Giáo án môn Toán lớp 12 - Đề cương ôn tập học kì I - Trường THPT Hòa Bình

KIẾN THỨC CƠ BẢN GIẢI TÍCH CHƯƠNG I Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. Bài tập A/ Bài tập mẫu : 1/ Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: y= –2x3 +9x2 +24x –7 b/ Giải: Miền xác định: D= , cho Bảng biến thiên: x – –1 4 + – 0 + 0 – y Hàm số nghịch biến trong các khoảng: Hàm số đồng biến trong khoảng: (–1;4) Miền xác định: D= , cho Bảng biến thiên: x 0 1 2 + – 0 + + 0 – y Hàm số đồng biến trong các khoảng: (0;1), (1;2) Hàm số số nghịch biến trong các khoảng: Ví dụ 2 : Định m để hàm số: y= x3– 3mx2+ (m+2)x– m đồng biến trên Giải: Miền xác định: D= = 3x2– 6mx+ m+ 2 Điều kiện đủ để hàm số đồng biến trên là y’³0 "x Û3x2– 6mx+ m+ 2 ³0 "x Û Û 9m2 – 3m– 6£ 0 Û. Vậy hàm số đồng biến trên B/ BÀI TẬP TỰ GIẢI 1) Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = x3+3x2+1. b) y = 2x2 - x4. c) y = . d) y= . e) y = x +2sinx trên (-p ; p). g) y = . h) y = x3-3x2. i) . j) y= x4-2x2. k) y =sinx trên đoạn [0; 2p] l) y = x + m) n) 2) Cho hàm số y = f(x) = x3 -3(m+1)x2+3(m+1)x+1. Định m để hàm số : a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.Kq:1 £ m £ 0 b) Nghịch biến trên khoản(1;0). Kq: m £ 3) Định mÎZ để hàm số y = f(x) = đồng biến trên các khoảng xác định của nó. Kq: m = 0 4) Định m để hàm số y = f(x) = nghịch biến trên nửa khoảng [0;+¥). 5) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng xác định) của nó : a) y = x3-3x2+3x+2. b) . c) . 6) Tìm m để hàm số : a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó. b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (0;+¥) 7) Tìm m để hàm số : luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. 8) Tìm m để hàm số : luôn đồng biến trên khoảng (0;+¥). Kq: 9) Chứng minh rằng : a) ln(x+1) 0. b) cosx ≥ , với x > 0 c) sinx < x trên (0;) 10). Cho hàm số . CMR hàm số đồng biến trên nữa khoảng . Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I/Tóm tắt lý thuyết: · Daáu hieäu caàn: Haøm f(x) ñaït cöïc trò taïi x0 vaø coù ñaïo haøm taïi x0 thì f / (x0)=0 · Daáu hieäu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (x0 – h; x0 + h) với h > 0. +Nếu y/ đổi dấu từ dương sang âm qua x0 hàm số đạt cực đại tại x0, +Nếu y/ đổi dấu từ âm sang dương qua x0 hàm số đạt cực tiểu tại x0 Qui tắc tìm cöïc trò = daáu hieäu I : + MXĐ D=? + Tính : y/ = , tìm nghiệm của ptr y/ = 0 . Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm (nếu có) + BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Kết luận cực trị ? Chú ý: Nếu hàm số luôn tăng ( giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b). Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0. Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 ó ·Daáu hieäu II: Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x0 Î (a;b) +Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại x0. +Nếu thì hàm số đạt cực đại tại x0. Qui tắc tim cực trị = dấu hiệu II: + MXÐ + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = 0 => các nghiệm x1 , x2 .. .( nếu có ) + Tính .. y// = ?. y//(xi), Nếu y//(xi) > 0 thì hàm số đạt CT tại xi . Nếu y//(xi) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại xi . Chú ý : *Dấu hiệu II dùng cho những trường hợp mà y/ khó xét dấu Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp - Để hàm số bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu)Û y’= 0 có hai nghiệm phân biệt. - Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại, cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu .Tìm cực trị của hàm hữu tỉ : Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 và giá trị cực trị y(x0) = - Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt. - Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành . - Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung . - Để hàm số có hai cực trị nằm phía trên trục hoành . - Để hàm số có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành . - Để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành . Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Dạng 1: hàm số Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. Dạng 2: Hàm số Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Áp dụng quy tắc 1 1/ Tìm cực trị của hàm số sau: y= –x4+ 2x2– 3 Giải: Miền xác định: D= . = – 4x3+ 4x= 4x(–x2+ 1). Cho = 0 Bảng biến thiên: x –1 0 1 + + 0 – 0 + 0 – y –2 –2 –3 Hàm số đạt cực đại tại x = –1 và x = 1; yCĐ= –2 , đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = –3 Áp dụng quy tắc 2 2/ Tìm các điểm cực trị của hàm số: y= x– 2sin2x Miền xác định: D= = 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x =0 sin2x= = – 4cos2x = –2<0 Vậy: , là những điểm cực đại. = 2>0 Vậy: , là những điểm cực tiểu. Một số bài toán có tham số 1. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu 1) . 2) Giải 1) Tập xác định: Đạo hàm: Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt Vậy giá trị cần tìm là: và . 2) Tập xác định: Đạo hàm: Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác –1 Vậy giá trị cần tìm là: 2. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị 1) . 2) Giải 1) Tập xác định: Đạo hàm: (1) Xét : đổi dấu khi x đi qua Hàm số có cực trị không thỏa Xét : Hàm số không có cực trị không đổi dấu phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Vậy giá trị cần tìm là . 3/Xác định m để hàm số: đạt cực đại tại x=2. Giải: *TXĐ: * *Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại x=2 là: y/(2)=0 Û *Với m=-1 Þ xét dấu y/ (lập bảng biến thiên) Þm= -1 không là giá trị cần tìm *Với m=-3 Þ xét dấu y/ (lập bảng biến thiên) Þ m=-3 là giá trị cần tìm B/ Bài tập đề nghị: 1. Tìm cực trị của các hàm só. 1) y = 2x3 -3x2 + 1 2) y = 3) y = x3 (1-x)2 4) 5) y = -2x3 + 3x2 + 12x – 5 6) y = x5 – 3x4 - 3x3 7) y = -x3 -3x + 2 8) y = 9) y = x4 + 2x2 + 2 10) y = 11) y = x + 12) 13) 14) y = 15) y = 16) y = x - 17) y = x +2sinx 18) y=2sinx- 19) 20)y = sin2x - cosx 2: Ñònh m ñeå y= ñaït cöïc ñaïi taïi x=1. 3: Cho hàm số y= . Định a,b để hàm số đạt cực trị bằng –2 tại x=1 4. Tìm m để hàm số: 1) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1 2) đạt cực trị tại x = -1. ĐS : m = 3 3) y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 3 4) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2 5) đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 9 5. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu. 1) 2) 3) 4) 5) 6. Tìm m để hàm số: 1) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị. ĐS: m > 0 2) y = x4 – (m + 1)x2 – 1 có 1 cực trị ĐS : m < - 1 3) y = mx4 + (m – 1)x2 + 1 – 2m có 3 cực trị ĐS : 0 < m < 1 7. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]: + Đạo hàm : y/ = ? .. Tìm nghiệm của y/ = 0 thuộc (a;b) ( nếu có ) giả sử phương trình có các nghiệm là x1 , x2 + Tính y(a), y(b), y(x1), y(x2) + So sánh các giá trị vừa tính số lớn nhất, số nhỏ nhất. Chú ý: * Nếu hàm số luôn tăng trên (a;b) và liên tục trên [a;b] thì . * Nếu hàm số luôn giảm trên (a;b) và liên tục trên [a;b] thì . 3.2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXÐ : + Tìm TXÐ trong trường hợp chưa biết TXĐ + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 tìm nghiệm của phương trình ( nếu có ) . + BBT: căn cứ bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Chú ý: * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT () * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ () * Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có giá trị LN, NN trên (a;b). II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Bài 1 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số . Ta có : TXĐ Bảng biến thiên : x 0 4 + 0 - y 2ln2 - 2 Vậy : và hàm số không có giá trị nhỏ nhất Bài 2 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = trên đoạn + Đặt ; .Do nên +Hàm số trở thành , + . + . So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t = và GTNN là tại t =0 . Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số: y = TXĐ : D = .Tính y/ = . y/ = 0 x = 0 ,y/ kxđ .y(0) = 2 ,y(2) = 0, y(-2) = 0 KL đúng GTLN,GTNN Bài 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn Ta có : Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = . 3) (1 điểm) + Tập xác định: D = [ –;] + f’(x) = 1 – = + f’(x) = 0 Û Û Û x = 1 + f(1) = 2, f(–) = – , f() = GTLN bằng 2, GTNN bằng Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = trên Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Tính được Hàm số đồng biến trên đoạn [0; 1] tại x = 1; tại x = 0 Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau trên ( loại) và x= -2 Vậy Bài 10Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) = x-36x+2 trên đoạn f(x) = x- 18x+2 trên đoạn f ‘(x) = = 0 f(0) = 2; f(3) = -79; f(-1) = -15; f(4) = -30 Vậy  ; Bài 11 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = cos 2x - 1 trên đoạn [0; π]. Giải : Trên đoạn [0; π], hàm số y = cos2x -1 liên tục và: y’ = -2 sin 2x * * y(0) = 0, y(π) = 0, y() = -2 Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Suy ra tại x = 1; tại x = 0 Bài 13:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: y= 2x3– 3x2– 12x+ 1 trên b/ y= x2 + trong Giải: Xét x. = 6x2 –6x –12 cho = 0 x= –1 ( nhận) Ta có: f(–2) = –3, f(–1) = 8 , f()= –17 Vậy: , Xét x. = x– = cho = 0 x= 1 Bảng biến thiên: x 0 1 – 0 + y Vậy: . Hàm số không có giá trị lớn nhất trong B/ Bài tập tự giải: 1) Tìm GTLN và GTNN của hàm số a) y = x3 – 3x2 + 5 trên đọan [-1 ; 1] b) y = trên đọan [-4 ; 0] c) y = x4 – 2x2 + 3 trên đọan [-3 ; 2] d) y = -x4 + 2x2 + 2 trên đọan [0 ; 3] e) y = trên đọan [2 ; 5] f) y = 1 - trên đoạn [1;2] g) y = x - trên (0 ; 2] h) y = trên đọan [1 ; 4] i) y = trên đọan [-3 ; 3] j) trên đoạn k) trên đoạn . l). y=2sinx- trên đoạn [0;p] m) . n) y = 3 sinx – 4 cosx. p) q) r) y = x + . s) t) y = trên đọan [-8 ; 6] u) trên đoạn [-2; 0]. v) y = f(x) = vôùi x<1. x) y = 2) Ñònh m ñeå haøm soá y = f(x) = x3 -3(m+1)x2+3(m+1)x+1 nghòch bieán treân khoaûng( -1;0).Keát quaû : m £ Bài 4: TIỆM CẬN I/ Tóm tắt lý thuyết: *Tiệm cận đứng : x = x0 là tiệm cận đứng nếu có một trong các giới hạn sau Chú ý : Tìm x0 là những điểm hàm số không xác định *Tiệm cận ngang : y = y0 là tiệm cận ngang nếu có một trong các giới hạn sau: Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử £ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang * Tiệm cận xiên (ban cơ bản không có phần này): Cách 1: + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + e (x) [f(x) –(ax + b)] == 0 Þ y = ax + b là tiệm cận xiên Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ; ; Þ y = ax + b là tiệm cận xiên II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số . Giải. Vì ; Þ đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của (C). Vì nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của (C). Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số. Giải. Vì (hoặc) nên đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Þ đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang Ví dụ 3: Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số a. y = b. y = . Giải: a/ Ta có . Þ đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang, đường thẳng x= -2 là tiệm cận đứng. b/ Ta có Þ đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang Þ đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang Þ đường thẳng x= 0 là tiệm cận đứng. B/ Bài tập tự giải: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số : a) y = . Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2 b) y = . Kết quả: x=-2 2) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số : a) y = 1+. Kết quả: y = 1 b) y = . Kết quả: y = ±1 Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ 5.1 Sơ đồ khảo sát Hàm đa thức: 1. TXĐ 2. Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: Tìm y’, giải phương trình y’= 0 và các bất phương trình y’>0, y’<0 Þ Khoảng đồng biến, nghịch biến b) Cực trị của hàm số. c) Giới hạn tại vô cực x Ghi taäp xaùc ñònh vaø nghieäm cuûa phöông trình y/=0 f’(x) Xeùt daáu y/ f(x) Ghi khoaûng taêng, giaûm , cöïc trò cuûa haøm soá, giới hạn ở vô cực d) BBT Chú ý : Hàm số bậc 3 có y/ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì y/ luôn cùng dấu với a trừ nghiệm kép 3.Đồ thị: Bảng giá trị. Ghi dòng x gồm hoành độ cực trị và lấy thêm 2 điểm có hoành độ lớn hơn cực trị bên phải và nhỏ hơn cực trị bên phải). Hàm bậc 3 lấy thêm điểm nằm giữa 2 cực trị Vẽ đồ thị. . II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= 2x3– 9x2+ 12x– 4 Giải: Miền xác định: D= = 6x2– 18x+ 12 = 0 6x2– 18x+ 12=0 > 0 ; < 0 Hàm số đồng biến trong 2 khoảng:(;1) và (2; +), nghịch biến trong khoảng: (1;2) Hàm số đạt cực đại tại x=1; yCĐ=1, cực tiểu tại x=2; yCT=0 = , Bảng biến thiên: x 1 2 + + 0 – 0 + y 1 + 0 = 12x– 18 = 0 x= y= đồ thị có 1 điểm uốn I(;) Điểm đặc biệt x 0 1 2 3 y -4 1 0 5 Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I làm tâm đối xứng. Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= x4– 2x2– 1 Giải: Miền xác định: D= = 4x3– 4x cho = 0 4x3– 4x=0 > 0 ; < 0 Hàm số đồng biến trong 2 khoảng: (–1;0) và (1; ), nghịch biến trong 2 khoảng: (;–1) và (0;1) Hàm số đạt cực đại tại x=0; yCĐ= -1, cực tiểu tại x= ±2; yCT= -2 = Bảng biến thiên: x –1 0 1 – 0 + 0 – 0 + y –1 –2 –2 Điểm đặc biệt x -2 -1 0 1 2 y 7 -2 -1 -2 7 Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. B/ Bài tập tự giải: Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị các hàm số sau: 1/ Dạng y = a3 + bx2 + cx +d a/ y = 2x3 - 3x2 + 1 b/ y = x3 – x2 + x -1 c/ y = - x3 – x2 – x -1 d/y = - x3 + 3x + 1 e/y = x3-3x+1 f/ y = x3+3x-4 g/ y = (1-x)3 h/ y = 3x2-x3 i/y = -x3 –2 x2 -4 x +1 j/ y = x3 + x + 1 k/ y= x3 - x2 - x + 1 l/ y = - x m/y= - x3 + 3x2 n/ y = x3 – 3x2 +2 p/ y = x3 – 3x + 1 2/ Dạng 2 : y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0) a/ y= x4 – 3x2 +2 b/ y= x4 + x2 – 4 c/ y= d/ y= 3 - 2x2 – x4 e/y= f/ y = x4 + 2x2 g/ y = - x4 + 2x2+2 h/ y = - i/ y = - j/ y = k/ y = x4+x2-2. l/ y=2x2-x4-1 4.2.Hàm phân thức : y = ( c ¹ 0; ad - bc ¹ 0 ) * TXĐ : D = R\ * . Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: y/ = Þ Khoảng đồng biến, nghịch biến b) Cực trị của hàm số. Hàm số không có cực trị c) Giới hạn, tiệm cận: · x =là tiệm cận đứng vì · y = là tiệm cận ngang vì x Ghi taäp xaùc ñònh vaø nghieäm cuûa phöông trình y/=0 f’(x) Xeùt daáu y/ f(x) Ghi khoaûng taêng, giaûm , cöïc trò cuûa haøm soá, giới hạn ở vô cực và tại x = -d/c d) BBT + Vẽ đồ thị : - Vẽ tiệm cận, trục toạ độ, điểm đặc biệt - Cho 2 điểm về mỗi phía của tiệm cận đứng vẽ từng nhánh một. II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Ví dụ 1:khảo sát hàm số TXĐ : D Sự biến thiên : + Chiều biến thiên: > 0 ,D Þ Hàm số tăng trong 2 khoảng + Giới hạn và tiệm cận : là tiệm cận ngang ; là tiệm cận đứng +Bbt x - -1 + y’ + + y + 1 1 - Đồ thị : Điểm đặc biệt x -3 -2 -1 0 1 y 2 3 -1 0 Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I làm tâm đối xứng . Ví dụ 2 : Khảo sát hàm số TXĐ : D Sự biến thiên : + Chiều biến thiên: <0 ,D Þ Hàm số giảm trong 2 khoảng + Giới hạn và tiệm cận : là tiệm cận ngang ; là tiệm cận đứng +Bảng biến thiên: x - + y’ - - y + 3.Đồ thị : - Điểm đặc biệt x -2 -1 0 3 y 4 3 0 Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I làm tâm đối xứng . B/ Bài tập tự giải: a/ b/ y= c/ y= d/y= e/y = f/y = g/ y = h/ y = MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ: BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Ví duï 1: Cho ñöôøng cong (C): y= x3 -3x +1 vaø ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm A(0;1) coù heä soá goùc k. bieän luaän soá giao ñieåm cuûa (C) vaø d. Giaûi Phöông trình ñöôøng thaúng d coù daïng: y= kx + 1. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø d laø : x3 -3x +1 = kx + 1 (1) x3-(3+k)x = 0 x(x2-3-k) = 0 ta coù (2)= 3+k Neáu 3+k < 0 k<-3 Phöông trình (2) voâ nghieäm (1) coù 1 nghieäm (C) vaø d coù 1 giao ñieåm. Neáu 3+k = 0 k= -3 Phöông trình (2) coù nghieäm keùp x=0 (1) coù 1 nghieäm boäi (C) vaø d coù 1 giao ñieåm. Neáu 3+k > 0 k> -3 . Maët khaùc g(0) = 0 -3-k = 0 k = -3 . Vaäy k> -3 phöông trình (2) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0 (1) coù 3 nghieäm phaân bieät (C) vaø d coù 3 giao ñieåm. Ví dụ 2: Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. Giài: Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt Û Phương trình có hai nghiệm phân biệt Û Phương trình mx2 – (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1 Û Ví du 3: Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x (C). Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0 Giải: Phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0 x3 – 6x2 + 9x = m Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m. dựa vào đồ thị ta có: Nếu m > 4 thì d và (C) có 1 giao điểm Þ phương trình có 1 nghiệm. Nếu m = 4 thì d và (C) có 2 giao điểm Þ phương trình có 2 nghiệm. Nếu 0< m <4 thì d và (C) có 3 giao điểm Þ phương trình có 3 nghiệm. Nếu m=0 thì d và (C) có 2 giao điểm Þ phương trình có 2 nghiệm. Nếu m < 0 thì d và (C) có 1 giao điểm Þ phương trình có 1 nghiệm. Ví dụ 4 : Cho đường cong (C) y = x3.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong : a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ bằng –2 c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3. e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8) ( chương trình nâng cao) Giải: Ta có y’= 3.x2 a/ Tiếp tuyến tại A(-1;-1) có Þ f’(x0)= 3.(-1)2 = 3 Þ phương trình tiếp tuyến là: y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) = 3.(x+1) + (-1) b/ Ta có x0= -2 Þ Þ Ph.trình tiếp tuyến là y = 12(x+2) – 8 =12x + 16 c/ Ta có tung độ bằng y0= –8 f(x0)= -8 =-8 x0= -2 f’(x0)=12 Phương trình tiếp tuyến là: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16 d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 f ’(x0)=3 3.=3 x0= 1 với x0=1 f(x0)=1 Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 . với x0=-1 f(x0)= -1 Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2. e/Phương trình đường thẳng d đi qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + 8 d là tiếp tuyến của (C) hệ phương trình sau có nghiệm : x3 = 3x2(x-2) + 8 2x3- 6x2 + 8 = 0 Với x=2 k=12 phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16. Với x=-1 k=3 phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - 4 B/ Bài tập tự giải: 1) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị: a) (C): y = và d: y = x-m. b) (H): và d: y= -2x+m. 2) a.Vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3+3x2-2. b.Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x3+3x2-(m-2) = 0 3) Dùng đồ thị (C): y = x3-3x2+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3-3x2 - 9x+1-m = 0. 4) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y=x+3 và tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y= -x3+3x2-4x+2. 5) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3+3x2+1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O. 6). Cho hµm sè , cã ®å thÞ (C). LËp PTTT víi (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN GIẢI TÍCH CHƯƠNG II Bài 1: LŨY THỪA BÀI TẬP: Vaán ñeà 1: Tính Giaù trò bieåu thöùc Baøi 1: Tính a) A = b) Baøi 2: a) Cho a = vaø b = . Tính A= (a +1)-1 + (b + 1)-1 b) cho a = vaø b = . Tính A= a + b Baøi 3: Tính a) A = b) B = c) C = Baøi 4: Tính a/ a() (KQ: a3 ) b/(). ( KQ: a2) c/ (KQ: |x-y|) d) Vaán ñeà 2: Ñôn giaûn moät bieåu thöùc Baøi 1: Giaûn öôùc bieåu thöùc sau a) A = b) B = vôùi b £ 0 c) C = (a > 0) d) E = (x > 0, y > 0) e ) F = vôùi x = (a > 0 , b > 0) f) G = Vôùi x = vaø a > 0 , b > 0 g) J = vôùi 0 < a ¹ 1, 3/2 h) i) j) k) Vaán ñeà 3: Chöùng minh moät ñaúng thöùc Baøi 1 chöùng minh : vôùi 1£ x £ 2 Baøi 2 chöùng minh : Baøi 3: chöùng minh: vôùi 0 < a < x Baøi 4 chöùng minh: Vôùi x > 0 , y > 0, x ¹ y , x ¹ - y Baøi 5: Chöùng minh raèng BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỪA BÀI TẬP: Bài 1.Tìm tập xát định của hàm số a/ y = b/ c/ y =(x2 – 1) – 2 d/ y = e/ y = f/ y = g/ y = h/ y = i/ y = Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số. a/ y = b/ y = c/ y = d/ y = với a, b > 0 e/ y = f/ y = g) h/ y= (x3+x + 1)p i) Bài 3.khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: a) b/ Bài 4 so sánh các số. a/ (3,1)7,2 (0,2 )0,3 Baøi 3: LOGARIT BÀI TẬP: Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit Bài 1 Tính logarit của một số A = log24 B= log1/44 C = D = log279 E = F = G = H= I = J= L = Bài 2 : Tính luỹ thừa của logarit của một số A = B = C = D = E = F = G = H = I = J = K=. L=M= Vấn đề 2: Rút gọn biểu thức Bài 12: Rút gọn biểu thức A = B = C = D = E = F = G = H = I = Vấn đề 3: Chứng minh đẳng thức logarit Bai 1: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có nghĩa) a) b) c) cho x, y > 0 và x2 + 4y2 = 12xy Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2 d) cho 0 0 Chứng minh: log ax . Từ đó giải phương trình log3x.log9x = 2 e) cho a, b > 0 và a2 + b2 = 7ab chứng minh: Vấn đề 4: Tính logarit của một số theo một số loga rit cho trước: Bài 1: a/ Biết log153 = a. Tính log2515 theo a? b/ Biểu diễn log41250 theo a=log25 c/ Biểu diễn theo a=log315 và b=log310. d/Biết lg2 = a, lg3 = b. Tính lg theo a và b e/. Tính theo a nếu f/. Tính theo a nếu g/. Tính theo a và b nếu và Baøi 4: HAØM SOÁ MUÕ HAØM SOÁ LOGARIT II/ BÀI TẬP: Vấn đề 1: tìm tập xác định của hàm số Bài 1: tìm tập xác định của các hàm số sau a) y = b) y = log3(2 – x)2 c) y = d) y = log3|x – 2| e)y = f) y = g) y = h) y = i) y= lg( x2 +3x +2) Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số Bài 1: tính đạo hàm của các hàm số mũ a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)ex d) y = ex.sin3x e) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex) g) y = cos( ) h) y = 44x – 1 i) y = 32x + 5. e-x + j) y= 2xex -1 + 5x.sin2x k) y = Bài 2 : Tính đạo hàm các hàm số sau a/ y = ( x + 1)ex b/ y = x2 c/ y = d/ y = e/ y = 3x3 + 2x sinx g/ y = Bài 3 . Tìm đạo hàm của các hàm số logarit a) y = x.lnx b) y = x2lnx - c) ln( ) d) y = log3(x2- 1) e) y = ln2(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.logx – lna.log(x2 + 2x + 3) Bài 4 . Tính đạo hàm các hàm số sau a/ y = ( x + 1)lnx b/ y = x2 lnx2 c/ y = d/ y = e/ y = 3x3 + sinx . g/ y = Vấn đề 3: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số mũ và loga: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a/ y= lnx– x b/ y= e-xcosx trên c/ f(x) = x – e2x trên đoạn [-1 ; 0] Bài 2: Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất :y =f(x)= lg2x + Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2; 0]. (Đề thi TN THPT năm 2009) Baøi 5: PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT 1/ Một số phương pháp giải phương trình mũ và loga: a) Dạng cơ bản: · = Û f(x) = g(x) · = 1 Û ( u -1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến ) · = b ( với b > 0 ) Û f(x) = logb · logf(x) = logg(x) Û · Û f(x) = · = b Û b) Đặt ẩn phụ : Dạng 1: a. +b. + g = 0 ; Đặt : t = Đk t > 0 Dạng 2: a.+b.+ g = 0 ; Đặt : t = Đk t > 0 Dạng 3: a.+b.+ g = 0 và a.b = 1; Đặt: t = ;= Dạng 4: a.+b.+ g. = 0 ; Đặt t = · Logarit hoá , mũ hoá : II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Bài 1: Giải các phương trình sau: a./ b./ Giải: a./ b./ Bài 2: Giải các phương trình sau a./ b./ Giải: a./ b./ Bài 3: Giải các phương trình sau a./ b./ c./ Giải: a./ Đặt t = 5x, t >0 ta có phương trình: t2 – 2t – 15= 0 b./ c./ Đặt , ta có Bài 4: Giải các phương trình sau: a./ b./ Giải: a./ (1) ĐK: b./ (1) ĐK: x>0 x=3>0 thỏa điều kiện . Vậy phương trình có nghiệm là x=3 Bài 5: Giải các phương trình sau: a./ b./ c./ d./ Giải: Thỏa điều kiện x>0 . Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 và x=1/4 b./ (1) ĐK: Đặt: , ta có : thỏa (*) Vậy phương trình có nghiệm là : x = 3 và x = 5/4. c./ (1) ĐK: x>0 (*) Đặt: t= lgx , ta có: thỏa (*) Vậy phương trình có nghiệm là: x = 10 và x = 107 d./ ĐK: (*) Đặt: , ta có: . Thỏa (*) Vậy phương trình có nghiệm là x=2. B/ Bài tập tự giải: Vaán ñeà 1: Phöông trình muõ Daïng 1. Ñöa veà cuøng cô soá Baøi 1 : Giaûi aùc phöông trình sau a) b) c) d) e) 52x + 1 – 3. 52x -1 = 110 f) f) 2x + 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2 g) (1,25)1 – x = Daïng 2. ñaët aån phuï Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0 c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 d) e) f) g) i) j) k/ l/ . Daïng 3. Logarit hoùaï Baøi 3 Giaûi caùc phöông trình a) 2x - 2 = 3 b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 = d) e) f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x Daïng 4. söû duïng tính ñôn ñieäu Baøi 4: giaûi caùc phöông trình a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x Vaán ñeà 2: Phöông trình logarit Daïng 1. Ñöa veà cuøng cô soá Baøi 5: giaûi caùc phöông trình a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3) c) log4x + log2x + 2log16x = 5 d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0