Giáo án môn Toán lớp 12 - Tích phân

TÍCH PHÂN LÝ THUYẾT VD VÀ BÀI TẬP I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN: 1.Diện tích hình thang cong: ( sgk) 2. Định nghĩa: cho hs f(x) liên tục/[a;b], F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [a;b]. thì: * chú ý: +. + chỉ phụ thuộc a,b và f(x) không phụ thuộc x hay t. + d.tích h.phẳng giới hạn bởi ( C):, trục Ox và các đ.thẳng x=a; x=b là: II. TÍNH CHẤT: + + (dùng cho tp chứa dấu giá trị tuyệt đối) Xét dấu các biểu thức dưới dấu tp: III. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: 1. PP ĐỔI BIẾN SỐ: tính DẠNG 1: + Đặt + Đổi cận: + Biểu diễn Nên k) . Đặt . Đổi cận: x = 0 Þ t = 1 x = 1Þ t = 2 nên l) Đặt . Đổi cận: x = – 1 Þ t = 2 x = 0 Þ t = 1 DẠNG 2: * Loại I: ; + Đặt . Đổi cận; + Biểu diễn * Loại II: + Đặt . Đổi cận; + Biểu diễn VD1: Tính + VD2: tính các tích phân: VD3: tính tp: a) Cho . Ta có bảng xét dấu: x 1 3/2 2 2x – 3 – 0 + Nên b) Cho . Ta có bảng xét dấu: x –1 0 2 x2 + x + 0 – 0 + Nên VD4: tính các tích phân sau: a) đặt t = x + 3 Þ dt = dx Đổi cận: x = 0 Þ t = 3 x = 1 Þ t = 4 ta có: Nên b) . Đặt t = 3 – 2x c) . Đặt t = 1 + 2x d) . Đặt t = lnx e) . Đặt g) . Đặt h) . Đặt t = 2cosx + 3 i) . Đặt t = cosx j) . Đặt t = sinx. VD5: tính các tích phân sau: a) . Đặt Đổi cận: + Ta có: Nên: b) . Tương tự câu a) c) .Đặt Đổi cận: + Ta có: Nên: d) . Tương tự câu c). 2. PP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: * Dạng I: ( xem các pp tính tích phân) * Dạng II: ( xem các pp tính tích phân) VD6: tính các tích phân sau a) . Đặt u = x Þ du = dx dv = cosx.dx Þ v = sinx. Nên b) . Tương tự câu a) c) . Đặt u = 2x+1 Þ du = 2dx dv = ex.dx Þ v = ex. Nên d) . Tương tự câu c). e) . Đặt dv = dx Þ v = x. nên g) . Tương tự câu e). 3. PP TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC: a) Tính: + Nếu bậc của p(x) bậc của q(x) thì chia đa thức. + Nếu bậc của p(x) bậc của q(x) thì dùng pp đồng nhất thức. b) PP TÍCH PHÂN ĐỒNG NHẤT: Tính + Nếu pt có nghiệm kép x0 thì đưa về đổi biến dạng 1. + Nếu pt vô nghiệm đưa về tích phân đổi biến dạng 2. + Nếu có 2 nghiệm p.biệt x1; x2 thì: đồng nhất 2 vế tìm A; B. Do đó: * Chú ý: Đổi biến dạng 2 Pp tích phân đồng nhất. Tương tự e) g) VD7: Tính các tp: . Đặt t = x + 1. Đặt Đổi cận: Nên: . Tương tự câu d). VD8: tính các tích phân sau: a) đặt ; đổi cận: nên đặt đổi cận: ta có: nên b) T.Tự: c) ta có: đồng nhất 2 vế ta có hệ pt: do đó: d) ta có: đồng nhất 2 vế ta có hệ pt: . Tương tự câu c). 4. PP TÍNH TÍCH PHÂN HS LƯỢNG GIÁC: a. Nếu tích phân hs lẻ đối với sinx thì đặt t = cosx Nếu tích phân hs lẻ đối với cosx thì đặt t = sinx b. Nếu hs chẵn đối với sinx và cosx thì dùng công thức hạ bậc c. Nếu chỉ phụ thuộc theo tan; đặt t = tanx d. đặt . Dùng CT hạ bậc: * VD9: Tính các tích phân sau: a) . Đặt t = cosx ( dùng pp đổi biến dạng 1) b) . đặt t = sinx ( dùng pp đổi biến dạng 1) c) . Ta có: nên T.Tự: d) . Ta có