Giáo án môn Toán 11 - Phương trình và hệ phương trình lượng giác

Phương trình và hệ PT lượng giác Một số kiến thức cần nhớ 1. Các công thức biến đổi lượng giác a) Công thức cộng: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb ( ) 1 tga tgb tg a b tgatgb     b) Công thức nhân đôi, nhân ba cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1- 2sin2a; sin2a = 2sinacosa; 2 2 2 , 2 4 21 tga tg a a k a k tg a                3 3sin3 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos ;a a a a a a    c) Công thức hạ bậc 2 21 cos 2 1 cos 2cos ; sin ; 2 2 a a a a     d) Công thức chia đôi Đặt  2 2 x t tg x k    . Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; 1 1 1 t t t x x tgx t t t        ; e) Công thức biến đổi * Đổi tích thành tổng:       1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b             * Đổi tổng thành tích: cos cos 2cos cos ; 2 2 cos cos 2sin sin ; 2 2 sin sin 2sin cos ; 2 2 sin sin 2 cos sin ; 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b                  f) Một số công thức hay dùng: sin cos 2 sin 2 cos 4 4 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x x x x x                                      1 1 ; ; 4 1 4 1 tgx tgx tg x tg x tgx tgx                   2. Một số phương trình lượng giác thường gặp a) phương trình lượng giác cơ bản: + sinx = a 1 2 1 (sin ) 2 PTVN PT có ngh a x k a a x k               + cosx = a 1 1 2 (cos ) PTVN PT có ngh a a x k a         + tgx = a ĐK: 2 x k    , x = k  (tg = a). + cotgx = a, ĐK: x k , x = k  (cotg = a). b) Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. * Phương trình bậc nhất:   ( ) ( ) 2 sin ( ) sin ( ) ; ( ) ( ) 2 cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ; cos ( ) cos ( ) cos ( tg tg cotg cotg f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x f x g x f x                                           ) cos ( ) ; sin ( ) cos ( ) sin ( ) ; 2 g x f x g x g x             * Phương trình bậc 2: 2sin sin 0a x b x c   đặt t = sinx ( 1t  ). 2cos cos 0a x b x c   đặt t = cosx ( 1t  ). 2 2 0; 0; atg x btgx c acotg x bcotgx c       Ví dụ: 2.ẹHNHaứng. 5 cos2 4cos 0 2 x x   c) Phương bậc nhất đối với sinx và cosx. asinx + bcosx = c. Cách giải: + Cách 1: chia cả hai vế cho 2 2a b ; đặt: 2 2 2 2 cos , sin a b a b a b      ta được PT: 2 2 sin( ) c x a b    ; *) Chú ý: Phương trình có nghiệm  2 2 2c a b  . + Cách 2: Đặt b tg a   ta được phương trình: sin( ) cos c x a    . Ví dụ: ẹHHueỏ 99. 3sin 2 cos 2 2x x  d) Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx 2 2sin sin cos cosa x b x x c x d   Cách giải: * Cách 1: Thử với cos2x = 0  sinx =  1 nếu nghiệm đúng pt thì đặt cosx làm thừa số chung. Với cos2x  0 chia cả hai vế cho cos2x ta được: atg2x + btgx + c = d(1 + tg2x). * Cách 2: Hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x. Ví dụ:ẹHVLang 96D. 2 22 cos 5sin cos 6 sin 1x x x x   e) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx *) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c Đặt sinx + cosx = t, điều kiện 2t  2 21 2 2 0 2 t at b c bt at b c              * Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c Đặt sinx - cosx = t, điều kiện 2t  2 21 2 2 0 2 t at b c bt at b c              . Ví dụ .HVCTQG.00:  2sin 2 2 sin cos 1 0x x x    3. Một số phương pháp thường dùng khi giải các phương trình lượng giác: + áp dụng các hằng đẳng thức; + áp dụng các công thức biến đổi; + Đổi biến số, đặt ẩn phụ; + Biến đổi về tích bằng 0; + Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y = sinx; y = cosx, dùng đạo hàm; + Biến đổi về tổng bình phương bằng 0. 4. Các ví dụ: Giải các phương trình sau: Bài 1: x x tgxgx 2sin 4cos.2 cot  . ĐS: 3 x k     . Bài 2: )1(sin 2 1 3 2 cos 3 cos 22              xxx  ĐS: 5 ; 2 ; 2 6 6 x k x k x x k           . Bài 3: 2 sin 2sin 2sin sin 2 2 2 2  x x x x . ĐS: 2 2 ; 2 3 3 x k x x k           . Bài 4: 8 1 3 . 6 3cos.cos3sin.sin 33                 xtgxtg xxxx HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1 AD công thức nhân 3 ĐS: 6 x k     . Bài 5: 0cos.6)sin.2(3  xxtgxtgx HD: Biến đổi theo sin và cos.ĐS: 3 x k     . Bài 6: 3. 6sin 2sin( ) (1) 2 2sin 6sin( ) (2) 2 y tg x y x y tg x y x           HD: nhân (1) với (2) rút gọn y y tg 22 sin4 2  . đặt 2 y t tg         t = 0, t = 3 . Bài 7: xxxxxx cos13sin. 2 1 sin.4cos2sin.3cos  HD : BĐ tích thành tổng rút gọn. Bài 8: 2 1 5cos4cos3cos2coscos  xxxxx HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú ý xét trường hợp bằng 0. Nhận xét: Trong bài toán chứa tổng nxxxT nxxxT sin..2sinsin cos..2coscos   thực hiện rút gọn bằng cách trên. Bài 9: )cos.sin2(cos3sin.2sin. 22 xxxxxtgx  HD: BĐ về dạng: 2 2(sin cos )(sin 3cos ) 0x x x x   5. Một số phương trình có tham số: Bài 1. Tìm m để pt: sin2x + m = sinx + 2mcosx có đúng 1 nghiệm 3 [0; ] 4 x   . HD: PT  (sinx - m)(2cosx - 1) = 0. Bài 2. Tìm m để phương trình: (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos2x có đúng 2 nghiệm x  [0; ]. HD: PT  (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0. Bài 3. Tìm m để pt: mcos22x - 4sinxcosx + m - 2 = 0 có nghiệm x  [0 ; /3]. Bài 4: Cho phương trình 02sin24cos)cos.(sin2 44  mxxxx Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn 0; 2      .HD: [-10/3;-2] Bài 5: Cho phương trình 3cos2sin 1cossin2    xx xx a 1) Giải phương trình khi a=1/3. 2) Tìm a để phương trình có nghiệm. HD: Đưa về dạng (2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1 ĐS [-1/2,2] Bài 6: Tìm nghiệm trong khoảng (0, )        4 3 cos212cos.3 2 sin4 22  xx x PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAÙC -Đề thi đại học I.Phửụng trỡnh ủửa veà pt moọt haứm soỏ lửụùng giaực. 1.ẹHẹNaỹng 97. cos2 3cos 2 0x x   2. ẹHQGHN 97D. 2 cos2 5sinx x   3. ẹH CSND 99. 21 5sin 2cos 0x x   4. ẹHYHP97. 2cos 2 sin 2cos 1 0x x x    5.ẹHHueỏ 2001. 4 4 1sin cos sin 2 2 x x x   6.ẹHCẹoaứn 2001. 4 4sin cos 1 2sin 4 4 x x x   7.ẹHBK 96. 4 4sin cos cos2x x x  8.HVBCVTHCM 2001. 6 6sin cos sin 2x x x  9. ẹHQGHN 98. 6 6 213cos sin cos 2 8 x x x  10. ẹHHueỏ 99. 6 6 7sin cos 16 x x  11.CẹSPNHaứ 97. 2 32 3 cos tg x x    12.ẹHNHaứng 2000. 1 3 2sin 2tgx x  II.Phửụng trỡnh baọc nhaỏt ủoỏi vụựi sin x vaứ cos x 13.ẹHHueỏ 99. 3 sin 2 cos 2 2x x  14.ẹHKTeỏ 97. cos 7 3 sin 7 2x x   15.ẹHMT 96. cos7 .cos5 3sin2 1 sin7 sin5x x x x x   16.ẹHBPhoứng 97. sin 2 sin 1 4 x x         III.Pt ủaỳng caỏp baọc hai ủoỏi vụựi sin x vaứ cos x . 17.ẹHCNghieọp HCM 00. 2 2cos 3 sin 2 1 sinx x x   18.ẹHTSaỷn NT 00. 2 2cos sin cos 2sin 1 0x x x x    19.ẹHCThụ 97D. 2cos 3 sin cos 1 0x x x   20.ẹHGT 01.   22 2 sin cos cos 3 2 cosx x x x   21.ẹHDLẹẹoõ 97A.  cot 2 sin 2 cos 2tgx gx x x   IV.Phửụng trỡnh ủoỏi xửựng vụựi sin x vaứ c o s x 22.ẹHHueỏ. sin cos 2sin 2cos 2x x x x   23.ẹHDLHVửụng 97. sin cos 2 sin 2 0x x x   24.HVCTQG.00:  2sin2 2 sin cos 1 0x x x    25.CẹLẹXH 97: cos sin 1 sin 2 0x x x    26.ẹHKTCN 96:  sin2 12 sin cos 12 0x x x    27.ẹHDLẹẹoõ 96B:  sin2 4 cos sin 4x x x   28.ẹHNNgửừ 00. sin 2 2 sin 1 4 x x         29.ẹHMoỷ 99. 1 2 2 sintgx x  30.ẹHQGHNoọi 97A. cos sin cos sin 1x x x x   31. sin cos sin 2 1x x x   32.ẹH 89. cos sin 2sin 2 1x x x   33.ẹHNNgửừ HN 97. cot sin cosgx tgx x x   34. ẹHY Hnoọi 2001: 3 3cos sin cos 2x x x  35.ẹHQG HCM 2000: 3 3c o s s in 1x x   36.ẹHCSND 2000 : 3 3cos sin 2sin 2 sin cosx x x x x    6. Các bài tập luyện tập: 1) 2 1 3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos  xxxxxx . 2) 2cos.3sincos.3sin  xxxx . 3) x x x x cos 1 3cos.2 sin 1 3sin.2  . 4) x x xg 2sin 2cos1 2cot1 2   . 5) 2)1.2(cos2cos 2  xtgxx . 6) 03cos2cos84cos3 26  xx . 7) 1 1cos2 3sin 42 sin2cos)32( 2          x x x x  . 8) 02cos2sincossin1  xxxx . Một số đề thi từ năm 2002 1) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0; 2 của phương trình 32cos 2sin21 3sin3cos sin5          x x xx x . KA 2002 2) Giải pt x xx xtg 4 2 4 cos 3sin)2sin2( 1   (DB 2002) 3) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0; 2 của phương trình x xtgxxg 2sin 2 2sin42cot  KB 2003 4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng  0;14 của pt cos 3 4 cos 2 3cos 4 0x x x    KB 2003 5) Giải phương trình 4 4sin cos 1 1 cot 2 5sin 2 2 8sin 2 x x g x x x    DB 2002 6) Giải phương trình 2cos cos sin 1 . 2 x tgx x x x tgx tg          (DB 2002) 7) Cho phương trình 2sin cos 1 (1) sin 2cos 3 x x a x x      a) Giải phương trình (2) khi 1 3 a  b) Tìm a để phương trình có nghiệm 8) Giải phương trình 2 1 sin 8cos x x  (DB 2002) 9) Giải phương trình 2 cos 2 1 cot 1 sin sin 2 1 2 x gx x x tgx      (KA 2003) 10) Giải phương trình  3 2sin 6cos 0tgx tgx x x    (DBKA 2003) 11) Giải pt  2cos 2 cos 2 1 2x x tg x   (DBKA 2003) 12) Giải phương trình 6 23cos 4 8cos 2cos 3 0x x x    (DBKB 2003) 13) Giải phương trình   22 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1 x x x           (DBKB 2003) 14) Giải phương trình 2 2 2sin . cos 0 2 4 2 x x tg x               (KD 2003) 15) Giải pt     2cos cos 1 2 1 sin cos sin x x x x x     (DBKD 2003) 16) Giải phương trình 2sin 4 cot sin 2 x gx tgx x   (DBKD 2003) 17) Giải pt   25sin 2 3 1 sin tx x g x   (KB 2004) 18) Giải phương trình :   2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x    KB 2004. 19.Giải phương trình(Đề CT- khối A năm 2008) : 1 1 7 4sin . 3sin 4 sin 2 x x x                20. (Đề CT- K B - 08)Giải phương trình : sin3- 3 cos3x = sinxcos2x - 3 sin2xcosx. 22. (Đề CT- K D - 08) Giải phương trình : 2sinx(1+cos2x) +sin2x= 1+2cosx. 23. (KA - 07)Giải phương trình : ( 1 + sin2x) cosx + ( 1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 24. (KB - 07)Giải pt : 2sin22x +sin7x -1 = sinx 25. (KD - 07)Giải pt: 2 sin cos 3cos 2 2 2 x x x         26. (DBKA - 07)Giải pt: Sin2x +sinx - 1 1 2cot 2 2sin sin 2 g x x x   . 27.(DBKA - 07)Giải phương trình: 2 cos2 x + 2 3 sin x cos x +1= 3( sin x + 3 cos x) 28. (DBKB - 07)Giải phương trình : 5 3 cos 2 cos 2 4 2 4 2 x x x Sin                 29.(DBKB - 07)Giải pt: x x cos 2sin + x x sin 2cos = tgx- cot gx . 30. (DBKD - 07)Giải pt: 2 2 sin        12  x cosx = 1. 31. (DBKD - 07)Giải pt : (1– tgx)( 1+ sin2x) = 1+tgx. 32.(KA - 06)Giải phương trình : 6 62(cos sin ) sin cos 0 2 2sin x x x x x     33. (DBKA - 06)Giải phương trình : cos3x cos3x - sin3x.sin3x = 2 3 2 . 8  34. (DBKA - 06)Giải pt : 2sin(2x- ) 6  +4 sinx +1 = 0. 35. (KB - 06) Giải pt : cotgx + sinx 4 2 .1        x tgtgx 36. (DBKB - 06) ( 2sin2x - 1)tg22x + 3(2cos2x - 1) = 0. 37. (DBKB - 06) Giải phương trình : cos2x +( 1+2cosx) (sinx - cosx) = 0. 38. (KD - 06) Giải pt : cos3x +cos2x - cosx -1 = 0 39. (DBKD - 06) Giải pt: cos3x +sin3x +2sin2x = 1. 40. (DBKD - 06) : 4sin3x +4sin2x +3sin2x +6cosx = 0. 41. (KA - 05) Giải pt : Cos23x cos2x - cos2x = 0. 42. (DBKA - 05)Giải phương trình : 32 2 cos x 3cosx sinx 0. 4          43. (DBKA - 05)Giải pt : 3 sin xtg x 2. 2 1 cosx         44.(KB - 05) : 1 + sinx + cosx + sin2x +cos2x = 0. 45. (DBKB - 05) : sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0. 46.(DBKB-05) xsin cos x cos x .2 2 3 4 3 2 1 2 2 4 π         47.(KD - 05) cos4x +sin4 +cos(x - 4 π )sin(3x- 4 π ) - 3 2 = 0. 48. (DBKD - 05)sinxcos2x +cos2x(tg2x-1) +2sin3x = 0. 49. (DBKD - 05)Giải phương trình : π cos x tg x tg x . cos x 2 2 2 1 3 2         50.Giải phương trình: 4( sin3x +cos3x) = cosx +3sinx. 51. . (KA - 09) Gpt (1 2sin x)cos x 3 (1 2sin x)(1 sin x)     . 52.(KB-09)Gpt. 3sinx cosxsin2x 3cos3x 2(cos4x sin x    53. .(KD-09)Gpt. 3 cos5x 2sin 3x cos2x sin x 0   54.(CD--09) 2(1 2sin x) cos x 1 sin x cos x   