Giáo án môn Toán 11 - Chương 3: Dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Dãy Số. Cấp số cộng và cấp số nhân A. Mục tiêu: Trên cơ sở những kiến thức về hàm số đã học ở lớp 10, giới thiệu về dãy số, tiếp đến là hai dãy số đặc biệt: Cấp số cộng và cấp số nhân. Giới thiệu phương pháp chứng minh bằng quy nạp toán học B. Nội dung và mức độ: - Phương pháp quy nạp toán học: Chứng minh mệnh đề chứa biến là số tự nhiên và dùng quy nạp không hoàn toàn để phát hiện quy luật của dãy số - Dãy số trình bày theo quan điểm hàm số với đối số là số tự nhiên - Hai dãy số đặc biệt: Cấp số cộng và cấp số nhân. Các định nghĩa, số hạng tổng quát, tính chất các số hạng, tổng của n số hạng đầu. áp dụng phương pháp quy nạp toán học trong chứng minh. - Bổ sung một số kiến thức để học sinh tự học: phương pháp suy luận, dãy Phi-bô-na-xi, dãy số trong hình bông tuyết Vôn - kốc của hình học Fractal C. Yêu cầu và mức độ đạt được: - Nắm vững nội dung các bước tiến hành của phương pháp quy nạp toán học. Biết cách chứng minh các bài toán bằng quy nạp toán học - Nắm vững các khái niệm về dãy số: Định nghĩa, cách cho dãy số, biểu diễn hình học của dãy số, tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số. - Nắm vững định nghĩa, tính chất các số hạng, các công thức về số hạng tổng quátm tổng của n số hạng đầu của của cấp số cộng và cấp số nhân. Biết vận dụng các công thức và tính chất để giải các bài toán về cấp số cộng và cấp số nhân. - Tự đọc và tự học các mục “ Bạn có biết “ và bài đọc thêm ở cuối chương Tiết 47 : Phương pháp quy nạp toán học A - Mục tiêu: - Nắm được nội dung của phương pháp quy nạp toán học - áp dụng được vào bài tập B. Phương tiện thực hiện: - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phương pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề, luyện chữa. D - Tiến trình bài học : 1. ổn định tổ chức: Lớp Ngày dạy Sĩ số 11A2 2. Kiểm tra bài cũ: * HS: Xét tính đúng sai của mệnh đề: a) Nếu a > b thì an > bn, b) Nếu a > b > 1 thì an > bn 3. Bài mới Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt - TRả lời câu hỏi của giáo viên. - Dùng máy tính bỏ túi tính 3n và 100n + 7 để so sánh và đưa ra kết luận với n = 1, 2, 3, 4, 5. - Nêu được: Phép thử không phải là chứng minh muốn chứng tỏ một mệnh đề chứa biến là đúng thì phải chứng minh được nó đúng trong mọi trường hợp, ngược lại để chứng tỏ mệnh đề sai, thì chỉ cần chỉ ra một trường hợp là sai là đủ. - Đọc sách giáo khoa. - Nêu được các bước chứng minh. - Thực hiện yêu cầu của GV + Ta thấy (3) đúng khi n = 1 + Với n = k + 1 thì ta có (3): 13 + 23 + ... + k3 + (k + 1)3= Tiếp tục đọc SGK. - Nêu bài toán: + Hãy kiểm tra khi n = 1? + Có thể kiểm tra (1) đúng với mọi n không? Cho mệnh đề chứa biến: p(n) = “ 3n < 100n + 7 “ Chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = 1, 2, 3, 4, 5. - Hướng dẫn học sinh lập bảng và dùng máy tính bỏ túi tính toán so sánh, đưa ra kết luận - ĐVĐ: Có thể khẳng định p(n) đúng với mọi giá trị n ẻ N* hay không ? Tại sao ? Để chứng minh một mệnh đề chứa biến n ẻ N* là đúng với mọi n mà không thể trực tiếp được, ta phải làm như thế nào ? - Tổ chức cho học sinh đọc sách giáo khoa phần “Phương pháp quy nạp Toán học “ - Nêu các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp Toán học ? + Hãy kiểm tra khi n = 1? + Giả sử (3) đúng khi n = k Hãy thiết lập công thức khi n = k + 1 và chứng minh công thức đó? I - Phương pháp quy nạp Toán học: * Các bước chứng minh bằng quy nạp: - Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là đúng với mọi n nguyên dương ta thực hiện như sau: + Chứng minh A(n) là một mệnh đề đúng khi n = 1 + Với k là số nguyên dương tuỳ ý, xuất phát từ giả thiết A(n) là mệnh đề đúng khi n = k. chứng minh A(n) cũng là mệnh đề dúng khi n = k + 1 2. Ví dụ áp dụng * Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có: 13 + 23 + ... + n3 = 4. Củng cố: + Cách chứng minh bằng quy nạp toán học? + Làm các bài tập sau: * Bài 1: Chứng minh rằng Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n = với n ẻ N* Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - Với n = 1 ta có S1 = đúng - giả sử đúng với n = k ³ 1, tức là: Sk = 1 + 2 + 3 + ... + k = là đẳng thức đúng. Ta phải chứng minh Sk + 1 = . Thật vậy, ta có: Sk + 1= 1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1 ) = Sk + ( k + 1 ) = + ( k + 1 ) = Hướng dẫn học sinh thực hiện từng bước quy nạp: - Thử với n =1 ? - Thế nào là đúng với n = k ? - Phải chứng minh đúng với n = k + 1 có nghĩa là chứng minh đẳng thức nào ? - Củng cố các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp 5. Về nhà: Học bài. Làm bài tập trong SGK. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Ngày soạn: Tiết 48 : Phương pháp quy nạp toán học A - Mục tiêu: - áp dụng được phương pháp quy nạp toán học vào giải toán - Hiểu rõ bản chất của phương pháp B. Phương tiện thực hiện: - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phương pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề, luyện chữa. D - Tiến trình bài học : 1. ổn định tổ chức: Lớp Ngày dạy Sĩ số 11A2 2. Kiểm tra bài cũ: * HS1: Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n ẻ N*: a) 2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = b) c) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên a) Với n = 1, ta có đẳng thức đúng Giả sử đẳng thức đúng với n = k ³ 1, tức là: 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k - 1 ) = là một đẳng thức đúng. Ta chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh: 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k - 1 ) + [ 3( k + 1 ) - 1 ] = Thật vậy: 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k - 1 ) + ( 3k + 2 ) = + ( 3k + 2 ) = = ( đpcm ) - Gọi học sinh lên bảng thực hiện bài tập đã chuẩn bị ở nhà. - Nêu câu hỏi: Nội dung của phương pháp chứng minh quy nạp Toán học ? - Hướng dẫn học sinh giải bài tập 1 phần b, c. 3. Bài mới: * Bài 1: Chứng minh rằng 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n - 1 ) = n2 với n ẻ N* ( Tổng của n số lẻ đầu tiên ) Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt - Đặt Sn = 1+3+5+...+(2n-1) Thử với n = 1: S1 = 1 = 12 đúng - Giả sử đúng với n = k ³ 1, tức là:Sk = 1+3+5+...+(2k-1) = k2 là một đẳng thức đúng. Ta phải chứng minh Sk + 1 = ( k + 1 )2 - Trả lời câu hỏi của GV: + Với n = 1 thì: 12 = 1 = + Với n = k + 1 thì ta có: 12+32+...+(2k-1)2+ (2(k+1)-1)2= - Lên bảng chứng minh tiếp. + Trình bày được: Với n = 3 thì (*) đúng. Giả sử công thức đúng với n = k tức 2k > 2k + 1. Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1: Thật vậy: 2k + 1 = 2. 2k > 2.k (do gt). Mặt khác 2.k = k + k nên: 2k + 1 =2. 2k >2.k =k+k ³k+1 - Trình bày được: + Với n = 1 ta có 12 chia hết 6 là một mệnh đề đúng + Giả sử mệnh đề đúng với n = k ³1 tức là k3 + 11k chia hết cho 6 ta phải c/m mệnh đề đúng với n = k +1 tức là: ( k + 1 )3 + 11( k + 1 ) 6. Thật vậy: ( k + 1 )3 + 11( k + 1 ) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11 = ( k3 + 11k ) + 3( k2 + k + 4 ) =(k3+11k)+3[k(k+1)+2] 6 do giả thiết quy nạp k3+11k 6, k( k + 1)+2 2 a) Lập bảng tính và so sánh để kết luận được: 3n > 8n với n ẻ N* và n ³ 3. b) Dùng PP quy nạp để chứng minh nhận định trên. - Thử với n = 3, thấy đúng. - Giả sử mệnh đề đúng với n = k ³ 3, tức là: 3k > 8k Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là 3k + 1 > 8(k + 1 ). Thật vậy: Ta có 3k + 1 = 3.3k > 3.8k = 8( k + 1 ) + 16k - 8 = 8( k + 1 ) + 8( 2k - 1 ) > 8( k + 1 ) do 8( 2k + 1 ) > 0 với mọi k ³ 3. Hướng dẫn học sinh thực hiện bài toán bằng phương pháp quy nạp, nêu được các bước quy nạp Viết được các đẳng thức: S1 = 12, Sk = k2, Sk + 1 = ( k + 1 )2 + Hãy kiểm tra khi n = 1? + Giả sử công thức đúng khi n = k. Hãy thiết lập công thức + Hãy thiết lập công thức khi n = k + 1 và chứng minh công thức đó? + Xét tính đúng sai của công thức với n = 3. + Giả sử công thức đúng khi n = k. Hãy thiết lập công thức + Hãy thiết lập công thức khi n = k + 1 và chứng minh công thức đó? - Phát vấn: Nêu các bước chứng minh quy nạp ? + Xét tính đúng sai của công thức với n = 1. + Giả sử công thức đúng khi n = k. Hãy thiết lập công thức + Hãy thiết lập công thức khi n = k + 1 và chứng minh công thức đó? - Hướng dẫn học sinh lập bảng so sánh trong các trường hợp n = 1, 2, 3, 4, 5 n 3n ? 8n 1 3 < 8 2 9 < 16 3 27 > 24 4 81 > 32 5 243 > 40 2. Một số ví dụ áp dụng * H2: Chứng minh rằng 1+3 + 5 + ... + (2n -1)=n2 với mọi số nguyên dương n. * H3: Chứng minh rằng 12 + 32 + ... + (2n - 1)2 = với mọi số nguyên dương n. * Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3 ta luôn có: 2n > 2n + 1 (*) Bài 1: Chứng minh rằng với n ẻ N* thì n3 + 11n chia hết cho 6. Bài 2: Cho 3n và 8n với n ẻ N* a) So sánh 3n và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5. b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. 4. Củng cố: + Cách chứng minh bằng quy nạp toán học? + Làm bài 4, 5, 6, 7 (SGK – T100) * Bài 1: Chứng minh rằng một đa giác lồi n cạnh ( n ³ 4 ) có thể chia thành n - 2 tam giác bằng các đường chéo không cắt nhau. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - Đọc, nghiên cứu và thảo luận theo nhóm được phân công. - Trả lời câu hỏi của giáo viên - Trình bày lời giải của bài toán - Phân nhóm học sinh, đọc nghiên cứu bài toán - Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh. - Củng cố phương pháp chứng minh bằng quy nạp * Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: với n ẻ N* Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Đặt Sn = thì ta có: S1 = là một bất đẳng thức đúng. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ³ 1, tức là ta có: Sk = là bđt đúng ta chứng minh Sk + 1= là bất đẳng thức đúng. Thật vậy: Sk + 1= = Sk - = Sk + > 1 - Hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán bằng phương pháp quy nạp - Hướng dẫn học sinh viết đúng S1. Sk, Sk+1. * Bài 3: Chứng minh rằng với n ẻ N* ta có: a) n3 + 3n2 + 5n 3 b) 4n + 15n - 1 9 Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên a) Với n =1 ta có n3 + 3n2 + 5n = 9 3 Giả sử với n = k ³ 1, ta có k3 + 3k2 + 5k 3. Ta chứng minh với n = k + 1, tức là: ( k + 1 )3 + 3( k + 1 )2 + 5( k + 1 ) 3. Thật vậy: ( k + 1 )3 + 3( k + 1 )2 + 5( k + 1 ) = k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9 = ( k3 + 3k2 + 5k ) + 3( k2 + 3k + 3) chia hết cho 3 [ vì k3 + 3k2 + 5k 3 và 3( k2 + 3k + 3) 3 ] b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1 với n = 1, S1 = 18 9 Giả sử với n = k ³ 1, ta có Sk = k4 + 15k - 1 9. Ta phải chứng minh Sk + 1 = 4k + 1 + 15( k + 1) - 19. Thật vậy Sk + 1 = 4(k4 + 15k - 1) - 45k + 18 = 4Sk - 9( 5k - 2 ) 9 ( đpcm ) - Gọi 2 học sinh lên bảng thực hiện bài tập đã chuẩn bị ở nhà - Củng cố phương pháp chứng minh bằng quy nạp * Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức x1 + x2 + ... + xn ³ n, n ẻ N*; x1, x2,,,,xn > 0 và x1.x2...xn = 1. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Với n = 1 thì x1 = 1, bất đẳng thức xảy ra dấu “ = “ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ³ 1, tức là: x1 + x2 + ... + xk ³ k, k ẻ N*; x1, x2,,,,xk > 0 và x1.x2...xk = 1. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh: x1 + x2 + ... + xk + xk + 1³ k + 1 với k ẻ N*; x1, x2,,,,xk, xk + 1 > 0 và x1.x2...xk xk + 1= 1. Thật vậy: + Nếu x1 = x2 = ... = xk = xk + 1 = 1 thì: x1 + x2 + ... + xk + xk + 1 = k + 1 > 1 đúng + Nếu k + 1 số nói trên khác 1 thì tồn tại hai số sao ch một số lớn hơn 1 còn một số nhỏ hơn 1. Không làm mất tính tổng quát, giả sử xk > 1 còn xk + 1 < 1, ta có: x1.x2...xk xk + 1=(x1.x2...xk - 1) (xk xk + 1) = 1 áp dụng giả thiết quy nạp cho k số dương: x1, x2, ... xk - 1, và (xk xk + 1) ta có bất đẳng thức: x1 + x2 + ... + xk.xk + 1 > k hay x1 + x2 + ... + xk - 1 > k - xk.xk + 1. Từ đó: x1 + x2 + ... + xk + xk + 1 > k - xk.xk + 1 + xk + xk + 1 = ( k + 1 ) + ( xk - 1 )( 1 -xk + 1) > k + 1 do ( xk - 1 )( 1 -xk + 1) > 0 - Hướng dẫn học sinh giải bài toán - Phân biệt được các bước quy nạp 5. Về nhà: - Học bài. Làm hoàn thành bài tập trong SGK và SBT> - Đọc trước bài: Dãy số. –––––––––––––––––––––––––––––––– Ngày soạn: Tiết 49 Dãy số A - Mục tiêu: - Nắm được định nghĩa, cách cho và cách biểu diễn hình học của dãy số - áp dụng được vào bài tập B. Phương tiện thực hiện: - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phương pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề, luyện chữa. D - Tiến trình bài học : 1. ổn định tổ chức: Lớp Ngày dạy Sĩ số 11A2 2. Kiểm tra bài cũ: HS: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ³ 2, ta có các bất đẳng thức: a) 3n > 3n + 1 b) 2n - n > Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên a) Với n = 2, ta có 32 = 9 > 3.2 + 1 = 7 là một bất đẳng thức đúng. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ³ 2, tức là: 3k > 3k + 1 là một bất đẳng thức đúng "k ³ 2 Ta chứng minh với n = k + 1 thì: 3k + 1 > 3( k + 1 ) + 1 =3k + 4. Thật vậy, ta có: 3k + 1 = 3.3k > 3( 3k + 1 ) ( theo gt quy nạp ) = 9k + 3 = 3k + 4 + ( 6k - 1 ) > 3k + 4 ( do k là số tự nhiên ³ 2 thì 6k -1 ³ 11 > 0 ) b) Với n = 2, ta có 22 - 2 = 2 > là một bất đẳng thức đúng. Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k ³ 2, tức là: 2k - k > là một bất đẳng thức đúng "k ³2 Ta chứng minh với n = k + 1 thì: 2k + 1 - ( k + 1 ) > . Thật vậy, ta có: 2(2k - k ) = 2k + 1 + 2k > 3 ( theo gt quy nạp ) Hay 2k + 1 - ( k + 1 ) - k + 1 > 3 Û 2k + 1 - ( k + 1 ) > k + 2 > 2 > do k ³ 2. - Uốn nắn cách trình bày của học sinh. - Củng cố về phương pháp quy nạp toán học. - Hướng dẫn thực hiện phần b) 3. Bài mới: Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Tính toán và ghi kết quả vào bảng: n 1 2 3 4 5 f(n) - Đọc, nghiên cứu phần định nghĩa về dãy số của SGK. Cho ví dụ về dãy số và đọc được số hạng tổng quát của dãy số đã cho. - Tính được: - Thực hiện yêu cầu của giáo viên. - Đọc nghiên cứu VD2 (SGK – T102) và trả lời câu hỏi của giáo viên. Đọc, nghiên cứu phần cách cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát SGK. Cho ví dụ về cách cho này. - Tịnh được: Đọc, nghiên cứu phần cách cho dãy số bằng công thức truy hồi ở trang 103 - SGK. Cho ví dụ về cách cho này. - Trả lời câu hỏi của GV? Đọc, nghiên cứu phần cách cho dãy số bằng mô tả ở trang 104 - SGK. Cho ví dụ về cách cho này. - Trình bày được: + BAMnvuông tại Mn un = AMn = ABsinABMn = 2OAsin - Hướng dẫn học sinh dùng máy tính bỏ túi để tính toán và ghi kết quả vào bảng cho sẵn. - Nhận xét tập xác định của hàm đã cho. Đặt yn = f(n) ( hay un = f(n) ) ta có các giá trị y1, y2, y3, y4, y5. - Cho học sinh đọc, nghiên cứu định nghĩa về dãy số ở trang 101 - SGK. - Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh - Nêu VD1 sau đó cho HS thực hiện VD1? + Hãy nêu và xác đinh số hạng thứ 9, 99, 999? + Hãy nêu VD về dãy số cho dưới dạng khai triển và tổng quát và tìm số hạng thứ 10, 100 của dãy đó? - Hãy nêu sự khác nhau giữa dãy số hữu hạn và dãy số vô hạn? - Hãy đọc và nghiên cứu VD2 và nêu số hạng đầu và cuối của dãy số đó. - Một dãy số được xác định khi nào? Cho VD - Cho học sinh đọc, nghiên cách cho dãy số bằng cho công thức của số hạng tổng quát ở trang 103 - Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh - Yêu cầu HS thực hiện H2? Hãy xác định số hạng thứ 33, 333? - Cho học sinh đọc, nghiên cách cho dãy số bằng công thức truy hồi ở trang 103 - Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh - Thực hiện H3? - Cho học sinh đọc, nghiên cách cho dãy số bằng mô tả ở trang 104 - Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh - Thực hiện H3? + Nhận xét gì về tam giác BAMn? + Tìm công thức của số hạng tổng quátcủa dãy số (un) I. Định nghĩa và ví dụ: Cho hàm số f(n) = với n ẻ N*. Hãy tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5). * Định nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn(hay gọi là dãy số) - Mỗi số hạng của hàm số u gọi là một số hạng của dãy số, u(1): là số hạng thứ nhất, u(2) là số hạng thứ hai.... + Kí hiệu: u = u(n) un: số hạng tổng quát của dãy. + Khai triển: u1, u2, u3... * Chú ý: Dãy số có hữu hạn số hạng: u1, u2, u3..., um u1: Số hạng đầu um: Số hạng cuối. II - Cách cho dãy số: 1 - Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát: 2. Dãy số cho bằng công thức truy hồi: 2. Diễn đạt bằng lời cách xác đinh mỗi số hạng của dãy số: 4. Củng cố: - So sánh dãy số hữu hạn và vô hạn? - Cách cho một dãy số? + Bài 1: Cho dãy số ( un) xác định bởi: a) Tính u9 và u33 ? b) Tính tổng của 33 số hạng đầu tiên và tích của 9 số hạng đầu tiên của dãy đã cho ? Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Học sinh thực hiện: Sau đó ấn = khi thấy xuất hiện D = 9 thì đọc: u9 = 19, S9 = 99 và P9 = 654729075 ấn tiếp = cho đến khi hiện D = 33 thì đọc u33 = 67, S33 = 1155 Chú ý: Có thể dùng dãy phím lặp đẻ giải bài tập này: Gán A = 3, B = 5 rồi ghi vào màn hình: C = 3B - 2A - 2: A = 3C - 2B - 2: B = 3A - 2C - 2 và ấn: = = = ... = ta được các giá trị của các số hạng u1, u2, ... , un. - Hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính để tính toán: Gán A = 3 ( số hạng u1). B = 5 ( số hạng u2 ) C = 8 ( Tổng của u1 và u2 ) D = 2 ( Biến đếm ) E = 15 ( Tích của u1 và u2 ) Ghi vào màn hình: D = D + 1: A = 3B - 2A - 2: C = C + A: E = EA: D = D+1: B = 3A - 2B -2: C = C+B: E = EB. - Củng cố khái niệm về dãy số 5. Về nhà: Học bài và hoàn thành bài tập trong SGK, SBT Ngày soạn: Tiết 50 Dãy số A - Mục tiêu: - Nắm được k/n dãy số tăng, giảm, bị chặn - áp dụng được vào bài tập B. Phương tiện thực hiện: - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phương pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề, luyện chữa. D - Tiến trình bài học : 1. ổn định tổ chức: Lớp Ngày dạy Sĩ số 11A2 2. Kiểm tra bài cũ: HS1 làm bài tập: Cho dãy ( un), biết rằng: a) Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số ? b) Viết và chứng minh công thức của số hạng tổng quát un ? n 1 2 3 4 5 un 1 HD: a) Tính 5 số hạng đầu và ghi vào bảng b) Dự đoán un = = 4 - và dùng PP chứng minh quy nạp để chứng minh: Với n = 1, ta có u1 = 4 - = 4 - 3 = 1 hệ thức đúng Giả sử hệ thức đúng với n = k ³ 1, tức là ta có: uk = 4 - là một dẳng thức đúng "k³1 Ta cần chứng minh hệ thức đúng với n = k + 1. Tức là phải chứng minh: uk + 1 = 4 - Thật vậy, theo công thức của dãy số và theo gt qui nạp, thì: uk + 1 = = = ( đpcm ) 3. Bài mới: Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt Xét hiệu un + 1- un = 1 - - 1 + = > 0 với mọi nẻ N* nên ta có un < un + 1 với mọi n ẻ N* Xét hiệu vn - vn + 1 = ( 2 - 3n ) - [ 2 - 3( n + 1 ) ] = - 1 < 0 Nên vn >vn + 1 với mọi nẻN* - TRả lời được câu hỏi của GV. - Trao đổi thảo luận và lên bảng trình bày lời giải. - Trả lời được: Khẳng định đúng: b, c, d, e. - Gọi một học sinh lên bảng thực hiện bài toán. - Thuyết trình về định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm : Dãy số đơn điệu - Dãy (un) là dãy đơn điệu tăng, dãy ( vn) là dãy đơn điệu giảm. - Nhận xét về sự tăng giảm của dãy số sau: (un) = n + 1 và (un) = - n + 1 - Nếu dãy số không tăng thì giảm. Nếu dãy số không giảm thì tăng đúng hay sai? - Hãy đọc và nghiên cứu VD6 và thực hiện H5? - Đặt vấn đề: Cho dãy số: (un) = . Tính u1 đến u9 Từ đó chứng minh un 1 - Nêu VD7 và yêu cầu HS lấy thêm một số VD khác? - Thực hiện H6 + Nhắc lại định nghĩa dãy số và chọn khẳng định đúng? III. Dãy số tăng, dãy số giảm Cho các dãy số ( un) với un = 1 - và (vn) với vn=2-3n. Chứng minh rằng: un < un + 1 và vn > vn + 1 với mọi n ẻ N* * Định nghĩa: - Dãy số (un) gọi là tăng nếu với mọi n ta có: un < un+1 - Dãy số (un) gọi là giảm nếu với mọi n ta có: un >un+1 * Chú ý: - Dãy số (un) gọi là tăng nếu với mọi n ta có: - Dãy số (un) gọi là giảm nếu với mọi n ta có: IV Dãy số bị chặn: * Định nghĩa: - Dãy số (un) gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M: nN* ta có: un M - Dãy số (un) gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m: nN* ta có: un m - Dãy số (un) gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới hay tồn tại một số M, một số m: nN* ta có: m un M 4. Củng cố: - Thế nào là dãy số tăng, dãy số giảm? dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới? dãy số bị chặn? * Bài tập 1: Chứng minh rằng dãy ( un) với un = n - 2n là dãy giảm còn dãy ( vn) với vn = nan ( a ³ 1 ) là dãy số tăng. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - Xét hiệu un + 1- un = n + 1 - 2n + 1 - n + 2n = 1 - 2n < 0 do n ẻ N* - Xét > 1 do a ³ 1 còn n ẻ N*. Suy ra: vn + 1 > vn n ẻ N* Gọi 2 học sinh thực hiện giải bài toán ( mỗi học sinh giải một phần ) Thuyết trình ( nêu ví dụ ): Không phải mọi dãy dều tăng hoặc giảm, có nhiều dãy số không đơn điệu * Bài tập 2: Cho dãy số ( un) với un = . Chứng minh rằng 0 < un < 2 "n ẻ N* Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - "n ẻ N* thì 2n - 1 > 1 > 0, nên un > 0 "n ẻ N* - Xét hiệu un - 2 = - 2 = < 0 "n ẻ N* nên ta có 0 < un < 2 "n ẻ N* - Gọi một học sinh lên bảng thực hiện bài tập. Các học sinh còn lại thực hiện giải bài tập tại chỗ - Thuyết trình định nghĩa về dãy số bị chặn trên, chặn dưới và dãy số bị chặn 5. Về nhà: - Học bài. Làm bài tập: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 (SGK – T106, 109) ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Ngày soạn: Tiết 51 Dãy số A - Mục tiêu: - Rèn luyện kĩ năng tính toán và chứng minh một dãy số là tăng, giảm, bị chặn - áp dụng được vào bài tập B. Phương tiện thực hiện: - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, thiết kế bài học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A C. Cách thức tiến hành: Phối kết hợp các phương pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề, luyện chữa. D - Tiến trình bài học : 1. ổn định tổ chức: Lớp Ngày dạy Sĩ số 11A2 2. Kiểm tra bài cũ: - HS1: Thế nào là dãy số tăng, dãy số giảm? dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới? dãy số bị chặn? - HS2: Làm bài tập: Chứng minh rằng dãy số ( un) với un = n ẻ N* là một dãy bị chặn Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - Do n ẻ N* nên un = > 0 ị un bị chặn dưới - Lại có n ẻ N* nên dãy un bị chặn trên. - Do đó dãy đã cho là dãy bị chặn - Gọi một học sinh lên bảng thực hiện bài tập. Các học sinh còn lại thực hiện giải bài tập tại chỗ - Củng cố về dãy bị chặn 3. Bài mới: Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Yêu cầu cần đạt - Trả lời được: .- Dãy số (un) tăng nếu với n thì un < un+1 hay - Dãy số (un) giảm nếu với n thì: un > un+1 hay - Trình bày được: Với n ta có: un+1 = An+1Bn+1 = = = - Trình bày được: + Với n=1 thì u1=1= 21+1 - 3 công thức đúng với n = 1. + Giả sử công thức đúng khi n = k. Ta có: uk+1 = 2uk+3 = 2(2k+1 – 3) +3 = 2(k+1)+1 – 3 Vậy (1) đúng với n N* - Trình bày được: un-1–un= <0 Mà: un = suy ra . Vậy dãy số giảm và bị chặn. - Trình bày được: un-1–un = (n+1).2n > 0,n1 nên dãy số là tăng. + Với n=1 thì u1 = 1 = 1 + (1 - 1)21 công thức đúng với n = 1. + Giả sử công thức đúng khi n = k. Ta có: uk+1 = uk + (k + 1)2k = 1 + (k – 1)2k + (k + 1)2k = 1 + k.2k+1 Vậy (1) đúng với n N* - Trình bày được: + Với n = 1 ta có u1 = 1. + Bàng quy nạp chứng minh được un = 1 với n 1. - Trình bày được; a) sn + 3 = sin(4(n + 3) – 1) = sin((4n - 1) + 2) = sin(4n – 1) = sn Vậy sn = sn + 3 với n 1. b) Có: S15 = 0 - Yêu cầu HS hệ thống lại kiến thức: dãy số là tăng, giảm, bị chặn - Trao đổi thảo luận và lập dãy số? - Lên bảng trình bày bài toán đã chuẩn bị ở nhà? + Xét tính đúng sai của công thức với n = 1. + Giả sử công thức đúng khi n = k. Hãy thiết lập công thức? + Hãy thiết lập công thức khi n = k + 1 và chứng minh công thức đó? - Dựa vào định nghĩa dãy số tăng, giảm, bị chặn. + Xét hiệu: un-1 – un? + Từ đó kết luận? - Xét hiệu: un-1 – un? + Từ đó nhận xét và kết luận? - Hãy c/m bằng quy nạp. + Xét tính đúng sai của công thức với n = 1? + Giả sử công thức đúng khi n = k. Hãy thiết lập công thức? + Hãy thiết lập công thức khi n = k + 1 và chứng minh công thức đó? - Với n = 1 công thức có đúng không? - Hãy chứng minh un = 1 với mọi n? - Tính sn + 3 so sánh với s1 - Từ đó lết luận bài tập? - Trong 15 số hạng đầu những số hạng nào bằng nhau? - Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho? A. Kiến thức: 1. Dãy số tăng, giảm 2. Dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn? B. Bài tập: * Bài 11: ( SGK – T106 ) * Bài 12: ( SGK – T106 ) Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1, un = 2un-1 +3 với n 2. Bằng phương pháp quy nạp chứng minh với n 1 ta có: un = 2n+1 – 3 (1) * Bài 14: ( SGK – T106 ) Chứng minh dãy số (un) với un = là một dãy số giảm và bị chặn. * Bài 16: ( SGK – T106 ) Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1, un+1=un+(n+1).2n với n 1. a) Chứng minh dãy số (un) là một dãy số tăng. b) Chứng minh với n 1 ta có: un = 1 + (n - 1).2n (1) * Bài 17: ( SGK – T106 ) Cho dãy số (un) với: u1 = 1, un+1 = với n 1. Chứng minh dãy số (un) là một dãy số không đổi (dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau) * Bài 18: ( SGK – T106 ) Cho