Giáo án môn Toán khối 11 - Các bài toán về áp dụng nhị thức Niuton để tính tổng

Ôn thi ðH –Cð - 1 - CÁC BÀI TOÁN VỀ ÁP DỤNG NHỊ THỨC NIUTON ðỂ TÍNH TỔNG Bài 1. Tính tổng: 1 2 3 n1 n n n nS 1.C 2.C 3.C ... n.C= + + + + Giải: Trước hết ta chứng minh: k k 1n n 1k.C nC (*)−−= , với *k, n , k n∈ ≤ℕ Thật vậy, ta có: k k 1 n n 1 n! (n 1)!k.C k. n. n.C k!.(n k)! (k 1)!.[(n 1) (k 1)]! − − − = = = − − − − − □ . Áp dụng (*) với k 1, 2,..., n= ta có: 1 0 n n 11.C nC −= 2 1 n n 12.C nC −= ..................... n n 1 n n 1n.C n.C − − = Cộng vế theo vế các ñẳng thức trên ta ñược: 0 1 n 1 n 1 1 n 1 n 1 n 1S n.(C C ... C ) n.2− −− − −= + + + = Vậy n 21S n.2 − = . Bài 2. Tính tổng: ( )2 3 n2 n n nS 1.2.C 2.3.C ... n 1 n.C= + + + − Giải: Trước hết ta chứng minh: k k 1n n 1k.C nC (*)−−= , với *k, n , k n∈ ≤ℕ Thật vậy, ta có: k k 1 n n 1 n! (n 1)!k.C k. n. n.C k!.(n k)! (k 1)!.[(n 1) (k 1)]! − − − = = = − − − − − □ . Áp dung (*) ta có: k k 1 k 1 k 2 n n 1 n 1 n 2(k 1).k.C (k 1).nC n.(k 1).C n(n 1)C− − −− − −− = − = − = − Vậy: k k 2n n 2(k 1).k.C n(n 1)C (**)−−− = − Áp dụng (**) với k 2,3,..., n= ta có: 2 0 n n 21.2.C n(n 1)C −= − 3 1 n n 22.3.C n(n 1)C −= − ..................... n n 2 n n 2(n 1)n.C n(n 1)C −−− = − Cộng vế theo vế các ñẳng thức trên ta ñược: 0 1 n 2 n 2 2 n 2 n 2 n 2S n(n 1)(C C ... C ) n(n 1).2− −− − −= − + + + = − Vậy n 22S n.(n 1).2 −= − . Bài 3. Tính tổng: ( )( )3 4 n3 n n nS 1.2.3.C 2.3.4.C ... n 2 n 1 n.C= + + + − − Giải: Trước hết ta chứng minh: k k 1n n 1k.C nC (*)−−= , với *k, n , k n∈ ≤ℕ Thật vậy, ta có: k k 1 n n 1 n! (n 1)!k.C k. n. n.C k!.(n k)! (k 1)!.[(n 1) (k 1)]! − − − = = = − − − − − □ . Ôn thi ðH –Cð - 2 - Áp dung (*) ta có: k k 1 k 1 k 2 n n 1 n 1 n 2 k 3 n 3 (k 2)(k 1).k.C (k 2)(k 1).nC n.(k 2)(k 1).C n(n 1)(k 2)C n(n 1)(n 2)C − − − − − − − − − − = − − = − − = − − = − − Vậy: k n 3n n 3(k 2)(k 1).k.C n(n 1)(n 2)C (**)−−− − = − − Áp dụng (**) với k 3,4,..., n= ta có: 3 0 n n 31.2.3.C n(n 1)(n 2)C −= − − 4 1 n n 32.3.4C n(n 1)(n 2)C −= − − ..................... n n 3 n n 3(n 2)(n 1)n.C n.(n 1)(n 2)C −−− − = − − Cộng vế theo vế các ñẳng thức trên ta ñược: 0 1 n 3 n 3 3 n 3 n 3 n 3S n(n 1)(n 2)(C C ... C ) n(n 1)(n 2)2− −− − −= − − + + + = − − Vậy n 33S n(n 1)(n 2)2 −= − − . Bài 4. Tính tổng: ( )1 2 3 n4 n n n nS 2.C 3.C 4.C ... n 1 .C= + + + + + HD: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 n 4 n n n n 1 2 3 n n n n n 1 2 3 n 1 2 3 n n n n n n n n n 1 2 3 n 1 2 3 n n n n n n n n n n 1 1 n 0 0 n n n S 2.C 3.C 4.C ... n 1 .C 1 1 .C 2 1 .C 3 1 .C ... n 1 .C 1.C 2.C 3.C ... n.C C C C ... C 1.C 2.C 3.C ... n.C C C C ... C S C C 2 1 n2 2 1− = + + + + + = + + + + + + + + = + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + = + − = + − − Vậy n 1 n4S n2 2 1 − = + − . Bài 5. Tính tổng: ( )2 3 4 n5 n n n nS 1.C 2.C 3.C ... n 1 .C= + + + + − HD: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 2 3 4 n 5 n n n n 2 3 4 n n n n n 2 3 4 n 2 3 4 n n n n n n n n n 2 3 n 2 3 n n n n n n 0 1 n n n n n 1 n n n 1 n S 1.C 2.C 3.C ... n 1 .C 2 1 .C 3 1 .C 4 1 .C ... n 1 .C 2.C 3.C 4.C ... n.C C C C ... C 2.C 3.C ... n.1.C 1.C CC C C ... C S n 2 1 n n2 C C C − = + + + + − = − + − + − + + − = + + + + − + − + + + = + + + + +− + + + + = − − − − = − − n2 1− − Vây: n 1 n5S n2 2 1 − = − + . Bài 6. Tính tổng: 2 1 2 2 2 n6 n n nS 1 C 2 C ... n C= + + + HD: Trước hết ta chứng minh: k k 1n n 1k.C nC (*)−−= , với *k, n , k n∈ ≤ℕ Ôn thi ðH –Cð - 3 - Thật vậy, ta có: k k 1 n n 1 n! (n 1)!k.C k. n. n.C k!.(n k)! (k 1)!.[(n 1) (k 1)]! − − − = = = − − − − − □ . Áp dung (*) ta có: 2 k k k 1 n n n 1k C k.kC k.nC − − = = Vậy 2 k k 1 n n 1k C k.nC (**)−−= Áp dụng (**) với k 1,2,...n= ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 1 n 1 6 n 1 n 1 n 1 0 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 2 n 1 0 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n S n 1.C 2.C ... nC n 1.C 2.C ... nC n 1.C 2.C ... n 1 C C C ... C n n 1 2 2 − − − − − − − − − − − − − − − − − = + + + = + + +  = + + + − + + + +   = − +  Vậy ( ) n 2 n6S n n 1 2 2− = − +  . Bài 7. Tính tổng: 0 1 2 n7 n n n n 1 1 1 1S C C C ... C 1 2 3 n 1 = + + + + + Giải: Trước hết ta chứng minh: k k 1 n n 1 1 1C C (*) k 1 n 1 + +=+ + , với k,n ,k n∈ ≤ℕ Thật vậy, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k 1 n n 1 n 1 !1 1 n! 1 1C C k 1 k 1 k!. n k ! n 1 n 1k 1 !. n 1 k 1 ! + + + = = = + + − + + + + − +  (ñpcm). Áp dụng (*) với k 0,1,...,n= ta có: ( ) ( ) ( ) 0 1 2 n 7 n n n n 1 2 n 1 n 1 n 1 n 1 1 2 n 1 n 1 n 1 n 0 0 n n 11 n 1 1C 1 1 1 1S C C C ... C 1 2 3 n 1 1 C C ... C n 1 1 C C ... C n 1 1 . 2 1 n 1 C+ + + + + + + + + + + = + + + + + = + + + + = + + −+ + + = − + Vậy n 1 7 2 1S n 1 + − = + . Bài 8. Tính tổng: ( )( ) 0 1 n 8 n n n 1 1 1S C C ... C 1.2 2.3 n 1 n 2 = + + + + + Giải: Trước hết ta chứng minh: k k 1 n n 1 1 1C C (*) k 1 n 1 + +=+ + , với k,n ,k n∈ ≤ℕ Thật vậy, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k 1 n n 1 n 1 !1 1 n! 1 1C C k 1 k 1 k!. n k ! n 1 n 1k 1 !. n 1 k 1 ! + + + = = = + + − + + + + − +  (ñpcm). Áp dụng (*) ta có: Ôn thi ðH –Cð - 4 - ( )( ) k k k 1 k 1 k 2 n n n 1 n 1 n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1C C C C C k 1 k 2 k 2 k 1 k 2 n 1 n 1 k 2 n 1 n 2 + + + + + += = = =+ + + + + + + + + + Vậy ( )( ) ( )( ) k k 2 n n 2 1 1C C (**) k 1 k 2 n 1 n 2 + +=+ + + + Áp dụng (**) với k 0,1,...,n= ta có: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 1 0 1 n 2 n 2 n 2 n 0 1 n 8 n n n 2 3 n 2 n 2 n 2 n 2 2 3 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 2 1 1 1S C C ... C 1.2 2.3 n 1 n 2 1 C C ... C n 1 n 2 1 C C ... C n 1 n 2 1 2 1 n 2 n 1 n 2 C C C C + + + + + + + ++ ++ + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + + − − + = − − − + + Vậy ( )( ) ( )n 28 1S 2 n 3n 1 n 2 += − −+ + . Bài 9. Tính tổng: ( )( )( ) 0 1 n 9 n n n 1 1 1S C C ... C 1.2.3 2.3.4 n 1 n 2 n 3 = + + + + + + Giải: Trước hết ta chứng minh: k k 1 n n 1 1 1C C (*) k 1 n 1 + +=+ + , với k,n ,k n∈ ≤ℕ Thật vậy, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k 1 n n 1 n 1 !1 1 n! 1 1C C k 1 k 1 k!. n k ! n 1 n 1k 1 !. n 1 k 1 ! + + + = = = + + − + + + + − +  (ñpcm). Áp dụng (*) ta có: ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) k k k 1 n n n 1 k 1 k 2 n 1 n 2 k 3 n 3 1 1 1 1 1C C C k 1 k 2 k 3 k 2 k 3 k 1 k 2 k 3 n 1 1 1 1 1 1 1C C n 1 k 3 k 2 n 1 n 2 k 3 1 1 1 C n 1 n 2 n 3 + + + + + + + + = = + + + + + + + + + = = + + + + + + = + + + Vậy ( )( )( ) ( )( )( ) k k 3 n n 3 1 1C C (**) k 1 k 2 k 3 n 1 n 2 n 3 + +=+ + + + + + Áp dụng (**) với k 0,1,...,n= ta có: ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )0 1 2 0 1 2n 3 n 3 n 3 n 3 n 3 n 3 0 1 n 9 n n n 3 4 n 3 n 3 n 3 n 3 3 n 3 n 3 n 3 1 1 1S C C ... C 1.2.3 2.3.4 n 1 n 2 n 3 1 C C ... C C C C C n 1 n 2 n 3 1 C ... C n 1 n 2 n C 3 C + + + + + + + + + + + + ++ + − − = + + + + + + = + + + + + + = + −+ + + + + Ôn thi ðH –Cð - 5 - ( )( )( ) ( ) ( )( )n 3 n 3 n 21 2 1 n 3 n 1 n 2 n 3 2 + + + = − − + − + + +   Vậy ( )( )( ) ( ) ( )( )n 3 9 n 3 n 21S 2 1 n 3 n 1 n 2 n 3 2 + + + = − − + − + + +   . Bài 10. Tính tổng: 0 1 2 n10 n n n n 2 3 4 n 2S C C C ... C 1 2 3 n 1 + = + + + + + HD: Ta có: ( ) 0 1 2 n 10 n n n n 0 1 2 n n n n n 0 1 2 n 0 1 2 n n n n n n n n n n 1 n n 7 2 3 4 n 2S C C C ... C 1 2 3 n 1 1 1 1 11 C 1 C 1 C ... 1 C 1 2 3 n 1 1 1 1 1C C C ... C C C C ... C 1 2 3 n 1 2 12 S 2 n 1 + + = + + + + +         = + + + + + + + +       +          = + + + + + + + + + +  − = + = + + Vậy n 1 n 10 2 1S 2 n 1 + − = + + Bài 11. Tính tổng: 1 2 3 n11 n n n n 1 2 3 nS C C C ... C 2 3 4 n 1 = + + + + + HD: Ta có: ( ) 1 2 3 n 11 n n n n 1 2 3 n n n n n 1 2 3 n 1 2 3 n n n n n n n n n n 1 2 3 n n n 0 0 n n n n 1 2 3 nS C C C ... C 2 3 4 n 1 1 1 1 1 11 C 1 C C ... 1 C 2 3 4 n 1 1 1 1 1C C C ... C C C C ... C 2 3 4 n 1 1 1 1 12 C C C ... C 2 3 4 1 1C C 1 1n 1 = + + + + + −        = − + − + + + −       +          = + + + + − + + + + +    = − + + + + + + − ( ) n 1n n7 2 12 S 1 2 1 n 1 +   − = − − = − + + Vậy n 1 n 11 2 1S 2 1 n 1 + − = − + + . Bài 12. Tính tổng: 0 1 2 n12 n n n n 1 1 1 1S C C C ... C 2 3 4 n 2 = + + + + + Giải: Trước hết ta chứng minh: k k 1 n n 1 1 1C C (*) k 1 n 1 + +=+ + , với k,n ,k n∈ ≤ℕ Ôn thi ðH –Cð - 6 - Thật vậy, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k 1 n n 1 n 1 !1 1 n! 1 1C C k 1 k 1 k!. n k ! n 1 n 1k 1 !. n 1 k 1 ! + + + = = = + + − + + + + − +  (ñpcm). Ta có: k k 1 n 1 k n 1 k 1 n n n 1 n n 1 nC C C C C C (**)+ + + ++ ++ = ⇔ = − Kết hợp (**) ta có: ( )k k 1 k 1 k 1 k 1 k 2 k 2n n 1 n n 1 n n 2 n 11 1 1 1 1 1C C C C C C Ck 2 k 1 k 1 k 1 n 2 n 1+ + + + + ++ + + += − = − = −+ + + + + + Vậy k k 2 k 2 n n 2 n 1 1 1 1C C C (***) k 2 n 2 n 1 + + + += −+ + + Áp dụng (***) với k 0,1,...,n 1= − ta có: ( ) ( ) 0 1 2 n 12 n n n n 2 2 3 3 n 1 n 1 n n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 3 n 1 2 3 n 1 n 2 n 2 n 2 n n 0 n n 1 n 1 n n 1 2 1 1 1 1S C C C ... C 2 3 4 n 2 1 1 1 1 1 1 1C C C C ... C C C n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 1 1C C ... C C C ... C n 2 n 1 C C1 n 2 C + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + +       = − + − + + − +     + + + + + + +      = + + + + − + + + = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 n 2 n 2 0 1 2 3 n 1 n 2 n 2 n 2 2 3 n 1 n 1 0 1 n 1 n 1 n 1n 1 n 1 n 2 n n 2 1 n 2 n 1 C C ... C 1 C C ... C n 1 1 12 n 3 2 n 2 n 2 n C C C C C C 1 C + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − + + + − − + −+ + = − − − − − + − + Vậy ( ) ( )n 2 n 112 1 1S 2 n 3 2 n 2 n 2 n 1 + + = − − − − − + + . Lưu ý:
Phương pháp ñể giải các bài toán trên là “sử dụng công thức 11. k kn nk C nC −−= ”
Các bài toán trên có thể chuyển về bài toán Chứng minh ñẳng thức tổ hợp.
Có thể phát triển các bài toán trên bằng việc thêm ka vào các số hạng trong từng tổng
Các bài toán trên ñã áp dụng công thức ( )n1 1+ , ta có thể áp dụng ñối với các công thức khác như: ( ) ( ) ( )n n n1 1 0, 1 x , 1 x , ...− = + −
Kết hợp các tổng với nhau ñể có các bài toán khó hơn.