Giáo án môn Giải tích lớp 12 - Một bài toán nhỏ

Một bài toán nhỏ Gv:Hoàng Hùng Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm i. (1) ii. (2) Phương pháp: Đểchứng minh phương trình có đúng một nghiệm thuộc khoảng D ta làm như sau: Chứng tỏ rằng f(x) = 0 có nghiệm x0 thuộc D (thông thường chúng ta dựa vào tính liên tục của hàm số y = f(x) trên D và chỉ ra f(x1).f(x2) < 0 với x1; x2 thuộc D) Bằng công cụ đạo hàm , chứng tỏ f(x) đơn điệu trên miền D. Từ đó suy ra x0 là nghiệm duy nhất Bài giải: 1.i) Cách 1: (1) 0 Ta xét phương trình trong [1; ) Xét liên tục trên [1; ); Ta có f(1).f(2) < 0 nên f(x)= 0 có nghiệm thuộc khoảng (1; 2) Mặt khác = 2x4 - 2x + 2x4 - 2 + x4 = 2x(x3 - 1) +2(x4 - 1) + x4 với mọi x Nên hàm số ĐB trên Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng một nghiệm Cách 2: (1) 0 ; Ta xét phương trình trong [1; ) Xét hàm số trong khoảng [1; ); Rõ ràng f(x) liên tục trên khoảng đó. Ta có f(1).f(2) < 0 nên hàm số có nghiệm thuộc khoảng (1; 2) Mặt khác Với x Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng một nghiệm 2. (2) -1 x -1 Ta xét phương trình trong [-1; ); Rõ ràng x = 1 không phải là nghiệm của phương trình. Xét trong khoảng (-1; ) Lập bảng xét dấu x - -1 0 1 + f’(x) + 0 - - 0 - - 0 + f(x) + + + (ko xét) -1 - 487 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trong khoảng (-1: 1) Bài tập luyện tập Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiêm dương