Giáo án môn Toán lớp 12 - Tiết 47: Phương pháp quy nạp toán học

Ngày soạn : 15/01/2008 Ngày giảng: 18/01/2008 Tiết 47: PHƯƠNG PHáP QUY NạP TOáN HọC I. Mục tiêu 1.Về kiến thức:Giúp học sinh nắm được: - Hiểu nội dung của phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước theo một trình tự quy định . - Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lý 2.Về kĩ năng: Biết cách vận dụng các bước của phương pháp quy nạp toán học vào bài tập cụ thể Qua đó có kỹ năng xác định cách vận dụng phương pháp vào giải bài tập. 3.Về tư duy: Rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy logic, tư duy trừu tượng, tư duy các vấn đề của toán học một cách thực tế và có hệ thống 4. Về thái độ - Cẩn thận, chính xác trong tính toán,lập luận. - Tự giác tích cực trong học tập, sáng tạo trong tư duy - Hiểu và vận dụng được các định nghĩa biến cố, định nghĩa xác suất một cách sáng tạo . II. Chuẩn bị phương tiện dạy học 1. Thầy: - Các bảng phụ và các phiếu học tập. - Đồ dùng dạy học :Giáo án, thước 1. Trò : - Đồ dùng học tập : thước kẻ, bút, giấy nháp - Ôn lại một số kiến thức về phép toán chia hết, cách chứng minh các bài toán chia hết III. về Phương Pháp Dạy Học: - Gợi mở vấn đáp. - Phát hiện giải quyết vấn đề. IV. Tiến trình bài học và các hoạt động A.Bài cũ (Không kiểm tra bài cũ- Kiểm tra từng phần liên quan đến bài học) B. Bài mới 1phương pháp quy nạp toán học 1. Định nghĩa: Hoạt động 1: (6’) - Muốn chứng tỏ mệnh đề dúng ta phải chứng minh nó đúng trong mọi trường hợp - Muốn chứng tỏ một kết luận là sai ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có: Thực hiện a): Kiểm tra rằng đẳng thức (1) khi n=1 b) Em có thể kiểm tra đẳng thức (1) dúng với mọi số tự nhiên n hay không? + Ta có: suy ra Vậy (1) đúng với mọ n nguyên dương Đó là phương pháp quy nạp toán học , hay còn gọi tắt là Phương pháp quy nạp GV cho HS nêu các bước của phương pháp quy nạp toán học Phương phỏp quy nạp toỏn học: Để c/m mệnh đề A(n) đỳngnN* ta thực hiện: B1: C/m A(n) đỳng khi n=1. B2: nN* giả sử A(n) đỳng với n=k, cần chứng minh A(n) cũng đỳng với n =k+1. 2.Một số Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: 8’ Chứng minh rằng với nThì : 1+3+5+...+(2n-1)= n2 (1) Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1: Khi n=1 hệ thức (1) có đúng hay không? Câu hỏi 2: Giả sử đẳng thức dúng với n=k1 tức ta có đẳng thức nào? Câu hỏi 3: Em hãy chứng minh đẳng thức đó Trả lời câu hỏi 1: Đúng Bước 1: khi n=1, vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng 12. Vậy hệ thức (1) đúng Trả lời câu hỏi 2 Bước 2: Đặt vế trái bằng Sn Giả sử đẳng thức đúng với n=k nghĩa là: Sk=1+3+5+...+(2k-1)=k2 Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n=k+1tức là Sk+1=1+3+...+(2k-1)+[2(k+1)-1]=(k+1)2 Trả lời câu hỏi 3:Từ giả giả thiết ta có Sk+1=Sk+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2 Vậy (1) đúng với mọi nN* Thực hiện hoạt động 2 trong 5 phút:Chứng minh (8’) Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1: Khi n=1 hệ thức (1) có đúng hay không? Câu hỏi 2: Giả sử đẳng thức dúng với n=k1 tức ta có đẳng thức nào? Câu hỏi 3: Em hãy chứng minh đẳng thức đó Trả lời câu hỏi 1: Bước 1: khi n=1, vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng Vậy hệ thức (1) đúng Trả lời câu hỏi 2 Bước 2: Đặt vế trái bằng Sn Giả sử đẳng thức đúng với n=k nghĩa là: Sk=1+2+3+...+k= Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n=k+1tức là Sk+1=1+2+3+...+k+(k+1)= Trả lời câu hỏi 3:Từ giả giả thiết ta có Sk+1=Sk+(k+1)= +(k+1)= Vậy (1) đúng với mọi nN* Ví dụ 2: Chứng minh rằng với nN* thì n3- n chia hết cho 3 7’ Giải : Ta đặt An=n3-n Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1: Khi n=1 hệ thức n3-n có chia hết cho 3 hay không? Câu hỏi 2: Giả sử đẳng thức dúng với n=k1 tức ta có đẳng thức nào? Câu hỏi 3: Em hãy chứng minh đẳng thức đó Trả lời câu hỏi 1: Bước 1: khi n=1, Ta có A1 =0chia hết cho 3 hệ thức đúng Trả lời câu hỏi 2 Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n=k nghĩa là: Ak=(k3-k)3 (giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh rằng Ak+13 Trả lời câu hỏi 3:Thật vậy, ta có Theo giả thiết quy nạp Ak 3, hơn nữa 3(k2+k) 3 nên Ak+13 Vậy An3 với mọi nN* GV Nêu chú ý SGK/82: (4’) Nếu phải chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên np thì ở bước 1, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=p ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề dúng với n=kp và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1 Thực hiện hoạt động 3 trong 6 phút: (6’) Cho hai số 3n và 8n với n a) So sánh 3n với 8n khi n=1, 2, 3,4, 5. Khi n=1 ta có 31=3; 8.1=8 Khi n=2 ta có 32=9; 8.2=16 Khi n=3 ta có 33=27; 8.3=24 Khi n=4 ta có 34=81; 8.4=32 Khi n=5 ta có 35=243; 8.5=40 b) Em hãy dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp?: với mọi n3 B1. với n=3 ta có mệnh đề đúng B2 Giả sử mệnh đề dúng với n=k3 tức là với mọi k3 ta phải chứng minh nó cũng đúng vói n=k+1 tức phải chứng minh thật vậy ta có theo giả thiết quy nạp nên nhân hai vế của bất dẳng thức với 3 ta được Vậy mệnh đề dã được chứng minh với mọi n3 C.Củng cố toàn bài 3’ GV Cho HS nhắc lại các bước của phép quy nạp Dặn HS về nhà xem lại các ví dụ và làm bài tập trang 1,2,3,4,5,7,8 SGK ĐS > 11 Ngày soạn : 15/01/2008 Ngày giảng: 18/01/2008 Chương III- DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN. BÀI 1- PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Tiết 48 I.Mục tiờu: Kiến thức: Giỳp cho học sinh Cú khỏi niệm về suy luận quy nạp; Nắm được phương phỏp quy nạp toỏn học. Kĩ năng: Giỳp học sinh biết cỏch vận dụng phương phỏp quy nạp toỏn học để giải quyết cỏc bài toỏn cụ thể đơn giản. Thỏi độ, tư duy: Thỏi độ: tớch cực tiếp thu tri thức mới, hứng thỳ tham gia trả lời cõu hỏi. Tư duy: phỏt triển tư duy logic, tớnh chặc chẽ trong giải toỏn. Chuẩn bị của thầy và trũ: Giỏo viờn: đọc kĩ SGK, SGV, SBT. Học sinh: đọc trước bài ở nhà. III.Tiến trỡnh bài học: Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ (6’) HĐ của GV HĐ của HS Đỏp ỏn biểu điểm -H1:Hóy nờu cỏc bước chứng minh bằng phương phỏp qui nạp toỏn h ọc H2: Áp dụng làm bài số 1 GV nhận xột đỏnh giỏ cho điểm lờn bảng trỡnh bày lớp chỳ ý theo dừi nhận x ột H1: Phương phỏp quy nạp toỏn học: ( 3 đ) Để c/m mệnh đề A(n) đỳngnN* ta thực hiện: B1: C/m A(n) đỳng khi n=1. B2: nN* giả sử A(n) đỳng với n=k, cần chứng minh A(n) cũng đỳng với n=k+1. 2. Áp dụng ( 7 đ) B1 V ới n = 1 ta c ú VT =1, VP = Đẳng thức đỳng v ới n = 1 B2: Giả sử đt là đỳng với n = k Ta chứng minh mệnh đề là đỳng với n = k+1 tức là phải chứng minh Thật vậy ta cú: vậy theo tớnh chất bắc cầu ta cú điều phải chứng minh Hoạt động 2: Hướng dẫn học sinh làm bài tập 3 (12’) HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng H1: Thử với n=1 H2: Thực hiện bước 2 nờu bất đẳng thức COSI cho hai số dương + 1=1 ( đỳng) + Giả sử đỳng với n=k, cần chứng minh đỳng với n=k+1. Suy nghĩ và trả lời CMR nN* , ta luụn cú: HD: . kiểm tra với n = 1 Mđ là đỳng với n = 1 B2: Giả sử mđ là đỳng với n = k Ta chứng minh mệnh đề là đỳng với n = k+1 tức là phải chứng minh Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta cú Áp d ụ ng bất đẳng thức COSI cho hai số dương ta c ú T ừ (*) v à (**) ta cú điều ph ải chứng minh Hoạt động 3: Hướng dẫn học sinh làm bài tập 6 (10’) HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng +Gọi 2 hs lần lượt làm 2 bước nờu dấu hiệu chia hết cho 5? +n=1: u1=10 5 +Giả sử đỳng n=k, cần cm đỳng khi n=k+1. + 2k+1=2.2k>2(2k+1)= 4k+2>2k+3>2(k+1)+1 ( vỡ k 3) CMR un=7.22n-2 + 32n-1 5, nN*. HD: B1. kiểm tra với n = 1 Mđ là đỳng với n = 1 B2: Giả sử mđ là đỳng với n = k Ta chứng minh mệnh đề là đỳng với n = k+1 tức là phải chứng minh uk+1=7.22(k+1)-2 + 32(k+1)-15 Thật vậy ta cú: uk+1=7.22(k+1)-2 + 32(k+1)-1=7.22k-2+2 + 32k-1+2 =28.22k-2 + 9.32k-1 =4(7.22k-2 + 32k-1)+5.32k-1 5 Hoạt động 4: Hướng dẫn học sinh làm bài tập 7 (12’) HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng H1: Thử với n=1 H2: Thực hiện bước 2 Suy nghĩ và trả lời Suy nghĩ và trả lời Bài 7: Bằng phương phỏp qui nạp chứng minh rằng v ới mọi n nguyờn dương với mọi số thực x > -1 ta cú: B1. kiểm tra với n = 1 Mđ là đỳng với n = 1 B2: Giả sử mđ là đỳng với n = k Ta chứng minh mệnh đề là đỳng với n = k+1 tức là phải chứng minh Thật vậy từ giả thiết qui nạp, ta cú: Hoạt động 5: Hướng dẫn học v à làm bài ở nhà: (5’) Củng cố: Nhắc lại phương phỏp chứng minh quy nạp và cỏch vận dụng. Bài về nhà: 1) CMR un=13n-1 6 , nN. 2) CMR , nN*. Đ ọc tr ước bài dóy số Ngày soạn: 16/01/2008 Ngày giảng: 19/01/2008 TIẾT 49: DÃY SỐ Mục tiờu: Kiến thức: Giỳp học sinh cú một cỏch nhỡn nhận mới, chớnh xỏc đối với khỏi niệm dóy số - cỏch nhỡn nhận theo quan điểm hàm số. Học sinh nắm vững cỏc khỏi niệm: dóy số vụ hạn, dóy số hữu han. Nắm được khỏi niệm dóy số khụng đổi. Kỹ năng: Biết cỏch ký hiệu một dóy số và biết rằng ngoài cỏch ký hiệu dóy số như SGK, người ta cũn dựng cỏc ký hiệu khỏc để ký hiệu một dóy số, chẳng hạn hay ,... Biết xỏc định cỏc số hạng trong dóy số cho trước, viết dóy số đó cho dưới dạng khai triển. Biết cho vớ dụ về dóy số để khắc sõu định nghĩa. Tư duy và thỏi độ: Tớch cực tham gia xõy dựng bài học, cú tinh thần làm việc theo nhúm. Biết khỏi quỏt húa, đặc biệt húa, tương tự. Chuẩn bị của thầy và trũ: Chuẩn bị của giỏo viờn: Dụng cụ dạy học, bảng phụ. Chuẩn bị của học sinh: Dụng cụ học tập. Tiến trỡnh bài dạy: Hoạt động 1: ( 15’) Nờu vấn đề học bài mới. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung Trỡnh chiếu - Giỏo viờn trỡnh bày như SGK trang 101 để giới thiệu cho học sinh dóy số , , ,... (1) - Học sinh hiểu vấn đề giỏo viờn trỡnh bày: cú thể coi dóy số (1) là một hàm số xỏc định trờn tập cỏc số nguyờn dương. 1. Định nghĩa và vớ dụ: Hoạt động 2: Hỡnh thành định nghĩa: - Giỏo viờn yờu cầu học sinh đọc Định nghĩa 1 (SGK trang 101). - Giỏo viờn giới thiệu cỏc khỏi niệm: giới hạn của dóy số, số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai,... và ký hiệu cỏc giỏ trị đú. - Học sinh đọc định nghĩa theo yờu cầu của giỏo viờn. - Học sinh nghe và hiểu cỏc khỏi niệm và cỏch ký hiệu cỏc số hạng của dóy số. Định nghĩa: * Một hsố U xác định trên N* là một dãy số vô hạn. gọi tắt là dãy sử dụng. * Dạng triển khai của dãy số: U1;U2;...;Un;... tập giá trị của dãy số gồm vô số phần tử. trong đó: M = {1;2;3;...;m} hsố U xác định / M gọi là một dãy số hữu hạn. viết dưới dạng: U1;U2;...;Um U1-số hạng đầu U2- số hạng thứ 2. .. Um- số hạng thứ m; số hạng cuối. Un gọi là số hạng tổng quát của dãy. (SGK) Hoạt động 2 (15’) Cho vớ dụ minh họa. - Vớ dụ 1: hàm số , xỏc định trờn tập N*, là một dóy số. - Sau đú yờu cầu học sinh tỡm năm số hạng đầu của dóy trờn. - Giỏo viờn cho học sinh tỡm vớ dụ để khắc sõu định nghĩa dóy số - hoạt động theo nhúm và trỡnh bày trước lớp. - Giỏo viờn giới thiệu ký hiệu dóy số như SGK và cho vớ dụ minh họa, chẳng hạn cú thể ký hiệu dóy số ở vớ dụ 1 bởi . - Giỏo viờn giới thiệu dóy số trờn cũn cú ký hiệu khỏc như hay ,... - Giỏo viờn yờu cầu học sinh viết dóy số dười dạng khai triển. - Vớ dụ 2: Cho hàm số xỏc định trờn tập . Tớnh - Giỏo viờn giới thiệu hàm số trờn là một dóy số hữu hạn. Viết dưới dạng khai triển ta được: 1;8;27;64;125. - Giỏo viờn treo bảng phụ cú ghi phần chỳ ý trang 102 để giới thiệu dóy số hữu hạn. - Học sinh thực hiện cỏc yờu cầu của giỏo viờn trong tinh thần hợp tỏc lẫn nhau. - Học sinh tỡm vớ dụ trong tinh thần hợp tỏc theo nhúm và trỡnh bày kết quả trước lớp - Cả lớp nhận xột và bổ sung ý kiến cho kết quả của bạn. - Học sinh hiểu nội dung giỏo viờn truyền đạt. - Thực hiện theo yờu cầu của giỏo viờn: , , ,...,,... - Thực hiện theo yờu cầu của giỏo viờn và đứng tại chỗ trả lời kết quả. - Học sinh đọc nội dung trờn bảng phụ để hiểu và nắm khỏi niờm dóy số hữu hạn. Vớ dụ 1: hàm số với N* là 1 dóy số cú , , ,... Ký hiệu: SGK trang 102. Người ta cũng thường viết dóy số dưới dạng khai triển: , ,..., ,... Chỳ ý: (SGK) Bài 1. Viết 5 số hạng đầu của dóy cú số hạng tổng quỏt cho bởi cụng thức . Tỡm vớ dụ về dóy số vụ hạn; dóy số hữu hạn. Hoạt động 4: Củng cố. (15’) - Cho học sinh làm bài tập a, b trang 105. - Giỏo viờn cho dóy số cho cả lớp nhận xột dóy số trờn và giới thiệu khỏi niệm dóy số khụng đổi cho học sinh. - Giỏo viờn nhấn mạnh: định nghĩa dóy số vụ hạn trong SGK thực chất là cỏch gọi tờn cho một loại hàm số xỏc định trờn tập số N* . - Cho học sinh làm bài 9b trang 105. Hướng dẫn học ở nhà: Học kỹ lại lý thuyết, làm bài tập 9a,c/105. Đọc phần 2/103: cỏch cho dóy số. Đọc phần 3/103: dóy số tăng, dóy số giảm. Bài tập làm thờm: Ngày soạn: 21/01/2008 Ngày giảng: 24/01/2008 Tiết 50: DÃY SỐ I. MỤC TIấU * Về kiến thức: Giỳp học sinh: - Cú một cỏch nhỡn nhận mới, chớnh xỏc đối với khỏi niệm dóy số, cỏch nhỡn nhận theo quan điểm hàm số. - Nắm vững 3 cỏch cho một dóy số. * Về kỹ năng: Giỳp học sinh: - Biết cỏch cho một dóy số. - Biết cỏch tớnh số hạng thứ k khi cho một dóy số bằng cụng thức truy hồi hay cho cụng thức của số hạng tổng quỏt. - Biết cỏch tỡm số hạng tổng quỏt Un. II. NỘI DUNG BÀI HỌC HĐ1: Kiểm tra bài cũ ( 5’) Hoạt động của GV Hoạt động của HS ĐA Nờu định nghĩa về dóy số Tỡm số hạng thứ 3,4,5 của dóy số 1 học sinh lờn bảng Cỏc em khỏc ở dưới lớp kiểm tra, xỏc định đỳng hay sai, cũn thiếu chỗ nào. ĐN SGK (5đ) AD: Hoạt động 2: ( 15’) 2. Cỏch cho một dóy số: Một dóy số được xỏc định nếu ta biết cỏch tớnh mọi số hạng của dóy số đú. Cú 3 cỏch cho một dóy số: a. Cho dóy số bởi cụng thức của số hạng tổng quỏt Un. Hoạt động của GV Hoạt động của học sinh VD1: cho dóy số (Un) với Un = Giao nhiệm vụ Hoạt động theo nhúm H1: Tỡm số hạng thứ 33 và 333 của dóy số. Thay n = 33, n = 333 vào Un H2: Số , là số hạng thứ mấy của dóy số trờn. Giải PT: =; = tỡm n nguyờn dương; H3: Cho vớ dụ một dóy số bởi cụng thức tổng quỏt của Un. Un = ? H4: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quỏt của dóy nghịch đảo cỏc số tự nhiờn lẻ 1, , , , , ..., Cũng giống như hàm số, khụng phải mọi dóy số đều cú thể cho bằng cụng thức số hạng tổng quỏt Un. Do đú ta cú thể cho hàm số bằng cỏch khỏc. b. Cho dóy số bằng cụng thức truy hồi VD2: Cho dóy số (Un) biết: Hoạt động của GV Hoạt động của học sinh Giao nhiệm vụ Làm theo nhúm H1: Tớnh U3, U4, U5, U6, U7, U8, U9, U10. U3 = 2; U4 = 3; U5= 5; U6= 8; U7 = 13; U8 = 21; U9 = 34; U10 = 55 VD3: Cho dóy số (Un) biết: Giao nhiệm vụ H1: Tớnh U2, U3, U4, U5 Làm theo nhúm Nhúm nào xong trước lờn trỡnh bày. Cỏc nhúm khỏc theo dừi, nhận xột đỳng - sai. H2: Qua 2 vớ dụ trờn hóy nờu cỏch cho dóy số bằng phương phỏp truy hồi. Làm theo nhúm Cho 1 nhúm phỏt biểu và cỏc nhúm khỏc theo dừi, bổ sung cho hoàn chỉnh. H3: Cú nhận xột gỡ về mối liờn hệ giữa U1, U2, U3, U4, U5 với 1, 2, 3, 4, 5 Un = ? U1 = 1 = 21 - 1 U4 = 15 = 24 - 1 U2 = 3 = 22 - 1 U5 = 31 = 25 - 1 U3 = 7 = 23 - 1 Tổng quỏt: Un = 2n - 1 H4: Cú thể khẳng định Un = 2n - 1 () được khụng? Cần phải làm gỡ? CM. Un = 2n - 1 là đỳng bằng phương phỏp quy nạp. Cỏc nhúm thảo thuận cỏch chứng minh và lờn trỡnh bày. c. Cho dóy số bằng phương phỏp mụ tả VD4: Cho dóy số (Un) biết: U1 = 3,1 ; U2 = 3,14; U3 = 3,141; U4 = 3,1415,. (Chỳ ý số p = 3,1415....) VD5: Cho dóy số (Un) với Un là độ dài của dõy AMn trờn hỡnh vẽ trờn (OA = 1) Hoạt động của GV Hoạt động của học sinh Giao nhiệm vụ Làm theo nhúm H1: Tớnh AMn H2: Un = ? Sau 1 phỳt học sinh khụng giải được thỡ gợi ý lấy I là trung điểm AMn. Tớnh AI. Hoạt động 3: ( 15’) Dóy số tăng, dóy số giảm GV: yờu cầu HS đọc đ ịnh nghĩa 2 (Un) được gọi là dóy số tăng n ếu với mọi n ta có: (Un) được gọi là dóy số giảm nếu với mọi n ta có: CMR: là dãy giảm và bị chặn. Giải: CM = qui nạp: b1: n = 1 ị U2 = 3/2 < 2 = U1 b2: gsử Uk+1 < Uk pcm Uk+2 < Uk+1 Thật vậy: Vậy dãy giảm. * Bị chặn trên bởi 2. Dự đoán bị chặn dưới bởi 1. b1: n = 1 ị U1 = 2 > 1 b2: gsử Uk > 1 pcm Uk+1 > 1 Thật vậy: Vậy dãy bị chặn. Hoạt động 4 (9’) CỦNG CỐ BÀI HỌC Hoạt động của thầy giỏo Hoạt động của học sinh Giao nhiệm vụ, đỏnh giỏ kết quả của học sinh làm. Bài 1: Cho dóy số (Un), biết: Tỡm U4. Gọi 3 học sinh lờn bảng làm, mỗi em làm 1 cõu, cỏc em khỏc theo dừi gúp ý đỳng - sai và cú cỏch nào làm hay hơn khụng? Bài 2: Tỡm 5 số hạng đầu của dóy số (Un) biết: un = Bài 3: Viết 5 số hạng đầu của dóy số gồm cỏc số tự nhiờn chia cho 3 dư 1 và viết số hạng tổng quỏt của Un HĐ5 : (1’) BÀI TẬP VỀ NHÀ: 9 đ 12 (tr. 105 - 106) Ngày soạn:21/01/2008 Ngày giảng:25/01/2008 Tiết 51: LUYỆN TẬP VỀ DÃY SỐ A.PHẦN CHUẨN BỊ: I. Mục tiờu 1. Về kiến thức - Nắm được khỏi niệm về dóy số, số hạng của dóy số, cỏc cỏch cho một dóy số. - Nắm được định nghĩa dóy số tăng, dóy số giảm, dóy số bị chặn. - Nắm được phương phỏp quy nạp toỏn học. 2. Về kĩ năng - Vận dụng được phương phỏp quy nạp vào chứng minh bài tập về dóy số. - Vận dụng kiến thức tỡm cỏc số hạng của dóy số. 3. Về tư duy, thỏi độ - Rốn luyện tư duy logic, khả năng phõn tớch tổng hợp. - Cú thỏi độ cẩn thận, chớnh xỏc khi làm toỏn. II. Chuẩn bị - Giỏo viờn: Đồ dựng dạy học. - Học sinh : Học bài cũ, làm bài tập ở nhà. III. Phương phỏp dạy học - Phưong phỏp gợi mở, vấn đỏp. B. TIẾN TRèNH BÀY DẠY. 1) Kiểm tra bài cũ: ( 5’) Cõu hỏi: a. Nờu định nghĩa dóy số bị chặn trờn, bị chặn dưới và dóy số bị chặn. b. Lấy vớ dụ về dóy số bị chặn. Đỏp ỏn và biểu điểm: í Nội dung Điểm a. Dóy số được gọi là bị chặn trờn nếu tồn tại số thực M sao cho: Dóy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho: Dóy số được gọi là bị chặn nếu nú vừa bị chặn trờn và bị chặn dưới. 2 2 1 b. Dóy số Bị chặn trờn tại M=1 và bị chặn dưới bởi m=0. Vậy dóy số trờn bị chặn. 5 2) Nội dung bài mới: Hoạt động 1 ( 10’) Bài 15/sgk. Cho dóy số (un) xđịnh bởi u1 = 3 và un+1 = un + 5 với mọi n 1. a) Hóy tớnh u2, u4 và u6. b) Cmr un = 5n - 2 với mọi n 1. HĐ của HS HĐ của GV Ghi bảng - Nghe, hiểu cõu hỏi - Trả lời cõu hỏi - Lờn bảng trỡnh bày. - Theo dừi bài bạn, đưa ra nhận xột - Tỏi hiện lại kiến thức, trả lời cõu hỏi. - Nghe, làm theo huớng dẫn. -Làm ra vở nhỏp, lờn bảng trỡnh bày. - Theo dừi bài làm, nhận xột, chỉnh sửa -Tiếp nhận ghi nhớ. - Muốn tớnh u2, u4 và u6 ta ỏp dụng kiến thức nào? - Gọi HS lờn bảng trỡnh bày cõu a -Gọi 1 HS nhận xột - GV nhận xột - Nờu cỏch hiểu của em về phương phỏp quy nạp toỏn học ? - GV hưúng dẫn HS vận dụng vào cm cõu b - Yờu cầu HS trỡnh bày hướng giải quyết theo cỏc bước đó học. - GV nhận xột bài giải, chớnh xỏc hoỏ. - Củng cố kiến thức a) Theo gt u1 = 3 và un+1 = un + 5 ta c ú u2 = u1 + 5 = 8 u4 = u3 + 5 = 18 u6 = u5 + 5 = 28 b) Cm un = 5n - 2 (1) Với n = 1, ta cú u1 = 3 = 5.1- 2. Như thế (1) đỳng khi n = 1. Giả sử (1) đỳng khi n = k, k , ta sẽ cm nú cũng đỳng khi n = k +1. Thật vậy, từ cụng thức xđịnh dóy số (un) và giả thiết quy nạp ta cú uk+1 = uk + 5 = 5k-2+5= = 5(k+1) -2. Vậy (1) đỳng . Hoạt động 2 ( 10’) Bài 16/sgk 109 HĐ của HS HĐ của GV Ghi bảng -Tỏi hiện kiến thức, trả lời cõu hỏi. - Vận dụng gt vào cm -Tiếp nhận - Làm bài vào vở. - Nờu cỏch cm dóy số tăng? -Yờu cầu HS cm. -Nhận xột,chỉnh sửa -Tương tự bài 15, yờu cầu HS tự cm cõu b a) Từ gt ta cú un+1 -un = (n+1).2n > 0, . Do đú (un) là 1 dóy số tăng. Hoạt động 3 ( 15’) Bài 17/sgk 109 HĐ của HS HĐ của GV Ghi bảng - Tiếp nhận tri thức mới. - Suy nghĩ, trả lời cõu hỏi -Thảo luận theo nhúm, cử đại diện trỡnh bày - Nhận xột, chỉnh sửa - Tiếp nhận, ghi nhớ - Giới thiệu cho HS khỏi niệm dóy số khụng đổi. - Nờu cõu hỏi gợi ý: Muốn cm (un) là dóy số khụng đổi ta cm điều gỡ? -Cho HS thảo luận theo nhúm -Nhận xột lời giải - Củng cố kiến thức Ta sẽ cm un = 1, , bằng phương phỏp quy nạp. Với n = 1, ta cú u1 = 1. Với n = k, ta cú u1 = u2 = . . .= uk = 1 và uk+1 = Ta sẽ cm n = k +1 thỡ thỡ un = 1, . Thật vậy, từ hệ thức xỏc định dóy số (un) và giả thiết quy nạp ta cú uk+2 = Vậy (un) là dóy khụng đổi Hoạt động 4 : ( 5’) 3/ Củng cố toàn bài - Kiền thức về tỡm số hạng của dóy. - Vận dụng phương phỏp quy nạp vào chứng minh. Bài tập củng cố: Bài 18/sgk Dặn dũ: làm cỏc bài tập tương tự trong sỏch bài tập. Xem trước bài Cấp số cộng. Ngày soạn:23/01/2008 Ngày giảng:26/01/2008 TIẾT 52 BÀI 3- CẤP SỐ CỘNG Mục tiờu: Kiến thức: Giỳp cho học sinh Nắm được khỏi niệm cấp số cộng; Nắm được một số tớnh chất cơ bản của ba số hạng liờn tiếp của cấp số cộng. Nắm được cụng thức số hạng tổng quỏt và cụng thức tớnh tổng n số hạng đầu tiờn. Kĩ năng: Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số cộng. Biết cỏch tỡm số hạng tổng quỏt và tụng n số hạng đầu. Biết vận dụng CSC để giải quyết một số bài toỏn ở cỏc mụn khỏc hoặc trong thức tế. Thỏi độ, tư duy: Thỏi độ: tớch cực tiếp thu tri thức mới, hứng thỳ tham gia trả lời cõu hỏi. Tư duy: phỏt triển tư duy logic, lờn hệ trong thực tế. Chuẩn bị của thầy và trũ: 1.Giỏo viờn: đọc kĩ SGK, SGV, SBT. 2.Học sinh: đọc trước bài ở nhà. 3Phương phỏp giảng dạy: Gợi mở vấn đỏp kết hợp cỏc hoạt động. Tiến trỡnh bài học: * Ổn định tổ chức: *Kiểm tra bài cũ: (5’) Nờu cỏc tớnh chất của dóy số. Xỏc định tớnh đơn điệu và bị chặn của cỏc dóy số: ; . * Bài mới: Hoạt động 1: ( 5’) HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Cú nhận xột gỡ cỏc sồ hạng của dóy số? +Từ vớ dụ trờn hóy đưa ra ĐN về cấp số cộng. + Dóy số đó cho cú phải là CSC khụng? Nếu cú hóy nờu cụng sai và u1. + Số hạng sau hơn số hạng ngay trước nú 1 đơn vị. a) là CSC cú d= 2 và u1=0. b)CSC:d=1,5và u1=3,5 1. Định nghĩa: Vớ dụ1: Nhận xột dóy số: 0, 1, 2,, n, n+1,... Nhận xột: Từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng bằng tổng số hạng ngay trước nú cộng với 1. ĐN: Dóy số hữu hạn hoặc vụ hạn (un) là CSC un=un-1 + d, n 2. + d khụng đổi gọi là cụng sai. + Kớ hiệu CSC: u1, u2, u3, , un, Vớ dụ 2: Dóy số 0, 2, 4, , 2n, Dóy số 3,5; 5; 6,5; 9; 10,5; 12. Hoạt động 2: ( 5’) HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng +Tớnh uk-1, uk+1 theo uk và d rồi tỡm quan hệ giữa 3 số hạng uk, uk-1, uk+1. + Gọi HS lờn bảng làm. + uk-1= uk-d uk+1= uk+d suy ra +Giả sử ABC,ta cú: A=300; B=600 và C=900. 2. Tớnh chất ĐL1: (un) là CSC , (k 2) Cho CSC (un) cú u1=-1 và u3=3. Tỡm u2, u4. Vớ dụ 3: Ba gúc A, B, C của tam giỏc vuụng ABC theo thứ tự lập thành CSC. Tớnh 3 gúc đú. Hoạt động 3:( 5’) HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng +CSC cú u1 và d. Hỡnh thành cụng thức tớnh un bất kỳ. + Gọi HS làm tại chỗ +Cho học sinh tự nghiờn cứu. + u1= u1+ 0.d u2=u1+ d u3=u2+ d=u1+2d u4=u3+ d=u1+4d un=u1+(n-1)d. Chứng minh lại bằng quy nạp. + u31=-77. 3. Số hạng tổng quỏt: ĐL 2: Cho cấp số nhõn (un). Ta cú: un=u1+(n-1)d. Cho CSC (un)cú u1=13, d=-3. Tớnh u31. trang 111 SGK. Hoạt động 4: (10’) HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Nhận xột tớch của hai số hang trong cựng một cột ở sơ đồ trong SGK Từ đú rỳt ra Sn. + Viết lại CT trờn dựa vào CT un=u1+(n-1)d. + Gọi HS nờu cỏch làm vớ dụ 3 trang 113 SGK. + Sử dụng chỳ ý của ĐL3 làm cho nhanh. +Yờu cầu học sinh tớnh tiền lương sau n năm theo 2 phương ỏn. Dựa vào kết quả T1-T2 cho học sinh phỏt biểu cỏch chọn. + bằng u1+un. + un là mức lương ở quý n. (un) là CSC với u1=4,5 và d=0,3. Cần tớnh u12. + Hoc sinh tinh rồi đọc kết quả + Trả lời 4. Tổng n số hạng đầu tiờn của một CSC: ĐL 3: Cho CSC (un), gọi Sn=u1+u2++un , n 1. Chỳ ý: , n 1. trang 113 SGK. Giải: Gọi un là mức lương ở quý thứ n thỡ: u1= 4,5 và d=0,3 u12=4,5+(12-1).0,3=7,8. triệu. HS tự làm. Nếu làm trờn 3 năm thỡ chọn PA 2, dưúi 3 năm thỡ chọn PA 1. Hoạt động 5: bài tập SGK ( 14’) HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Gọi học sinh nờu PP và giải bài 19. + Gọi học sinh nờu PP và giải bài 20. + Gọi HS trả lời TN. + Gọi HS làm tại chỗ và đọc kết quả. + Bài 23: HDHS đưa u20 và u51 về u1 và d rồi tớnh u1 và d sau đú viết cụng thức un. + Biểu diễn um, uk qua u1 và d. + Học sinh trả lời. + Học sinh trả lời. + Học sinh trả lời. + Học sinh trả lời. + HS trả lời Bài19: un+1-un= 19, n 1 (un) là CSC. un+1-un= a, n 1 (un) là CSC. Bài 20: Ta cú: , n 1 (un) là CSC Chỳ ý: Để CM (un) là CSC ta cần CM un+1-un khụng đổi, n 1 . Bài 21: Trắc nghiệm: a) Tăng; b) Giảm. Bài 22: 28=u1+u3=2u2 u2=14 40=u3+u5=2u4 u4=20 u3=(u2+u4)/2=17 u1=28-u3=11 và u5=40-u3=23. Bài 23: ĐS: un=-3n+8. Bài 24: um=u1+(m-1)d và uk=u1+(k-1)d um-uk=(m-k)d um=uk+(m-k)d. Áp dụng: HS tự làm. ĐS: d=5. Hoạt động 6 (1’) Củng cố: Nắm được cỏc cụng thức và cỏch ỏp dụng. Chỳ ý kết quả bài 24. Bài về nhà: Bài tập SGK trang114, 115. Bài 1: CM cỏc dóy số sau là CSC: a) un=3n-7 b) un=(3n+2)/5. Bài 2: Xỏc định số hạng đầu và cụng sai CSC (un) biết: (ĐS: u1=3, -17; d=2). Bài 3: Bốn số lập thành CSC. Tổng của chỳng bằng 22 và tổng bỡnh phương thỡ bằng 166. Tỡm 4 số đú. (ĐS: 1, 4, 7, 10). Ngày soạn: 27/01/2008 Ngày giảng: 31/01/2008 Chương III- DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN. Tiết 53 Luyện tập CẤP Sể CỘNG I. Mục tiờu: Kiến thức: Giỳp cho học sinh Củng cố và tổng hợp cỏc kiến thức cơ bản về cấp số cộng và cấp số nhõn thụng qua cỏc bài tập. Kĩ năng: Vận dụng giải quyết một số bài tập liờn quan. Thỏi độ, tư duy: Thỏi độ: tớch cực tiếp thu tri thức mới, hứng thỳ tham gia trả lời cõu hỏi. Tư duy: phỏt triển tư duy logic, lờn hệ trong thực tế. II.Chuẩn bị của thầy và trũ: Giỏo viờn: đọc kĩ SGK, SGV, SBT. Học sinh: Học bài và chuẩn bị bài