Giáo án môn Đại số lớp 11 - Phương trình lượng giác

GV: Nguyễn Ngọc Hoá TOán 11 1 Ph−ơng trình l−ợng giác I. Ph−ơng trình l−ợng giác cơ bản và ph−ơng trình bậc nhất đối với 1 hàm số l−ợng giác. Bài 1: Giải các PT sau: 1) cos cos 10 x pi = 2) 1 sin 2 x = 3) ( )0 3cos 10 2 x + = − 4) ( )tan 1 3x + = 5) ( ) ( )tan 3 1 tan 1x x− = + 6) ( )0cot 2 10 3x + = 7) ( )cot 4 2 1x − = 8) ( )0 1cot 30 2 3 x− = − 9) ( )0 2 0cos 30 2cos 15 1x + + = 10) ( )2sin 1 0x + = Bài 2: Giải các PT sau: 1) ( )( )1 2sin 3 sin 0x x− + = 2) sin 2 .cot 0x x = 3) sin cos 0x x− = 4) sin cos 0 2 3 x x + = 5) tan cotx x= 6) ( ) ( )0 0tan 2 60 cot 75 0x x+ + = 7) ( )cot 1 sin3 0x x+ = 8) sin 3 0 cos3 1 x x = − 9) tan 2 . tan 4 0x x = 10) cos 2 cot 0 4 x x pi − =    11) 2 sin 3 sin 4 0 3 6 x x pi pi   − + − =        12) 5 tan 6 cot 4 0 6 3 x x pi pi   − + + =        Bài 3: Giải các PT sau: 1) 4sin cos cos 2 2x x x = 2) cos cos 2 1 sin sin 2x x x x= − 3) tan 3cotx x= 4) cos5 cos cos 4x x x= 5) 2sin 2 sin 2 0x x+ = 6) tan tan 5 1x x = 7) 2 2sin 2 cos 3 1x x+ = 8) sin 2 3 sinx x= 9) sin cos 2 sin 2 2 3 x x x + = 10) sin 2 2cos 1 sin x x x = − + Bài4: Giải các PT sau: 1) ( )sin cos 1xpi = 2) 1sin cosx x = 3) ( )cos 8sin 1x = 4) ( )tan cos sin 1 4 x x pi − =   5) ( )2 1cos 2 xpi = − 6) ( )cos 1xpi = Bài5: Tìm 0a > nhỏ nhất thoả m"n PT : 2 2 1 cos 2 sin 0 2 a a api pi   + − − =      II. Ph−ơng trình bậc hai đối với một hàm số l−ợng giác. Bài1: Giải các PT sau: 1) 22sin 5sin 3 0x x+ − = 2) 22cos 5cos 2 0 2 2 x x − + = 3) 23cot 2 5cot 2 7 0x x− − = 4) 23 tan 2 3 tan 3 0 3 3 x x − + = GV: Nguyễn Ngọc Hoá TOán 11 2 5) ( )24cos 2 1 2 cos 2 0x x+ + + = 6) 22sin 2 sin 2 0 2 3 2 3 x xpi pi   − + − − =        Bài2: Giải các PT sau: 1) 26cos 5sin 2 0x x+ − = 2) 2cos 2 2cos 2 0x x+ − = 3) 5 tan 2cot 3 0 2 2 x x − − = 4) 3 tan 6cot 2 3 3 0x x− + − = 5) cos cos 1 0 2 4 x x + + = 6) 4 24sin 12cos 7x x+ = 7) 2 22sin cos 4sin 2 0x x x− − + = 8) ( ) 25sin sin 1 cos 3x x x− = + 9) 2 5 tan 7 0 cos x x − + = 10) 2 3 3cot 3 sin x x = + Bài3: Cho PT: ( )22cos 1 2 cos 1 0x m x m+ − + − = (1) a) Giải PT khi 1 2 m = b) Tìm m để PT có 4 nghiệm [ ]0;2x pi∈ Bài4: Cho PT: ( )sin 1 cos cos m m x m x x + + = (2) a) Giải PT với 1 2 m = b) Tìm m để PT có nghiệm. Bài5: Giải các PT sau: 1) 2cos 3cos 2 0x x+ + = 2) 2cos 10 3cos10 2 0x x+ + = 3) 2 1 1 cos 3cos 2 0 3 3 x x− − + + = 4) 2sin 3cos 2 0 6 3 x x pi pi   − + − + =        5) 4 2cos 3sin 5 0 10 10 x x pi pi   − − − + =        6) ( ) ( )2 2 2 2cos 3cos 2 0x x x xpi pi+ + + + = III. PT thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. Bài 1: Giải các PT sau: 1) 2 24sin 5sin cos cos 0x x x x− + = 2) 2 24sin 5sin cos 6cos 0x x x x− − = 3) 2 2sin 3 sin cos 2cos 1x x x x− + = 4) 2 22sin 2sin 2 4cos 1x x x+ − = 5) 22sin 3sin 1 0 2 x x− + = 6) 2 2sin sin 2 3cos 3x x x+ + = 7) 1 3 sin cos cos x x x + = 8) 1 6cos3 4sin 3 cos3 x x x = + 9) ( )2 25 33sin 3 2sin cos 5sin 0 2 2 2 x x x x pi pi pi pi      − + + + − + =            10) ( ) ( )34sin cos 4sin cos 2sin cos 1 2 x x x x x x x pi pi pi pi   − + + + − + =        Bài 2: Cho PT: 2 2cos sin cos 2sin 0x x x x m− − − = a) Giải PT với 1m = b) Tìm m để PT có nghiệm. IV. PT bậc nhất đối với sinx và cosx. Bài1: Giải các PT sau: 1) 3 sin cos 1x x− = 2) 2sin 3 5 cos3 3x x+ = − 3) 3sin 4cos 5 2 2 x x − = 4) 2cos sin 2x x− = GV: Nguyễn Ngọc Hoá TOán 11 3 5) sin5 cos5 1x x+ = 6) 3sin 5 2cos5 3x x− = 7) ( )12sin 4 3 cos 3x x pi+ + = 8) ( ) ( )1 3 sin 1 3 cos 2x x+ + − = 9) ( ) ( )0 0 1sin 15 cos 45 0 2 x x+ + + + = 10) 2 2cos 3 sin 2 1 sinx x x− = + Bài2: Cho PT: ( )sin 1 cos 3 2m x m x m− − = − a) Giải PT khi 2m = b) Tìm m để PT có nghiệm. Bài3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : 2 cos sin cos 2 x y x x + = + − V. PT đối xứng và nửa đối xứng với sin và cos Bài1: Giải các PT sau: 1) ( )3 sin cos 2sin 2 3 0x x x+ + + = 2) ( )2 sin cos sin cos 1x x x x+ − = 3) ( )6 sin cos sin cos 6x x x x− − = 4) 1 sin 2 sin cosx x x+ = + 5) 1 sin 2 cos sinx x x− = − 6) ( )sin 2 5 sin cos 1x x x+ + = − 7) ( )sin 2 12 sin cos 12 0x x x− − + = 8) 3 3sin cos 1x x+ = 9) 3 3 3 1 sin cos sin 2 2 2 x x x+ + = 10) 1 tan 2 2 sinx x+ = 11) ( )( ) 21 sin cos sin cos 2 x x x x− + = 12) sin 2 2 sin 1 4 x x pi + − =    13) sin cos 4sin 2 1x x x− + = 14) 1 1 10 cos sin cos sin 3 x x x x + + + = 15) 2 22 tan 3tan 2cot 3cot 2 0x x x x+ + + + = Bài2: Tìm m để PT : ( )sin 2 4 cos sinx x x m− − = có nghiệm. Bài3: Tìm m để PT: 5 2 sin sin cos 2 0 3 2 2 x x x m pi pi    + − + − − + =          có nghiệm. vi. Một số PT l−ợng giác khác. Bài1: Giải các PT sau: 1) 2 2 2 3 cos cos 2 cos 3 2 x x x+ + = 2) 2 2 2cos cos 2 cos 3 1x x x+ + = 3) 2 2 17 sin 2 cos 8 sin 10 2 x x x pi − = +    4) 4 4 1 sin cos 4 4 x x pi + + =    5) 22cos 1 sin3 2 x x− = 6) 2 2 2 2sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 2x x x x+ + + = 7) 2 2sin 7 sin9 cos cos 2 4 4 x x x x pi pi   + = − − +        8) 4 4 2 1 sin cos cos 2 4 x x x+ = + 9) 2 2 2 2sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x+ = + 10) 2 2 2 2cos cos 2 cos 3 cos 4 0x x x x+ − − = 11) 4 4sin cos 1 sin 2 2 2 x x x+ = − Bài2: Giải các PT: 1) sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos3x x x x x x+ + = + + 2) sin3 sin 5 sin 7 0x x x+ + = 3) tan tan 2 tan 3x x x+ = 4) sin 4 tanx x= 5) cos cos 2 cos3 cos 4 0x x x x+ + + = 6) sin 2 sin5 cosx x x= − 7) 3 2sin sin3 3cos 2x x x+ = GV: Nguyễn Ngọc Hoá TOán 11 4 8) 1 1 2 2 sin 4 sin cos x x x pi + = +    9) sin 5 1 5sin x x = 10) 1 cos cos 2 cos3 0x x x+ + + = 11) sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 sin 6 0x x x x x x+ + + + + = 12) sin3 sin sin 2 0x x x− + = 13) cos cos3 2cos5 0x x x+ + = 14) 1 1 sin sin sinx x pi pi  + = +    15) sin 2 2cot 3x x+ = 16) 4sin 3 sin 5 2sin cos 2 0x x x x+ − = Bài3: Giải các PT sau: 1) cos cos3 sin 2 sin 6x x x x= 2) 1 sin cos cos 2 cos8 sin12 4 x x x x x= 3) cos3 tan5 sin 7x x x= 4) 2 2 sin3 sin 2sin cos 2 3 x x x x− = Tổ hợp xác suất I. Bài toán đếm 1. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 lập đ−ợc bao nhiêu số tự nhiên: a/ Có 4 chữ số . b/ Có 4 chữ số khác nhau. c/ Có 4 chữ số khác nhau và chữ số hàng đơn vị là 3. d/ Có 7 chữ số khác nhau e/ Có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. Đáp số: a) 47 b) 47A c) 3 6A d)7! 2. Từ các chữ số 1,3,4,6,7,9 lập đ−ợc bao nhiêu số tự nhiên : a/ Có 6 chữ số b/ Có 4 chữ số. c/ Có 4 chữ số và là số chẵn d/ Có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn. e/ Có 4 chữ số khác nhau và là số lẻ. f/ Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 Đáp số: a) b) c) 32.6 d) 352.A e) 3 54.A f)12 3. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập đ−ợc bao nhiêu số tự nhiên: a/ Có 4 chữ số b/ Có 4 chữ số khác nhau. c/ Lẻ có 4 chữ số d/ Chẵn có 4 chữ số . e/ Có 4 chữ số khác nhau và có chữ số 0 và 3 không đứng cạnh nhau. 4. Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 ng−ời ngồi vào 6 chiếc ghế trong từng TH: a/ Các ghế xếp thành hàng ngang. b/ Các ghế xếp thành vòng tròn. 5. Có bao nhiêu cách xếp 8 bạn thành 1 hàng ngang trong đó có Công và Vinh sao cho: a/ Công và Vinh đứng cạnh nhau. b/ Công và Vinh không đứng cạnh nhau. 6. Có bao nhiêu cách chia 12 ng−ời thành: a/ Hai nhóm: một nhóm 5 ng−ời và 1 nhóm 7 ng−ời. b/ Ba nhóm t−ơng ứng gồm 3, 4, 5 ng−ời. 7. Cho một đ−ờng tròn có 17 điểm phân biệt trên đó. Hỏi có bao nhiêu: a/ Bao nhiêu đ−ờng thẳng đ−ợc tạo thành khi nối các điểm đó với nhau. b/ Bao nhiêu đ−ờng chéo của đa giác gồm 16 điểm trên. c/ Bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là các điểm trong 16 điểm trên. d/ Giả sử các điểm trên tạo thành đa giác đều. Có bao nhiêu giao điểm của các đ−ờng chéo. 8. Cho tập hợp { }1;2;3;...;20A = . Hỏi: a/ Có bao nhiêu tập con của A có 5 phần tử. b/ Có bao nhiêu tập con của A có 2 phần tử trong đó phải có phần tử 2. c/ Có bao nhiêu tập con của A có 6 phần tử trong đó phải có chứa hai phần tử 3 và 11. d/ Có bao nhiêu tập con của A không quá 3 phần tử. e/ Có bao nhiêu tập con của A. GV: Nguyễn Ngọc Hoá TOán 11 5 9. Có bao nhiêu số nguyên d−ơng có 5 chữ số sao cho mỗi chữ số của số đó lớn hơn chữ số của số ở bên phải của nó? 10. Một giá sách có 3 tầng trong đó có tầng 1 có 10 sách văn, tầng 2 có 7 sách toán, tầng 3 có 8 sách tiếng anh. Hỏi: a/ Có bao nhiêu cách lấy ra 12 quyển sách sao cho có 3 sách toán và 5 sách tiếng anh. b/ Có bao nhiêu sách lấy ra 4 quyển trong đó có cả ba loại. 11. Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh có bán kính giông nhau vào 1 d"y gồm 7 ô. a/ Có bao nhiêu cách xếp. b/ Có bao nhiêu cách xếp sao cho 3 bi đỏ cạnh nhau và 3 bi xanh cạnh nhau. Đáp số: a) 3 37 4.A C b)36 12. Trong một cuộc đua ngựa có 12 con ngựa cùng xuất phát. Hỏi có bao nhiêu khả năng xếp loại: a/ Ba con ngựa về nhất nhì ba. b/ Ba con ngựa về đích đầu tiên. ii. Xác suất. - Ôn tập về công thức tính xác suất, công thức cộng xác suất - Biến cố đối, biến cố xung khắc - Biến cố độc lập và công thức nhân xác suất. 1. Gieo một con súc sắc đồng chất hai lần. a/ Mô tả không gian mẫu. b/ Tính xác suất để cho kết quả hai lần gieo là nh− nhau. c/ Tính xác suất sao cho tổng số chấm hai lần gieo bằng 8. d/ Tính xác suất để ít nhất 1 lần xuât hiện mặt 6 chấm. 2. Gieo một đồng tiền xu 3 lần liên tiếp. a/ Mô tả không gian mẫu. b/ Tính xác suất để cả ba lần gieo thì có hai lân xuất hiện mặt ngửa. c/ Tính xác suất để chỉ 1 lần xuất hiện mặt sấp. d/ Tính xác suất để ít nhất 1 lần xuất hiện mặt sấp. 3. Một tổ có 4 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 ng−ời. Tìm xác suất sao cho trong 3 ng−ời đó: a/ Cả ba đều là nữ. b/ Không có nữ nào. c/ Có ít nhất 1 ng−ời là nam. d/ Có đúng 1 ng−ời là nam. 4. Một hộp có chứa 11 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 11, 22 quả cầu trắng ghi số từ 1 đến 22. Lấy ngẫu nhiên 1 quả. Tính xác suất sao cho quả đ−ợc chọn: a/ Ghi số chẵn. b/ Màu trắng. c/ Màu trắng và ghi số chẵn. d/ Màu đỏ hoặc ghi số lẻ. 5. Một hộp có chứa 7 cầu trắng, 5 cầu vàng, và 4 cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên trong hộp cùng 1 lúc hai quả. Tính xác suất sao cho: a/ Lấy đ−ợc hai quả cùng màu. b/ Lấy đ−ợc 1 quả trắng, 1 quả vàng. c/ Lấy đ−ợc hai quả không cùng màu. 6. Từ một cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài lấy ngẫu nhiên lần l−ợt có hoàn lại từng con cho đến khi lấy đ−ợc con hai thì dừng lại. Tính xác suất sao cho: a/ Quá trình lấy dừng lại ở lần thứ 3. b/ Quá trình lấy dừng lại sau không quá 2 lần. 7. Có hai chiếc hộp. Hộp thứ nhất chứa 4 cầu đỏ, 5 cầu xanh, hộp thứ hai có chứa 3 đỏ và7 xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 quả. Tính xác suất sao cho : a/ Cả hai đều là quả đỏ. b/ Hai quả cùng màu. c/ Hai quả khác màu. 8. Rút đồng thời 3 quân bài từ một cỗ bài tú lơ khơ. a/ Tính xác suất để trong ba quân phải có 1 quân át và 1 quân K b/ Tính xác suất để trong ba quân không có quân át và quân K nào? c/ Tính xác suất để rút đ−ợc ít nhất 1 quân át. Đáp số: a/ 1 1 1 4 4 44 3 52 . .C C C C b/ 3 44 3 52 C C c/ 1 2 2 1 3 4 48 4 48 4 3 52 . .C C C C C C + + 9. Một hộp có chứa 10 bi trắng, 5 bi xanh và 7 bi vàng. a/ Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suât để 1/ Lấy đ−ợc cả ba bi trắng. 2/ Lấy đ−ợc cả ba không bi trắng. b/ Lấy ngẫu nhiên 4 bi. Tính xác suất để : 1/ Lấy đ−ợc đúng 1 bi xanh. 2/ Lờy đ−ợc đúng 2 bi xanh. GV: Nguyễn Ngọc Hoá TOán 11 6 10. Trong kì kiểm tra chất l−ợng ở khối 10 và khối 11, mỗi khối có 25% hs tr−ợt toán, 15%hs tr−ợt Lí và 10% hs tr−ợt cả Toán và Lí. Từ mỗi khối chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất sao cho : a/ Hai học sinh đều tr−ợt Lí. b/ Hai học sinh đều bị tr−ợt môn nào đó. c/ Hai học sinh không bị tr−ợt môn nào. d/ Có ít nhất một trong hai học sinh bị tr−ợt ít nhât 1 trong hai môn. Đáp số: Gọi 1,2M :”Lấy đ−ợc 1 học sinh tr−ợt Toán ở khối 10,11” ( ) ( )1 2 1 4 P M P M⇒ = = 1;2N :”Lấy đ−ợct 1 học sinh tr−ợt Lí ở khối 10, 11” ( ) ( )1 2 15 3 100 20 P N P N⇒ = = = ( ) ( )1 1 2 2 1 10 P M N P M N= = a/ 1 2A N N= ∩ ( ) ( ) ( )1 2 9 . 200 P A P N P N⇒ = = b/ ( ) ( )1 1 2 2B M N M N= ∪ ∩ ∪ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2.P B P M P N P M N P M P N P M N⇒ = + − + −       c/ ( ) ( )1 1 2 2C M N M N= ∪ ∩ ∪ d/ D C= 11. Gieo một con súc sắc đồng chất 3 lần. a/ Mô tả không gian mẫu. b/ Tính xác suất để lần thứ nhất xuất hiện mặt 1 chấm. c/ Tính xác suất để không lần nào xuất hiện mặt 1 chấm. d/ Tính xác suất để ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 1 chấm. e/ Tính xác suất để tổng số chấm 3 lần gieo bằng 10. iii. khai triển nhị thức newton. Nắm: ( ) 0 1 1 1 1... ...n n n k n k k n n n nn n n n na b C a C a b C a b C ab C b− − − −+ = + + + + + + 1. Viết dạng khai triển nhị thức Newton của các biểu thức sau: a/ ( )52 1x − b/ ( )63 2x + c/ ( )71 3x− d/ ( )52a b− e/ 7 1 x x  +    f/ 6 2 3 x  −    2. Viết 4 số hạng đầu tiên theo luỹ thừa tăng dần của x trong các khai triển của các đa thức sau: a/ ( )203 x− b/ ( )152 1x − c/ ( )102 2x − 3. Khai triển các biểu thức sau: a/ ( ) ( )3 41 2x x+ + − b/ ( ) ( ) ( )34 521 2 1 1 2x x x+ + + + − 4. Từ đẳng thức ( ) ( ) ( )1 1 . 1m n m nx x x++ = + + . H"y chứng minh đẳng thức sau: 1 . k k p k p m n m n p C C C −+ = =∑ 5. Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển của 20 2 2 x x  −    6. Tìm hệ số của 6x trong khai triển của 2 2 n x x  −    biết 1 22 12n nC C n+ = GV: Nguyễn Ngọc Hoá TOán 11 7 ChƯơng III: D+y số – Cấp số cộng – Cấp số Nhân I. Ph−ơng pháp quy nạp toán học. PP: Xem lại lý thuyết. Bài1: Bài toán chứng minh đẳng thức. Chứng minh rằng *n∀ ∈
ta đều có các đẳng thức sau: 1/ ( )( )2 2 2 1 2 11 2 ... 6 n n n n + + + + + = 2/ ( )223 3 3 *1 1 2 ... 4 n n n n + + + + = ∀ ∈
3/ ( ) ( ) 3 1 2 5 8 ... 3 1 2 n n n + + + + + − = 4/ * 1 1 1 1 2 1 ... 2 4 4 2 2 n n n n N − + + + + = ∀ ∈ 5/ ( ) ( )21.2 2.5 ... 3 1 1n n n n+ + + − = + 6/ 2 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 4 9 2 n n n n +    − − − = ∀ ≥          7/ ( )113 9 27 ... 3 3 3 2 n n++ + + + = − 8/ 1 2 2 ... 2 2cos 2n pi ++ + = Bài2: Bài toán chứng minh bất đẳng thức. 1/ 23 4 5n n n> + + với *n∀ ∈
2/ 1 22 3n n n+ > + với *n∀ ∈
3/ 1 1 1 ... 1 1 2 3 1n n n + + + > + + + *n∀ ∈
4/ 1 3 5 2 1 1 . . ... 2 4 6 2 2 3 4 n n n + < + + *n∀ ∈
5/ 1 1 1 1 ... 2 2 3 n n n + + + + > ∀ ≥ 6/ 1 1 1 1 ... 2 2 3 2 1n n n+ + + + < ∀ ≥ − Bài3: Với những giá trị nào của số tự nhiên n ta có các bất đẳng thức sau: 1/ 22 4 5n n n> + + 2/ 3 2 7n n n> + Bài4: Bài toán chia hết. Chứng minh rằng với *n∀ ∈
ta đều có : 1/ 1 2 111 12n n+ −+ chia hết cho 133 2/ 3 22 3n n n− + chia hết cho 6 Bài5: Cho số thực 2x k pi≠ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên d−ơng n ta luôn có : ( )1 sin cos 2 21 cos cos 2 cos3 ... cos sin 2 n x nx x x x nx x + + + + + + = Bài6: Cho n số thực 1 2; ;....; na a a thoả m"n đk 1 0ia− < ≤ với 1,i n= . Chứng minh rằng *n∀ ∈
ta có: ( )( ) ( )1 2 1 21 1 ... 1 1 ...n na a a a a a+ + + ≥ + + + + Bài7: Chứng minh rằng với mọi số thực ( )*1 2; ;...; na a a n∈
ta có: 1 2 1 2... ...n na a a a a a+ + + ≤ + + + Bài8: Cho ( )( ) 1 1 1 1 ... 1.5 5.9 9.13 4 3 4 1 nS n n = + + + + − + a/ Tính 1 2 3 4; ; ;S S S S b/ Dự đoán công thức tính nS và chứng minh công thức đó bằng pp quy nạp. GV: Nguyễn Ngọc Hoá TOán 11 8 II. d+y số. - Tìm số hạng tổng quát của d2y số. - Chứng minh d2y số tăng, d2y số giảm. - Chứng minh d2y số bị chặn. Bài1: Cho d"y ( )nu xác định bởi công thức. a/ 1 210 nnu −= b/ 3 7nnu = − c/ 2 2 1 n n u n + = d/ 2 1 2 1 n n n u − = + e/ 3 n n n u = f/ 3 2 n n n n u = g/ ( ) ( )2 2 1 n n n u n + = + h/ 1nu n n= + − 1/ Tìm 5 số hạng đầu của các d"y số trên. 2/ Xét xem các d"y số trên tăng hay giảm. Bài2: Cho ( )nu xác định bởi công thức. a/ 1 2 1 1 1 1n n u u u n+ =  = + ∀ ≥ b/ ( ) 1 1 1 1 1 n n n u u u n u + =   = ≥ + 1/ Tìm 5 số hạng đầu của d"y số trên. 2/ Xét xem các d"y số trên tăng hay giảm. 3/ Tìm số hạng tổng quát của d"y số trên. Bài3: Cho d"y số ( )nu xác định bởi: 1 1 1 2 1 1n n u u u n n+ =  = + + ∀ ≥ a/ Viết 5 số hạng đầu của d"y số trên. b/ Dự đoán công thức của nu và chứng minh bằng ph−ơng pháp quy nạp. Bài4: Cho d"y số ( )nu xác định bởi: ( ) 1 3 1 1 1n n u u u n n+ =  = + ≥ a/ Tìm công thức của số hạng tổng quát. b/ Tìm số hạng thứ 100 của d"y. c/ Số 90001 có phải là 1 số hạng của d"y số trên không? Bài5: Cho d"y số ( )nu xác định bởi: 1 1 5 3 2n n u u u n+ =  = + − a/ Tìm công thức tổng quát của d"y số b/ Chứng minh d"y số trên là d"y số tăng. c/ Số 333 có phải là 1 phần tử của d"y số trên không? Bài6: Tìm số hạng tổng quát của các d"y số sau: a/ ( ) 1 1 2 1 2 1n n u u n u + =   = − ≥  b/ 1 1 1 2n n u u u+ =  = Bài7: H"y tìm số hạng tổng quát của d"y số tăng bao gồm tất cả các số nguyên d−ơng mà mỗi số hạng của nó: a/ Chia hết cho 3 b/ Khi chia cho 5 còn d− 2. Bài8: Tìm số hạng thứ 3 và thứ 5 của các d"y số sau: GV: Nguyễn Ngọc Hoá TOán 11 9 a/ 1 2 1 0 2 1 n n u u u − =   = + b/ 1 2 1 2 1; 2 2n n n u u u u u− − = = −  = − Bài9: Cho các d"y số sau đây, d"y số nào bị chặn trên, ds nào bị chặn d−ới, ds nào bị chặn. a/ 3 2nu n= − b/ 3 2 n nu = − c/ 3 1 1 n n u n − = + d/ 1 3 n nu  = −    Bài10: Chứng minh d"y số ( )nu xác định bởi: 1 1 2 1 2 n n u u u + =   + = là d"y giảm và bị chặn d−ới. Bài11: Cho d"y số ( )nu xác định bởi: 1 1 0 1 4 2 n n u u u+ =   = + a/ Chứng minh ( )nu bị chặn trên bởi 8. b/ Chứng minh ( )nu tăng, suy ra ( )nu bị chặn Bài12: Cho hai d"y số ( )nu và ( )nv xác định bởi: ; 2nn nu n v n= = + a/ Chứng minh rằng với mọi *n N∈ ta đều có : 1 12 1 ; 2 1n n n nu u n v v n+ += + − = + − b/ Từ kết quả câu a/ có thể rút ra kết luận gì về hai d"y trên. Bài13: Cho d"y số ( )nu xác định bởi : 1 1 2 2 , *n n u u u n N+  =  = + ∀ ∈ a/ Chứng minh rằng : 0 2 *nu n N< < ∀ ∈ . b/ Chứng minh rằng ( )nu đơn điệu tăng. c/ Chứng minh rằng : 1 2cos 2 n n u pi += . Bài14: Một số d+y số có cách tìm số hạng tổng quát 1. Dãy dạng: 1 1n n u a u u bn c+ =  = + + PP: Xét các hiệu: ( )1 1n nu u b n c−− = − + ( )1 2 2n nu u b n c− −− = − + ...................................... 2 1 .1u u b c− = + Cộng các đẳng thức trên lại ta đ−ợc: ( ) ( )1 1 2 ... 1 1nu u b n c n− = + + + − + − Từ đó suy ra công thức của nu VD1: Tìm số hạng tổng quát của d"y số sau: a/ 1 1 1 2 1n n u u u n+ =  = + + b/ 1 1 2 3 1n n u u u n+ =  = − + 2. Dãy dạng: 1 2 1n n u a u u cn dn e+ =  = + + + PP: T−ơng tự nh− trong phần 1 GV: Nguyễn Ngọc Hoá TOán 11 10 VD2: Tìm số hạng tổng quát của các d"y số sau: a/ 1 2 1 3 n n u u u n+ =  = + b/ 1 2 1 1 2n n u u u n n+ = −  = − + 3. Dãy số dạng 1 3 2 1n n u a u u bn cn dn e+ =  = + + + + VD3: Tìm số hạng tổng quát của các d"y số sau: a/ 1 3 1 2 n n u u u n+ = −  = + b/ 1 3 1 1 2 3 1n n u u u n n+ =  = + − + 4. Dãy số dạng 1 1n n u a u bu c+ =  = + PP: Viết các đẳng thức: 1n nu bu c−− = 21 2 1 2n n n nu bu c bu b u bc− − − −− = ⇒ − = ............................................................ 2 1 22 1 2 1 n n nu bu c b u b u b c− − −− = ⇒ − = Cộng các đẳng thức trên ta đ−ợc: ( )2 2 21 1 ...n nnu b u c b b b− −− = + + + + Từ đó suy ra công thức tổng quát của ( )nu VD4: Tìm số hạng tổng quát của các d"y số sau: a/ 1 1 2 3n n u u u+ =  = b/ 1 1 3 2 1n n u u u+ =  = − 5. PP tìm công thức tổng quát của dãy số dựa vào CSC và CSN. VD1: Cho d"y số ( )nu xác định bởi 1 1 1 5 8n n u u u+ =  = + . Xét d"y ( )nv với 2n nv u= + . Chứng minh rằng d"y ( )nv là CSN. Tìm công thức tính nv , từ đó suy ra công thức tính nu . VD2: Cho d"y số ( )nu xác định bởi 1 12; 1 n n n u u u u += − = − a/ Chứng minh rằng 0nu < với mọi *n N∈ b/ Đặt 1 n n n u v u + = . Chứng minh rằng ( )nv là CSC. c/ Tính nv theo n và suy ra công thức tính nu . VD3: Cho d"y số ( )nu xác định bởi: 1 1 2 3 0; 4 n n n u u u u + + = = + a/ Lập d"y số ( )nx với 1 3 n n n u x u − = + . Chứng minh rằng ( )nx là một cấp số nhân. b/ Tìm công thức tính nx theo n, từ đó suy ra công thức tính nu theo n. VD4: Cho d"y số ( )nu xác định bởi : 1 2 1 11; 2; 2 1 2n n nu u u u u n+ −= = = − + ∀ ≥ . a/ Viết 5 số hạng đầu của d"y. b/ Lập d"y ( )nv với 1n n nv u u+= − . Chứng minh rằng ( )nv là một CSC. c/ Tìm công thức tính nu theo n. VD5: Cho d"y số ( )nu xác định bởi: ( ) 1 1 11 ; 3 3 n n n u u u n + + = = . a/ Viết 5 số hạng đầu của d"y. b/ Lập d"y ( )nx với nn u x n = . Chứng rằng ( )nx là một CSN. Tìm công thức tính ;n nx u theo n. GV: Nguyễn Ngọc Hoá TOán 11 11 iii. Cấp số cộng. +) 1n nu u d+ = + , ( )1 1nu u n d= + − , 1 1 nu ud n − = − , 1 1 2 k k k u u u + − + = +) ( ) ( )1 2 1 1... 2 1 2 2 n n n n n S u u u u u u n d= + + + = + = + −   1. Cho cấp số cộng ( )nu có 1 1; 3u d= − = . a/ Tính 10u , viết công thức của số hạng tổng quát. b/ Tính tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng trên. 2. Cho cấp số cộng ( )nu với 2 1010; 50u u= = a/ Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. b/ Tìm tổng của 13 số hạng đầu của CSC đó. 3. Cho cấp số cộng ( )nu xác định bởi: 7 3 2 7 8 . 75 u u u u − =  = a/ Xác định công sai và số hạng đầu của các CSC trên. b/ Tính tổng của 15 số hạng đầu của CSC trên. 4. Cho cấp số cộng ( )nu xác định bởi: 2 3 5 1 6 10 17 u u u u u − + =  + = a/ Tính số hạng đầu và công sai của CSC trên. b/ Tính tổng của 10 số hạng đầu của CSC đ" cho. 5. Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm công sai và số hạng đầu của cấp số cộng trên. 6. Cho hai cấp số cộng : : 2;2;6;10;14;...nx − và :1;4;7;10;...ny . a/ Tìm số hạng tổng quát của mỗi d"y số trên. b/ Số 50 có là 1 phần tử của các d"y số trên không. Nếu là 1 phần tử của d"y thì là phần tử thứ mấy. c/ Trong 50 số hạng đầu tiên của hai d"y có bao nhiêu số hạng chung? 7. Cho d"y số ( )nu với 5 3nu n= − . a/ Viết 5 số hạng đầu của d"y. b/ Chứng minh ( )nu là một cấp số cộng. c/ Tính tổng của 100 số hạng đầu của CSC đó. 8. Tính các tổng sau: a/ 5 1 3 7 ... 71A = − − + + + + b/ ( )1 5 11 1... 6 7 3 3 3 3 B n= − + + + + − 9. Tìm x biết a/ 4 1 6 ... 966x− + + + + = b/ ( ) ( ) ( )1 4 ... 43 375x x x+ + + + + + = 10. Cho CSC ( )nu có 1 21; 6u u= = . a/ Tìm công sai d. b/ Tính số hạng thứ 15 của cấp số cộng trên. c/ Tính tổng của 15 số hạng đầu của CSC trên. 11. Một cấp số cộng có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 28, tổng của số hạng thứ 5 và số hạng cuối là 140. Tìm số hạng đầu và công sai của CSC đó. 12. Cho CSC ( )nu có 13 số hạng, số hạng đầu là 2 và tổng của các số hạng là 260. Tìm d và 13u 13. Cho CSC ( )nu có 5 919; 35u u= = . a/ Tìm số hạng đầu và công sai của CSC trên. b/ Viết công thức của số hạng tổng quát của CSC trên c/ Tính tổng của 13 số hạng đầu của CSC trên. 14. Cho CSC ( )nu có 17 20 9u u− = và 2 217 20 153u u+ = . a/ H"y tìm số hạng đầu và công sai của CSC đó b/ Tìm tổng của 15 số hạng đầu của CSC trên. GV: Nguyễn Ngọc Hoá TOán 11 12 15. Cho CSC ( )nu có công sai 0d > , 31 34 11u u+ = và 2 231 34 101u u+ = . H"y tìm số hạng tổng quát của CSC trên. 16. Cho CSC ( )nu có 7 15 2 2 4 12 60 1170 u u u u + =  + = . a/ Tìm số hạng đầu và công sai của CSC trên. b/ Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của CSC trên. 17. Một CSC có 5 số hạng, biết tổng của các số hạng là 5 và tích của chúng là 45. Tìm CSC trên. 18. Cho tam giác ABC vuông và có ba góc lập thành CSC. Tìm ba góc đó. 19. Cho CSC ( )nu có 2 5 4 942; 66u u u u+ = + = . a/ Tìm số hạng đầu và công sai của CSC trên. b/ Tìm tổng của 346 số hạng đầu tiên của CSC trên. 20. Cho CSC tăng ( )nu có 3 31 15 302094u u+ = và tổng của 15 số hạng đầu là 585. H"y tìm số hạng đầu và công sai của CSC trên. iv. Cấp số nhân. - 1 . *n nu u q n N+