Giáo án Môn Toán học 11 (chuẩn kiến thức) - Sử dụng phần mềm geometers sketchpad trong bài toán quỹ tích

Sử dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad trong bài toán quỹ tích Trần Tình Những năm gần đây có rất nhiều phần mềm hình học động được ứng dụng trong dạy và học Hình học như Cabri Geometry, Euclide, Geometry Expert, Geometer’s Sketchpad… Phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP) là một trong những phần mềm được đông đảo giáo viên (GV) và học sinh (HS) sử dụng. GSP là phần mềm có các công cụ tạo đối tượng của hình học như điểm, đường thẳng,... được thể hiện bằng các nút, hình vẽ và lệnh đơn giản rất gần gũi với người sử dụng. GSP thể hiện được mối quan hệ hình học giữa các đối trong một bài toán ở trạng thái động và tĩnh. Trong khuôn khổ bài viết này tôi chỉ giới hạn sử dụng GSP ở bước hỗ trợ HS dự đoán quỹ tích và kiểm tra kết quả quỹ tích thông qua hai ví dụ. GV có thể mở rộng bài toán 3, 6 trang 38, 39 sách giáo khoa Hình học 11 Cơ bản như sau: Ví dụ 1. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của . Hình 1a Hướng dẫn giải. Cách 1. (GSP và phép tịnh tiến). - HĐ 1. HS dùng thước và compa vẽ hình. Hình 1b HS dùng thước và compa vẽ hình, thay đổi vị trí của đỉnh A trên đường tròn (O) rồi xác định lại trực tâm tam giác ABC. Nhìn vào hình 1a HS dự đoán được quỹ tích không phải là là đoạn thẳng hay đường thẳng mà có thể là một cung tròn hay một đường tròn. Để HS dự đoán một cách chính xác hơn thì giáo viên (GV) có thể giúp HS thông qua Hđ2 sau. - HĐ 2. Sử dụng GSP vẽ hình và dự đoán quỹ tích. Trợ giúp HS trong HĐ này GV có thể sử dụng GSP như sau: Đặt thuộc tính Trace cho điểm H; Dùng chuột hoặc vào Display\Animate cho điểm A chuyển động trên đường tròn (O). HS quan sát trên màn hình (hình 1b) thấy vết mà điểm H để lại có hình dạng là một đường tròn và có thể bằng đường tròn (O). Do vậy HS tin tưởng vào dự đoán quỹ tích của H là một đường tròn bằng (O), từ đó liên hệ đến một số phép biến hình đã học, phép biến hình nào biến đường tròn thành đường tròn bằng nó. - HĐ 3. Hướng dẫn HS kẻ đường phụ. Hình 1c Để nhìn nhận bài toán được rõ hơn, GV gợi ý cho HS kẻ đường kính CC’. Khi đó HS tìm cách liên kết với một số điểm liên quan như nối C’ với A và C’ với B . Nếu HS vẫn còn gặp khó khăn, GV gợi ý tiếp trong các phép biến hình biến đường tròn thành đường tròn bằng nó thì ở đây ta dự định áp dụng phép biến hình nào? Nếu như áp dụng bằng phép tịnh tiến chẳng hạn thì ta cần tìm yếu tố gì? Từ những gợi ý trên HS tìm cách chỉ ra một véc tơ cố định mà có thể qua phép tịnh tiến véc tơ đó biến đường tròn (O) thành quỹ tích của H. Thật vậy do Tứ giác AHBC’ là hình bình hành, nên . Khi đó ; mà từ đó suy ra . (với (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo véc tơ ). - HĐ 4. Chỉ ra giới hạn quỹ tích điểm H. GV yêu cầu HS tìm giới hạn quỹ tích? Có thể gợi ý bằng cách hỏi HS trường hợp đặc biệt khi A trùng vào B hoặc C thì có tồn tại trực tâm H hay không? Dùng GSP cho điểm A trùng vào B rồi trùng vào C. Dẫn đến quỹ tích H là là phần đường tròn (O’) bỏ đi hai vị trí không tồn tại H. Trong cách giải trên ta thấy được hiệu quả của việc sử dụng GSP vào việc hỗ trợ HS dự đoán quỹ tích điểm H. Đối với cách 2 sau đây thì GSP lại được sử dụng vào việc kiểm tra kết quả chứng minh. Cách 2. (GSP và phép đối xứng tâm). Hình 1d GV vẫn hướng dẫn HS thực hiện một số các HĐ như cách 1 (Hình 1d), song ở HĐ 2 thì hướng HS áp dụng phép đối xứng tâm để giải. Vì vậy HS phải tìm cách chỉ ra một điểm nào đó cố định làm tâm. GV có thể gợi ý cho HS vẽ đường kính AA’. Khi đó HS thử nối một số điểm lại và nhận thấy tứ giác BHCA’ là hình bình hành. Do B, C cố định nên trung điểm I của đoạn BC là cố định. Nên HS suy ra H là ảnh của A’ qua phép đối xứng tâm I. Lại vì với mỗi điểm A thuộc (O) thì tương ứng với duy nhất một điểm A’ thuộc (O) và ngược lại. Nên tập hợp điểm H sẽ là phần đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm ĐI. GV dùng GSP để HS kiểm tra lại lời giải: Kích đúp chuột vào điểm I để xác định I là tâm đối xứng; dùng công cụ Point tool đánh dấu đường tròn (O); Vào Transform\Reflect để vẽ ảnh (O’). Tiếp theo dùng chức năng đưa ra quỹ tích của GSP như sau: lần lượt đánh dấu điểm H và A bằng thuộc tính Point tool và sau đó vào Construct\Locus thì quỹ tích H sẽ hiện trên màn hình là một đường tròn trùng với (O’) trên. Giới hạn của H thực hiện tương tự các bước cách 1. Cách 3. (GSP và tích các phép biến hình). Hình 1e GV có thể hướng dẫn HS dựng đường thẳng d đi qua tâm O vuông góc với AH. Gọi (hình 1e). Sử dụng GSP cho A di chuyển trên (O). HS quan sát và nhận xét vị trí của A và A2 so với đường thẳng d; Nhận xét vị trí của H và A2 so với đường BC. Không khó khăn HS phát hiện ra A và A2 đối xứng nhau qua đường thẳng d; H và A2 đối xứng nhau qua đường BC. Từ đó HS nghĩ đến việc thực hiện liên tiếp hai phép đối trục: Đd: và ĐBC: . Hay tức là phép ĐBC.Đd: . (giới hạn quỹ tích H tương tự các bước ở cách 1) Qua ví dụ trên HS thấy được đối với một bài toán ta có thể áp dụng nhiều cách giải và việc vận dụng phần mềm GSP cũng không hoàn toàn như nhau. Ví dụ 2. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O). Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác ABC. Hướng dẫn giải. - HĐ 1. HS dùng thước và compa vẽ hình. Hình 2a HS dùng thước và compa vẽ hình, thay đổi vị trí của đỉnh A trên đường tròn (O) rồi xác định lại trọng tâm tam giác ABC. Nhìn vào hình 2a HS dự đoán được quỹ tích không phải là là đoạn thẳng hay đường thẳng mà có thể là một cung tròn hay một đường tròn. Để HS dự đoán một cách chính xác hơn thì giáo viên (GV) có thể giúp HS thông qua Hđ2 sau. - HĐ 2. Sử dụng GSP vẽ hình và dự đoán quỹ tích. Hình 2c Hình 2b Sử dụng công cụ Compass tool vẽ đường tròn (O); Dùng công cụ Point tool lấy các điểm B, C bất kì và lấy A trên (O); Đánh dấu các điểm A, B, C và vào Construct\Segment (hoặc Ctrl + L) để nối các các đỉnh của tam giác ABC; Đánh dấu cạnh BC và vào Construct\Midpoint (hoặc Ctrl +M) để lấy trung điểm M của BC; tương tự lấy trung điểm N của AC; Vào Construct\Segment vẽ đường trung tuyến AM và BN; dùng công cụ Point tool xác định trọng tâm G; Gán cho G thuộc tính Trace trong Display; Đánh dấu điểm A và dùng chuột hoặc vào Display\Animate để cho điểm A di chuyển trên (O) (Hình 2b, c). HS quan sát trên màn hình GSP thấy khi A di chuyển trên toàn bộ đường tròn (O) thì G di chuyển để lại vết là một hình tròn bé hơn. Do vậy HS tin tưởng vào dự đoán quỹ tích của G là một đường tròn. - HĐ 3. Tìm phép biến hình tương ứng. GV có thể gợi ý cho HS xem xét các phép biến hình vừa học, phép nào có thể biến đường tròn thành đường tròn nhưng kích thước có thể khác. HS chỉ ra đó có thể là phép vị tự hoặc phép đồng dạng. Ta coi phép đồng dạng là trường hợp riêng của phép vị tự. Như thế HS nghĩ đến việc áp dụng phép vị tự để giải bài tập này. Từ đó HS tìm xem phép vị tự nào phù hợp. Do quan sát được khi đỉnh A thay đổi trên màn hình thì điểm M cố định và hơn nữa . HS lựa chọn phép vị tự . - HĐ 4. Sử dụng phép vị tự suy ra quỹ tích. HS thực hiện giải: Nhận thấy trung điểm M của BC là cố định, và do G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có . Suy ra , mà nên . - HĐ 5. Sử dụng GSP kiểm tra quỹ tích. GV lần lượt đánh dấu đối tượng là điểm G và điểm A bằng lệnh Point tool sau đó thực hiện lệnh Construct\Locus thì GSP sẽ hiện thị trên màn hình quỹ tích G là một đường tròn. Một số bài toán vận dụng. Bài toán 1. Giải ví dụ 1 trên bằng phép đối xứng trục. Bài toán 2. Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Tìm tập hợp điểm M trong tam giác sao cho ảnh của M trong các phép đối xứng tâm ĐA’, ĐB’, ĐC’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài toán 2. Cho hai đường thẳng a, b và đường tròn (O). Với mỗi điểm M thuộc (O). Gọi N là điểm đối xứng với M qua a, điểm P đối xứng với N qua b và điểm Q đối xứng với P qua a. Tìm tập hợp điểm Q khi M thay đổi trên (O). Bài toán 4. Cho đường tròn (O) và đoạn AB cố định. Trên đường tròn (O) ta lấy hai điểm C, D sao cho CD có độ dài không đổi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Tìm tập hợp trung điểm của đoạn MN khi C, D thay đổi trên (O). Kết luận. Qua ví dụ trên chúng ta thấy phần mềm GSP không thay thế cho tư duy của HS mà chỉ tạo nên môi trường ở đó việc kiểm tra các phỏng đoán trở thành một khoa học thực nghiệm. HS đóng vai trò như là một nhà khoa học: quan sát, theo dõi, thao tác, dự đoán, kiểm tra và phát triển các dự đoán cũng như đi tìm lời giải. Chính môi trường này đã kích thích ở HS trí tò mò, ham hiểu biết, gợi động cơ tìm hiểu, khám phá đối tượng hình học.Từ đó giúp HS chủ động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận và chiếm lĩnh tri thức trong học tập hình học.