Giáo án môn Toán lớp 11 - Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp

Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 1 Ch−ơng I: Ph−ơng trình l−ợng giác cơ bản và một số ph−ơng trình l−ợng giác th−ờng gặp Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các b−ớc sau: B−ớc 1: Đặt điều kiện để ph−ơng trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức log arit có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa tan x va cot gx thì cần điều kiện để tan x và cot gx có nghĩa. B−ớc 2: Bằng ph−ơng pháp thích hợp đ−a các ph−ơng trình đã cho về một trong các ph−ơng trình cơ bản . B−ớc 3: Nghiệm tìm đ−ợc phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại. 1.1-Ph−ơng trình l−ợng giác cơ bản 1.1.1- Định nghĩa: Ph−ơng trình l−ợng giác là ph−ơng trình chứa một hay nhiều hàm số l−ợng giác . 1.1.2- Các ph−ơng trình l−ợng giác cơ bản. a) Giải và biện luận ph−ơng trình sin x m= (1) Do [ ]sin 1;1x∈ − nên để giải ph−ơng trình (1) ta đi biện luận theo các b−ớc sau B−ớc1: Nếu |m|>1 ph−ơng trình vô nghiệm B−ớc 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu m đ−ợc biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử α khi đó ph−ơng trình sẽ có dạng đặc biệt. 2 sin sin , 2 x k x k x k α pi α pi α pi = + = ⇔ ∈ = − + ℤ -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn đ−ợc qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m=sinα . Ta có: 2 sin sin , 2 x k x k x k α pi α pi α pi = + = ⇔ ∈ = − + ℤ Nh− vậy ta có thể kết luận ph−ơng trình có 2 họ nghiệm Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 2 Đặc biệt ta cần phải nhớ đ−ợc các giá trị của các cung đặc biệt nh− ; ; ; ; ;2 6 4 2 3 pi pi pi pi pi pi       vì sau khi biến đổi các bài toán th−ơng đ−a về các cung đặc biệt. Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình 1 sin 4 x = Giải: Ta nhận thấy 1 4 không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt 1 4 = sinα Khi đó ta có: 2 sin sin , 2 x k x k x k α pi α pi α pi = + = ⇔ ∈ = − + ℤ Vậy ph−ơng trình có 2 họ ngiệm Ví dụ 2: Giải ph−ơng trình 3 sin(3 ) 4 2 x pi + = Giải: Do 3 sin 3 2 pi = nên 3 sin(3 ) sin(3 ) sin 4 2 4 3 23 2 3 2 4 3 4 3 24 3 5 23 2 3 2 4 3 3 4 24 3 x x x k x k x k k x k x k x k pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi + = ⇔ + =    + = + = − + + = +   ⇔ ⇔ ⇔ ∈     + = − + = − − + = +      ℤ Vậy ph−ơng trình có hai họ nghiệm . b) Giải và biện luận ph−ơng trình l−ợng giác cos ( )x m b= Ta cũng đi biện luận (b) theo m B−ớc 1: Nếu 1m > ph−ơng trình vô nghiệm . B−ớc 2: Nếu 1m ≤ ta xét 2 khả năng: Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 3 -Khả năng 1: Nếu m đ−ợc biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử gócα . Khi đó ph−ơng trình có dạng 2 cos cos , 2 = + = ⇔ ∈ = − + ℤ x k x k x k α pi α α pi -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn đ−ợc qua cos của góc đặc biệt khi đó đặt m =cos α .Ta có: 2 cos cos , 2 = + = ⇔ ∈ = − + ℤ x k x k x k α pi α α pi Nh− vậy ta có thể kết luận ph−ơng trình có 2 họ nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ. Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình sau: 1 cos 2 x = − Giải: Do 2 1 cos( ) cos 3 3 2 pi pi pi − = = − nên 1 2 cos cos cos 2 ( ) 2 3 3 x x x k kpi pi pi= − ⇔ = ⇔ = ± + ∈ℤ Vậy ph−ơng trình có 2 họ nghiệm Ví dụ 2: Giải ph−ơng trình: 3cos(2 ) 1 6 x pi + = Giải: 13cos(2 ) 1 cos(2 ) 6 6 3 x x pi pi + = ⇔ + = Vì [ ]1 1;1 3 ∈ − và 1 3 không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc [ ]0;α pi∈ sao cho 1 cos 3 α = Ta có: cos(2 ) cos 2 2 6 6 x x kpi piα α pi+ = ⇔ + = ± + Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 4 2 2 ( ) 6 12 2 ⇔ = − ± + ⇔ = − ± + ∈ℤx k x k kpi pi αα pi pi Vậy ph−ơng trình có hai họ nghiệm . c) Giải và biện luận ph−ơng trình l−ợng giác tan ( )=x m c Ta cũng biện luận ph−ơng trình (c) theo các b−ớc sau: B−ớc 1: Đặt điều kiện cos 0 , 2 ≠ ⇔ ≠ + ∈ℤx x k kpi pi B−ớc 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu m đ−ợc biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử α khi đó ph−ơng trình có dạng tan tan ,= ⇔ = + ∈ℤx x k kα α pi -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn đ−ợc qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt m = tanα ta đ−ợc tan tan ,= ⇔ = + ∈ℤx x k kα α pi Nhận xét: Nh− vậy với mọi giá trị của tham số ph−ơng trình luôn có nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình tan 3x = Giải : Do 3 tan 6 pi = nên ta có: tan 3 tan tan 6 6 x x x kpi pi pi= ⇔ = ⇔ = + k∈ℤ Vậy ph−ơng trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải ph−ơng trình tan( ) 2 5 x pi − = Giải: Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 5 Điều kiện: cos( ) 0 5 5 2 x x kpi pi pi pi− ≠ ⇔ − ≠ + Do 2 không thể biểu diễn đ−ợc qua tan của góc đặc biệt nên ta đặt tan 2α = . Từ đó ta có tan( ) 2 tan( ) tan ( ) 5 5 5 5 x x x k x k kpi pi pi piα α pi α pi− = ⇔ − = ⇔ − = + ⇔ = − − ∈ℤ Vậy ph−ơng trình có một họ nghiệm. d) Giải và biện luận ph−ơng trình l−ợng giác cot ( )=x m d Ta cũng đi biện luận theo m B−ớc1: Đặt điều kiện sin 0x x k kpi≠ ⇔ ≠ ∈ℤ B−ớc 2: Xét 2 khả năng -Khả năng 1: Nếu m đ−ợc biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử α khi đó ph−ơng trình có dạng cot cot ,x x k kα α pi= ⇔ = + ∈ℤ -Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn đ−ợc qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt m =cotα ta đ−ợc cot cot ,x x k kα α pi= ⇔ = + ∈ℤ Nhận xét: Nh− vậy với mọi giá trị của tham số ph−ơng trình (d) luôn có nghiệm. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình sau: 1 cot( ) 4 3 x pi − = (1) Giải: Điều kiện cos( ) 0 4 − ≠x pi 4 4 x k x k kpi pipi pi⇔ − ≠ ⇔ ≠ − ∈ℤ (*) Ta có: (1)⇔ cot( ) cot 4 3 4 3 12 x x k x k kpi pi pi pi pipi pi− = ⇔ − = + ⇔ = − − ∈ℤ Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*) Vậy ph−ơng trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải ph−ơng trình Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 6 cot(4 35 ) 1ox + = − Giải: Ta nhận thấy cot( 45 ) 1o− = − nên ta có cot(4 35 ) 1 cot(4 35 ) cot( 45 )o o ox x+ = − ⇔ + = − 4 35 45 180 4 80 180 20 45 ( )o o o o o o ox k x k x k k+ = − + ⇔ = − + = − + ∈ℤ Vậy ph−ơng trình có 1 họ nghiệm . L−u ý: Không đ−ợc ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức. 1.2- Một số ph−ơng trình l−ợng giác th−ờng gặp. 1.2.1- Ph−ơng trình bậc hai đối với một hàm số l−ợng giác Dạng 1: 2sin sin 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c+ + = ≠ ∈ℝ (1) Cách giải: Đặt sint x= , điều kiện | |t 1≤ Đ−a ph−ơng trình (1) về ph−ơng trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x Dạng 2: 2cos cos 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c+ + = ≠ ∈ℝ (2) Cách giải: Đặt cost x= điều kiện | |t 1≤ ta cũng đ−a ph−ơng trình (2) về ph−ơng trình bậc hai theo t , giải tìm t rồi tìm x Dạng 3: 2tan tan 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c+ + = ≠ ∈ℝ (3) Cách giải: Điều kiện cos 0 , 2 x x k kpi pi≠ ⇔ ≠ + ∈ℤ Đặt ( )tant x t= ∈ℝ ta đ−a ph−ơng trình (3) về ph−ơng trình bậc hai theo t , chú ý khi tìm đ−ợc nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không Dạng 4: 2cot cot 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c+ + = ≠ ∈ℝ (4) Cách giải: Điều kiện sin 0x x k kpi≠ ⇔ ≠ ∈ℤ Đặt cot ( )t x t= ∈ℝ . Ta cũng đ−a ph−ơng trình (4) về ph−ơng trình bậc hai theo ẩn t. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình 22cos 3cos 1 0x x− + = (1) Giải: Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 7 Ph−ơng trình (1) 2cos 1 ,1 2cos 32 x kx k x kx pi pi pi ==  ⇔ ⇔ ∈  = ± +=   ℤ Vậy ph−ơng trình có 3 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải ph−ơng trình: 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x − + = (2) Giải: Điều kiện sin 2 0 , 2 ≠ ⇔ ≠ ∈ℤ k x x kpi Ta có: ( ) 2 2 2 2 cos sin 2(2) 4sin 2 sin cos sin 2 cos sin 24sin 2 sin .cos sin 2 2cos2 24sin 2 cos2 2sin 2 1 sin 2 sin 2 cos2 1 2cos 2 cos2 1 0 *1 cos2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + = − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = = ⇔ − − = ⇔  = −  Ta thấy cos2 1x = không thoả mãn điều kiện. Do đó (*)⇔ 1 2 cos2 2 2 2 3 3 x x k x k kpi pipi pi= − ⇔ = + ⇔ = ± + ∈ℤ Vậy ph−ơng trình có 2 họ nghiệm. Bài tập: Bài 1: Giải ph−ơng trình: 25sin 4sin 1 0x x− − = Bài 2 Giải ph−ơng trình: cos2 3cos 4 0x x− − = Bài 3: Giải ph−ơng trình: 53tan 2 3tan 0 2 x x− − = Bài 4: Giải ph−ơng trình: cos(4 2) 3sin(2 1) 2x x+ + + = Bài 5: Giải ph−ơng trình: 4tan 3 3tan3 1 0x x− + = Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 8 Bài 6: Giải ph−ơng trình: 4 2 25 cos 2 6cos 2 16 x x+ = Bài 7: Giải ph−ơng trình: 2 2 sin 2 tan 6 2cos 2sin 4 x x x pi = − Bài 8: Giải ph−ơng trình 21 2sin 3 2 sin sin 2 1 2sin .cos 1 x x x x x + − + = − Bài 9: Giải ph−ơng trình 4 4 1 cot 2 25 sin 2 x x + = 1.2.2- Ph−ơng trình bậc nhất đối với sin ,cosx x a)Định nghĩa: Ph−ơng trình sin cos (1)a x b x c+ = trong đó a, b, c∈ℝ và 2 2 0a b+ > đ−ợc gọi là ph−ơng trình bậc nhất đối với sin ,cosx x b) Cách giải. Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các b−ớc B−ớc 1:Kiểm tra -Nếu 2 2a b+ < 2c ph−ơng trình vô nghiệm -Nếu 2 2 2a b c+ ≥ khi đó để tìm nghiệm của ph−ơng trình ta thực hiện tiếp b−ớc 2 B−ớc 2: Chia cả 2 vế ph−ơng trình (1) cho 2 2a b+ , ta đ−ợc 2 2 2 2 2 2 sin cosa b cx x a b a b a b + = + + + Vì 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1a b a b a b + = + + nên tồn tại góc α sao cho 2 2 2 2 cos , sina b a b a b α α= = + + Khi đó ph−ơng trình (1) có dạng 2 2 2 2 sin .cos sin .cos sin( )c cx x x a b a b α α α+ = ⇔ + = + + Đây là ph−ơng trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 9 Cách 2: Thực hiện theo các b−ớc B−ớc 1: Với cos 0 2 ( ) 2 x x k kpi pi= ⇔ = + ∈ℤ thử vào ph−ơng trình (1) xem có là nghiệm hay không? B−ớc 2: Với cos 0 2 ( ) 2 x x k k Zpi pi≠ ⇔ ≠ + ∈ Đặt tan 2 x t = suy ra 2 2 2 2 1 sin , cos 1 1 t t x x t t − = = + + Khi đó ph−ơng trình (1) có dạng 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 0 (2) 1 1 t t a b c c b t at c b t t − + = ⇔ + − + − = + + B−ớc 3: Giải ph−ơng trình (2) theo t , sau đó giải tìm x. * Dạng đặc biệt: . sin cos 0 ( ) 4 x x x k kpi pi+ = ⇔ = − + ∈ℤ . sin cos 0 ( ) 4 x x x k kpi pi− = ⇔ = + ∈ℤ . Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau 2 2 2 2sin cosa b a x b x a b− + ≤ + ≤ + từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng sin cosy a x b x= + , sin cos sin cos a x b xy c x d x + = + và ph−ơng pháp đánh giá cho một số ph−ơng trình l−ợng giác . Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải ph−ơng trình: sin 2 3cos2 3x x− = (1) Giải : Cách 1: Chia cả hai vế ph−ơng trình (1) cho 2 21 3 10+ = ta đ−ợc 1 3 3 sin 2 cos2 10 10 10 x x− = Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 10 Đặt 3 1 sin , cos 10 10 α α= = . Lúc đó ph−ơng trình (1) viết đ−ợc d−ới dạng cos sin 2 sin cos2 sin sin(2 ) sin 2 2 2 2 2 x x x x x k x k x k x k α α α α α pi α α pi pi α pi α pi pi − = ⇔ − = = + − = + ⇔ ⇔  − = − + = +  k ∈ℤ Vậy ph−ơng trình có 2 nghiệm Cách 2:-Ta nhận thấy cos 0x = là nghiệm của ph−ơng trình -Với cos 0 , 2 x x k kpi pi≠ ⇔ ≠ + ∈ℤ . Đặt tant x= ,lúc đó 2 2 2 2 1 sin 2 , cos2 1 1 t t x x t t − = = + + Ph−ơng trình (1) sẽ có dạng 2 2 2 2 2 2 13 3 2 3(1 ) 3(1 ) 3 1 1 t t t t t t t t − − = ⇔ − − = + ⇔ = + + Hay tan 3 tan ,x x k kα α pi= = ⇔ = + ∈ℤ Vậy ph−ơng trình có 2 họ nghiệm Cách 3: Biến đổi ph−ơng trình về dạng 2sin 2 3(1 cos2 ) 2sin .cos 6cos cos 0 tan 3 tan(sin 3cos )cos 0 sin 3cos 0 cos 0 x x x x x x x x x x x x x α = + ⇔ = = = =  ⇔ − = ⇔ ⇔  − = =  , 2 x k k x k α pi pi pi = + ⇔ ∈  = +  ℤ Vậy ph−ơng trình có hai họ nghiệm Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện tr−ớc khi bắt tay vào giải ph−ơng trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những ph−ơng trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 2: Giải ph−ơng trình ( )2 2(sin cos )cos 3 cos2 2x x x x+ = + Giải: Ta biến đổi ph−ơng trình (2) Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 11 Ta có: 2 2 2 2 2 2 sin 2 2(1 cos2 ) 3 cos2 2 sin 2 ( 2 1)cos2 3 2 2 ; 2 1 ; 3 2 2 ( 2 1) 5 2 2 (3 2) 11 6 2 x x x x x a b c a b c ⇔ + + = + ⇔ + − = − = = − = − + = + − = − = − = − Suy ra 2 2a b+ < 2c Vậy ph−ơng trình đã cho vô nghiệm . Ngoài ra chúng ta cần l−u ý rằng việc biến đổi l−ợng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau Ví Dụ 3: Giải ph−ơng trình (1 3)sin (1 3)cos 2 (3)x x+ + − = Giải : Cách 1:Thực hiện phép biến đổi (3)⇔ 1 3 1 3 2 1( )sin ( )cos 2 2 2 2 2 2 2 x x + − + = = Đặt 1 3 1 3 cos ; sin 2 2 2 2 x x + − = = Ph−ơng trình (3) sẽ đ−ợc viết thành 1 sin .cos sin .cos sin( ) sin 42 x x x pi α α α+ = ⇔ + = 2 2 4 4 , 32 2 4 4 x k x k k x k x k pi pi α pi α pi pi pi α pi pi α pi   + = + = − +  ⇔ ⇔ ∈   + = − + = − +    ℤ Vậy ph−ơng trình có hai họ nghiệm Cách 2: Biến đổi ph−ơng trình về dạng Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 12 (sin cos ) 3(sin cos ) 2 2 sin( ) 6 cos( ) 2 4 4 1 3 1 sin( ) cos( ) 2 4 2 4 2 1 sin( )cos cos( )sin 4 3 4 3 2 sin( ) sin 4 3 4 22 312 4 52 2 12 4 6 x x x x x x x x x x x x kx k k x k x k pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pipi pi pipi pi pi pi pi pi pi + + − = ⇔ + − + = ⇔ + − + = ⇔ + − + = ⇔ + − =  = +− = +  ⇔ ⇔ ∈  − = − + = +    ℤ Vậy ph−ơng trình có hai họ nghiệm Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu đ−ợc nghiệm ph−ơng trình chẵn. Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt tan 2 x t = và ta cũng thu đ−ợc nghiệm chẵn *Chú ý: Đối với ph−ơng trình dạng sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) (*)a P x b Q x c Q x d P x+ = + trong đó a, b, c, d∈ℝ thoả mãn 2 2 2 2a b c d+ = + >0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hàm hằng số . Bằng phép chia cho 2 2a b+ ta có (*) [ ] [ ]sin ( ) sin ( )P x Q xα β⇔ + = + hoặc (*) [ ] [ ]cos ( ) cos ( )P x Q xα β⇔ + = + trong đó ,α β là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 4: Giải ph−ơng trình: cos7 sin5 3(cos5 sin 7 ) (4)x x x x− = − Giải: (4)⇔ cos7 3sin 7 3 cos5 sin5x x x x+ = + 1 3 3 1 cos7 sin 7 cos5 sin5 2 2 2 2 x x x x⇔ + = + Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 13 cos cos7 sin sin 7 cos cos5 sin sin5 3 3 6 6 x x x x pi pi pi pi ⇔ + = + cos(7 ) cos(5 ) 3 6 x x pi pi ⇔ − = − 7 5 2 3 6 7 (5 ) 2 3 6 x x k x x k pi pi pi pi pi pi pi  − = − + ⇔   − = − − +  2 2 6 12 312 2 8 62 x k x k k Z k xx k pi pi pi pi pi pipi pi   = + = +  ⇔ ⇔ ∈    = += +    Vậy ph−ơng trình có hai họ nghiệm. Bài tập: Giải các ph−ơng trình sau : 1. 3sin cos 3x x+ = 2. 10cos 24sin 2 13x x− = 3. 2 2sin 6 cos 3cos 2 sinx x x x+ = + 4. 34cos 3sin3 1 3cosx x x− = + 5. 4 4sin cos 1 2 2 sin .cosx x x x− = + 6. 4 42( 3sin cos ) 7 sin 2 3(cos sin )x x x x x− = + − 7. 3 18sin cos sin x x x = + 8. 2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x+ = + 9. cos 2cos2 2 2 cos3x x x+ = + 10. 2 32 cos( ) 6 sin( ) 2sin( ) 2sin( ) 5 12 5 12 5 3 5 6 x x x xpi pi pi pi − − − = + − + 1.2.3- Ph−ơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x . a) Định nghĩa: Ph−ơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x ,cos x là ph−ơng trình. 2 2sin sin .cos cosa x b x x c x d+ + = (1) trong đó a, b, c, d ∈ℝ b) Cách giải : Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 14 Chia từng vế của ph−ơng trình (1) cho một trong ba hạng tử 2 2sin ,cosx x hoặc sin .cosx x . Chẳng hạn nếu chia cho 2cos x ta làm theo các b−ớc sau: B−ớc 1: Kiểm tra: cos 0 , 2 x x k kpi pi= ⇔ = + ∈ℤ xem nó có phải là nghiệm của ph−ơng trình(1) hay không? B−ớc 2: Với 0cosx ≠ chia cả hai vế cho 2cos x lúc đó ph−ơng trình (1) trở thành 2 2 2 tan tan (1 tan ) ( ) tan tan 0 a x b x c d x a d x b x c d + + = + ⇔ − + + − = Đây là ph−ơng trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 2 21 cos2 1 cos2 sin 2sin ; cos ; sin .cos 2 2 2 x x x x x x x − + = = = đ−a ph−ơng trình đã cho về ph−ơng trình sin 2 ( )cos2b x c a x d c a+ − = − − Đây là ph−ơng trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải *Chú ý: Đối với ph−ơng trình đẳng cấp bậc n (n≥ 3) với dạng tổng quát (sin ,cos ,sin cos ) 0n n k hA x x x x = trong đó ; , ,k h n k h n+ = ∈ℕ Khi đó ta cũng làm theo 2 b−ớc : B−ớc 1: Kiểm tra xem cos 0x = có phải là nghiệm của ph−ơng trình hay không? B−ớc 2: Nếu cos 0x ≠ .Chia cả hai vế của ph−ơng trình trên cho cosn x ta sẽ đ−ợc ph−ơng trình bậc n theo tan . Giải ph−ơng trình này ta đ−ợc nghiệm của ph−ơng trình ban đầu. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải ph−ơng trình : 22 3 cos 6sin .cos 3 3x x x+ = + (1) Giải: Cách 1: Ph−ơng trình (1) 3(1 cos2 ) 3sin 2 3 3 cos2 3sin 2 3x x x x⇔ + + = + ⇔ + = Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 15 1 3 3 3 cos2 sin 2 cos(2 ) 2 2 2 3 2 x x x pi ⇔ + = ⇔ − = 2 2 2 3 6 4 2 2 3 6 12   − = + = +  ⇔ ⇔ ∈    − = − + = +   ℤ x k x k k x k x k pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi Vậy ph−ơng trình có hai họ nghiệm. Cách 2: +) Thử với cos 0 2 2 x x k kpi pi= ⇔ = + ∈ℤ vào ph−ơng trình (1) ta có 0 3 3= + ⇒ vô lí. Vậy 2 2 x k kpi pi= + ∈ℤ không là nghiệm của ph−ơngtrình. +)Với cos 0x ≠ Chia cả hai vế của ph−ơng trình cho 2cos x ta đ−ợc 2 22 3 6 tan (3 3)(1 tan ) (3 3) tan 6 tan 3 3 0x x x x+ = + + ⇔ + − + − = tan 1 43 3 tan tan 3 3 =  = + ⇔ ⇔ ∈ − = = = + + ℤ x x k k x x k pi pi α α pi Vậy ph−ơng trình có hai họ nghiệm * Chú ý: Không phải ph−ơng trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện một số phép biến đổi thích hợp Ví Dụ 2: Giải ph−ơng trình: 3sin ( ) 2 sin 4 x x pi − = (2) Giải : Ta nhận thấy sin( ) 4 x pi − có thể biểu diễn đ−ợc qua sin cosx x− . Luỹ thừa bậc ba biểu thức sin cosx x− ta sẽ đ−a ph−ơng trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải Ph−ơng trình (2) 3 32 2 sin ( ) 4sin 2 sin( ) 4sin 4 4 x x x x pi pi  ⇔ − = ⇔ − =   3(sin cos ) 4sinx x x⇔ − = Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 16 +) Xét với cos 0 2 2 x x k kpi pi= ⇔ = + ∈ℤ . Khi đó ph−ơng trình có dạng 3sin ( ) 4sin( ) 2 2 k kpi pipi pi⇔ + = + ⇒mâu thuẫn Vậy ph−ơng trình không nhận 2 2 x kpi pi= + làm nghiệm +) Với cos 0x ≠ . Chia cả hai vế của ph−ơng trình (2) cho 3cos x ta đ−ợc : 3 2 3 2(tan 1) 4(1 tan ) tan 3tan 3tan tan 1 0x x x x x x− = + ⇔ + + − = . Đặt tant x= ph−ơng trình có đ−ợc đ−a về dạng: 3 2 23 3 1 0 ( 1)(3 1) 0 1 4 t t t t t t x k kpi pi + + − = ⇔ + + = ⇔ = ⇔ = − + ∈ℤ Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của ph−ơng trình . Vậy ph−ơng trình có duy nhất 1 họ nghiệm *Chú ý: Ngoài ph−ơng pháp giải ph−ơng trình thuần nhất đã nêu ở trên có những ph−ơng trình có thể giải bằng ph−ơng pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất. Ví Dụ 3: Giải ph−ơng trình: 1 tan 1 sin 2 1 tan x x x − = + + (3) Giải : Điều kiện cos 0 2 tan 1 4 x k x k x x k pi pi pi pi  ≠ +≠  ⇔ ∈  = −  ≠ − +  ℤ Cách 1: Biến đổi ph−ơng trình về dạng : ( ) ( ) 2 3 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x − = + + ⇔ − = + Chia cả hai vế của ph−ơng trình (3) cho 3cos 0x ≠ ta đ−ợc : Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 17 ( ) ( ) ( ) 32 2 3 2 2 1 tan 1 tan tan 1 tan tan tan 2tan 0 tan tan 2 tan 0 (*) x x x x x x x x x x + − + = + ⇔ + + = ⇔ + + = (do 2tan tan 2 0x x+ + = vô nghiệm) nên: Ph−ơng trình (*) ( )tan 0x x k kpi⇔ = ⇔ = ∈Z Vậy ph−ơng trình có một họ nghiệm Cách 2: Biến đổi ph−ơng trình về dạng ( )2 2 2 cos sin cos sin cos sin cos 24 2sin cot( ) 4 4 1 cot ( )sin 44 x x x x x x x x x xx pi pi pi pipi − = + +   +    ⇔ = + ⇔ + =      + ++    Đặt cot( ) 4 t x pi = + ta đ−ợc : ( )( )3 222 2 0 1 2 0 11 cot( ) 1 ( ) 4 4 4 t t t t t t t t hay x x k x k kpi pi pi pi pi = ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ = + + = ⇔ + = + ⇔ = ∈ℤ Vậy ph−ơng trình có một họ nghiệm Bài tập : Giải các ph−ơng trình sau : 1) 23sin 4sin .cos cos 0x x x x− + = 2) 3 3 22cos sin 11sin 3cos 0x x x x+ − − = 3) 14sin 6cos cos x x x + = 4) 3sin3 2sinx x= 5) 3 2 2 3sin 5sin cos 7sin cos 2cos 0x x x x x x− + − = Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 18 6) 3sin 2 sin sin3 6cosx x x x+ = 7) 3 18cos sin cos x x x = + 8) 2 2 4(sin 4cos )(sin 2sin .cos ) 2x x x x x cos x− − = 9) 3 3cos sin sin cosx x x x− = − 1.2.4-Ph−ơng trình đối xứng đối với sin x và cos x . a) Định nghĩa: Ph−ơng trình đối xứng đối với sin x và cos x là ph−ơng trình dạng (sin cos ) sin cos 0a x x b x x c+ + + = trong đó , ,a b c∈ℝ (1) b) Cách giải: Cách 1: Do 2(sin ) 1 sin cosa x cosx x x+ = + nên ta đặt sin cos 2 sin( ) 2 cos( ) 4 4 t x x x x pi pi = + = + = − . Điều kiện | | 2t ≤ Suy ra 2 1 sin cos 2 t x x − = và ph−ơng trình (1) đ−ợc viết lại: 2 2 ( 2 ) 0bt at b c+ − + = Đó là ph−ơng trình bậc hai đã biết cách giải Cách 2: Đặt 4 t x pi = − thì sin cos 2 cos( ) 2 cos 4 x x x t pi + = − = 21 1 1 1sin cos sin 2 cos( 2 ) cos2 cos 2 2 2 2 2 x x x x t t pi = = − = = − nên ph−ơng trình (1) trở thành 2cos 2 cos 0 2 bb x x c+ − + = . Đây là ph−ơng trình bậc hai đã biết cách giải *Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho ph−ơng trình (sin cos ) sin cos 0a x x b x x c− + + = bằng cách đặt sin cost x x= − và lúc đó 21 sin cos 2 t x x − = Ví Dụ Minh Hoạ : Ví Dụ 1: Giải ph−ơng trình sin cos 2sin cos 1 0 (1)x x x x+ − + = Giải: Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 19 Cách 1: Đặt sin cosx x t+ = điều kiện | | 2t ≤ . Lúc đó 2 1 sin cos 2 t x x − = Khi đó ph−ơng trình (1) sẽ có dạng 2 12( ) 1 0 2 t t − − + = 2 1 2 0 (*) 2 t t t t = − ⇔ − − = ⇔  = Với 2t = không thoả mãn điều kiện nên (*) 1t⇔ = − sin cos 1x x⇔ + = − 212 sin( ) 1 sin( ) 2 4 4 2 2 x k x x k x k pi pipi pi pi pi  = − +⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ ∈  = + ℤ Cách 2: Đặt 4 z x pi = − . Khi đó ph−ơng trình có dạng 2 cos( ) sin 2 1 0 4 x x pi − − + = ⇔ 2 cos sin 2( ) 1 0 4 z z pi − − + = ⇔ 2 cos sin( ) 1 0 2 z z pi − − + = ⇔ 2 cos cos2 2 0z z− + = 22 cos (2cos 1) 1 0z z⇔ − − + = ⇔ 22cos 2 cos 1 0z z− + + = cos 2 2 cos 2 z z  = ⇔  = − (*’) Ta thấy cos 2z = không thoả mãn Do đó (*’) 3 22 4 cos 32 2 4 z k z z k pi pi pi pi  = − + ⇔ = − ⇔   = +  3 2 4 4 3 2 4 4 x k x k pi pi pi pi pi pi  − = + ⇔   − = +  2 2 2 x k k x k pi pi pi pi  = − −⇔ ∈  = − ℤ Vậy ph−ơng trình có hai họ nghiệm Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 20 *Chú ý: Ta có thể đ−a một số dạng ph−ơng trình về dạng ph−ơng trình đối xứng đã xét ở trên Bài toán 1: Giải ph−ơng trình 2 2tan cot ( sin cos ) (1) 0+ = ± ≠a x b x c a x b x ab Cách giải: Ph−ơng trình (1) có thể viết 2 2 2 2sin cos ( sin cos ) sin .cos − = ±a x b x c a x b x x x ⇔ ( sin cos )( sin cos ) ( sin cos )a x b x a x b x c a x b x− + = ± ⇔ [ ] [ ]( sin cos ) ( sin cos ) sin .cos 0a x b x a x b x c x x ± − = ∓ [ ] [ ] sin cos 0 sin cos sin .cos 0  ± = ⇔  − = ∓ a x b x a x b x c x x *Quy −ớc: Khi có nhiều dấu [ ]± trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng d−ới Ví Dụ 2: Giải ph−ơng trình tan 3cot 4(sin 3 cos ) (2)x x x x− = + Giải: Điều kiện: sin .cos 0 2 k x x x kpi≠ ⇔ ≠ ∈ℤ Ta có (2) 2 2 1 (sin 3cos ) 4(sin 3 cos ) sin .cos x x x x x x ⇔ − = + (sin 3 cos )(sin 3 cos ) 4(sin 3 cos )sin .cosx x x x x x x x⇔ − + = + (sin 3 cos ). (sin 3 cos )sin 2 0x x x x x ⇔ + − =  sin 3 cos 0 (4) sin 3 cos sin 2 0 (3) x x x x x  + = ⇔  − − = Ta có (3) tan 3 (5) 3 x x kpi pi⇔ = − ⇔ = − + (4) 1 3 sin cos sin 2 2 2 x x x⇔ − = cos sin sin cos sin 2 3 3 x x x pi pi ⇔ − = Hoàng Trọng Nam – THPT Cũ Nũi - Mai Sơn – Sơn La hoangtrongnam2010@gmail.com 21 2 2 3 sin( ) sin 2 3 2 2 3 x x l x x x x l pi pi pi pi pi pi  = − + ⇔ − = ⇔   = − + +  2 3 4 2 3 x l l x l pi pi pi pi  = − + ⇔ ∈  = +  ℤ (6) Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của ph−ơng trình Vậy theo ph−ơng trình có hai họ