Giáo án môn Toán khối 11 - Phương pháp quy nạp toán học

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A. Kiến thức cơ bản 1. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n Ỵ N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được, ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắc là phương pháp quy nạp) như sau: - Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. - Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ³ 1 bất kì (gọi là giả thiết quy nạp) - Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng vớii n = k + 1. 2. Các kiến thức cần nhớ: * Cách viết số tự nhiên: Ÿ Các số tự nhiên liên tiếp: n ; n + 1 ; n + 2 ; Ÿ Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2n ; 2n + 2 ; n + 4 ; Ÿ Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n + 1 ; 2n + 3 ; n + 5 ; * Tính chất chia hết: Ÿ Các số chẵn thí chia hết cho 2. Ÿ Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5. Ÿ Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3. Ÿ Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9. Ÿ Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4. Ÿ Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25. Ÿ Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8. Ÿ Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125. Ÿ Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6. Ÿ Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2. Ÿ Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6. Ÿ Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3, 4, 6, 8. * Tính chất lũy thừa: Ÿ am . an = am+n Ÿ am:an = am – n Ÿ (ab)n = an . bn Ÿ (am)n = am.n Ÿ Ÿ * Phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiện phân biệt x1, x2 thì: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) B. Bài tập 1. Chứng minh rằng: Với mọi n Ỵ N*: a) n5 – n 5 b) 62n + 3n+2 + 3n 11 c) 13n – 1 6 d) n3 + 2n 3 e) 3n + 2n – 1 4 f) 32n – 1 8 g) 32n-1 + 2n+1 7 h) 4.32n+2 + 32n – 36 64 i) 4n + 15n – 1 9 j) n3 + 11n 6 k) 16n – 15n – 1 225 l) n3 – n 3 m) n3 + 3n2 + 5n 3 n) 3n3 + 15 9 o) n7 – n 7 p) 2n3 – 3n2 + n 6 2. Chứng minh rằng: Với mọi n Ỵ N*: a) 1 + 2 + 3 + + n = b) c) d) 1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = n2 e) f) g) h) 3 + 9 + 27 + + 3n = i) j) 2 + 5 + 8 + + 3n– 1 = k) l) 1 – 2 + 3 – 4 + ¼ – 2n + (2n + 1) = n + 1 m) n) o) với n ³ 2 p) q) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n(3n – 1) = n2(n + 1) r) s) 1 + 3 + 6 + 10 + + = 3. Chứng minh rằng: Với mọi n Ỵ N*: a) 2n ³ 2n + 1 với n ³ 3 b) 2n > n2 với n ³ 5 c) nn ³ (n + 1)n–1 d) n! > 2n – 1 với n ³ 3 e) 3n > n2 + 4n + 5 với n ³ 3 f) 2n + 2 > 2n + 5 g) sin2na + cos2na £ 1 h) 3n – 1 > n(n + 2) với n ³ 4 i) 2n – 3 > 3n – 1 với n ³ 8 j) 3n > 3n + 1 với n ³ 2. 4. Chứng minh rằng: , trong đó a, b > 0 và n Ỵ N*. 5. Chứng minh rằng nếu DABC vuông tại A, có số đo các cạnh là a, b, c thì với mọi số tự nhiên n ³ 2, ta có bất đẳng thức : bn + cn £ an. 6. Với giá trị nào của số nguyên dương n, ta có: a) 2n + 1 > n2 + 3n b) 2n > 2n + 1 c) 2n > n2 + 4n + 5 d) 3n > 2n + 7n ? 7. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là . 8. Cho tổng , với n Ỵ N*. a) Tính S1, S2, S3, S4. b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp. 9. Cho tổng , với n Ỵ N*. a) Tính S1, S2, S3, S4. b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp. 10. Cho tổng , với n Ỵ N*. a) Tính S1, S2, S3, S4. b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp. 11. Cho n số thực a1 , a2 , a3 , , an thỏa – 1 < ai £ 0 với i = . Chứng minh rằng: "n Ỵ N* ta có: (1 + a1) (1 + a2) (1 + an) ³ 1 + a1 + a2 + + an 12. Chứng minh rằng với các số thực a1 , a2 , a3 , , an (n Ỵ N*), ta có: ça1 + a2 + + an ç£ ça1ç + ça2 ç + çan ç.