Giáo án môn toán lớp 12 - THPT Tân Bình – Bình Dương

– SỐ PHỨC — §1. SỐ PHỨC Khái niệm số phức: Là biểu thức có dạng a + b, trong đó a, b là những số thực và số thoả = –1. Kí hiệu là z = a + b với a là phần thực, b là phần ảo, là đơn vị ảo. Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + b/ a, bÎ và = –1}. Ta có Ì . Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. = aÎ Ì Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b = b. Đặc biệt = 0 + 1. Số 0 = 0 + 0. vừa là số thực vừa là số ảo. VD: 2 – 3 có phần thực là 2, phần ảo là –3, số có phần thực là 0, phần ảo là . Số phức bằng nhau: Cho hai số phức z = a + b và z’ = a’ + b’. Ta có z = z¢ Û VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) = (2y + 1) + (3x – 7)(1) (1) Û Biểu diễn hình học của số phức: Mỗi số phức z = a + b được xác định bởi cặp số thực (a; b). Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại. Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo. VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là: = 1 + 4, = –3 + 0., = 0 –2, = 4 – Môđun của số phức: Số phức z = a + b được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu VD: z = 3 – 4 có = 5 Chú ý: Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + b, số phức liên hợp của z là . ; , Hai điểm biểu diễn z và đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy. Cộng, trừ số phức: Số đối của số phức z = a + b là –z = –a – b Cho và . Ta có Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực. Phép nhân số phức: Cho hai số phức và . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay = –1 và rút gọn, ta được: k.z = k(a + b) = ka + kb. Đặc biệt 0.z = 0 "zÎ z. = (a + b)(a – b) hay VD: Phân tích + 4 thành nhân tử. + 4 = – = (z – 2)(z + 2). Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực. Phép chia số phức: Số nghịch đảo của số phức ¹ 0 là hay Cho hai số phức ¹ 0 và thì hay VD: Tìm z thoả (1 + 2)z = 3z – . Ta có (3 – 1 – 2)z = Û z = Û Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho kÎ N VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = Phần thực a = , phần ảo b = BÀI TẬP §1. Bài tập SGK Cơ bản: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết: z = 1 – pi; b) z = ; c) z = d) z = –7i Hướng dẫn: a) 1; –p b) ; –1 c) 2; 0 d) 0; –7 Tìm các số thực x, y biết: (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; (1 – 2x) – i = + (1 – 3y)i; (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; Hướng dẫn: a) x = , y = b) x = , y = c) x = 0, y = 1. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: Phần thực của z bằng –2; Phần ảo của z bằng 3; Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2); Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]; Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2]. Hướng dẫn: Là đường thẳng x = –2; Là đường thẳng y = 3; Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên; Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên; Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả biên. Tính |z| với: z = –2 + i; b) z = – 3i c) z = –5 d) z = i. Hướng dẫn: a) |z| = b) |z| = c) |z| = 5 d) |z| = Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: |z| = 1; b) |z| £ 1 c) 1 < |z| £ 2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1. Hướng dẫn: Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1; Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên; Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên; Tìm , biết: z = 1 – i b) z = – + i c) z = 5 d) z = 7i; Hướng dẫn: a) = 1 + i; b) = – – i c) = 5 d) = –7i. Thực hiện các phép tính sau: (3 – 5i) + (2 + 4i); b) (–2 – 3i) + (–1 – 7i); c) (4 + 3i) – (5 – 7i) d) (2 – 3i) – (5 – 4i). Hướng dẫn: a) 5 – i b) –3 –10i c) –1 + 10i d) –3 + i. Tính a + β, a – β với: a = 3, β = 2i b) a = 1 – 2i, β = 6i c) a = 5i, β = –7i d) a = 15, β = 4 – 2i. Hướng dẫn: a) 3 + 2i, 3 – 2i b) 1 + 4i, 1 – 8i c) –2i, 12i d) 19 – 2i, 11 + 2i. Thực hiện phép tính sau: (3 – 2i)(2 – 3i) b) (–1 + i)(3 + 7i) c) 5(4 + 3i) d) (–2 – 5i)4i. Hướng dẫn: a) –13i b) –10 – 4i c) 20 + 15i d) 20 – 8i Tính . Nêu cách tính với nÎN Hướng dẫn: = –, = 1, = . Nếu n = 4q + r, 0 £ r < 4 thì Tính: a) b) Hướng dẫn: a) –5 + 12i b) –46 + 9i. Thực hiện phép chia: b) c) d) Hướng dẫn: a) b) c) d) Tìm nghịch đảo của số phức z, biết: z = 1 + 2i b) z = – 3i c) z = i d) z = 5 + i Hướng dẫn: a) b) c) –i d) Thực hiện các phép tính sau: 2i(3 + i)(2 + 4i) b) c) 3 + 2i + (6 + i)(5 + i) d) Hướng dẫn: a) –28 + 4i b) c) 32 + 13i d) Giải phương trình sau: (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c) Hướng dẫn: a) z = 1 b) z = c) z = 15 – 5i. Bài tập SGK Nâng cao: Cho các số phức 2 + 3i; 1 + 2i; 2 – i. Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức. Viết số phức đó dưới dạng liên hợp rồi biểu diễn trên mặt phẳng phức. Viết số đối của mỗi số phức đó rồi biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức. Hướng dẫn: , , , , , , Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số sau: i + (2 – 4i) – (3 – 2i) c) d) i(2 – i)(3 + i). Hướng dẫn: –1 – i b) c) 13 d) 1 + 7i. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i. Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. nên F biểu diễn số . C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số . E đối xứng F qua Ox nên E biểu diễn số . B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số Thực hiện phép tính: Hướng dẫn: ; ; ; Cho . Hãy tính: . Hướng dẫn: Ta có nên ; ; ; Chứng minh rằng: Phần thực của số phức z bằng , phần ảo của số phức z bằng Số phức z là số ảo khi và chỉ khi . Số phức z là số thực khi và chỉ khi . Với mọi số phức z, z¢, ta có và nếu z ¹ 0 thì Hướng dẫn: (1) Lấy vế cộng vế Þ Phần thực của số phức z bằng . Lấy vế trừ vế Þ phần ảo của số phức z bằng . Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 Û . Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 Û . là số thực Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có Hướng dẫn: Ta có Chứng minh rằng: Nếu của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì và từ đó nếu hai điểm theo thứ tự biểu diễn số phức thì ; Với mọi số phức z, z¢, ta có |z.z¢| = |z|.|z¢| và khi z ¹ 0 thì Với mọi số phức z, z¢, ta có Hướng dẫn: a) thì , biểu diễn số phức z thì = (a; b) Þ do đó theo thứ tự biểu diễn số phức thì b) , , , Ta có Ta có Vậy |z.z¢| = |z|.|z¢| Khi z ¹ 0 ta có c) biểu diễn z, biểu diễn z¢ thì biểu diễn z + z¢ và Khi , ta có Þ do đó Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: b) c) Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. a) Với Þ Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1. b) Với Þ Tập hợp các điểm M là trục thực Ox. c) Với Þ . Tập hợp các điểm M là đường thẳng Chứng minh rằng với mọi số phức z ¹ 1, ta có Hướng dẫn: Với z ¹ 1, Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh. Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)? Hướng dẫn: Ta có , Và Vậy là số thực; là số ảo; là số ảo. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: là số thực âm; b) là số ảo ; c) d) là số ảo. Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì a) là số thực âm khi xy = 0 và Û x = 0 và y ¹ 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O b) là số ảo khi Û y = ± x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ. c) khi xy = 0 Û x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ. d) = là số ảo khi x = 0, y ¹ 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0; 1). Tìm nghiệm phức của phương trình sau: c) e) d) Hướng dẫn: a) b) c) d) e) a) Cho số phức (x, yÎR). Khi z ¹ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện là số thực dương. Hướng dẫn: Phần thực là , phần ảo Là số thực dương khi và Þ Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn hai số phức . a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức . Hỏi trọng tâm DABC biểu diễn số phức nào? b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức thỏa . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi Hướng dẫn: a) Gọi G là trọng tâm DABC, ta có vậy G biểu diễn số phức b) Vì nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng O hay . §2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b thoả = w được gọi là căn bậc hai của w. w là số thực: w = aÎ a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0 a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là và – a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là và – w là số phức: w = a + b (a, bÎ , b ¹ 0) và z = x + y. là 1 căn bậc hai của w khi Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau. VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4. Gọi z = x + y là căn bậc hai của w. Ta có Û Û hoặc . Vậy có 2 căn bậc hai của w là = 1 + 2, = –1 – 2. VD: Tính căn bậc hai của . Gọi z = x + y là căn bậc hai của . Ta có Û Û hoặc . Vậy có 2 căn bậc hai của là = + , = – – . Phương trình bậc hai: Phương trình bậc hai với hệ số thực: . D ³ 0: Phương trình có 2 nghiệm thực D < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức VD: Giải phương trình (1) có D¢ = 1 – 4 = –3 = nên có 2 nghiệm phức . Do đó phương trình có 3 nghiệm Phương trình bậc hai với hệ số phức: D = 0: Phương trình có nghiệm kép D ¹ 0: Phương trình có 2 nghiệm với là 1 căn bậc hai của D. VD: Giải phương trình: a) ; b) có D = –1 – 8 = – 9 = . Phương trình có 2 nghiệm phức , có D = = Phương trình có 2 nghiệm phức ; BÀI TẬP §2. Bài tập SGK Cơ bản: Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: –7; –8; –12; –20; –121 Hướng dẫn: ±i; ±2i; ±2i; ±2i; ±11i. Giải các phương trình sau trên tập phức: b) ; c) Hướng dẫn: a) b) c) Giải các phương trình sau trên tập phức: b) Hướng dẫn: a) b) Cho a, b, c Î R, a ¹ 0, là hai nghiệm phương trình . Hãy tính và theo các hệ số a, b, c. Hướng dẫn: = , = Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, làm nghiệm. Hướng dẫn: Phương trình ẩn x nhận z, làm nghiệm nên có (x – z)(x –) = 0 Û . Với z + = 2a, z= . Vậy phương trình đó là Bài tập SGK Nâng cao: Tìm các căn bậc hai của số phức sau: Hướng dẫn: Căn bậc hai của là . Căn bậc hai của là . Căn bậc hai của –4 là . Căn bậc hai của là Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì Hướng dẫn: là một căn bậc hai của w Þ VD: tức là một căn bậc hai của thì Tìm nghiệm phức của các phương trình sau: b) c) Hướng dẫn: a) b) c) Phương trình có hai nghiệm phức là . a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không? Hướng dẫn: Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là nên . Hai số cần tìm là nghiệm phương trình Có nên hai số cần tìm là . Phương trình có hai nghiệm là thì là số thực và là số thực. Điều ngược lại không đúng. a) Giải phương trình sau: b) Tìm số phức B để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. Hướng dẫn: có 3 nghiệm là . Ta có nên Tìm nghiệm của phương trình trong các trường hợp sau: k = 1; b) k = ; c) k = 2i. Hướng dẫn: có 2 nghiệm k = 1 thì b) k = thì c) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau: ; b) ; c) ; d) Hướng dẫn: . a) Tìm các số thực b, c để phương trình nhận làm nghiệm. b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình nhận và z = 2 làm nghiệm. Hướng dẫn: Lần lượt thay và z = 2 vào phương trình, ta được Û §3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Số phức dưới dạng lượng giác: Acgumen của số phức z ¹ 0: Cho số phức z = a + b ¹ 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian) của góc được gọi là một acgumen của z. Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2p tức là có dạng + k2p (kÎ ) (z và nz sai khác nhau k2p với n là một số thực khác 0). VD: Biết z ¹ 0 có một acgumen là . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; ; –; . z biểu diễn bởi thì –z biểu diễn bởi – nên có acgumen là + (2k + 1)p biểu diễn bởi M¢ đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – + k2p – biểu diễn bởi – nên có acgumen là – + (2k + 1)p = , vì là một số thực nên có cùng acgumen với là – + k2p. Dạng lượng giác của số phức z = a + b: Dạng lượng giác của số phức z ¹ 0 là z = (cos + sin) với là một acgumen của z. VD: Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng p nên có dạng lượng giác là z = cosp +sinp Số 1 + có môđun bằng 2 và một acgumen bằng thoả cos = và sin = . Lấy = thì 1 + = 2(cos+ sin) Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos+sin) Chú ý: Số – cos – sin có dạng lượng giác là cos( + p) + sin( + p) Số cos – sin có dạng lượng giác là cos(–) + sin(–) Số – cos + sin có dạng lượng giác là cos(p – ) + sin(p – ) Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác: Cho z = (cos + sin) và z¢ = ¢(cos’ + sin’) với , ¢³ 0 và (¢¹ 0) CM: z.z¢ = .¢[coscos’ – sinsin’ + (sincos’ + sin’cos)] = .¢[cos( + ’) + sin( + ’)] Ta có và có cùng acgumen là –’ + k2p nên . Do đó (’¹ 0) VD: và . Tính và Với ; = và = Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng: Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = (cos + sin) (nÎ ) = 1: (nÎ ) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:` Mọi số phức z = (cos + sin) ( > 0) có 2 căn bậc hai là và VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính: và căn bậc hai của w = 1 + Ta có 1 + = . Do đó = w = 1 + = có 2 căn bậc hai là và . BÀI TẬP §3. Hãy tìm dạng lượng giác của số phức: trong mỗi trường hợp sau: b) . Hướng dẫn: a) b) ; nếu k < 0. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: c) ; d) Hướng dẫn: a) ; ; ; b) c) d) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn và công thức Moavrơ để tính . Hướng dẫn: Ta có với phần thực là có phần thực Vậy = –512. Gọi M, M¢ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số Tính ; Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z¢ với acgumen của z là một số đo của góc lượng giác (OM, OM¢). Tính số đo góc đó. Hướng dẫn: a) có Acgumen là b) Hiệu số acgumen của z¢ với acgumen của z là Theo định nghĩa, số đo góc = Cho các số phức và Chứng minh rằng là các nghiệm của phương trình Biểu diễn hình học các số phức . Hướng dẫn:;; ; Dùng công thức Moavrơ để tính và theo lũy thừa của và . Hướng dẫn: Vậy và Tính: Hướng dẫn: Cho số phức . Tìm các số nguyên dương n để là số thực. Hỏi có số nguyên dương m để là số ảo? Hướng dẫn: W là số thực khi , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3. Không có m nào để là số ảo. Viết dạng lượng giác của số phức z và các căn bậc hai của z cho mỗi trường hợp sau: và một acgumen của là ; và một acgumen của là . Hướng dẫn: a) Ta có acgumen của là và acgumen của là nên acgumen của là –= Vậy và căn bậc hai của z là b) Gọi là một acgumen của z thì – là một acgumen của . Với có acgumen là nên có acgumen là – – = Þ . Vậy và căn bậc hai của z là BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG. Bài tập SGK Cơ bản: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: Phần thực của z = 1; b) Phần ảo bằng –2 c) Phần thực thuộc [–1; 2] ảo thuộc [0; 1] d) |z| £ 2 Hướng dẫn: a) x = 1 b) y = 2 c) x = –1, x = 2; y = 0, y = 1 d) hình tròn (O; 2) Tìm các số thực x, y sao cho: 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i. Hướng dẫn: a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3 Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó. Hướng dẫn: z = a + bi Þ |z| = . Ta có |z| ³ = a và |z| ³ = b Thực hiện phép tính sau: (3 + 2i)[(2 – i) + (3 – 2i)]i b) (4 – 3i) + c) d) Hướng dẫn: a) 21 + i b) c) 4i d) Giải phương trình sau trên tập phức: (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i; b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz. Hướng dẫn: a) b) Giải phương trình sau trên tập phức: b) c) Hướng dẫn: a) b) , c) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4. Hướng dẫn: Þ là nghiệm phương trình với D = Þ Cho hai số phức . Biết rằng là hai số thực. Chứng tỏ là hai nghiệm một phương trình bậc hai với hệ số thực. Hướng dẫn: Đặt với a, b Î R. Khi là hai nghiệm phương trình hay Û Bài tập SGK Nâng cao: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: b) c) là một số thực khi nào? Hướng dẫn: a) b) c) khi y = 0 hoặc x = 1. Chứng minh rằng nếu thì số là số thực. Hướng dẫn: Ta có nên là số thực. Giải phương trình: b) c) Hướng dẫn: a) b) c) Phương trình có nghiệm Phương trình có nghiệm Xét các số phức Viết dưới dạng lượng giác. b) Tính và từ câu a). Hướng dẫn: a) ; ; b) do đó và Cho Viết dưới dạng đại số và lượng giác; b) Từ a) hãy suy ra dạng lượng giác của z. Hướng dẫn: a) b) LUYỆN TẬP Tìm các số thực x, y thỏa: 2x + 1+ (1 - 2y) = 2 - x + ( 3y - 2) 4x + 3+ (3y - 2) = y + 1 + (x - 3) x + 2y + (2x - y) = 2x + y + (x + 2y) Hướng dẫn: x = , y = ; b) x = , y = ; c) x = 0, y = 0 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = . Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực. Hướng dẫn: Phần thực là , phần ảo là . Số phức trên là số thực khi y = 0 hoặc x = 1. Thực hiện các phép tính: – (2 – 3)(3 + 2); d) ; g) ; e) ; f) Hướng dẫn: a) –15 + 9; b) ; c) ; d) –4; e) ; f) ; g) Tìm z, biết: ; b) c) d) ; e) ; f) g) h) i) Hướng dẫn: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) g) h) i) Biết và là hai nghiệm của phương trình . Hãy tính: ; b) ; c) ; d) Hướng dẫn: a) = –3; b) = ; c) = –1; d) = 6. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4. Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là và Tìm căn bậc hai của các số phức: ; b) ; c) Hướng dẫn: a) b) c) Giải các phương trình sau trên tập số phức: ; b) ; c) ; d) e) ; f) ; g) ; h) Hướng dẫn: a) ; b) ; c) ; d) e) ; f) ; g) ; h) Giải các phương trình sau trên tập số phức: ; b) ; c) ; d) e) ; f) ; g) ; h) Hướng dẫn: a) ; b) ; c) 2 và ; d) ±1 và ; e) , f) ; g) , ; h) D = , nghiệm , Giải các phương trình sau trên tập số phức: ; b) ; c) ; d) Hướng dẫn: a) ; b) ; c) ; d) Giải các phương trình sau trên tập số phức: ; b) ; c) d) ; e) ; f) Hướng dẫn: a) ; b) ; c) d) ; e) ; f) Tìm z biết: ; b) c) và Hướng dẫn: Gọi z = x + y Þ = x – y và . a) Û (2) có nghiệm y = 0 thay vào (1) Þ x = 0 hoặc x = 1 Nếu y ¹ 0 Þ (2) có nhiệm x = – thay vào (1) Þ y = Vậy nghiệm của hệ là các cặp số Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z = ; z = b) c) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: ; b) ; c) ; d) (m là tham số) Hướng dẫn: a) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2. b) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox. c) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0. d) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: z =1 + i; b) z =1 - i; c) z = -3; d) z = 5; e) z = I; f) z = -2i g) ; h) ; i) Hướng dẫn: a) ; b) ; c) d) ; e) ; f) g) ; h) ; i) . Dùng công thức Moa-vrơ để tính , . Hướng dẫn: . Tìm phần thực và phần ảo của số phức . Hướng dẫn: . Theo công thức Moa-vrơ Phần thực là , phần ảo CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT (Đề thi TN.THPT năm 2006) Giải phương trình trên tập số phức. Hướng dẫn: Ta có D = 25 – 32 = –7 = . Phương trình có hai nghiệm là: ; (Đề thi TN.THPT năm 2007) Lần 1 (1 điểm): Giải phương trình trên tập số phức. Lần 2 (1 điểm): Giải phương trình trên tập số phức. Hướng dẫn: a) Ta có D¢ = 4 – 7 = –3 = . Phương trình có hai nghiệm là: ; b) Ta có D¢ = 9 – 25 = –16 = . Phương trình có hai nghiệm là: ; (Đề thi TN.THPT năm 2008) Lần 1 (1 điểm): Tính giá trị của biểu thức: Lần 2 (1 điểm): Giải phương trình trên tập số phức. Hướng dẫn: a) = = –4 b) Ta có D = 4 – 8 = –4 = . Phương trình có hai nghiệm là: ; (Đề thi TN.THPT năm 2009) Chương trình Chuẩn (1 điểm): Giải phương trình trên tập số phức. Chương trình Nâng cao (1 điểm): Giải phương trình trên tập số phức. Hướng dẫn: a) Ta có D = 16 – 32 = –16 = . Phương trình có hai nghiệm là: ; b) Ta có D = –1 – 8 = –9 = . Phương trình có hai nghiệm là: ; (Đề thi TN.THPT năm 2010) Chương trình Chuẩn (1 điểm): Cho hai số phức và . Xác định phần thực và phần ảo của số phức Chương trình Nâng cao (1 điểm): Cho hai số phức và . Xác định phần thực và phần ảo của số phức . Hướng dẫn: a) = (1 – 4) + (2i + 6i) = –3 + 8i. Phần thực là –3, ảo 8. b) = 6 – 8i + 15i – 20 = 26 + 7i. Phần thực là 26, ảo 7. CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn . Tìm phần thực và phần ảo của z. Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình trên tập . Hướng dẫn: a) Û Û Û Û Û . Phần thực là 2, phần ảo –3 b) Û Ta có D = . Phương trình có 2 nghiệm: và (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện . Hướng dẫn: Đặt z = x + y (x, yÎ ) Þ Ta có Û = 2 Û = 4 Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2 (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thoả: và = 25. Hướng dẫn: Đặt z = x + y (x, yÎ ) Þ Ta có Û Û (1) Ta có = 25 Û (x + y)( x – y) = 25 Û (2) Từ (1) và (2), ta có Û Û Û hoặc . Vậy z = 3 + 4 hoặc z = 5 + 0. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức . Hướng dẫn: có D¢ = 1 – 10 = –9 = . Nghiệm là , Ta có: và nên (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa: Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình Hướng dẫn: a) Gọi z = a + bi, ta có: Û Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5. b) có D = Do đó phương trình có 2 nghiệm: ; (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thỏa: và là số thuần ảo Hướng dẫn: Gọi z = a + bi Þ . Theo đề ta có: Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa Hướng dẫn: Gọi z = x + yi, ta có Û . Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R = . (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa: . Tìm môđun của số phức Hướng dẫn: a) Gọi z = a + bi, ta có: Þ . . Vậy phần phần ảo b = –. b) Gọi z = a + bi, ta có: Þ z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i Þ = –8 – 8i. Do đó : .