0;0 ,  D 0; 3;3 . Chứng minh tứ diện cĩ các cặp cạnh đối diện vuơng gĩc với nhau. Bài 14. Cho tam giác ABC với  A 1;1;1 ,  B 5;1; 2 ,  C 7;9;1 . Biết phân giác trong gĩc A cắt BC tại D . Tìm tọa độ điểm D . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 6 Bài 15. Cho tam giác ABC với  A 1;2; 1 ,  B 2; 1;3 ,  C 4;7;5 . Tính độ dài đường phân giác trong gĩc B . Chủ đề 2. Tích có hướng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa: cho  u x;y;z ,  v x';y ';z ' tích cĩ hướng của u  và v  là:     y z z x x y u, v ; ; yz ' y 'z;zx' z 'x;xy ' x'y y z z x x y                 . 2. Tính chất 1) Tích cĩ hướng vuơng gĩc với các véc-tơ thành phần:  u, v u   ,  u, v v   . 2) Độ dài của tích cĩ hướng:    u, v u . v .sin u, v      . 3. Ứng dụng 1: kiểm tra điều kiện cùng phương và đồng phẳng 1) Điều kiện cùng phương của hai véc-tơ:  u / /v u, v 0      . Hệ quả: bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng  AB, AC .AD 0       . 2) Điều kiện đồng phẳng của ba véc-tơ: u  , v  , w  đồng phẳng  u, v .w 0       . Chú ý: biểu thức u, v .w      được gọi là tích hồn tạp của ba véc-tơ u  , v  , w  . 4. Ứng dụng 2: tính diện tích, thể tích 1) Diện tích hình bình hành ABCD : AB, AS D    . 2) Diện tích hình tam giác ABC : 1S AB, AC 2       . 3) Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' : V AB, AD .AA'       . 4) Thể tích khối tứ diện ABCD : 1V AC, AB .AD 6        . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 7 B. Bài tập Bài 1. Cho  a 2;3;1  ,  b 5;7;0  ,  c 3; 2;4  . Chứng minh a  , b  , c  khơng đồng phẳng. Hãy biểu diễn  d 4;12;3  qua a  , b  , c  . Bài 2. Cho  A 1;2; 3 , B(2;4;7) ,  C 0;2; 4 . 1) Tìm ràng buộc giữa x , y , z để    M x;y;z mp ABC . 2) Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Hãy tính diện tích của hình bình hành đĩ. 3) Gọi n  và véc-tơ vuơng gĩc với  mp ABC và cĩ độ dài bằng 1 . Hãy xác định tọa độ của n  . Bài 3. Cho tứ diện A , B , C , D với  A 2;3;1 ,  B 1;1; 2 ,  C 2;1;0 ,  D 0; 1;2 . 1) Tính ABCDV . 2) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện. 3) Xác định tọa độ của H . Đáp số: 1) 73 . 2) 14 2 . 3)  2;3;1 . Bài 4. Cho  A 0;1;1 ,  B 1;0;2 ,  C 1;1;0 ,  D 2;1; 2 . 1) Chứng minh A , B , C , D khơng đồng phẳng. 2) Tính độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC và bán kính đường trịn nội tiếp của tam giác đĩ. 3) Tính gĩc CBD và gĩc giữa các đường thẳng AB và CD . 4) Tính thể tích của tứ diện ABCD và độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện. Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 8 Chủ đề 3. Phương trình mặt phẳng 1. Tóm tắt lý thuyết a. Véc-tơ chỉ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng  Véc-tơ n 0   được gọi là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P nếu n  cĩ giá vuơng gĩc với  P . Ký hiệu  n P  hoặc  P n  . Chú ý: ☞ Mọi véc-tơ khác 0  , cùng phương với một véc-tơ pháp tuyến của một mặt phẳng đều là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy:  1 2 2 1 n P n 0 n / /n              2n P  . ☞ Hai véc-tơ pháp tuyến của cùng một mặt phẳng luơn cùng phương với nhau:     1 2 n P n P        1 2n / /n   .  Véc-tơ u 0   được gọi là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng  P nếu u  cĩ giá song song hoặc nằm trên  P . Ký hiệu  u / / P  hoặc  P / /u  . Chú ý: ☞ Mọi véc-tơ khác 0  , cùng phương với một véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng đều là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng ấy:  1 2 2 1 u / / P u 0 u / /u             2u / / P  . ☞ Hai véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng chưa chắc cùng phương với nhau. Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 9  Quan hệ giữa véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng ☞ Véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng vuơng gĩc với nhau     n P u / / P        n u   . ☞ Véc-tơ khác 0  , vuơng gĩc với véc-tơ pháp tuyến của một mặt phẳng là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng ấy.  n P u 0 u n              u / / P  . ☞ Véc-tơ khác 0  , vuơng gĩc với véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng khơng chắc là là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy. Tuy nhiên, một véc-tơ khác 0  , vuơng gĩc với hai véc-tơ chỉ phương khơng cùng phương của một mặt phẳng thì là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy:     1 2 1 2 n 0 u / / P u / / P n u n u                     n P  . Từ đây suy ra: tích cĩ hướng của hai véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy:     1 2 u / / P u / / P        1 2u ,u P      . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 10 b. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Xét bài toán: lập phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm  0 0 0 0M x ;y ;z , nhận véc-tơ  n A;B;C  làm véc-tơ chỉ phương. Lời giải: Xét điểm  M x;y;z . Ta cĩ  0 0 0 0M M x x ;y y ;z z     .  M P  0n M M    0n.M M         0 0 0A x x B y y C z z 0      . Vậy        0 0 0P : A x x B y y C z z 0      hay  P : Ax By Cz D 0    ( 0 0 0D Ax By Cz    ). Kết luận: ☞ Mỗi mặt phẳng trong khơng gian đều cĩ phương trình dạng: Ax By Cz D 0    (phương trình tổng quát của mặt phẳng), trong đĩ A , B , C là các hằng số khơng đồng thời bằng 0 . ☞ Ngược lại, người ta chứng minh được: mỗi phương trình Ax By Cz D 0    với A , B , C là các hằng số khơng đồng thời bằng 0 là phương trình của một mặt phẳng. c. Một số dạng đặc biệt của phương trình mặt phẳng ☞ Phương trình mặt phẳng vuơng gĩc với các trục tọa độ  P Ox  phương trình của  P cĩ dạng By Cz D 0   ( 2 2B C 0  ).  P Oy  phương trình của  P cĩ dạng Ax Cz D 0   ( 2 2A C 0  ).  P Oz  phương trình của  P cĩ dạng Ax By D 0   ( 2 2A B 0  ). ☞ Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ  P đi qua gốc tọa độ  phương trình của  P cĩ dạng Ax By Cz 0   ( 2 2 2A B C 0   ). Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 11 ☞ Phương trình dạng mặt chắn  P đi qua  A a;0;0 ,  B 0;b;0 ,  C 0;0;c (a , b , c 0 )    yx za b cP : 1   (phương trình dạng mặt chắn) d. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng   : Ax By Cz D 0     và  ' : A'x B'y C'z D' 0     . ☞ Hai mặt phẳng đĩ cắt nhau khi và chỉ khi hai bộ số  A;B;C ,  A';B';C' khơng tỷ lệ, tức là khơng tồn tại t sao cho A tA' B tB' C tC'      . ☞ Hai mặt phẳng đĩ song song khi và chỉ khi hai bộ số  A;B;C ,  A';B';C' tỷ lệ và hai bộ số  A;B;C;D ,  A';B';C';D' khơng tỷ lệ, tức là tồn tại t sao cho A tA' B tB' C tC' D tD'        . ☞ Hai mặt phẳng đĩ song song khi và chỉ khi hai bộ số  A;B;C;D ,  A';B';C';D' tỷ lệ, tức là tồn tại t sao cho A tA' B tB' C tC' D tD'        . e. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng * Cho điểm  0 0 0A x y ;z; và mặt phẳng  P : Ax By Cz D 0    . Ta cĩ    0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D d A, P A B C       . * Hệ quả: cho hai mặt phẳng  P : Ax By Cz D 0    và  Q :Ax By Cz D' 0    . Ta cĩ Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 12      2 2 2 | D D' |d P , Q A B C     . 2. Các ví dụ Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng  P biết rằng 1)  P đi qua  A 2;0; 4 và nhận  n 2; 3;6  là véc-tơ pháp tuyến ( 2x 3x 6z 20 0    ). 2)  P đi qua  A 2;2;3 và vuơng gĩc với đường thẳng BC , trong đĩ  B 2;10; 7 ,  C 5;9; 12 . 3)  P đi qua  A 1;4;6 và vuơng gĩc với trục Oz . 4)  P đi qua  M 2;5;7 và song song với  Q : 3x 2y z 1 0    . 5)  P đi qua  A 4;2;5 và nhận  1u 7;4;1  và  1u 1;4; 4  là các véc-tơ chỉ phương. 6)  P đi qua  A 4;2;5 ,  B 3; 3;2 và nhận  u 4; 1;9  là véc-tơ chỉ phương. 7)  P đi qua  12A 4; 2; ,  B 2; 1;0 và song song với Ox . 8)  P đi qua  A 2;4;6 ,  B 1; 1;9 và vuơng gĩc với  Q : 2x z 0  . 9)  P qua ba điểm  A 1;2;3 ,  B 1;2; 3  ,   C 0 ; 2;1 . 10)  P là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với  A 3;1; 4 ,  B 3;0; 5  . 11)  P qua  A 0;6; 5 và giao tuyến với của hai mặt phẳng  Q : 3x 2y z 0   và  R : x y z – 2 0   . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 13 12)  P đi qua  A 4;9;11 và chứa Ox . 3. Bài tập Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng  P biết rằng 1)  P đi qua  M 2; 1;2 , song song với Oy và vuơng gĩc với mặt phẳng  Q : 2x y 3z 4 0    . 2)  P đi qua  M 3; 1; 5  , vuơng gĩc với hai mặt phẳng  Q : 3x 2y 2z 7 0    và  R : 5x 4y 3z 1 0    . 3)  P đi qua hai điểm  M 2;1;3 ,  N 1; 2;1 và vuơng gĩc với mặt phẳng  Q : 2x y z 7 0    . 4)  P đi qua  M 1;0;1 ,  N 5;2;3 và vuơng gĩc với đường thẳng AB biết rằng  A 2;0; 1 và  B 3;3;4 . 5)  P đi qua  M 2;1; 1 và giao tuyến của hai mặt phẳng  Q : x y z 4 0    ,  R : 3x y z 1 0    . 6)  P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng   : x y z 3 0     ,   : 3x y 5z 1 0     và song song với mặt phẳng   : x y 2z 3 0     . 7)  P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng   : 3x y z 2 0     ,   : x 4y 5 0    và vuơng gĩc với mặt phẳng   : 2x z 7 0    . Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng  P biết rằng Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 14 1)  P đi qua  M 1;2;3 và song song với mặt phẳng  Q : 2x 5y 4z 2 0    . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng  P ,  Q . 2)  P cĩ khoảng cách đến  Q : 3x 4y z 5 0    bằng 3 . 3)  P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng  Q : 2x y 0  ,  R : x y 2z 3 0    và cĩ khoảng cách đến điểm  M 0; 2;3 bằng 5 . Bài 2. Cho  P : 2x 3y z 0   và  M 2;4;6 . 1) Tìm tọa độ hình chiếu H của M lên  P . 2) Tìm tọa độ M' đối xứng với M qua  P . Đáp số: 1)  134 477 7 7H ; ; . 2)  6 5227 7 7M' ; ;  . Bài 3. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng sau đây 1)  P : 3x 2y z 0   và  Q : 3x 2y z 0   . 2)  P : 3x 2y z 0   và  Q : 3x 2y z 3 0    . 3)   3 12 2P : x y z 0   và  Q : 3x 2x z 0   . 4)  P : 3x y 4 0   và   3 12 2Q : x y 2 0   . 5)  P : 3x y 4 0   và   3 12 2Q : x y 0  . 6)  P : 3x y 4 0   và  Q : y 1 . Bài 4. Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song 1)  P : 2x ny 2z 3 0    và  Q : mx 2y 4z 7 0    . 2)  P : 2x y mz 2 0    và  Q : x ny 2z 8 0    . Bài 5. Cho  P : 2x my 3z 6 m 0     và      Q : m 3 x 2y 5m 1 z 10 0      . Với giá trị nào của m thì 1) Hai mặt phẳng đĩ song song. 2) Hai mặt phẳng đĩ trùng nhau. 3) Hai mặt phẳng đĩ cắt nhau. 4) Hai mặt phẳng đĩ vuơng gĩc. Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 15 Bài 6. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng  P và  Q trong các trường hợp sau 1)  P : 2x y 4z 5 0    ,  Q : 3x 5y z 1 0    . 2)  P : 2x y 2z 1 0    ,  Q : 6x 3y 2z 2 0    . 3)  P : x 2y z 1 0    ,  Q : x 2y z 5 0    . Đáp số: 1) Bài 7. Tìm điểm M Oz trong các trường hợp sau 1) M cách đều điểm  A 2;3;4 và mặt phẳng  P : 2x 3y z 17 0    . 2) M cách đều hai mặt phẳng  P : x y z 1 0    và  Q : x y z 5 0    . Bài 8. Cho tứ diện OABC cĩ ba cạnh OA , OB , OC đơi một vuơng gĩc, OA a , OB b , OC c . Tính độ dài đường cao kẻ từ O của tứ diện. Đáp số: abc 2 2 2 2 2 2b c c a a b  . Bài 9. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Trên các cạnh AA', BC , C'D' lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho AM CN D'P t   , với 0 t a  . Chứng minh hai mặt phẳng  MNP và  ACD' song song và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đĩ. Đáp số: t 33 . Bài 10. Cho tứ diện OABC cĩ ba cạnh OA , OB , OC đơi một vuơng gĩc. Gọi  ,  ,  là gĩc giữa các mặt  OBC ,  OCA ,  OAB với mặt  ABC . Bằng phương pháp tọa độ hãy chứng minh: 1) Tam giác ABC nhọn. 2) 2 2 2cos cos cos 1      . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 16 Chủ đề 4. Phương trình đường thẳng A. Tóm tắt lý thuyết và các ví dụ 1. Phương trình đường thẳng Cho đường thẳng d đi qua điểm  0 0 0 0M x y ;z; và cĩ véctơ chỉ phương  u a;b;c  . Ta cĩ  Phương trình tham số của d là 0 0 0 x x at y y bt z z ct         ( t là tham số của phương trình).  Phương trình chính tắc của d (khi abc 0 ) là x x y y z z0 0 0a b c      . Đặc biệt: phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm  A A AA x ;y ;z ,  B B BB x ;y ;z ( A Bx x , A By y , A Bz z ) là A A Ay x x y z zB y y z z x BxA A B A        . Ví dụ 1. Viết phương trình tham số đường thẳng d trong các trường hợp sau 1) d đi qua điểm  M 2; 3;4 và nhận  12u 1; ;0  là véc-tơ chỉ phương. 2) d đi qua hai điểm  A 4;0;5 ,  B 3;5;7 . 3) d đi qua điểm  M 3;7;9 và song song với đường thẳng y 3x 1 z 12 4 2d' :      . 4) d đi qua điểm  M 2;0;1 và song song với trục Ox . 5) d đi qua điểm  23M ;0; 1 và vuơng gĩc với mặt phẳng tọa độ xOy . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 17 6) d là giao tuyến của hai mặt phẳng  P : x y 2 0   ,  Q : 2x 3y z 7 0    . 7) d đi qua điểm  M 2;1;2 và song song với cả hai mặt phẳng  P : x 4y z 0   ,  Q : 5x 6y 7z 7 0    . Giải 1) Phương trình tham số của d là t2 x 2 t y 3 z 4         . 2) Phương trình chính chắc của d là x 4 y 5 1 z 5 2      . Phương trình tham số của d là x 4 t y 5t z 5 2t        . 3) Thay tọa độ M vào phương trình d' ta cĩ  3 1 7 3 9 12 4 2 1       .  1 sai  M d'  tồn tại đường thẳng d qua M , song song với d' . 4) d' nhận  u 2;4; 2  làm véc-tơ chỉ phương.    u 2;4; 2 / /u' 1;2; 1     u'  là một véc-tơ chỉ phương của d'  u'  là một véc-tơ chỉ phương của d  phương trình tham số của d là x 3 t y 7 2t z 9 t         . 5) d / /Ox  d nhận véc-tơ  i 1;0;0  làm véc-tơ chỉ phương  phương trình tham số của d là x 2 t y 0 z 1        . 6)  d xOy  d cùng phương với trục Oz  d nhận véc-tơ  k 0;0;1  làm véc-tơ chỉ phương  phương trình tham số của d là 2 3x y 0 z 1 t         . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 18 7) Thay x 1 vào phương trình của  P và  Q ta được hệ y 1 3y z 5      y 1 z 2    . Từ đây suy ra    M 1;1;2 d 1 .    PP n 1;1;0  ,    QQ n 2;3;1  .    d P Q   d nhận  P Qn ,n 1; 1;1       làm véc-tơ chỉ phương  2 .  1 ,  2  phương trình tham số của d là x 1 t y 1 t z 2 t         . 8) Dễ thấy  M P ,  M Q nên tồn tại mặt phẳng đi qua M , song song với cả  P và  Q .    PP n 1;4; 1   ,    QQ n 5;6;7  .    d P Q   d nhận  P Qn ,n 34; 12; 14        làm véc-tơ chỉ phương.  P Qn ,n / / 17; 6; 7         17; 6; 7  cũng là một véc-tơ chỉ phương của d  phương trình tham số của d là x 2 17t y 1 6t z 2 7t         . Nhận xét: Ở câu 1, vì    12u' 2;1;0 / /u 1; ;0   nên u'  cũng là một véc-tơ chỉ phương của d  phương trình tham số của d là x 2 2t y 3 t z 4         . Ví dụ 2. Cho x 2 5t d : y 2 t z 3         . Tìm điểm M biết rằng 1) M d , M cĩ hồnh độ bằng 1 . 2) M d , M cĩ hồnh độ bằng tung độ. 3) M d ,  MA u 1;2;3   . Ở đây,  A 3;4;7 . 4) M đối xứng với  N 0;2; 5 qua d . 5) M d , M cách đều hai mặt phẳng tọa độ  xOy và  yOz . Giải Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 19 1) M d  tọa độ M cĩ dạng  M 2 5t;2 t;3   . M cĩ hồnh độ bằng 1  2 5t 1    35t    75M 1; ;3 . 2) M d  tọa độ M cĩ dạng  M 2 5t;2 t;3   . M cĩ hồnh độ bằng tung độ  2 5t 2 t     23t    4 43 3M ; ;3 . 3) M d  tọa đ