Giáo án môn Toán lớp 12 - Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình. A) tóm tắt lý thuyết Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ ohương trình: a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn. b) Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các địa lượng đã biết. c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình. Bước 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời. Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập hệ phương trình hay phương trình bậc hai. Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế.... B) Các dạng toán Dạng 1: Toán về quan hệ các số. Nững kiến thức cần nhớ: + Biểu diễn số có hai chữ số : + Biểu diễn số có ba chữ số : Ví dụ 1: Mộu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 1 đơn vị thì được một phân số mới bằng phân số đã cho. Tìm phân số đó? Giải: Gọi tử số của phân số đó là x (đk: ) Mẫu số của phân số đó là x + 3. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 1 đơn vị thì Tử số là x + 1 Mẫu số là x + 3 + 1 = x + 4 Được phân số mới bằng ta có phương trình . Ví dụ 2: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó? Giải Gọi chữ số hàng chục là x ( Vì tổng 2 chữ số là 9 ta có x + y = 9 (1) Số đó là Số viết ngược lại là Vì thêm vào số đó 63 đơn vị thì được số viết theo thứ tự ngược lại ta có Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình Vậy số phải tìm là 18. Ví dụ 3: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của nó là 85. Giải Gọi số bé là x (). Số tự nhiên kề sau là x + 1. Vì tổng các bình phương của nó là 85 nên ta có phương trình: x2 + (x + 1)2 = 85 Phương trình có hai nghiệm Vậy hai số phải tìm là 6 và 7. Bài tập: Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7. Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng chụccho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị. Đ/số : 61 Bài 2: Tìm hai số hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng bằng 150. đ /số : (10;15 hoặc -10;-15) Bài 3: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng số đó bằng lập phương của số tạo bởi chữ số hàng vạn và chữ số hàng nghìn của số đã cho theo thứ tự đó. Đ/số : 32 Dạng 2: Toán chuyển động Những kiến thức cần nhớ: Nếu gọi quảng đường là S; Vận tốc là v; thời gian là t thì: S = v.t; . Gọi vận tốc thực của ca nô là v1 vận tốc dòng nước là v2 tì vận tốc ca nô khi xuôi dòng nước là v = v1 + v2. Vân tốc ca nô khi ngược dòng là v = v1 - v2 Ví dụ 1: Đoạn đường AB dài 180 km . Cùng một lúc xe máy đi từ A và ô tô đi từ B xe máy gặp ô tô tại C cách A 80 km. Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A là 60 km. Tính vận tốc của ô tô và xe máy ? Giải Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h), đk: x > 0. Gọi vận tốc của xe máylà y(km/h), đk: y > 0. Thời gian xe máy đi để gặp ô tô là (giờ) Quảng đường ô tô đi là 100 km nên thời gian ô tô đi là (giờ) ta có phương trình (1) Quảng đường xe máy đi là 60 km nên thời gian xe máy đi là (giờ) Quảng đường ô tô đi lag 120 km nên thời gian ô tô đi là (giờ) Vì ô tô đi trước xe máy 54 phút = nên ta có phương trình . Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h. Vận tốc của xe máy là 40 km/h. Ví dụ 3: Một ô tô đi trên quảng đường dai 520 km. Khi đi được 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h nữa và đi hết quảng đường còn lại. T ính vận tốc ban đầu của ô tô biết thời gian đi hết quảng đường là 8 giờ. Giải: Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h), đk: x>0. Vận tốc lúc sau của ô tô là x+10 (km/h). Thời gian ô tô đi hết quảng đường đầu là (giờ) Thời gian ô tô đi hết quảng đường đầu là (giờ) Vì thời gian ô tô đi hết quảng đường là 8 giờ nên ta có phương trình Phương trình có hai nghiệm Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là 60 km/h. Bài tập: 1. Một ô tô khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h. Qua 1 giờ 15 phút ô tô thứ hai cũng khởi hành từ A đi cùng hướng với ô tô thứ nhất với vận tốc 40 km/h. Hỏi sau mấy giờ thì ô tô gặp nhau, điểm gặp nhau cách A bao nhiêu km? 2. Một ca nô xuôi dòng 50 km rồi ngược dòng 30 km. Biết thời gian đi xuôi dòng lâu hơn thời gian ngược dòng là 30 phút và vận tốc đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc đi ngược dòng là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi xuôi dòng? 3. Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 150 km. Biết vận tốc ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai là 30 phút. Tính vânl tốc của mỗi ô tô. 4. Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km. Tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng là 4 giờ 10 phút. Tính vận tốc thực của thuyền biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xuôi hết dòng sông. 5. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc đó một ô tô khởi hành từ B đến A với vận tốc hơn vận tốc xe đạp là 18 km/h. Sau khi hai xe gặp nhau xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tính vận tốc của mỗi xe? 6. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 100 km. Cùng lúc đó một bè nứa trôi tự do từ A đến B. Ca nô đến B thì quay lại A ngay, thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng hết 15 giờ. Trên đường ca nô ngược về A thì gặp bè nứa tại một điểm cách A là 50 km. Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước? Đáp án: 1. 2. 20 km/h 3. Vận tốc của ô tô thứ nhất 60 km/h. Vận tốc của ô tô thứ hai là 50 km/h. 4. 25 km/h 6. Vận tốc của ca nô là 15 km/h. Vận tốc của dòng nước là 5 km/h. Dạng 3: Toán làm chung công việc Những kiến thức cần nhớ: - Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm được công việc. - Xem toàn bộ công việc là 1 Ví dụ 1: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu? Giải: Ta có 25%= . Gọi thời gian một mình người thứ nhất hoàn thành công việc là x(x > 0; giờ) Gọi thời gian một mình người thứ hai hoàn thành công việc là y(y > 0; giờ) Trong một giờ người thứ nhất làm được công việc Trong một giờ người thứ hai làm được công việc. Hai người cùng làm thì xong trong 16 giờ. Vậy trong 1 giờ cả hai người cùng làm được công việc. Ta có phương trình: Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì 25%= công việc. Ta có phương trình (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình . Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ. Người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ. Ví dụ 2: Hai thợ cùng đào một con mương thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ thì xong công việc? Giải : Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ) Mỗi giờ đội 1 làm được Mỗi giờ đội 2 làm được Vì cả hai đội thì sau 2 giờ 55 phút =(giờ) xong. Trong 1 giờ cả hai đội làm được công việc Theo bài ra ta có phương trình Ta có Vậy đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 giờ. Đội hai hoàn thành công việc trong 7 giờ. Ví dụ 3: Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà thì 2 ngày xong việc. Nếu người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc? Giải: Gọi thời gian để một mình người thứ nhất hoàn thành công việc là x (x>2; ngày) Gọi thời gian để một mình người thứ hai hoàn thành công việc là y (x>2; ngày). Trong một ngày người thứ nhất làm được công việc Trong một ngày người thứ hai làm được công việc Cả hai người làm xong trong 2 ngày nên trong 1 ngày cả hai người làm được công việc. Từ đó ta có pt + = (1) Người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi người thứ hai làm trong 1 ngày thì xong công việc ta có pt: (2) Từ (1) và (2) ta có hệ pt Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 6 ngày. Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 3 ngày. Bài tâp: 1. Hai người thợ cùng làm một công việc thì xong trong 18 giờ. Nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 7 giờ thì được 1/3 công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì mất bao lâu sẽ xong công việc? 2. Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác. Tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thhì bao lâu xong công việc đó? 3. Hai đội công nhân cùng đào một con mương. Nếu họ cùng làm thì trong 2 ngày sẽ xong công việc. Nếu làm riêng thì đội haihoàn thành công việc nhanh hơn đội một là 3 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc? 4. Hai chiếc bình rỗng giống nhau có cùng dung tích là 375 lít. ậ mỗi binmhf có một vòi nước chảy vào và dung lượng nước chảy trong một giờ là như nhau. Người ta mở cho hai vòi cùng chảy vào bình nhưng sau 2 giờ thì khoá vòi thứ hai lại và sau 45 phút mới tiếp tục mở lại. Để hai bình cùng đầy một lúc người ta phải tăng dung lượng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ. Tính xem mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được bao nhiêu lít nước. Kết quả: 1) Người thứ nhất làm một mình trong 54 giờ. Người thứ hai làm một mình trong 27 giờ. 2) Tổ thứ nhất làm một mình trong 10 giờ. Tổ thứ hai làm một mình trong 15 giờ. 3) Đội thứ nhất làm một mình trong 6 ngày. Đội thứ hai làm một mình trong 3 ngày. 4) Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được 75 lít. Dạng 4: Toán có nội dung hình học: Kiến thức cần nhớ: - Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y là chiều dài) - Diện tích tam giác ( x là chiều cao, y là cạnh đỏy tương ứng) - Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a,b là cỏc cạnh gúc vuụng) - Số đường chộo của một đa giỏc (n là số đỉnh) Vớ dụ 1: Tớnh cỏc kớch thước của hỡnh chữ nhật cú diện tớch 40 cm2 , biết rằng nếu tăng mỗi kớch thước thờm 3 cm thỡ diện tớch tăng thờm 48 cm2. Giải: Gọi cỏc kớch thước của hỡnh chữ nhật lần lượt là x và y (cm; x, y > 0). Diện tớch hỡnh chữ nhật lỳc đầu là x.y (cm2) . Theo bài ra ta cú pt x.y = 40 (1) Khi tăng mỗi chiều thờm 3 cm thỡ diện tớch hỡnh chữ nhật là. Theo bài ra ta cú pt (x + 3)(y + 3) – xy = 48 ú 3x + 3y + 9 = 48 úx + y = 13(2) Từ (1) và (2) suy ra x và y là nghiệm của pt X2 – 13 X + 40 = 0 Ta cú Phương trỡnh cú hai nghiệm Vậy cỏc kớch thước của hỡnh chữ nhật là 5 (cm) và 8 (cm) Vớ dụ 2: Cạnh huyền của một tam giỏc vuụng bằng 5 m. Hai cạnh gúc vuụng hơn kộm nhau 1m. Tớnh cỏc cạnh gúc vuụng của tam giỏc? Giải: Gọi cạnh gúc vuụng thứ nhất là x (m) (5 > x > 0) Cạnh gúc vuụng thứ hai là x + 1 (m) Vỡ cạnh huyền bằng 5m nờn theo định lý pi – ta – go ta cú phương trỡnh x2 + (x + 1)2 = 52 Vậy kớch thước cỏc cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng là 3 m và 4 m. Bài tõp : Bài 1: Một hỡnh chữ nhật cú đường chộo bằng 13 m, chiều dài hơn chiều rộng 7 m. Tớnh diện tớch hỡnh chữ nhật đú? Bài 2: Một thửa ruộng hỡnh chữ nhật cú chu vi là 250 m. Tớnh diện tớch của thửa ruộng biết rằng chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thỡ chu vi thửa ruộng khụng thay đổi Bài 3: Một đa giỏc lồi cú tất cả 35 đường chộo. Hỏi đa giỏc đú cú bao nhiờu đỉnh? Bài 4: Một cỏi sõn hỡnh tam giỏc cú diện tớch 180 m2 . Tớnh cạnh đỏy của sõn biết rằng nếu tăng cạnh đỏy 4 m và giảm chiều cao tương ứng 1 m thỡ diện tớch khụng đổi? Bài 5: Một miếng đất hỡnh thang cõn cú chiều cao là 35 m hai đỏy lần lượt bằng 30 m và 50 m người ta làm hai đoạn đường cú cựng chiều rộng. Cỏc tim đừng lần lượt là đường trung bỡnh của hỡnh thang và đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đỏy. Tớnh chiều rộng đoạn đường đú biết rằng diện tớch phần làm đường bằng diện tớch hỡnh thang. Đỏp số: Bài 1: Diện tớch hỡnh chữ nhật là 60 m2 Bài 2: Diện tớch hỡnh chữ nhật là 3750 m2 Bài 3: Đa giỏc cú 10 đỉnh Bài 4: Cạnh đày của tam giỏc là 36 m. Bài 5: Chiều rộng của đoạn đường là 5 m. Dạng 5: Toán dân số, lãi suất, tăng trưởng Những kiến thức cần nhớ : + x% = + Dõn số tỉnh A năm ngoỏi là a, tỷ lệ gia tăng dõn số là x% thỡ dõn số năm nay của tỉnh A là Vớ dụ 1: Bài 42 – SGK tr 58 Gọi lói suất cho vay là x (%),đk: x > 0 Tiền lói suất sau 1 năm là (đồng) Sau 1 năm cả vốn lẫn lói là 200000 + 20000 x (đồng) Riờng tiền lói năm thứ hai là Số tiến sau hai năm Bỏc Thời phải trả là 2000000 +20000x + 20000x + 200x2 (đồng) 200x2 + 40000x +2000000 (đồng) Theo bài ra ta cú phương trỡnh 200x2 + 40 000x + 2000000 = 2420000 ú x2 + 200x – 2100 = 0 . Giải phương trỡnh ta được x1 = 10 (thoả món); x2 = -210 (khụng thoả món) Vậy lói suất cho vay là 10 % trong một năm. Vớ dụ 2: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do ỏp dụng kỹ thuật mới nờn tổ I đó sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21%. Vỡ vậy trong thời gian quy định họ đó hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là bao nhiờu. Giải Gọi x là số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản phẩm), đk 0 < x < 600. Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch là 600 – x (sản phẩm). Số sản phẩm vượt mức của tổ I là (sản phẩm). Số sản phẩm vượt mức của tổ II là (sản phẩm). Vỡ số sản phẩm vượt mức kế hoạch của hai tổ là 120 sản phẩm ta cú pt ú x = 20 (thoả món yờu cầu của bài toỏn) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ I là 200 (sản phẩm) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ II là 400 (sản phẩm) Bài tập: Bài 1: Dõn số của thành phố Hà Nội sau 2 năm tăng từ 200000 lờn 2048288 người. Tớnh xem hàng năm trung bỡnh dõn số tăng bao nhiờu phần trăm. Bài 2: Bỏc An vay 10 000 000 đồng của ngõn hàng để làm kinh tế. Trong một năm đầu bỏc chưa trả được nờn số tiền lói trong năm đầu được chuyển thành vốn để tớnh lói năm sau. Sau 2 năm bỏc An phải trả là 11 881 000 đồng. Hỏi lói suất cho vay là bao nhiờu phần trăm trong một năm? Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm trong một thời gian dự định. Do ỏp dụng kỹ thuật mới nờn tổ I vượt mức kế hoạch 15% và tổ hai vượt mức 17%. Vỡ vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đó sản xuất được tất cả được 1162 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm của mỗi tổ là bao nhiờu? Kết quả: Bài 1: Trung bỡnh dõn số tăng 1,2% Bài 2: Lói suất cho vay là 9% trong 1 năm Bài 3: Tổ I được giao 400 sản phẩm. Tổ II được giao 600 sản phẩm Dạng 6: Cỏc dạng toỏn khỏc Những kiến thức cần nhớ : - - Khối lượng nồng độ dung dịch = Vớ dụ : (Bài 5 trang 59 SGK) Gọi trọng lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thờm nước là x (g) . đk x > 0. Nồng độ muối của dung dịch khi đú là Nếu đổ thờm 200g nước vào dung dịch thỡ trọng lượng của dung dịch là: Vỡ nồng độ giảm 10% nờn ta cú phương trỡnh Giải pt ta được x1 = -440 ( loại); x2 = 160 (thoả món đk của bài toỏn) Vậy trước khi đổ thờm nước trong dung dịch cú 160 g nước. Vớ dụ 2: Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khỏc cú khối lượng riờng nhỏ hơn nú là 0,2g/cm3 để được hỗn hợp cú khối lượng riờng 0,7g/cm3 . Tỡm khối lượng riờng của mỗi chất lỏng. Giải Gọi khối lượng riờng của chất lỏng thứ nhất là x (g/cm3). Đk x > 0,2 Khối lượng riờng của chất lỏng thứ nhất là x – 0,2 (g/cm3). Thể tớch của chất lỏng thứ nhất là Thể tớch của chất lỏng thứ hai là Thể tớch của hỗn hợp là Theo bài ra ta cú pt . Giải pt ta được kết quả x1 = 0,1 (loại) ; x2 = 0,8 (t/m đk) Vậy khối lượng riờng của chất lỏng thứ nhất là 0,8 (g/cm3) Khối lượng riờng của chất lỏng thứ hai là 0,6 (g/cm3). Bài tập: Bài 1: Một phũng họp cú 240 ghế được xếp thành cỏc dóy cú số ghế bằng nhau. Nếu mỗi dóy bớt đi một ghế thỡ phải xếp thờm 20 dóy mới hết số ghế. Hỏi phũng họp lỳc đầu được xếp thành bao nhiờu dóy ghế. Bài 2: Hai giỏ sỏch cú 400 cuốn. Nếu chuyển từ giỏ thứ nhất sang giỏ thứ hai 30 cuốn thỡ số sỏch ở giỏ thứ nhất bằng số sỏch ở ngăn thứ hai. Tớnh số sỏch ban đầu của mỗi ngăn? Bài 3: Người ta trồng 35 cõy dừa trờn một thửa đất hỡnh chữ nhật cú chiều dài 30 m chiều rộng là 20 m thành những hàng song song cỏch đều nhau theo cả hai chiều. Hàng cõy ngoài cựng trồng ngay trờn biờn của thửa đất. Hóy tớnh khoảng cỏch giữa hai hàng liờn tiếp? Bài 4: Hai người nụng dõn mang 100 quả trứng ra chợ bỏn. Số trứng của hai người khụng bằng nhau nhưng số tiền thu được của hai người lại bằng nhau. Một người núi với người kia: “ Nếu số trứng của tụi bằng số trứng của anh thỡ tụi bỏn được 15 đồng ”. Người kia núi “ Nếu số trứng của tụi bằng số trứmg của anh tụi chỉ bỏn được đồng thụi”. Hỏi mỗi người cú bao nhiờu quả trứng? Bài 5: Một hợp kim gồm đồng và kẽm trong đú cú 5 gam kẽm. Nếu thờm 15 gam kẽm vào hợp kim này thỡ được một hợp kim mới mà trong đú lượng đồng đó giảm so với lỳc đầu là 30%. Tỡm khối lượng ban đầu của hợp kim? Kết quả: Bài 1: Cú 60 dóy ghế Bài 2: Giỏ thứ nhất cú 180 quyển. Giỏ thứ hai cú 220 quyển. Bài 3: Khoảng cỏch giữa hai hàng là 5m Bài 4: Người thứ nhất cú 40 quả. Người thứ hai cú 60 quả. Bài 5: 25 gam hoặc 10 gam.