Giáo án môn Toán lớp 11 - Tiết: 57, 58 - Giới hạn của dãy số

Ngày soạn: Ngày giảng: Chương IV: Giới hạn Tiết: 57, 58 - giới hạn của dãy số I - Mục đích, yêu cầu: HS hiểu rõ bản chất định nghĩa giới hạn của dãy số; nắm được các định lý về giới hạn của dãy số, dãy số dần tới vô cực và ứng dụng của các định lý đó; nắm được định nghĩa số e, công thức tính tổng của một cấp số nhân có công bội q HS biết vận dụng định nghĩa để chứng minh giới hạn của một dãy số; vận dụng định lý để chứng minh sự tồn tại (hoặc không tồn tại) giới hạn của một dãy số, tìm giới hạn của một dãy số. II - Tiến hành: A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số. B - Kiểm tra bài cũ. Cho hai dãy số: ; + Hãy biểu diễn hình học hai dãy số trên. + Nêu tất cả các nhận xét về hai dãy số đó (tính đơn điệu, bị chặn, khoảng cách giữa các phần tử với nhau, khoảng cách giữa các phần tử với một số nào đó). C - Giảng bài mới: Hoạt động của GV Hoạt động của HS 1. Phép chứng minh quy nạp: GV hướng dẫn HS xét cụ thể hơn về dãy : Giả sử xét một khoảng cách rất bé e nào đó, tìm chỉ số N để với mọi n > N ta có khoảng cách un và 1 nhỏ hơn e, tức là |un - 1| < e. Tìm N trong từng trường hợp sau: và tuỳ ý. HS theo dõi. HS suy nghĩ và giải cụ thể được các kết quả: N = 100, N = 1000 và N = . Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV khẳng định: Ta nói dãy số đã cho có giới hạn là 1 khi n dần tới vô cực. Nêu định nghĩa. Định nghĩa: Dãy số (un) có giới hạn là a nếu "e>0 (nhỏ tuỳ ý) tồn tại N ẻ N* sao cho "n >N thì |un - a| < e. Kí hiệu: hay hay GV nêu các ví dụ và hướng dẫn HS giải cụ thể. Ví dụ. Tìm các giới hạn sau: GV lưu ý HS ghi nhớ các kết quả được đóng khung và coi như công thức. 2. Một số định lý về giới hạn của dãy số: GV: Công việc tìm giới hạn bằng định nghĩa không phải bao giờ cũng dễ thực hiện, vì thế cần có thêm các công cụ khác. Ta thừa nhận các định lý sau. Định lý 1: (điều kiện cần để dãy số có giới hạn) Dãy số (un) có giới hạn thì bị chặn. GV nêu ví dụ. Ví dụ: Dãy số un = (-1)n.n không bị chặn nên không có giới hạn. GV yêu cầu HS nêu ứng dụng của định lý 1. GV chính xác hoá. GV nêu định lý 2. Định lý 2: (tính duy nhất của giới hạn) Nếu dãy số (un) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. HS theo dõi và ghi chép. HS giải các ví dụ theo các bước: + Dự đoán a. + Chứng minh theo định nghĩa. ĐS: a) b) c) d) HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời: Để chứng minh một dãy số là không có giới hạn ta chứng minh dãy đó không bị chặn. HS theo dõi và ghi chép. Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV nêu định lý 3. Định lý 3: (điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) Nếu (un) là dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì dãy số (un) có giới hạn. GV nhấn mạnh: đây là định lý dùng để chứng minh một dãy số là có giới hạn. GV nêu và hướng dẫn HS giải ví dụ. Ví dụ: Chứng minh rằng dãy số (un) xác định bởi là có giới hạn. GV nêu định lý 4. Định lý 4: (nguyên lý giới hạn kẹp) Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn) thoả mãn: un vn wn , "n ẻ N* và limun = limwn = a thì limvn = a. GV sơ đồ hoá định lý để HS dễ nhớ hơn. un Ê vn Ê wn a GV nêu và hướng dẫn HS giải ví dụ. Ví dụ: Tìm các giới hạn . Định lý 5: (Các phép toán về giới hạn) Nếu hai dãy số (un) và (vn) có giới hạn thì: GV nêu câu hỏi: từ định lý trên suy ra công thức cho lim(a.un) ? GV nêu và hướng dẫn HS dùng các công thức vừa nêu để giải ví dụ. HS theo dõi và ghi chép. HS giải ví dụ: chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên (un < 4, "n) bằng phương pháp quy nạp. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và giải ví dụ. ĐS: HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời: lim(a.un) = a.limun Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ví dụ. Tìm các giới hạn sau: GV nêu định lý 6. Định lý 6. Nếu thì limqn = 0. 3. Tổng của một cấp số nhân vô hạn có công bội q với . GV nêu định lý. Định lý: Cho cấp số nhân vô hạn có công bội q với . Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: GV hướng dẫn HS chứng minh định lý: S = limSn . GV nêu ví dụ. Ví dụ: Tính tổng 4. Số e : GV nêu định nghĩa số e. Cho dãy số , ta có thể chứng minh được dãy (un) tăng và bị chặn trên ị $ limun. Đặt GV có thể nói thêm về vai trò của số e trong khoa học kỹ thuật. HS suy nghĩ và giải các ví dụ. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và chứng minh định lý. HS suy nghĩ và giải ví dụ. ĐS: HS theo dõi và ghi chép. Hoạt động của GV Hoạt động của HS 5. Dãy số dần tới vô cực: GV nêu ví dụ. Ví dụ: Nêu nhận xét về giá trị của các số hạng của dãy số GV chính xác hoá nhận xét: Ta thấy có thể lớn bao nhiêu tuỳ ý miễn là n đủ lớn. GV nêu định nghĩa. Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực nếu " M > 0 (lớn tuỳ ý), $n0 ẻ N* sao cho : " n > n0 thì > M. Kí hiệu: limun = Ơ hoặc un đ Ơ. GV đặt câu hỏi: Nếu limun = Ơ thì dãy (un) có giới hạn không ? Vì sao ? Chú ý: Khi limun = Ơ thì (un) không có giới hạn nên không được áp dụng các định lý đã học. Ví dụ 1: Chứng minh rằng lim(2n2 - 2) = Ơ. Định lý: * Nếu limun = Ơ thì = 0. * Nếu limun = 0 thì = Ơ. * Nếu limun = Ơ, limvn = a ạ 0 thì . * Nếu limun = 0, limvn = a ạ 0 thì . Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau: HS viết dạng khai triển và đưa ra nhận xét. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời: khi đó dãy (un) là không có giới hạn vì nó không bị chặn. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và giải ví dụ1. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và giải ví dụ 2. ĐS: D - Hướng dẫn công việc ở nhà: * Xem lại lý thuyết và các ví dụ. * Làm các bài tập 1 - 8 (SGK trang 115, 116). Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết: 59, 60 - Bài tập về giới hạn của dãy số I - Mục đích, yêu cầu: Củng cố cho HS định nghĩa giới hạn của dãy số; các định lý về giới hạn của dãy số, dãy số dần tới vô cực và ứng dụng của các định lý đó; định nghĩa số e, công thức tính tổng của một cấp số nhân có công bội q Rèn cho HS kỹ năng vận dụng định nghĩa để chứng minh giới hạn của một dãy số; vận dụng định lý để chứng minh sự tồn tại (hoặc không tồn tại) giới hạn của một dãy số, tìm giới hạn của một dãy số. II - Tiến hành: A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số. B - Kiểm tra bài cũ. Phát biểu các định lí về giới hạn của dãy số? C - Chữa bài tập: Đề bài Hướng dẫn - Đáp số Bài 1(115). áp dụng định nghĩa giới hạn của dãy số, chứng minh: Bài 2(115). Tìm các giới hạn sau: Bài 3(115). Tìm các giới hạn sau: Bài 4(115). Cho dãy số (un) xác định bởi Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn. Tìm giới hạn đó. Bài 5(116). Tìm các giới hạn sau: Bài 6(116). Tìm tổng của các cấp số nhân vô hạn sau đây: Bài 7(116). Tìm giới hạn của tổng diện tích tất cả các hình vuông tạo thành trong hình bên. Bài 8(116). Tìm các giới hạn sau: Có thể chọn N như sau: (dùng nguyên lý giới hạn kẹp) Theo bài 7(95), chứng minh được (un) giảm và bị chặn dưới nên tồn tại limun. Đặt a = limun D - Hướng dẫn công việc ở nhà: * Xem lại lý thuyết và các ví dụ. * Làm các bài tập còn lại * Đọc trước bài: Giới hạn của hàm số. Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết: 61, 62 - giới hạn của hàm số I - Mục đích, yêu cầu: Trên cơ sở kiến thức về giới hạn của dãy số, HS hiểu và nắm vững được bản chất định nghĩa giới hạn của hàm số, các định lý về giới hạn của hàm số, mở rộng định nghĩa giới hạn của hàm số (hàm số dần tới vô cực, giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn một phía). HS biết cách tìm giới hạn của hàm số (nhận dạng các dạng vô định và cách khử dạng vô định). II - Tiến hành: A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số. B - Kiểm tra bài cũ. GV nêu câu hỏi kiểm tra bài cũ. 1. Nêu định nghĩa giới hạn của hàm số. 2. Nêu các định lý về giới hạn của hàm số. C - Giảng bài mới : Hoạt động của GV Hoạt động của HS 1. Định nghĩa: a) Ví dụ. Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = 3x2 + 1. * Tìm tập xác định của hàm số đó. * Chọn một vài dãy số (xn) bất kỳ sao cho: limf(xn) = 0 mà xn ạ 0, " n ẻ N*. Từ đó tìm f(xn) và limf(xn). áp dụng cho cả trường hợp tổng quát. Nêu nhận xét về kết quả thu được. Ví dụ2: Cho hàm số y = f(x) = . * Tìm tập xác định của hàm số đó. * Giả sử dãy số (xn) bất kỳ thoả mãn: limf(xn) = 1 mà xn ạ 1, " n ẻ N*. Tìm f(xn) và limf(xn). Nêu sự phụ thuộc của kết quả thu được vào dãy (xn). HS xét ví dụ. * TXĐ: D = R * HS có thể chọn hoặc , ... đều cho kết quả là limf(xn) = 1. * TXĐ: D = R\{1} * HS suy nghĩ và trả lời: limf(xn) = lim(xn + 1) = limxn + 1 = 2, không phụ thuộc vào (xn). Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV tổng quát thành định nghĩa. b) Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (có thể trừ tại điểm a ẻ K). Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L (hay dần tới L) khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn) thoả mãn : thì limf(xn) = L. Ta viết GV yêu cầu HS từ định nghĩa trên hãy viết lại giới hạn cho hai hàm số trong ví dụ đã nêu. 2. Một số định lý về giới hạn của hàm số: GV nêu định lý 1. Định lý 1. (tính duy nhất của giới hạn) Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất. GV nêu định lý 2. Định lý 2. (các phép toán trên giới hạn) Nếu các hàm số f(x), g(x) đều có giới hạn khi x dần tới a thì: Định lý 3. (nguyên lý giới hạn kẹp) Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác định trên K và a ẻ K (có thể trừ điểm a). Nếu g(x) [ f(x) [ h(x), "x ẻ K và thì . GV nêu định lý 4. Định lý 4. Nếu và với mọi x đủ gần a mà f(x)> 0 (hoặc f(x)< 0) thì L 0 (hoặc L 0). HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ cách chứng minh. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV lấy ví dụ minh hoạ để giải thích định lý 4. GV nêu ví dụ áp dụng các định lý đã nêu trên và hướng dẫn HS cách giải. Ví dụ. Tìm các giới hạn sau: GV lưu ý HS về cách khử các dạng vô định. 3. Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số: a) Hàm số dần tới vô cực: GV yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa dãy số dần tới vô cực. GV nêu và hướng dẫn HS xét ví dụ. Ví dụ: Xét hàm số . * Tìm tập xác định của hàm số. * Tìm giới hạn của f(x) khi x đ 1 bằng định nghĩa. GV: Ta nói hàm số f(x) dần tới vô cực khi x đ 1. GV nêu định nghĩa. Định nghĩa: Ta nói rằng hàm số f(x) dần tới vô cực khi x đ a nếu với mọi dãy số (xn), (xn ạ a) sao cho lĩmn = a thì limf(xn) = Ơ. Viết hoặc f(x) đ Ơ khi x đ a. GV hướng dẫn HS đưa ra các chú ý. HS suy nghĩ và tính các giới hạn đã cho. Đáp số: HS suy nghĩ và trả lời. HS xét ví dụ theo sự hướng dẫn của GV. * TXĐ: D = R\{1} * Chọn dãy số (xn) sao cho limxn = 1 và xn ạ 1, "n ẻ N*. Ta có HS theo dõi và ghi chép. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Chú ý: * Vì Ơ không phải là một số nên khi f(x) đ Ơ với x đ a thì f(x) không có giới hạn nên không áp dụng được định lý 2. * Nếu f(x) đ Ơ khi x đ a và f(x) > 0, với mọi x đủ gần a thì kí hiệu . * Nếu f(x) đ Ơ khi x đ a và f(x) < 0, với mọi x đủ gần a thì kí hiệu . GV nêu định lý. Định lý: * Nếu (f(x) ạ 0, với mọi x đủ gần a) thì . * Nếu thì . GV nêu ví dụ. Ví dụ. Tìm các giới hạn sau: b) Giới hạn tại vô cực: GV yêu cầu HS tự đọc ví dụ trong SGK (trang 123) rồi trình bày theo ý hiểu. Từ đó nêu định nghĩa tổng quát. GV chính xác hoá. Định nghĩa: Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, nếu với mọi dãy số (xn) sao cho limxn = Ơ thì limf(xn) = L. Viết hay f(x) đ L khi x đ Ơ. Ta có: * thì limf(xn) = L. * thì limf(xn) = L. HS theo dõi và ghi chép. HS thừa nhận định lý, HS theo dõi và ghi chép. HS giải ví dụ. Đáp số: HS đọc ví dụ và trả lời câu hỏi của GV. HS theo dõi và ghi chép. Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV đặt câu hỏi: có được phép áp dụng định lý 2 cho các giới hạn tại vô cực hay không? GV chính xác hoá thành chú ý. Chú ý: Vì L là một số nên được phép áp dụng định lý 2 cho giới hạn tại vô cực. GV nêu ví dụ. Ví dụ. Tìm giới hạn: . c. Giới hạn một bên: GV lấy ví dụ về giới hạn của hàm số khi x đ 0 để từ đó đưa ra định nghĩa. Định nghĩa: Số L được gọi là giới hạn bên phải (hoặc bên trái) của hàm số f(x) khi x đ a, nếu với mọi dãy số (xn) với xn > a (hoặc xn < a) sao cho limxn = a thì limf(xn) = L. Viết (hoặc ). GV nêu định lý. Định lý: GV nêu ví dụ. Ví dụ 1. Tìm các giới hạn: HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. HS giải ví dụ. HS theo dõi. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS trình bày lời giải. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ví dụ 2. Cho hàm số Tìm a để tồn tại và tìm . 4. Các dạng vô định: GV khẳng định: Ta có thể gặp các dạng vô định là . GV nêu các ví dụ, hướng dẫn cách giải đ thông qua ví dụ hình thành cho HS phương pháp khử các dạng vô dịnh cụ thể. Ví dụ. Tìm các giới hạn: HS suy nghĩ và giải ví dụ. Khi đó . HS theo dõi. HS giải ví dụ dưới sự hướng dẫn của GV. Đáp số: D - Hướng dẫn công việc ở nhà: * Xem lại lý thuyết và các ví dụ. * Làm các bài tập 1 đ 12 (SGK trang 128 đ 131). Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết: 63, 64 – bài tập về giới hạn của hàm số I - Mục đích, yêu cầu: Củng cố cho HS định nghĩa giới hạn của hàm số, các định lý về giới hạn của hàm số, mở rộng định nghĩa giới hạn của hàm số (hàm số dần tới vô cực, giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn một phía). Rèn cho HS kỹ năng tìm giới hạn của hàm số (nhận dạng các dạng vô định và cách khử dạng vô định). II - Tiến hành: A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số. B - Kiểm tra bài cũ. E - Chữa bài tập: Đề bài Hướng dẫn - Đáp số Bài1(128). Tìm các giới hạn sau: Bài 2(129). Tìm các giới hạn sau: Bài 3(129). Cho , tìm . Bài 4(129). Tìm các giới hạn sau: Bài 5(129). Tìm các giới hạn sau: Bài 6(129). Tìm các giới hạn sau: Bài 7(130). Chứng minh rằng . Bài 8(130). Hãy định nghĩa hàm số dần tới vô cực khi x dần tới vô cực. Bài 9(130). Tìm L= với a0b0 ạ 0 và m, p ẻ N*. Bài 10(130). Hãy định nghĩa hàm số dần tới vô cực a) khi x đ a+ b) khi x đ a- Bài 11(130). Cho các hàm số sau, tìm giới hạn và (nếu có): Bài 12(131). Tính các giới hạn sau: Ta có Mà nên suy ra đpcm. với mọi dãy (xn) sao cho limxn = Ơ ta có limf(xn) = Ơ. * Nếu m < p thì L = 0 * Nếu m = p thì L = * Nếu m > p thì L = Ơ. a) với mọi dãy (xn), xn > a sao cho limxn = a ta có limf(xn) = Ơ. a) với mọi dãy (xn), xn > a sao cho limxn = a ta có limf(xn) = Ơ. D - Hướng dẫn công việc ở nhà: * Xem lại lý thuyết và các ví dụ. * Làm các bài tập còn lại * Đọc trước bài: hàm số liên tục. Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết 65, 66 - Hàm số liên tục I - Mục đích, yêu cầu: HS nắm chắc định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng, liên tục trên một đoạn; các định lý về hàm số liên tục. HS biết cách: xét tính liên tục của một hàm số, bổ sung giá trị để một hàm số là liên tục, áp dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình. II - Tiến hành: A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số. B - Kiểm tra bài cũ: ã Nêu định nghĩa f(x) = L. ã Tính . C - Giảng bài mới: Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV hướng dẫn HS xét hàm số . ã Tìm tập xác định của f(x). ã Nêu nhận xét về đồ thị của hàm số y = f(x). ã Muốn hàm số y = f(x) xác định trên R thì phải làm gì ? ã Nếu đặt thì đồ thị của hàm số y = f(x) có đặc điểm gì ? ã Nếu đặt thì đồ thị của hàm số y = f(x) có đặc điểm gì ? ã So sánh với f(2) trong hai trường hợp trên và rút ra nhận xét. HS tiến hành từng bước theo yêu cầu của GV. ã Tập xác định của f(x) là R\{2} ã Đồ thị của hàm số y = f(x) là đường thẳng y = x + 2 bỏ điểm (2;4). ã Muốn vậy ta gán giá trị cho f(2). ã Khi f(2) = 4 thì đồ thị là một đường liền. ã Khi f(2) = 2 thì đồ thị vẫn không phải là một đường liền. ã . Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV khẳng định: Hàm số f(x) trong trường hợp ứng với f(2) = 4 được gọi là liên tục tại điểm x = 2. GV yêu cầu HS phát biểu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm. GV chính xác hoá. 1. Hàm số liên tục tại một điểm: Định nghĩa 1 : Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 ẻ (a; b) nếu . Nếu f(x) không liên tục tại x0 thì ta nói f(x) gián đoạn tại x0 và điểm x0 gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x). GV đặt câu hỏi: ã Khi nào thì hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x0 ? ã Điều kiện tồn tại là gì ? ã Định nghĩa trên có thể phát biểu lại như thế nào? GV chính xác hoá. Định nghĩa 2: Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) là liên tục tại điểm x0 ẻ (a; b) nếu tồn tại và và = =f(x0). GV yêu cầu HS nêu các bước để xét tính liên tục của hàm số tại môt điểm. GV chính xác hoá và nêu các ví dụ áp dụng. Ví dụ 1: Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 = 2, biết rằng a = const. GV gọi HS khác nhận xét bài giải của bạn và chính xác hoá. HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. ã f(x) gián đoạn tại x0 nếu xảy ra một trong ba trường hợp sau: + f(x) không xác định tại x0. + không tồn tại . + ã = ã HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. HS suy nghĩ và trình bày cách giải ví dụ 1 theo các bước vừa nêu. (đã xét qua ở phần đầu) ĐS: * a = 2 thì f(x) liên tục tại x0 = 2. * a ạ 2 thì f(x) gián đoạn tại x0 = 2. Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV nêu ví dụ 2. Ví dụ 2: Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 = 0. GV gọi HS khác nhận xét bài giải của bạn và chính xác hoá. * Đặc trưng khác của tính liên tục tại một điểm: GV nêu định nghĩa. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng K. Giả sử x, x0 ẻ K (x ạ x0). Đặt Dx = x - x0 và được gọi là số gia của đối số tại điểm x0 ị x = x0 + Dx. Đặt Dy = y - y0 = f(x) - f(x0) = f(x0 + Dx) - f(x0) và gọi là số gia của hàm số tại điểm x0. GV đặt các câu hỏi: ã Khi x đ x0 thì Dx đ ? ã Khi đó hãy tìm . Định lý: Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K, là liên tục tại điểm x0 ẻ K . 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: a. Định nghĩa: * Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy. * Hàm số f(x) xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và f(x) = f(a), f(x) = f(b). * Chú ý: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó. b. Một số định lý về hàm số liên tục: GV nêu định lý 1 và định lý 2. HS suy nghĩ và trình bày cách giải ví dụ 2. ĐS: Vậy hàm số đã cho không liên tục tại điểm x0 = 0. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. ã Dx đ 0. ã HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu số khác 0) của những hàm số liên tục tại điểm x0 là liên tục tại điểm đó. Định lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng. Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số: Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số: . ã Xét tính liên tục của hàm số khi x 1. ã Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1 (có biện luận theo a). Định lý 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b] thì nó đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Tức là: * $x1ẻ [a;b]: f(x1) = m [ f(x), "x ẻ [a; b]. * $x2 ẻ [a;b]: f(x2) = M [f(x), "x ẻ [a; b]. * "L ẻ [m; M], $ c ẻ [a; b]: f(c) = L. GV có thể nói thêm: Nếu một đại lượng biến thiên liên tục thì sẽ đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và trải qua mọi giá trị trung gian ít nhất một lần. Hệ quả: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ẻ (a;b) sao cho f(c) = 0 (hay phương trình f(c) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a;b)). Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình f(x) = x4 -5x2 + 3 = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0; 1). HS thừa nhận các định lý. HS suy nghĩ và trình bày lời giải. ĐS: hàm số liên tục trên tập xác định . HS suy nghĩ và giải ví dụ 2 theo sự hướng dẫn của GV. + Khi x < 1 thì f(x) = ax + 2 là hàm số liên tục. + Khi x > 1 thì f(x) = x2- x +1 là hàm số liên tục. + Tại x = 1 ta có f(1) = a + 2. - Nếu a = -1 thì hàm số liên tục tại x = 1. - Nếu a ạ -1 thì hàm số gián đoạn tại x = 1. Kết luận: ... HS áp dụng hệ quả để giải ví dụ. D - Hướng dẫn công việc ở nhà: * Xem lại lý thuyết và các ví dụ. * Ghi nhớ các định nghĩa, định lý, hệ quả. * Làm các bài tập 1 đ 4 (SGK trang 136 đ 137). Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết 67 - bài tập về hàm số liên tục I - Mục đích, yêu cầu: Củng cố cho HS định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng, liên tục trên một đoạn; các định lý về hàm số liên tục. Rèn cho HS kỹ năng: xét tính liên tục của một hàm số, bổ sung giá trị để một hàm số là liên tục, áp dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình. II - Tiến hành: A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số. B - Kiểm tra bài cũ: C - Chữa bài tập: Đề bài Hướng dẫn - Đáp số Bài 1(136). Xét tính liên tục của các hàm số sau: Bài 2(137). Gán giá trị cho f(0) để các hàm số sau đây liên tục tại x = 0. Bài 3(137). Cho . Tìm a để f(x) liên tục với mọi x. Vẽ đồ thị y= f(x). Bài 4(137). Chứng minh rằng phương trình: a) 3x3 + 2x - 2 = 0 có ít nhất một nghiệm. b) 4x4 + 2x2 - x - 3 = 0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt trên khoảng (-1; 1). a) liên tục tại mọi x ẻ R. b) liên tục tại mọi x ạ 1, x ạ 2. c) liên tục tại mọi x ạ 0, x ạ 2. d) liên tục tại mọi e) liên tục tại mọi x ẻ R. a) gán cho f(0) = 2. b) không gán được vì a) Có f(0).f(1) < 0. b) Có f(-1).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0. D - Hướng dẫn công việc ở nhà: * Xem lại lý thuyết và các ví dụ. * Làm các bài tập còn lại, các bài tập trong phần ôn chương. Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết 68, 69 - ôn tập chương IV I - Mục đích, yêu cầu: HS ôn tập lại và nắm vững phương pháp tìm giới hạn của một dãy số, hàm số (cách khử dạng vô định , 0 , , ). HS biết vận dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân vô hạn có công bội q với < 1. HS biết cách tìm giới hạn của các hàm số lượng giác; xét tính liên tục của hàm số, vận dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. II - Tiến hành: A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số: B - Nội dung ôn tập: ã Kiến thức cần nhớ: HS nhắc lại các định nghĩa, định lý về giới hạn của dãy số, hàm số, hàm số liên tục. ã Chữa bài tập: Bài 1 (137): Tính các giới hạn sau: a) lim = b) lim = lim = c) lim = lim = d) lim = lim = lim = -. Bài 2 (138). Tính tổng của các cấp số nhân sau: a) 1 + 0,3 + (0,3)2 + ...+ (0,3)n + ... = = b) - = (với < 1 và n 2, n ẻ N) ã áp dụng: giải phương trình 2x +1 + x2 - = ( < 1) = = 0 x = hoặc x = - Bài 3 (138). Trong một hình cầu S bán kính R người ta dựng nội tiếp hình lập phương C, trong hình lập phương này người ta dựng nội tiếp hình cầu S1, trong hình cầu S1 dựng nội tiếp hình lập phương C1, ... cứ tiếp tục mãi. Tính bán kính các hình cầu S1, S2, ... và tính giới hạn tổng của chúng. HD: ã Hình lập phương C có đường chéo 2R ị cạnh Hình cầu S1 có bán kính ã Hình lập phương C1 có đường chéo cạnh Hình cầu S2 có bán kính = .......... Hình cầu Sn có bán kính : Vậy tổng là: + + ... + + ... = = Bài 4 (138). Tính các giới hạn sau: a) = ... = ; b) = ; c) = Bài 5 (138). Cho = 1. Tính: a) = ; c) = 4cosx = 4 b) = ; d) = - = 0 (t = x - ) Bài 6 (138). Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) ĐS: Hàm số gián đoạn tại x = 1. b) (với a, b là tham số) ĐS: ã Nếu b = và a tùy ý thì g(x) liên tục / R ã Nếu b và a tùy ý thì g(x) gián đoạn tại x = 3, liên tục trên R\{3}. Bài 7 (139). Chứng minh rằng phương trình = 0 có 3 nghiệm trên khoảng (-2; 2). Hướng dẫn: f(-2) = -3, f(0) = 1, f(1) = -3, f(2) = 5. D - Hướng dẫn công việc ở nhà: * Xem lại lý thuyết và các ví dụ. * Làm các bài tập còn lại Kiểm tra viết chương III và IV Tiết theo PPCT : 166, 167 Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: Kiểm tra, đánh giá đúng khả năng tiếp thu kiến thức của HS sau khi học xong chương III và IV thông qua kỹ năng giải toán: tìm giới hạn của dãy số, hàm số; xét tính liên tục của hàm số, chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. II - Nội dung kiểm tra: A - Đề bài: 1) Tìm các giới hạn sau: a) lim ; b) c) 2) Cho hàm số xác định bởi: Tìm a để hàm số trên liên tục trên R. 3) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm trên đoạn [-3; 2]: = 0 B - Đáp số: 1) a) - ; b) ; c) 2) a = 3 3) Ta có: đpcm. C - Kết quả kiểm tra: