Giáo án môn Toán lớp 11 - Chủ đề Hàm số lượng giác

Chủ đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số. a. . y=f(x)=x.Cos3x b. 1+Cosxy=f(x)= Cosx . c. 1+Cosxy=f(x)= 1-Cosx . d. 21+Cos xy=f(x)= 1+Cosx . Bài giải. a. f(x) có nghĩa với mọi x thuộc R. Nên tập xác định D=R. b. f(x) có nghĩa khi Cosx ≠0, suy ra πx +k2π, k Z 2 ≠ ∈ . Nên tập xác định là πD=R\ +k2π,k Z 2 ⎧ ⎫∈⎨ ⎬⎩ ⎭ . c. f(x) có nghĩa khi 1-Cosx≠0 osx 1 x k2 , C k Zπ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈ . Nên tập xác định là { }D=R\ k2π,k Z∈ . d. f(x) có nghĩa khi 1+Cosx≠0 osx 1 x k2 , C k Zπ π⇔ ≠ − ⇔ ≠ + ∈ . Nên tập xác định là { }D=R\ +k2π,k Zπ ∈ . Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. - Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên D 0 0 , ( ) , ( ) x D f x M x D f x M ∀ ∈ ≤⎧⇔ ⎨∃ ∈ =⎩ . - Số m dược gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên D 0 0 , ( ) , ( ) x D f x m x D f x m ∀ ∈ ≥⎧⇔ ⎨∃ ∈ =⎩ a. y=f(x)=2+3Cosx. b. y=f(x)=3-4Sin2x.Cos2x. c. y=f(x)=2.Sin2x-2Cos2x. Bài giải. Trang 1 a. . 1 osx 1 3 3. osx 3 1 2 3. osx 5C C C− ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ + ≤ k+ 2 3. osx 1 2C x π π+ = − ⇔ = + . Suy ra ( ) ( 2 ) 1 R Min f x f kπ π= + = − k . + 2 3. osx 5 2C x π+ = ⇔ = . Suy ra ax ( ) ( 2 ) 5 R M f x f k π= = . b. y=f(x)=3-Sin22x. 2 20 2 1 0 2 1 3 3 2Sin x Sin x Sin x≤ ≤ ⇔ ≥ − ≥ − ⇔ ≥ − 2 2≥ . + 23 2 2 4 2 Sin x x kπ π− = ⇔ = + . Suy ra ( ) 2 4 2R Min f x f kπ π⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠ + 23 2 3 2 Sin x x k π− = ⇔ = . Suy ra ax ( ) 3 2R M f x f k π⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ . c. y=f(x)=1-3Cos2x 1 os2x 1 3 3. os2x -3 4 1 3. os2x -2C C C− ≤ ≤ ⇔ ≥ − ≥ ⇔ ≥ − ≥ . + 1 3. os2x=-2 x=kC π− ⇔ . Suy ra ( )( ) 2 R Min f x f kπ= = − . + 1 3. os2x=4 x= +k 2 C π π− ⇔ . Suy ra ax ( ) 4 2R M f x f kπ π⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠ . Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC * Dạng cơ bản. - Sinx= x= +k2 Sin x= - +k2 α π⎡α ⇔ ⎢ π α π⎣ - x= +k2 Cosx=Cos x=- +k2 α π⎡α ⇔ ⎢ α π⎣ - Tanx=Tan x= +kα⇔ α π - Cotx=Cot x= +kα⇔ α π Bài 1. Giải các phương trình a. 3Sinx=- 2 . b. Sin2x = -1. c. 2 1Sin x= 4 . Bài giải. 2 3 3Sinx=Sin 42 3 3 2 2 3 3 x k Sin Trang 2 a. x k k π ππ π π ππ π π ⎡ = − +⎢⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⇒ − ⇒ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ = + + = +⎢⎣ b. 3 3 3 41 Sin2x=Sin 2 2 4 x k Sin x k π ππ π π π ⎡ = +⎢⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⇒ ⇒ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ = − +⎢⎣ c. 2 1inx=1 62Sin x= 1 54 inx=- 2 6 x kS S x π k π π π ⎡⎡ = +⎢⎢⇔ ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ = +⎢ ⎢⎣ ⎣ Bài 2. Giải các phương trình: a. Sinx =0 Cosx-1 . b. Cos3x-Sin2x=0. Bài giải. a. Điều kiện x k2π≠ Sinx =0 Sinx=0 x=k Cosx-1 π⇔ ⇔ . Mà nên nghiệm là x k2π≠ x= +k2ππ . b. 2 10 5os3x=Sin2x=Cos 2 2 2 2 x k C x x k π π π π π ⎡ = +⎢⎛ ⎞− ⇔ ⎢⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢ = − +⎢⎣ . Bài 3. Giải các phương trình. a. Sin 3x + Sin5x =0. b. tanx.tan2x=-1 . Bài giải. a. 4Sin3x=-Sin5x=Sin(-5x) 2 x k x k π π π ⎡ =⎢⇔ ⎢⎢ = − +⎢⎣ . b. Điều kiện 2 4 2 x k x k π π π π ⎧ ≠ +⎪⎪⎨⎪ ≠ +⎪⎩ -1t anx.tan2x=-1 tanx= 2 tan2x 2 Cot x x kπ π⇔ = − ⇔ = + . Mà 2 x kπ π≠ + nên phương trình vô nghiệm. * Dạng: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Bài 1. Giải các phương trình sau: a. Sinx+Cos2x=1. b. 14.Sinx= Sinx . Bài giải. Trang 3 a. ( )2 inx=0inx+Cos 1 inx 1-Sinx 0 Sinx=1 2 2 x kS S x S k π πx π =⎡⎡ ⎢= ⇔ = ⇔ ⇔⎢ ⎢ = +⎣ ⎣ . b. Điều kiện 0Sinx x kπ≠ ⇔ ≠ . 2 1inx=1 1 624.Sinx= Sin x= 1 5Sinx 4 inx=- 2 6 x kS S x π k π π π ⎡⎡ = +⎢⎢⇔ ⇔ ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ = +⎢ ⎢⎣ ⎣ . Bài 2. Giải các phương trình sau: a. 2.Sin2x-5Sinx+3=0. b. 2.Sin2x-3Cosx=0 Bài giải. a. Đặt t=sinx, t 1.≤ Ta có phương trình theo t: 2t2-5t+3=0 1 2 t =1 3t = 2 ⎡⎢⇒ ⎢⎣ . t2 loại, với t1=1 ta có 22 x kπ π= + . b. 2.Sin2x-3.Cosx=0 ta suy ra 2Cos2x+3Cosx-2=0. Đặt t=Cosx, điều kiện |t|≤1. ta có phương trình theo t là: 2.t2+3t-2=0. Giải ra được t=-2 1t= 2 ⎡⎢⎢⎣ . Ta nhận 2 1 3 2 2 3 x k t x k π π π π ⎡ = +⎢= ⇒ ⎢⎢ = − +⎢⎣ * Dạng: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos. - Cách giải: Trang 4 2 2 2 2 2 2 b c.sinx+bcosx=c .sinx+ cosx=aa a b a b a b ⇔ + + + . Đặt 2 2 2 2 os ; a bC Sin a b a b α α= =+ + . Ta có phương trình cơ bản 2 2 csinx.cos +cosx.sin = a b α α + ⇔ ( ) 2 2Sin x+ = c a b α + . - Ví dụ: Giải các phương trình sau: a. 3.Sin2x-Cos2x=1. b. Cos2x- 3Sin2x= 2 . c. Cos2x-Sin2x= 2 . d. Cos2x- 3Sin2x=1. e. 3Cosx+3Sinx=3 Bài giải. a. 2 2 a= 3;b=1;c=1 a +b =2 3 1Sin2x- Cos2x= 2 2 1 2 πx= +kπ π 1 π 6Sin 2x- = =Sin π6 2 6 x= +kπ 2 ⎡⎢⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇔ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢⎢⎣ . b. 2 2 a=1;b= 3;c= 2 a +b =2 1 3Cos2x- Sin2x= 2 2 3 2 πx=- -kπ π 2 π 24Sin -2x = =Sin 7π6 2 4 x=- -kπ 24 ⎡⎢⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇔ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢⎢⎣ c. 2 2 a=1;-b=1;c= 2 a +b = 2 1 1Cos2x- Sin2x=1 2 2 π πSin -2x =1=Sin x= +kπ 4 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π 8 d. 2 2 a=1;b= 3;c=1 a +b =2 1 3Cos2x- Sin2x= 2 2 1 2 x=kπ π 1 πSin -2x = =Sin 6 2 6 x=- 3 kπ π ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ e. Đưa về dạng Cosx+ 3Sinx= 3 2 2 a=1;b= 3;c= 3 a +b =2 1 3Cos2x+ Sin2x= 2 2 3 2 Trang 5 x= +k2π π 3 π 6Sin +x = =Sin 6 2 3 x= k2 2 π π π ⎡⎢⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇔ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ +⎢⎣ Chú ý. Các phương trình sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng và hạ bậc công thức biến đổi tổng thành tích, tích thàng tổng, hạ bậc • • • • • • • • • Áp dụng các công thức ở trên giải các phương trình sau đây: a. pt ( vì ) b. pt c. Tới đây biết giải rồi chứ? cos6x = 0 hoặc d. gép cos3x + cos7x và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Đặt nhân tử chung sau khi xuất hiện nhân tử. e. Trang 6 Dùng công thức biến đổi tích thành tổng. f. Đây là bài toán mà các số hạng đều là bậc hai nên ta sẽ hạ bậc nó. lưu ý: pt ( bỏ mẫu) Trang 7 pt ( biến tổng thành tích) BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO 1. Giải phương trình: . Phương trình . 2. Giải phương trình lượng giác Đáp số: 3. Giải phương trình: Phương trình đã cho tương đương với * * . Giải khác. 4. Giải phương trình lượng giác sau: 5. Giải phương trình: . Từ phương trình đã cho ta có : Trang 8 6. Giải phương trình : . 7. Giải phương trình : Phương trình đã cho 8. Giải phương trình: Trang 9 9. Giải phương trình : 10. Giải phương trình 11. Giải phương trình lượng giác sau: Trang 10 12. Giải phương trình : 13. Giải phương trình lượng giác: Phương trình đã cho tương đương với Đáp số : 14. Giải phương trình : Trang 11 Các nghiệm số là Chủ đề: QUY TẮC ĐÊM-HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP 1. Hoán vị a. Hoán vị là gì? Ví dụ: Ba vận động viên An, Bình và Châu chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai hay ba vận động viên cùng về đích một lúc thì mọi khả năng đều có khả năng xảy ra. Kết quả cuộc thi là một danh sách gồm 3 người xếp theo thứ tự nhất, nhì, ba. Danh sách này là một hoán vị của tập hợp {An, Bình, Châu}. Nếu kí hiệu tập hợp {An, Bình, Châu} là {a,b,c} thì tập hợp này có tất cả 6 hoán vị là (a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a). Một cách tổng quát ta có: Cho tập hợp A có n phần tử (n >0). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được 1 hoán vị các phần tử của tập A. b. Số các hoán vị Định lí 1: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: Ví dụ: Một đoàn khách du lịch dự định đến tham quan 7 điểm du lịch A,B,C,D,E,G và H ở Hà Nội. Họ đi tham quan theo thứ tự nào đó, chẳng hạn . Như vậy mỗi cách họ chọn thứ tự tham quan là một hoán vị của tập {A,B,C,D,E,G,H}. Do vậy đoàn khách có tất cả cách chọn. 2. Chỉnh hợp a. Chỉnh hợp là gì Ví dụ: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11m. Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ của đội để tham gia đá. Mỗi danh sách có xếp thứ tự 5 cầu thủ được gọi là một chỉnh hợp chập 5 của 11 cầu thủ Trang 12 Một cách tổng quát: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k, [1\le k \le n[/ct]. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. Chú ý: Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi hoặc có ít nhất một phần tử của chỉnh hợp này không là phần tử của chỉnh hợp kia hoặc các phần tử của 2 chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau. b. Số các chỉnh hợp Xét ví dụ trên, ta tính xem có bao nhiều cách huấn luyện viên lập danh sách 5 cầu thủ? Giải: Ta có thể chọn 1 trong 11 cầu thủ để đá quả đầu tiên. Tiếp theo có 10 cách chọn cầu thủ đá quả thứ hai, rồi 9 cách chọn cầu thủ đá quả thứ ba, 8 cách chọn cầu thủ đá quả thứ tư và cuối cùng có 7 cách chọn cầu thủ đá quả thứ năm. Theo quy tắc nhân, mỗi đội sẽ có: 11.10.9.8.7 =55440 cách chọn. Định lí: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử ( ) là: (*) Ta quy ước: , do đó công thức (*) đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn Chú ý: Một hoán vị của một tập n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của tập đó nên: 3. Tổ hợp a. Tổ hợp là gì? Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với . Mỗi tập con của A có k phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A ( gọi tắt là tổ hợp chập k của A) Như vậy, lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy ra k phần tử của A mà không quan tâm đến thứ tự b. Số các tổ hợp Định lí: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử ( ) là: (**) Với quy ước: thì (**) cũng sẽ đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn Ví dụ: Trong 1 lớp học có 20 HS nam và 15 HS nữ. Thầy giáo cần 4HS nam và 3 HS nữ đi tham gia chiến dịch "Mùa hè xanh" của Đoàn. Hỏi có bao nhiêu cách? Giải: Ta có cách chọn 4 HS nam trong số 20 HS nam và có cách chọn 3 HS nữ trong số 15 HS nữ. Theo quy tắc nhân, số cách chọn cần tìm là: 4845.455=2204475 cách chọn 4. Hai tính chất cơ bản của số Trang 13 TC1: Cho các số nguyên n,k thỏa mãn . Khi đó: TC2: Cho các số nguyên n,k thỏa mãn . Khi đó: 1. Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số đã cho. Gọi là số cần lập Ta có 7 cách chọn 6 cách chọn 5 cách chọn 4 cách chọn Vậy ta có: số . 2. Cho các số 1,2,5,7,8 có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao cho số tạo thành là 1 số chẵn Gọi là số cần lập Vì chẵn nên chẵn, nên ta có 2 cách chọn 4 cách chọn 3 cách chọn Trường hợp này ta có : số chẵn. 3. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể thành lập bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau. Trang 14 Gọi là số tự nhiên chẵn cần lập Vì chẵn nên số tận cùng • Nếu thì có : 1 cách chọn 5 cách chọn 4 cách chọn 3 cách chọn 2 cách chọn Vậy trong trường hợp này ta có : số chẵn • Nếu thì ta có : 2 cách chọn (vì ) 4 cách chọn (vì ) 4 cách chọn 3 cách chọn 2 cách chọn Vậy trong trường hợp này ta có : số chẵn Do đó: có tất cả số chẵn. Giải khác Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là abcde(a khác 0) Chọn lần lượt các chữ số a,b,c,d,e ta có lần lượt 5,5,4,3,2 cách chọn.Vậy có tất cả 600 số tự nhiên được lập Số các số lẻ được lập ra:là 288 số.Vì : • Chọn e có 3 cách • Chọn a có 4 cách • Chọn b có 4 cách • Chọn c có 3 cách • Chọn d có 2 cách Vậy số các số chẵn lập được:600-288=312 số 4. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau. Gọi là số tự nhiên cần lập Vì chẵn nên số tận cùng • Nếu thì có : 6 cách chọn 5 cách chọn 4 cách chọn 3 cách chọn Vậy trong trường hợp này ta có : số • Nếu thì ta có : 3 cách chọn (vì ) 5 cách chọn 5 cách chọn 4 cách chọn 3 cách chọn Vậy trong trường hợp này ta có : số Do đó: có tất cả số chẵn. Giải khác Gọi công thức số có 5 chữ số là: Vì là số chẵn nên e {0,2,4,6}; a {1,2,3,4,5,6}; b,c,d {0,1,2,3,4,5,6}; * Nếu e=0: a có 6 cách chọn thì b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn Vậy có: 6 x 5 x 4 x 3 = 360 (số) Trang 15 * Nếu e=2: a có 5 cách chọn thì b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn Vậy có: 5 x 5 x 4 x 3 = 300 (số) Tương tự e=4 và e=6 cũng có 300 Cuối cùng có tất cả: 360 + 300 x 3 = 1260 (số) 5. Từ các chữ số 0 ; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có năm chữ số khác nhau . 6. Giả sử số: abcde xét e=0 khi đó có:7A4 số xét e= 2 hoặc 4 hoặc 6 ; a khác 0,khác e thì có : 3.6A3 số vậy có 7A4+3.6A3= 1200 số Trang 16 MỘT SÔ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI 1. Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình , người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn tổ sao cho có 1 tổ trưởng , 5 tổ viên trong đó An và Bình không đồng thời có mặt Số cách lập tổ công tác không có mặt cả An và Bình là (do một trong 6 người bất kỳ đều có thể làm tổ trưởng) Số cách lập tổ công tác có mặt đúng 1 trong hai người là (do một trong 6 người bất kỳ đều có thể làm tổ trưởng) Vậy số cách lập tổ công tác thoả mãn yêu cầu bài toán là: cách Giải khác. -Số cách chọn 6 bạn bất kì trong 14 bạn và một bạn làm tổ trưởng trong 6 bạn đó là: -Số cách chọn 6 bạn bất kì trong 14 bạn và một bạn làm tổ trưởng trong 6 bạn đó mà luôn có mặt An và Bình là: -Số cách thỏa mãn bài toán là: =15048 2. Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ Số cách lập 1 tổ công tác một cách tuỳ ý là : Số cách lập tổ công tác toàn nam là Số cách lập tổ công tác toàn nữ là Vậy số cách lập tổ công tác gồm có cả nam và nữ là cách Giải khác Trong tổ có cả nam và nữ có nghĩa là trong tổ có ít nhất 1 nam: Nếu trong tổ có 1 nam tức có 5 nữ thì có: . = 336 cách chọn Trang 17 Nếu trong tổ có 2 nam tức có 4 nữ thì có: . = 1050 cách chọn Nếu trong tổ có 3 nam tức có 3 nữ thì có: . = 1120 cách chọn Nếu trong tổ có 4 nam tức có 5 nữ thì có: . = 420 cách chọn Nếu trong tổ có 5 nam tức có 1 nữ thì có: . = 48 cách chọn Vậy có tất cả 336 + 1050 + 1120 + 420 + 48 =2974 cách chọn tất cả. 3. Cho A là một tập hợp có phần tử: a) Có bao nhiêu tập hợp con của A b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn a) Số tập con của A là: b) Ta có: Suy ra số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là: 4. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 9 em , trong đó có 4 học sinh khôi 12, 3 học sinh khối 11 và 2 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh của đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn. TH 1: khối 12 có 3hs, khối 11 có 1 hs, khối 10 có1 hs. thì có 4C3.3.2=24 cách chọn ở TH 2: khối 12 có 2hs, khối 11 có 2hs, khối 10 có 1 hs. thì có 4C2.3C2.2=36 cách chọn TH 3: khối 12 có 2 hs, khối 11 có 1 hs , khối 10 có 2 hs. thì có 4C2.3.2C2=18 cách chọn TH 4: khối 12 có 1 hs, khối 11 có 3hs, khối 10 có 1 hs. thì có 4.1.2=8 cách chọn TH 5: khối 12 có 1 hs, khối 11 có 2 hs, khối 10 có 2 hs. thì có 4.3C2.1=12 cách chọn Vậy tổng cộng có: 24+36+18+8+12=98 cách chọn Giải khác Chọn tuỳ ý 5 em học sinh trong 9 em có cách chọn Nếu không chọn học sinh khối 10 có cách chọn Nếu không chọn học sinh khối 11 có cách chọn Nếu không chọn học sinh khối 12 có cách chọn 5. Vậy có - - - = 98 cách chọn thoả mãn đề bài. Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi lấy từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên bi lấy ra không đủ ba màu. Tổng số bi trong hộp là: 2 + 3 + 5 = 10 viên Số cách chọn 4 viên trong 10 viên là = 210(cách) Trang 18 Số cách lấy ra 4 viên bi đủ cả 3 màu: Trường hợp 1: 2 đỏ, 1 trắng, 1 vàng. Có 1 x 3 x 5 = 15 (cách) Trường hợp 2: 1 đỏ, 2 trắng, 1 vàng. Có 2 x x 5 = 2 x 3 x 5 = 30(câch) Trường hợp 3: 1 đỏ, 1trắng, 2 vàng. Có 2 x 3 x = 2 x 3 x 10 = 60 (cách) Số cách lấy 4 viên bi đủ cả 3 màu là: 15 + 30 + 60 =105(cách) Vậy số cách lấy 4 viên bi không đủ 3 màu là: 210 - 105 =105 (cách) 6. Xét 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào 1 dãy 7 ô trống. 1. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau. 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau. 1. Trước hết xếp 3 bi đỏ vào 7 ô trống. Ta có cách xếp. Rồi xếp 3 bi xanh vào 4 ô còn lại. Ta có (vì bi xanh giống nhau). Vậy ta có: cách xếp. 2. Trước hết ta cần căn chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau, xanh đứng cạnh nhau có 6 cách xếp. Sau đó trong mỗi cách xếp đó, ta lại hoán vị các bi đỏ với nhau, các bi xanh với nhau. Do các bi đỏ khác nhau nên ta được số hoán vị là . Vậy số cách xếp khac nhau để các bi đỏ đứng cạnh nhau, các bi xanh đứng cạnh nhau là . 7. Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cứ 3 người đi dự hội nghị SV của trường sao cho trong 3 người có ít nhất 1 cán bộ lớp? Số cách cử 1CBL+2HS là Số cách cử 2CBL+1HS là . Vậy ta có tất cả: cách cử. 8. Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho. 1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó. 2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó. 1. Chọn 2 nam, 3 nữ có: cách. 2. Có 2 nam, 3 nữ: Có 5400 cách. Có 3 nam và 2 nữ: Có cách Có 4 nam và 1 nữ: Có cách Tổng cộng có: cách. Trang 19 9. Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau. 1. Nếu phải có ít nhất là 2 nữ. 2. Nếu phải chọn tuỳ ý. 1. Để có ít nhất 2 nữ thì ta phải chọn hoặc là 2 nữ, hoặc là 3 nữ 4 nam, 3 nam hoặc 4 nữ, 2 nam hoặc 5 nữ, 1 nam hoặc 6 nữ. Vậy số cách chọn cho trường hợp này là: . 2.Nếu chọn tuỳ ý thì số cách là: . Giải khác 1. Có tất cả cách chọn tùy ý 1 tốp ca 6 người. 2. Để chọn ra 1 tốp ca 6 người với toàn nam có: cách chọn. Có cách chọn tốp ca gồm 5 nam,1 nữ Vậy có cách chọn tốp ca 6 người có ít nhất 2 nữ 10. Có 6 học sinh sẽ được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã được ghi số thứ tự trên 1 bàn dài. 1. Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn. 2. Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn sao cho 2 học sinh A và B không ngồi cạnh nhau. 1. Mỗi cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 chỗ có thứ tự là một hoán vị 6 phần tử. Nên ta có số cách sắp xếp là: cách. 2. Nếu A và B theo thứ tự đó, ngồi cạnh nhau, ta có cách sắp xếp. Nếu B và A theo thứ tự đó, ngồi cạnh nhau, ta có cách sắp xếp. Vậy só cách sắp xếp cần tìm là: cách. 11. Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ. Giáo viênmuốn chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Chọn 3 học sinh trong số 11 học sinh, ta có cách. Chọn 3 nữ sinh trong 4 nữ sinh ta có cách. Vậy số cách chọn cần tìm là: cách. 12. Một hội nghị y khoa có 40 bác sĩ tham dự. Người ta muốn lập một nhóm bác sĩ thực hành một ca phẫu thuật để minh hoạ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm có: 1. Một bác sĩ chính và 1 phụ tá. 2. Một bác sĩ chính và 4 phụ tá. 1. Số cách lập một nhóm 2 bác sĩ : Một chính, 1 phụ tá là: . 2. Số cách chọn 1 bác sĩ chính là và cách chọn phụ tá Vậy có cách chọn 1 nhóm gồm 1 bác sĩ chính và 4 bác sĩ phụ tá. Trang 20 13. Có bao nhiêu cách phát 10 phần thưởng giống nhau cho 6 học sinh sao cho mỗi học sinh có ít nhất 1 phần thưởng. Đầu tiên phát cho mỗi học sinh 1 phần thưởng. Như vậy là có 1 cách. Còn lại 4 phần thưởng phát cho 6 học sinh ta có: cách. 14. Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số khác nhau. 1. Số điện thoại có 6 chữ số là một chỉnh hợp có lặp lại của 10 phần tử chập 6. Nên ta có số điện thoại. 2. Số điện thoại có 6 chữ số khac nhau là 1 chỉnh hợp chập 6 của 10 phần tử. Do đó ta có số. 15. Để viết chữ đăng ký xe hơi người ta dùng 3 chữ (30 chữ cái được dùng) và 1 số có 4 chữ số (10 chữ số được dùng). Hỏi số tối đa xe hơi có thể đăng ký cho biết không có hai xe hơi nào có số đăng ký giống nhau? Gọi là một biển số đăng ký. Có 30 cách chọn 30 cách chọn 30 cách chọn Có 10 cách chọn 10 cách chọn 10 cách chọn 10 cách chọn Vậy ta có tối đa triệu chiếc xe hơi có thể đăng ký. 16. Xếp 3 quyển sách văn, 4 sách sử, 2 sách địa và 5 quyển công dân vào một hệ thống theo từng môn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp. Có 4 bộ môn, do đó có 4 cách sắp xếp theo bộ môn. Trong đó có: cách sắp xếp sách văn. cách sắp xếp sách sử cách sắp xếp sách địa cách sắp xếp sách công dân Vậy số cách sắp xếp lên kệ là cách (đây là hoán vị có lặp lại). 17. Cho tập . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từ mà chia hết cho 5? Gọi là số cần tìm Vì chia hết cho 5 nên hoặc bằng 0 hoặc bằng 5 TH1: là chỉnh hợp 9 chập 4 phần tử nên ta có: số. TH2: thì có: 8 cách chọn (vì ) Và cách chọn Vậy ta có số. Tổng cộng ta có: số. Trang 21 Gọi (abcde) là số có 5 chữ số theo yêu cầu bài toán. Vì (abcde) là số chia hết cho 5, nên: e = {0;5} Khi e = 0 => Có 1 cách chọn e 9 cách chọn a 8 cách chọn b 7 cách chọn c 6 cách chọn d => Có 9*8*7*6*1=3024 cách chọn khi e= 0 Khi e = 5 => Có 1 cách chọn e 8 cách chọn a 8 cách chọn b 7 cách chọn c 6 cách chọn d => Có 8*8*7*6*1=2688 cách chọn khi e= 5 Vậy ta có 2688 + 3024 = 5712 cách chọn thoả yêu cầu bài toán. 18. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 ta có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và trong đó có chữ số 4. Gọi là số cần lập Có 2 trường hợp • Nếu thì có : 1 cách chọn 6 cách chọn 5 cách chọn 4 cách chọn 3 cách chọn Vậy trong trường hợp này ta có : số • Nếu Có 4 vị trí chữ số 4 trong ứng với 1 vị trí của 4 ta có(chẳng hạn ) 5 cách chọn (vì ) 1 cách chọn ( theo ví dụ) 5 cách chọn 4 cách chọn 3 cách chọn Nên trường hợp này ta có số Tổng cộng hai trường hợp ta có : số . 19. Từ các chữ số 1,2,3,4,5 ta có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau. Trong đó có 2 chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau. Trang 22 Gọi là số cần lập • Ta có số các số gồm 5 chữ số được lấy từ 1,2,3,4,5 là số hoán vị của 5 chữ số đã cho nên ta có số. • Ta xét xem có bao nhiêu cách chọn vị trí cho cặp (1,2) đứng cạnh nhau: Nếu (1,2) ta có 4 cách chọn vị trí cho cặp {1,2}trong . Do đó ta có 8 cách chọn cho cặp {1,2} (không kể thứ tự của 1 ,2 ) đứng gần nhau, ứng với mỗi cách chọn cặp {1,2} như thế ta có cách chọn 3 chứ số còn lại của . Vậy ta có số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó 2 chữ số 1,2 đứng cạnh nhau • Tóm lại số các số cần lập là số . 20. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số ,trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần còn mỗi số khác có mặt đúng 1 lần. Gọi là số cần lập. Ta có: 7 cách chọn 7 cách chọn 6 cách chọn 5 cách chọn 4 cách chọn 3 cách chọn 2 cách chọn 1 cách chọn Vậy ta có : Nhưng cách lập như thế bị lập lại (ví dụ khi ta hoán vị 3 phần tử 1 cho nhau thì không đổi). Do đó số các số cần lập là số 21. Cho tập . Hỏi có bao nhiêu tập con của chứa chữ số 9 Số tập con của của chỉ chứa là Vậy số tập con của có chứa số 9 là số các tập Vậy số tập con của có chứa số 9 là tập con Giải khác Số tập con của E có: 1 phần tử: tập 2 phần tử: tập 3 phần tử: tập ........ 10 phần tử: tập Trong đó E\9 + + ..... + = = = 512 tập 22. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 số kề nhau phải khác nhau. Trang 23 Ta có : 9 cách chọn chữ số thứ nhất (vì ) 9 cách chọn chữ số thứ hai (trừ chữ số đã chọn vì chữ số thứ hai phải khác chữ số thứ nhất đã được chọn) 9 cách chọn chữ số thứ ba (trừ chữ số thứ hai vì chữ số thứ ba phải khác chữ số thứ hai đã được chọn) 9 cách chọn chữ số thứ tư (trừ chữ số thứ ba vì chữ số thứ tư phải khác chữ số thứ ba đã được chọn ) 9 cách chọn chữ số thứ năm (trừ chữ số thứ tư vì chữ số thứ năm phải khác chữ số thứ tư đã được chọn ) (Chú ý rằng có tổng cộng 10 chữ số : 0,1,2,....9, và chữ số thứ 5 có thể bằng chữ số thứ 3 và thứ hai) Vậy ta có số thoả mãn đề bài. 23. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 số kề nhau phải khác nhau. Ta có : 9 cách chọn chữ số thứ nhất (vì ) 9 cách chọn chữ số thứ hai (trừ chữ số đã chọn vì chữ số thứ hai phải khác chữ số thứ nhất đã được chọn) 9 cách chọn chữ số thứ ba (trừ chữ số thứ hai vì chữ số thứ ba phải khác chữ số thứ hai đã được chọn) 9 cách chọn chữ số thứ tư (trừ chữ số thứ ba vì chữ số thứ tư phải khác chữ số thứ ba đã được chọn ) 9 cách chọn chữ số thứ năm (trừ chữ số thứ tư vì chữ số thứ năm phải khác chữ số thứ tư đã được chọn ) (Chú ý rằng có tổng cộng 10 chữ số : 0,1,2,....9, và chữ số thứ 5 có thể bằng chữ số thứ 3 và thứ hai) Vậy ta có số thoả mãn đề bài. 24. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số bắt đầu bởi 23 Hai chữ số đầu là 23. Vậy chỉ còn chọn 3 chữ số 4,5,1 cho 3 số sau. Như thế có số . Gọi số tự nhiên có 5 chữ số có dạng là : (23abc) a có 3 cách chọn b có 2 cách chọn c có 1 cách chon Vậy có tất cả : 1*2*3 = 3! = 6 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau c