Giáo án môn Đại số lớp 11 - Các dạng bài tập phương trình lượng giác

Các dạng bt phương trình lượng giác Loại 1. Biện luận theo k 1. sin (pcosx) = 1 2. cos(8sinx) = -1 3. tan(pcosx ) = cot(p sinx) 4. cos(psinx) = cos(3psinx) 5. tan(p cosx) = tan(2p cosx) 6. sinx2 = 8. cot(x2 + 4x + 3) = cot6 9. Tỡm nghiệm dương nhỏ nhất của pt cos 10. Tỡm nghiệm dương nhỏ nhất của pt sin 11. Tỡm nghiệm dương nhỏ nhất của pt cos Loại 2. Cụng thức hạ bậc 1. 4cos2(2x - 1) = 1 2. 2sin2 (x + 1) = 1 3. cos2 3x + sin2 4x = 1 4. sin(1 - x) = 5. 2cosx + 1 = 0 6. tan2 (2x – ) = 2 7. cos2 (x – ) = sin2(2x + ) Loại 3. Cụng thức cộng, biến đổi 1. sin2x + cos2x = sin3x 2. cos3x – sinx = (cosx –sin3x ) 3. 4. sin3x = cos(x – p /5) + cos3x 5. sin(x + p /4) + cos(x + p /4) = cos7x 6. Tỡm tất cả cỏc nghiệm x của pt: sinxcos+ cosxsin= Loại 4. Bài toỏn biện luận theo m 1. Giải và biện luận 2sin(1-2x) = m 2. 3cos23x = m 3. sin3x + cos3x = m 4. m.sin2 2x + cos4x = m 5. Giải và biện luận sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x 6. Giải và biện luận (3m + 5).sin(x + p/2) = (2m + 3)cosx -m 7. Giải và biện luận cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x 8. Cho pt sin4x + cos4x = m Xỏc định m để pt cú nghiệm Giải pt với m = ắ Loại 5. Tổng hợp 1. cos22x – sin28x = sin() 2. sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 3. 4. 5. Tỡm tất cả cỏc nghiệm x của pt: sin(2x + = 1 + 2sinx 6. Giải pt: 4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3cos4x = 3 7. = 8. 4sin32x + 6sin2x = 3 9. Tỡm nghiệm nguyờn của pt: Dạng 2: Phương trình bậc nhất, bậc hai và bậc cao đối với một hàm số lượng giác 1/ 2/ 4sin3x + 3sin2x = 8sinx 3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/ 5/ Cho 3sin3x - 3cos2x + 4sinx - cos2x + 2 = 0(1) và cos2x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2) Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) ( nghiệm chung sinx = ) 6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx + - 2 = 0 b / + tanx = 7 c / sin6x + cos4x = cos2x 8/ sin() - 3cos() = 1 + 2sinx 9/ 10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 11/ tanx + cotx = 4 12/ 13/ 14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0 15/ 16/ 2cosx - = 1 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 25. Dạng 3: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 1. Nhận dạng: 2. Phương pháp: Cách 1: asinx + bcosx = c Đặt cosx= ; sinx= Cách 2: Đặt Cách 3: Đặt ta có Chú ý: Điều kiện PT có nghiệm: Đăc biệt : giải phương trình: 1. , 2. 3. , 4. 5. , 6. 7. 8. 9. ; 10. 2sin15x + cos5x + sin5x = 0 (4) 2. 12. 13. ( cos2x - sin2x) - sinx – cosx + 4 = 0 14. 15. 16. 17. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b. c. Dạng 4: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx 1. Nhận dạng: Đẳng cấp bậc 2: asin2x + bsinx.cosx + c cos2x = 0 Cách 1: Thử với cosx = 0; với cosx0, chia 2 vế cho cos2x ta được: atan2x + btanx + c = d(tan2x + 1) Cách 2: áp dụng công thức hạ bậc Đẳng cấp bậc 3: asin3x + bcos3x + c(sinx + cosx) = 0 Hoặc asin3x + b.cos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x = 0 Xét cos3x = 0 và cosx0, chia 2 vế cho cos3x ta được phương trình bậc 3 đối với tanx 2. Phương pháp: Giải phương trình 1. 3sin2x - sinxcosx+2cos2x cosx=2 2. 4 sin2x + 3sinxcosx - 2cos2x=4 3. 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0 4. sinx - 4sin3x + cosx = 0 5. 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + )cos2x – 5 - = 0 6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7. sin3x - sinx + cosx – sinx = 0 8. tanxsin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) 9. 3cos4x - 4sin2xcos2x + sin4x = 0 10. 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0 11. 2cos3x = sin3x 12. cos3x - sin3x = cosx + sinx 13. sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 14. sin3(x - /4) =sinx Dạng 5: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 1. Nhận dạng: 2. Phương pháp: * a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x + cosx at + b = c bt2 + 2at – 2c – b = 0 * a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x - cosx at + b = c bt2 - 2at + 2c – b = 0 1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2. sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) 3. 3. 1. 1 + tanx = 2sinx + 2. sin x + cosx= - 3. sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4. 1- sin3x+ cos3x = sin2x 5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6. sin2x(sin x + cosx) = 2 7. (1+sin x)(1+cosx)=2 8. (sin x + cosx) = tanx + cotx 9. 1 + sin3 2x + cos32 x = sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2 11.* cos4x + sin4x - 2(1 - sin2xcos2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0 12. 13. sinxcosx + = 1 14. cosx + + sinx + = Dạng 6: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx Công thức hạ bậc 2 cos2x = ; sin2x= Công thức hạ bậc 3 cos3x= ; sin3x= Giải phương trình 1/ sin2 x + sin23x = cos22x + cos24x 2/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2 3/ sin2x + sin23x - 3cos22x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin2() - 2cos2 5/ cos4x – 5sin4x = 1 6/ 4sin3x - 1 = 3 - cos3x 7/ sin22x + sin24x = sin26x 8/ sin2x = cos22x + cos23x 9/ (sin22x + cos42x - 1):= 0 10/ 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x 11/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 12/ 8cos3(x + ) = cos3x 13/ = 1 14/ cos7x + sin22x = cos22x - cosx 15/ sin2x + sin22x + sin23x = 3/2 16/ 3cos4x – 2cos23x =1 17/ sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x với 18/ sin24x - cos26x = sin() với 19/ 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3cos4x = 3 20/ cos4xsinx - sin22x = 4sin2() - với < 3 21/ 2cos32x - 4cos3xcos3x + cos6x - 4sin3xsin3x = 0 22/ cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x Dạng 7: Phương trình lượng giác bậc cao * a3 b3=(ab)(a2 ab + b2) * a8 + b8 = ( a4 + b4)2 - 2a4b4 * a4 - b4 = ( a2 + b2)(a2 - b2) * a6 b6 = ( a2 b2)( a4 a2b2 + b4) Giải phương trình 1. sin4+cos4=1-2sinx 2. cos3x-sin3x=cos2x-sin2x 3. cos3x+ sin3x= cos2x 4. 5. cos6x - sin6x = cos22x 6. sin4x + cos4x = 7. cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) 8. cos3x + sin3x = cosx – sinx 9. cos6x + sin6x = cos4x 10. sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 11. cos8x + sin8x = 12. (sinx + 3)sin4 - (sinx + 3)sin2 + 1 = 0 Dạng 8: Phương trình lượng giác biến đổi về tích bằng 0 1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0 3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4/ sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0 5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6/ sin2x + cos2x + cosx = 0 7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4 8/ 9/ 2cos2x - 8cosx + 7 = 10/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + cos2x 11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 14/ 2sin3x - = 2cos3x + 15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - ) = 0 16/ cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 17/ cos2x - 2cos3x + sinx = 0 18/ sin2x = 1+cosx + cos2x 19/ 1 + cot2x = 20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0 22/ 1 + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 24/ 2= 25/ 2tanx + cotx = 26/ cotx – tanx = cosx + sinx 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 Tỡm TXĐ của hàm số: a. b. y = Tỡm GTLN, GTNN của hàm số: a. y = b. y = 3. GiảI phương trình: sinx + = 0. sin2x - sinx – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngõn Hàng) ĐS: tanx.sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: 2sin3x-(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin3x-4cos3x +3cosx)=sinx+cosx ĐS: 2sin3x-(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin3x-4cos3x +3cosx)=sinx+cosx ĐS: 4(sin3x-cos2x)=5(sinx-1) ĐS: với . sinx-4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: . HD:sin3x-sin2x+cosx=0; 3sinx-4sin3x-2sinxcosx+cosx=0(chia cho cosx) ; (Học Viện BCVT) ĐS: Doi sin(x+II/4) thanh cos(II/2 –x) rồi dùng CT biến tích thành tổng. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: . HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = , 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). Giải Û2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. Û2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. Û2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. D=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2. ị (biết giải) 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp Giải phương trỡnh lượng giỏc: Giải Điều kiện: Từ (1) ta cú: So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trỡnh đó cho là Giải phương trỡnh cos3xcos3x – sin3xsin3x = GiảiTa cú: cos3xcos3x – sin3xsin3x = Û cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = Û Û . Giải phương trỡnh: Giải Phương trỡnh Û (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0