Giáo án lớp 12b môn Đại số - Tính đơn điệu của hàm số

GV : Ngô Quang Nghiệp – BT3 ; Tell : 0986908977 ; Trường THPT Số 3 Bảo Thắng – Lào Cai TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A.Lí Thuyết : 1. Tính đơn điệu của hàm số : Cho hàm số ( , )y f x m= xác định và có đạo hàm trên tập D. (m là tham số) • Hàm số ( , )y f x m= đồng biến trên D ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D. • Hàm số ( , )y f x m= nghịch biến trên D ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ D. Chú ý: y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2. Kiến thức liên quan : ─ Định lí về dấu của tam thức bậc hai ∆= + + ≠ = −2 2( ) ,( 0) , 4f x ax bx c a b ac • Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a. • Nếu ∆ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 2 b a − ) • Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì f(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì f(x) cùng dấu với a. ─ Định lí vi-ét : ⎧ + = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ 1 2 1 2 bx x a cx x a 1 2( , )x x là nghiệm của = + + =2( ) 0f x ax bx c ─ So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai = + +2( )f x ax bx c với số α • ∆∆ α α α α α α α ⎧ ⎧⎪ ⎪ >>⎪ ⎪ ⇔ − + + >⎨ ⎨⎪ ⎪+ +< <⎪ ⎪⎩ ⎩ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 00 ( )( ) 0 ( ) 0 2 2 x x x x x x x x x x x x (Áp Dụng Vi-ét..) • ∆∆ α α α α α α α ⎧ ⎧⎪ ⎪ >>⎪ ⎪ ⇔ − + + >⎨ ⎨⎪ ⎪+ +> >⎪ ⎪⎩ ⎩ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 00 ( )( ) 0 ( ) 0 2 2 x x x x x x x x x x x x (Áp Dụng Vi-ét..) • ∆∆α α α α α ⎧ >⎧ >< < ⇔ ⇔⎨ ⎨− − < − + + <⎩ ⎩ 21 2 1 2 1 2 1 2 00 ( )( ) 0 ( ) 0 x x x x x x x x (Áp Dụng Vi-ét..) ─ ≤ ( )m f x ,∀ ∈x D ∈ ⇔ ≤ ( ) x D m Min f x ; ≥ ( )m f x ,∀ ∈x D ∈ ⇔ ≥ ax ( ) x D m M f x B.Ví dụ : Ví dụ 1 : (ĐH A2013) Cho hàm số 3 2y x 3x 3mx 1 (1)= − + + − ,với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +∞ ) Giải : GV : Ngô Quang Nghiệp – BT3 ; Tell : 0986908977 ; Trường THPT Số 3 Bảo Thắng – Lào Cai Cách 1 : (Dùng phương pháp hàm số) Ta có : 2y ' 3x 6x 3m= − + + ⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞ ) ⇔ ( )y ' 0 x 0, (*)≤ ∀ ∈ +∞ Vì ( )y x′ liên tục tại x = 0 nên (*) ⇔ [ )y ' 0 x 0;≤ ∀ ∈ +∞ [ )23x 6x 3m 0 , x 0;⇔ − + + ≤ ∀ ∈ +∞ [ ) [ )2m x 2x , x 0; m g(x) , x 0;⇔ ≤ − ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤ ∀ ∈ +∞ (Trong đó 2g(x) x 2x= − ) [ )0;m Min g(x)+∞⇔ ≤ Xét hàm số 2g(x) x 2x= − trên [ )0;+∞ g '(x) 2x 2 g '(x) 0 x 1⇒ = − ⇒ = ⇔ = [ )x 0;lim g(x) ; g(0) 0 ; g(1) 1 Min g(x) 1→+∞ +∞= +∞ = = − ⇒ = − tại x 1= Vậy m 1≤ − thì hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞ ) Cách 2 : (Dùng định lí dấu tam thức bậc 2 ) Ta có : 2y ' 3x 6x 3m ' 9 9m= − + + ⇒ ∆ = + Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞ ) ⇔ ( )y ' 0 x 0, (*)≤ ∀ ∈ +∞ TH1: Nếu ' 0 9 9m 0 m 1∆ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ − , thì theo định lí về dấu tam thức bậc hai ta có y ' 0 x R≤ ∀ ∈ ⇒ (*) luôn đúng TH2: Nếu ' 0 9 9m 0 m 1∆ > ⇔ + > ⇔ > − , thì (*) đúng ⇔ phương trình y ' 0= có hai nghiệm phân biệt 1 2 1 2x , x , (x x )< và thỏa mãn 1 2x x 0< ≤ (1) 1 2 0 (1) x x 0 ∆ >⎧⇔ ⎨ < ≤⎩ 1 2 1 2 m 1 (x 0)( x 0) 0 x x 0 2 ⎧⎪ > −⎪⇔ − − ≥⎨⎪ +⎪ <⎩ 1 2 1 2 m 1 x x 0 x x 0 > −⎧⎪⇔ ≥⎨⎪ + <⎩ (Theo định lí Vi-et : 1 2 1 2x x 2 ; x x m+ = = − ) m 1 m 0 2 0 > −⎧⎪⇔ − ≥⎨⎪ <⎩ ( vô nghiệm ) (*)⇒ không thỏa mãn . Kết hợp TH1 và TH2 ta có m 1≤ − thì hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞ ) Ví dụ 2 : Cho hàm số 3 22y x (m 1)x 2mx 5 3 = − + + + + ,với m là tham số thực. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) Giải : Cách 1 : (Dùng phương pháp hàm số) Ta có : 2y ' 2x 2(m 1)x 2m= − + + + ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) ⇔ ( )y ' 0 x 0;2 (*)≥ ∀ ∈ GV : Ngô Quang Nghiệp – BT3 ; Tell : 0986908977 ; Trường THPT Số 3 Bảo Thắng – Lào Cai Vì ( )y x′ liên tục tại x = 0 và tại x = 2 nên (*)⇔ [ ]y ' 0 x 0;2≥ ∀ ∈ [ ]22x 2(m 1)x 2m 0 , x 0;2⇔ − + + + ≥ ∀ ∈ [ ] [ ]2m(x 1) x x , x 0;2 m g(x) , x 0;2⇔ + ≥ − ∀ ∈ ⇔ ≥ ∀ ∈ (Trong đó 2x xg(x) x 1 −= + ) [ ]0;2m Max g(x)⇔ ≥ Xét hàm số 2x xg(x) x 1 −= + trên đoạn [ ]0;2 [ ]2 2x 2x 1g '(x) g '(x) 0 x 1 2 , x 0;2(x 1) + −⇒ = ⇒ = ⇔ = − + ∀ ∈+ [ )0; 2 2g(0) 0 ; g(2) ;g( 1 2) 3 2 2 Max g(x) 3 3+∞ = = − + = − + ⇒ = tại x 2= Vậy 2m 3 ≥ thì hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) Cách 2 : (Dùng định lí dấu tam thức bậc 2 ) Ta có : 2 2y ' 2x 2(m 1)x 2m , ' m 6m 1= − + + + ∆ = + + ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) ⇔ ( )y ' 0 x 0;2 (*)≥ ∀ ∈ TH1: Nếu 2' 0 m 6m 1 0 3 2 2 m 3 2 2∆ ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ − − ≤ ≤ − + , thì theo định lí về dấu tam thức bậc hai ta có y ' 0 x R≤ ∀ ∈ ⇒ (*) không thỏa mãn TH2: Nếu 2 m 3 2 2' 0 m 6m 1 0 m 3 2 2 ⎡ ≤ − −∆ > ⇔ + + > ⇔ ⎢ ≥ − +⎢⎣ , thì (*) đúng ⇔ phương trình y ' 0= có hai nghiệm phân biệt 1 2 1 2x , x , (x x )< và thỏa mãn 1 2x 0 2 x≤ < ≤ (1) 1 2 0 (1) x 0 2 x ∆ >⎧⇔ ⎨ ≤ < ≤⎩ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (x 2)( x 2) 0 x .x 2(x x ) 4 0 m 3 2 2 m 3 2 2 m 3 2 2 m 3 2 2 (x 0)( x 0) 0 x x 0 − − ≤ − + + ≤⎧ ⎧⎪ ⎪⎡ ⎡≤ − − ≤ − −⎪ ⎪⇔ ⇔⎢ ⎢⎨ ⎨≥ − + ≥ − +⎢ ⎢⎪ ⎪⎣ ⎣⎪ ⎪− − ≤ ≤⎩ ⎩ (Theo định lí Vi-et : 1 2 1 2x x m 1; x x m+ = + = − ) 2mm 2(m 1) 4 0 3m 2 0 3 m 3 2 2 m 3 2 2 m 3 2 2 2m 3m 3 2 2 m 3 2 2 m 3 2 2 m 0 m 0 m 0 ⎧ ≥⎪− − + + ≤ − + ≤⎧ ⎧ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎡ ⎡⎪≤ − − ≤ − − ≤ − −⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥⎢ ⎢ ⎢⎨ ⎨ ⎨≥ − + ≥ − + ≥ − +⎢ ⎢ ⎢⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎣ ⎣⎪ ⎪ ⎪− ≤ − ≤ ≥⎩ ⎩ ⎪⎩ Kết hợp TH1 và TH2 ta có 2m 3 ≥ thì hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) Ví dụ 3 : Cho hàm số 3 2m 1y x (m 2)x 3mx 5 3 −= − + + + + ,với m là tham số thực. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2)−∞ − GV : Ngô Quang Nghiệp – BT3 ; Tell : 0986908977 ; Trường THPT Số 3 Bảo Thắng – Lào Cai Giải Cách 1 : (Dùng phương pháp hàm số) Ta có : 2y ' (m 1)x 2(m 2)x 3m= − − + + + ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2)−∞ − ⇔ y ' 0 x ( ; 2) (*)≥ ∀ ∈ −∞ − Vì ( )y x′ liên tục tại 2x = − nên (*)⇔ ( ]y ' 0 x ; 2 (*)≥ ∀ ∈ −∞ − ( ]2(m 1)x 2(m 1)x 3m 0 , x ; 2⇔ − − + + + ≥ ∀ ∈ −∞ − ( ] ( ]2 2m( x 2x 3) x 4x , x ; 2 m g(x) , x ; 2⇔ − + + ≥ − − ∀ ∈ −∞ − ⇔ ≤ ∀ ∈ −∞ − (Trong đó 22x 4xg(x) x 2x 3 − −= − + + ) ( ]; 2m Min g(x)−∞ −⇔ ≤ Xét hàm số 2 2 x 4xg(x) x 2x 3 − −= − + + trên đoạn ( ]; 2−∞ − ( ] 2 2 2 2 2 2 1 76 (x ) 6(x x 2) 2 4g '(x) 0 , x ; 2 ( x 2x 3) ( x 2x 3) ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟− + + ⎝ ⎠⇒ = = < ∀ ∈ −∞ −− + + − + + g(x)⇒ là hàm số nghịch biến trên ( ]; 2−∞ − ( ]; 2 4Min g(x) g( 2) 5−∞ − ⇒ = − = − Vậy 4m 5 ≤ − thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2)−∞ − Cách 2 : (Dùng định lí dấu tam thức bậc 2 ) Ta có : 2 2 21 15y ' (m 1)x 2(m 2)x 3m ; ' 4m m 4 (2m ) 0 , m 2 4 = − − + + + ∆ = + + = + + > ∀ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2)−∞ − ⇔ y ' 0 x ( ; 2) (*)≥ ∀ ∈ −∞ − TH1: Nếu ( ](m 1) 0 m 1 y ' 6x 3 0 , x ; 2− − = ⇔ = ⇒ = + < ∀ ∈ −∞ − ⇒ (*) không thỏa mãn TH2: Nếu (m 1) 0 m 1− − > ⇔ < thì (*) đúng ⇔ phương trình y ' 0= có hai nghiệm phân biệt 1 2 1 2x , x , (x x )< và thỏa mãn 1 22 x x− ≤ < (1) 2 1 1 2 0 (x 2)(x 2) 0 (1) x x 2 2 m 1 ∆ >⎧⎪ + + ≥⎪⎪⇔ ⎨ + > −⎪⎪ <⎪⎩ 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 m x .x 2(x x ) 4 0x .x 2(x x ) 4 0 m 1x x 2 x x 4 02 m 1 ∀⎧⎪ + + + ≥⎧+ + + ≥⎪⎪ ⎪⇔ ⇔ −⎪ ⎪ + + >⎩⎪ <⎪⎩ (Theo định lí Vi-et : 1 2 1 2 2(m 2) 3mx x ; x x m 1 m 1 ++ = = −− − ) 43m 2(m 2) m2( ) 4 0 5m 1 m 1 4m 1 m 1 m 5 2(m 2) 14 0 m m 1 3 + ⎧⎧ ≤ −− + + ≥ ⎪⎪ − − ⎪⎪⇔ <−⎩ ⎩ TH3: Nếu (m 1) 0 m 1− − , thì (*) không thỏa mãn vì phương trình y ' 0= có hai GV : Ngô Quang Nghiệp – BT3 ; Tell : 0986908977 ; Trường THPT Số 3 Bảo Thắng – Lào Cai nghiệm phân biệt 1 2 1 2x , x , (x x ) ∀ ∈ Kết hợp TH1 ,TH2 và TH3 ta có 4m 5 ≤ − thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2)−∞ − Ví dụ 4 : Cho hàm số 3 2 1y x (m 1)x m(m 3)x (1) 3 = − + + + − − ,với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) Giải : Ta có : 2 2y ' 3x 2(m 1)x m(m 3) ' 4m 7m 1= − + + + − ⇒ ∆ = − + Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) ⇔ ( )y ' 0 x 1; (*)≤ ∀ ∈ +∞ TH1: Nếu 2 7 33 7 33' 0 4m 7m 1 0 m 8 8 − +∆ ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ , thì theo định lí về dấu tam thức bậc hai ta có y ' 0 x R≤ ∀ ∈ ⇒ (*) luôn đúng TH2: Nếu 2 7 33m 8' 0 4m 7m 1 0 7 33m 8 ⎡ −≤⎢⎢∆ > ⇔ − + > ⇔ ⎢ +≥⎢⎣ , thì (*) đúng ⇔ phương trình y ' 0= có hai nghiệm phân biệt 1 2 1 2x , x , (x x )< và thỏa mãn 1 2x x 1< ≤ (1) 1 2 0 (1) x x 1 ∆ >⎧⇔ ⎨ < ≤⎩ 1 2 1 2 (x 1)( x 1) 0 7 33m 8 7 33m 8 x x 1 2 ⎧⎪ − − ≥⎪⎡⎪ −≤⎢⎪⎪⎢⇔ ⎨⎢ +⎪ ≥⎢⎪⎣⎪ +⎪ <⎪⎩ 1 2 1 2 1 2 x x (x x ) 1 0 7 33m 8 7 33m 8 x x 2 − + + ≥⎧⎪⎡ −⎪ ≤⎢⎪⎪⎢⇔ ⎨⎢ +⎪ ≥⎢⎪⎣⎪ + <⎪⎩ (Theo định lí Vi-et : 1 2 1 2 2 m(m 3)x x (m 1) ; x x 3 3 −+ = + = − ) m(m 3) 2 1 5 1 5(m 1) 1 0 m 3 3 2 2 7 33 7 33 1 5 7 33m m m 8 8 2 8 7 33 7 33 7 33 1 5m m m 8 8 8 2 2 m 2(m 1) 2 3 ⎧− − +⎧− − + + ≥ ≤ ≤⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎡ ⎡⎪ − − − −≤ ≤ ≤ ≤⎪⎢ ⎢ ⎢⎪⎪ ⎪⎢ ⎢ ⎢⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨⎢ ⎢ ⎢+ + + +⎪ ⎪≥ ≥ ≤ ≤⎢ ⎢ ⎢⎪ ⎪⎣ ⎣ ⎣⎪ ⎪ <⎪ ⎪+ <⎪ ⎪⎩ ⎩ GV : Ngô Quang Nghiệp – BT3 ; Tell : 0986908977 ; Trường THPT Số 3 Bảo Thắng – Lào Cai Kết hợp TH1 và TH2 ta có 1 5 7 33m 2 8 7 33 1 5m 8 2 ⎡ − −≤ ≤⎢⎢⎢ + +≤ ≤⎢⎣ thì hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) Nhận xét : Trong ví dụ này không sử dụng được phương pháp hàm số vì không thể đưa biểu thức cần xét về dạng ≤ ( )m f x hoặc ≥ ( )m f x được . Ví dụ 5 : Cho hàm số 3 21 1y x mx (m 2)x (1) 3 3 = − + + − − ,với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 Giải : Ta có : 2 2y ' x 2mx m 2 ' m m 2= − + + − ⇒ ∆ = + − Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2x , x và thỏa mãn 1 2x x 4− = (*) . (*) 1 2 ' 0 x x 4 ∆ >⎧⎪⇔ ⎨ − =⎪⎩ 2 2 1 2 1 2 m m 2 0 (x x ) 4x x 16 ⎧ + − >⎪⇔ ⎨ + − =⎪⎩ (Theo định lí Vi-et : 1 2 1 2x x 2m ; x x (m 2)+ = = − − ) 2 2 2 m 2 m 2 m 1m m 2 0 m 2 m 1 m 3m 24m 4(m 2) 16 m m 6 0 m 3 ⎧ ⎧ + − > =⎡⎪⎪ ⎪⎣⎢ >⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨⎣ ⎢ = −=+ − = ⎡⎪ ⎣⎩ ⎪ ⎪+ − = ⎢⎩ ⎪ = −⎣⎩ Kết luận : m 2 m 3 =⎡⎢ = −⎣ thì hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 Ví dụ 6 : Cho hàm số 4 2y x 2mx 3 (1)= − + ,với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( 1;+∞ ) Giải : Ta có : 3 2y ' 4x 4mx 4x(x m)= − = − TH1 : Nếu m 0≤ thì 2y ' 0 4x(x m) 0 x 0 y ' 0, x (1; )= ⇔ − = ⇔ = ⇒ ≥ ∀ ∈ +∞ . Vậy m 0≤ thì hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;+∞ ) TH2 : Nếu m 0> thì 2 x 0y ' 0 4x(x m) 0 x m =⎡= ⇔ − = ⇔ ⎢ = ±⎣ BXD : x −∞ m− 0 m +∞ y + 0 + 0 − 0 + GV : Ngô Quang Nghiệp – BT3 ; Tell : 0986908977 ; Trường THPT Số 3 Bảo Thắng – Lào Cai Vậy m 1y ' 0, x (1; ) 0 m 1 m 0 ⎧ ≤⎪≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ⇔ ⎪⎩ Kết hợp TH1 và TH2 ta có m 1≤ thì hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;+∞ ) Ví dụ 7 : Cho hàm số mx 4y (1) x m − += − ,với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ];3−∞ Giải : Ta có : 2 2 m 4y ' , x m (x m) −= ∀ ≠− nên hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ];3−∞ khi và chỉ khi ( ] ( ] 2 2' 0 , ;3 4 0 32 3;3 3 my x m mm mm m ⎧ ∀ ∈ −∞ ⎧ − >⎪ ⎪⎢⇔ ⇔ ⇔ >>⎨ ⎨ ⎨⎣>∉ −∞⎪ ⎩ ⎪⎩ >⎩ Vậy m 3> thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ];3−∞ BTVN : Bài 1 : Cho hàm số 3 2my x mx 7x 2 3 = + + − ,với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (1; )+∞ ĐS : 7m 3 ≤ − Bài 2 : Cho hàm số 3 2 22y x 2mx (m 2m 1)x 5 3 = − + − − + ,với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; )+∞ ĐS : m 3 2 2≤ − Bài 3 : Cho hàm số 3 2y x 3x mx 3m 1= + − + − ,với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0;2) ĐS : m 24≥ Bài 4: Cho hàm số 3 2y x 3(m 1)x 9x m (1)= − + + − ,với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 ĐS : m 1 m 3 =⎡⎢ = −⎣ Bài 5: Cho hàm số mx 3m 2y (1) x m − + −= − ,với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( )1;0− ĐS : 1 m 2< < Bài 6: Cho hàm số 4 2y x 2(m 1)x 3m 1 (1)= − − + − ,với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( 1;3) ĐS : m 10≥