Giáo án môn Toán 11 - Chương II: Phương trình và hệ phương trình lượng giác

Chương II: Phương trình và hệ phương trình lượng giác Đ1: phương trình lượng giác cơ bản Tiết theo PPCT : Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS nắm vững khái niệm phương trình lượng giác, nghiệm của phương trình lượng giác, ghi nhớ cách xác định nghiệm và công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản. HS biết cách giải các phương trình đưa được về phương trình lượng giác cơ bản. II - Tiến hành: Hoạt động của GV Hoạt động của HS y x M' M B' B A' A O 1/2 A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiểm tra bài cũ: GV nêu câu hỏi: * Hãy xác định trên đường tròn lượng giác các cung x có (*) * Ngoài các cung vừa nêu còn cung nào thoả mãn không? O A A' B B' M M' x y I C - Giảng bài mới: GV: Ta có phương trình (*) là phương trình lượng giác ẩn x và các giá trị x vừa tìm được là nghiệm của phương trình. GV đặt câu hỏi: * Hãy nêu định nghĩa phương trình lượng giác. Cho ví dụ. HS vẽ hình và xác định trên hình vẽ. hoặc HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi. Hoạt động của GV Hoạt động của HS y x M' M B' B A' A O I * Thế nào là nghiệm của phương trình lượng giác ? giải phương trình lượng giác ? GV chính xác hoá. 1. Định nghĩa : Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác của ẩn. GV: Việc giải mọi phương trình lượng giác đều đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản là sinx = a, cosx = a, tgx = a, cotgx = a. 2. Phương trình sinx = a (1) : GV đặt câu hỏi: * Nêu tập xác định của phương trình (1). * Khi nào phương trình (1) có nghiệm? Vì sao? * Nêu cách xác định điểm ngọn của cung x có sinx = a (|a| [1). * Nhận xét về vị trí của M và M' ị Nhận xét về số đo hai cung AM và AM'. * Nêu công thức nghiệm của phương trình (1) (bằng độ và radian). GV lưu ý HS: Cần có sự thống nhất về đơn vị trong công thức nghiệm. * Nêu công thức nghiệm của phương trình (1) trong các trường hợp đặc biệt; a = 0, a = 1, a = -1. HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi. * TXĐ : D = R. *(1) có nghiệm khi |a| [1.Vì tập giá trị của hàm số sinx là: [-1;1]. * Lấy điểm I ẻ Oy sao cho : . Đường thẳng qua I và vuông góc Oy cắt đường tròn lượng giác tại M, M' thì các cung lượng giác AM và AM' có sin bằng a nên số đo của chúng là nghiệm của phương trình (1). * M và M' đối xứng nhau qua Oy nên sđAM = a + k2p , k ẻ Z thì sđAM' = p - a + k2p , k ẻ Z. x = a + k2p x = p - a + k2p * Vậy phương trình (1) có các nghiệm: với a tính bằng radian và k ẻ Z. x = a + k3600 x = 1800 - a + k3600 với a tính bằng độ. * Ta có: Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV: Vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần tìm một cung a sao cho sina = a rồi chỉ ra nghiệm theo công thức nghiệm. GV nêu và hướng dẫn HS xét ví dụ: VD1: Giải phương trình (a). VD2: Giải phương trình sinx = sin500 (b). VD3: Giải phương trình (c) GV: Trường hợp a không là giá trị đặc biệt và |a| [ 1 thì do luôn tồn tại a để sina = a nên đặt sina = a và coi như a đã biết. VD4: Giải phương trình . 3. Phương trình cosx = a (2) : GV chính xác hoá. + Nếu thì (2) vô nghiệm. + Nếu thì (2) có nghiệm: (k ẻ Z) Đặc biệt: HS giải ví dụ dựa vào công thức dưới sự hướng dẫn của GV. Đặt thì Phương trình vô nghiệm vì . HS nêu các bước tiến hành tương tự với phương trình (1) để tìm ra công thức nghiệm cho phương trình (2). y x M' M B' B A' A O Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV nêu ví dụ. VD1: Giải phương trình VD2: Giải phương trình . (m là tham số) 4. Phương trình tgx = a (3) : GV đặt câu hỏi: * Nêu tập xác định, tập giá trị của hàm số y=tgx. * Nêu cách xác định a sao cho tga = a. y x M' M B' B A' A O H t * Từ đó đưa ra công thức nghiệm cho phương trình tgx = a. * Nêu công thức nghiệm trong các trường hợp đặc biệt khi a = 0, a = 1, a = -1. GV nêu và hướng dẫn HS giải ví dụ. + Nếu thì pt vô nghiệm. + Nếu thì đặt cosa = m ta có : HS trả lời câu hỏi. * TXĐ: D = TGT: T = R. * Xác định trên hình vẽ. * Phương trình (3) có nghiệm: x = a + k2p x = p + a + k2p (k ẻ Z) x = a + kp Viết gộp là: (k ẻ Z) * Đặc biệt: HS giải ví dụ. Hoạt động của GV Hoạt động của HS VD1: Giải phương trình (*) VD1: Giải p.trình (**) 5. Phương trình cotgx = a (4) : GV chính xác hoá. TXĐ: D = Phương trình (4) có nghiệm: x = a + k2p x = p + a + k2p (k ẻ Z) x = a + kp Viết gộp là: (k ẻ Z) Đặc biệt: GV nêu ví dụ. VD1: Giải phương trình Đặt ta có: HS tiến hành các bước như đối với các phương trình đã học rồi đưa ra công thức nghiệm. y x M' M B' B A' A O K s Hoạt động của GV Hoạt động của HS VD2: Giải p.trình Đặt ta có: D - Hướng dẫn công việc ở nhà: * Xem lại lý thuyết; ghi nhớ công thức ngiệm của các phương trình lượng giác cơ bản. * Làm các bài tập 1 - 4 (SGK trang 64, 65). E - Chữa bài tập: Giải các phương trình Đề bài Đáp số Bài 1(64): Bài 2(64): với với với . Bài 3(65): Đề bài Đáp số Bài 4(65). Đ2: Một số phương trình lượng giác thường gặp Tiết theo PPCT : Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS nắm vững phương pháp và biết cách giải một số phương trình lượng giác thường gặp như: phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx bằng cách đưa về phương trình lượng giác cơ bản (theo hai cách: đại số hoá bằng cách đặt ẩn phụ và đưa về phương trình tích). II - Tiến hành: Hoạt động của GV Hoạt động của HS A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiểm tra bài cũ: GV đặt câu hỏi: 1. Nêu công thức nghiệm của các phương trình: sinx = a, cosx = a. áp dụng để giải phương trình: . 2. Nêu công thức nghiệm của các phương trình: tgx = a, cotgx = a. áp dụng để giải phương trình: . O A A' B B' M M' x y I C - Giảng bài mới: 1. Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác: GV hướng dẫn HS đưa ra phương pháp giải tổng quát thông qua ví dụ cụ thể. VD1: Giải phương trình 4sin2x + sinx - 5 = 0 GV yêu cầu HS nêu nhận xét về phương trình từ đó đưa ra phương pháp giải thích hợp. GV lưu ý HS về điều kiện của ẩn phụ và phải kiểm tra điều kiện. 2 HS lên bảng trả bài. HS nêu nhận xét và giải cụ thể. Đặt t = sinx với -1 Ê t Ê 1. Ta có phương trình: 4t2+ t- 5=0. Phương trình có hai nghiệm: (loại) Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV yêu cầu HS nêu phương pháp chung. GV chính xác hoá. Phương pháp: Đặt hàm số lượng giác có trong phương trìnhlàm ẩn phụ, tìm điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ... 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: dạng asinx + bcosx = c (1) (a, b, c ẻ R; a ạ 0; b ạ 0) a) Cách 1: GV nêu phương pháp tổng quát. Ta có: Đặt ta có phương trình: Phương trình trên là phương trình cơ bản đã biết cách giải. GV nêu ví dụ. VD: Giải phương trình 5sinx + 4 cosx = 3 (a) b) Cách 2: GV nêu phương pháp tổng quát. Theo cách đặt ta có: HS thông qua ví dụ trên để nêu ra phương pháp chung. HS theo dõi và ghi chép. HS áp dụng phương pháp vừa nêu để giải phương trình. Biến đổi phương trình về dạng: với Đặt ta có phương trình Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ta có: Đặt ta được phương trình: Phương trình trên là pt lượng giác cơ bản. GV nêu ví dụ. VD: Giải phương trình 5sinx + 4 cosx = 3 (a) GV yêu cầu HS nêu điều kiện có nghiệm của phương trình (*). Từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình (1). GV nêu thành chú ý. Chú ý: Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi c) Cách 3: GV giới thiệu cho HS cách giải thứ 3. Đặt ta có phương trình: HS theo dõi và ghi chép. HS áp dụng cách 2 giải phương trình. Ta có: Đặt ta có phương trình: Đặt ta được: HS trả lời câu hỏi. HS theo dõi và ghi chép. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn t. 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: dạng asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (2) GV giải thích tên gọi của phương trình (2), hướng dẫn HS tìm ra phương pháp giải chung thông qua ví dụ cụ thể. VD: Giải phương trình sin2x - 2sinxcosx - 3cos2x = 0 (*) GV chính xác hoá. + Cách 1: Vì không thỏa mãn phương trình (*) nên cosx ạ 0. Chia cả hai vế (*) cho cos2x ta được: + Cách 2: Ta có Phương trình trên là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x (đã biết cách giải). GV yêu cầu HS nêu phương pháp chung. GV chính xác hoá. GV nêu chú ý. * Chú ý: Xét phương trình bậc hai không thuần nhất đối với sinx và cosx dạng: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d (3) HS theo dõi và ghi chép. HS nêu các cách biến đổi phương trình (*) để đưa về phương trình đã biết cách giải. + Cách 1: chia cả hai vế cho cos2x hoặc sin2x. + Cách 2: áp dụng công thức góc nhân đôi đưa về phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x. HS đưa ra phương pháp chung. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ta có (3) Û (a - d)sin2x + bsinxcosx + (c - d)cos2x = 0 là phương trình đã biết cách giải. GV nêu ví dụ. VD: Giải phương trình 2sin2x + 5sinxcosx - 3cos2x = 2 (**) 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: GV nêu dạng tổng quát và giải thích tên gọi, hướng dẫn HS đưa ra phương pháp giải. * Dạng tổng quát: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (4) với a, b, c ẻ R. * Phương pháp giải: Đặt . Ta có: . Do đó: Giải phương trình trên tìm t, kiểm tra điều kiện rồi thay vào cách đặt để tìm x. GV nêu ví dụ. VD1: Giải phương trình sinx+ cosx+ sinxcosx = 1. HS nêu cách biến đổi phương trình (3) về dạng phương trình(2). HS giải ví dụ. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS giải ví dụ 1. Đáp số: Hoạt động của GV Hoạt động của HS VD2: Giải phương trình sinx - cosx - sinxcosx = 1. GV : phương trình này có thể giải tương tự như phương trình trên VD1 được không? Giải cụ thể. GV nêu chú ý. * Chú ý: Để giải phương trình dạng a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c ta đặt t = sinx - cosx rồi giải tương tự đối với (4). HS giải ví dụ 2. Đáp số: D - Hướng dẫn công việc ở nhà: * Xem lại lý thuyết; ghi nhớ phương pháp giải các dang phương trình lượng giác thường gặp đã nêu trong bài. * Làm các bài tập 1 - 4 (SGK trang 73). E - Chữa bài tập: Giải các phương trình. Đề bài Đáp số Bài 1(73): Bài 2(73): Bài 3(73): Bài 4(73): E - Bài tập bổ sung: Giải các phương trình. Đ3: những phương trình lượng giác khác Tiết theo PPCT : Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: Giúp HS có được các phương pháp và kỹ năng tiếp cận tiếp cận khác nhau trước mỗi bài toán giải phương trình lượng giác; nhằm đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản hoặc một số phương trình lượng giác thường gặp. II - Tiến hành: Hoạt động của GV Hoạt động của HS A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiểm tra bài cũ: GV viết các phương trình sau: O A A' B B' M M' x y I C - Giảng bài mới: GV giới thiệu cho HS các phương pháp biến đổi thường dùng đối với các phương trình lượng giác. 1. Các phương pháp biến đổi thường dùng: + Dùng công thức biến đổi tích thành tổng. + Dùng công thức biến đổi tổng thành tích. + Dùng công thức hạ bậc. + Đưa về phương trình tích. + áp dụng tính chất: + áp dụng tính chất: GV nêu chú ý: 2 phương pháp sau cùng dẫn đến việc giải hệ phương trình sẽ học ở bài sau. HS vận dụng kiến thức về các phương trình lượng giác thường gặp để giải các phương trình trên. HS theo dõi và ghi chép. Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV nêu các ví dụ. 2. Các ví dụ: Giải các phương trình. VD1: cosxcos7x = cos3xcos5x (1) GV lưu ý HS ở cách kết hợp nghiệm. VD2: sin2x + sin4x = sin6x (2) GV lưu ý HS sai lầm dễ mắc là chia cả hai vế cho sin3x. GV hướng dẫn HS cách kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác. VD3: (3) VD4: (4) HS lựa chọn phương pháp biến đổi thích hợp để giải các ví dụ. VD1. Ta có: VD2. Ta có: VD3. Ta có: VD4. Ta có: Hoạt động của GV Hoạt động của HS Vậy phương trình (4) có nghiệm: D - Hướng dẫn công việc ở nhà: * Xem lại các ví dụ. * Làm các bài tập 1 - 4 (SGK trang 77). E - Chữa bài tập: Giải các phương trình. Đề bài Đáp số Bài 1(77): d) Đk: ị Nghiệm: Đề bài Đáp số Bài 2(77): Bài 3(77): Bài 4(77): a) Đk: . Nghiệm: . b) Đk: . Nghiệm: . c) Đk: ị Nghiệm: . Đ4: sơ lược về hệ phương trình lượng giác Tiết theo PPCT : Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS biết cách giải các hệ phương trình lượng giác một ẩn (có kỹ năng kết hợp nghiệm bằng đường tròn lượng giác), biết cách giải một số hệ phương trình lượng giác hai ẩn đơn giản. II - Tiến hành: Hoạt động của GV Hoạt động của HS A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiểm tra bài cũ: GV đặt câu hỏi: 1. Thế nào là một hệ phương trình, hệ phương trình một ẩn? 2. Thế nào là nghiệm của một hệ phương trình? O A A' B B' M M' x y I C - Giảng bài mới: 1. Hệ phương trình lượng giác một ẩn: GV chính xác hoá. ĐN: * Hệ phương trình lượng giác ẩn x là hệ phương trình trong đó chứa các hàm số lượng giác của x. * Số x0 được gọi là nghiệm của hệ nếu x0 là nghiệm mọi phương trình trong hệ. GV nêu các cách giải thường dùng. Cách giải: * Cách 1: Giải từng phương trình trong hệ rồi tìm nghiệm chung của các phương trình đó. * Cách 2: Giải một phương trình đơn giản nhất của hệ rồi thay nghiệm tìm được vào các phương trình còn lại để tìm nghiệm của hệ. GV nêu và hướng dẫn HS giải ví dụ (có thể theo cả hai cách). VD1. Giải hệ phương trình: HS tái hiện kiến thức và trả lời câu hỏi. HS nêu định nghĩa hệ phương trình lượng giác một ẩn và nghiệm của hệ. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS giải ví dụ 1 theo cả hai cách. Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV nêu chú ý. Chú ý: Các tham số nguyên của mỗi pt trong hệ phải khác nhau. GV nêu ví dụ 2. VD2: Giải phương trình (*) * Cách 1: - Giải (1) ta được: - Giải (2) ta được: . Ta thấy (a) bị chứa trong (c) khi l = 2k. còn không có giá trị nào chung với (c). Vậy nghiệm của hệ phương trình là: * Cách 2: - Giải (1) ta được: - Thay vào (2) ta thấy (a) luôn thoả mãn (2) còn (b) không thoả mãn (2) "k ẻ Z. Vậy nghiệm của hệ phương trình là: HS theo dõi và ghi chép. HS giải ví dụ 2 bằng cách đánh giá hai vế dựa vào tính chất của các hàm số lượng giác, đưa về giải hệ phương trình. Vì cos2x 1 nên 2cos2x 2. Vì sin2x 0 nên 3sin25x + 2 2. Do đó (*) Phương trình (*.a) có nghiệm x = kp (kẻ Z) Thay vào (*.b) ta thấy thoả mãn. Vậy nghiệm của (*) là: x = kp (k ẻ Z) Hoạt động của GV Hoạt động của HS 2. Hệ phương trình lượng giác hai ẩn: a) Hệ phương trình lượng giác chứa một phương trình đại số bậc nhất đối với hai ẩn. Cách giải: biểu thị một ẩn qua ẩn kia và thay vào phương trình còn lại. GV nêu ví dụ. VD1: Giải hệ phương trình b) Hệ phương trình lượng giác mà tất cả các phương trình đều là phương trình lượng giác. VD2: Giải hệ phương trình (II) HS theo dõi và ghi chép. HS giải ví dụ theo phương pháp vừa nêu. Từ thay vào (I.b) ta được Vậy hệ có nghiệm: HS nêu nhận xét về hệ phương trình từ đó có phương pháp giải thích hợp. Hoạt động của GV Hoạt động của HS VD3: Giải hệ phương trình (III) Ta có tgx và tgy là hai nghiệm của phương trình: (*) Phương trình (*) có nghiệm: . Do đó: D - Hướng dẫn công việc ở nhà: Xem lại các ví dụ. Làm các bài tập 1 - 3 (SGK trang 82, 83). E - Chữa bài tập: Giải các phương trình và hệ phương trình. Đề bài Đáp số Bài 1(82): Bài 2(82): Đề bài Đáp số Bài 3(83): với c) Vô nghiệm. ôn tập chương II Tiết theo PPCT : Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS nhớ lại một cách có hệ thống các kiến thức đã học trong chương II: các phương trình lượng giác cơ bản, các phương trình lượng giác thường gặp, các phương trình lượng giác khác và sơ lược về hệ phương trình lượng giác. HS nhận dang được phương trình lượng giác để lựa chọn phương pháp giải thích hợp. II - Tiến hành: A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiến thức cần nhớ: HS tự hệ thống lại các kiến thức trọng tâm đã học trong chương II: + Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản. + Phương pháp giải các loại phương trình lượng giác thường gặp. + Các phương pháp giải các phương trình lượng giác khác. + Sơ lược về hệ phương trình lượng giác. C - Chữa bài tập: Đề bài Hướng dẫn - Đáp số Bài 1(83). Giải các phương trình: Đề bài Hướng dẫn - Đáp số Bài 2(83). Giải các phương trình: Bài 3(83). Giải các hệ phương trình: Bài 4(84). Giải các hệ phương trình: b) Vô nghiệm.