Giáo án môn Toán lớp 12 - Vấn đề 4: Đạo hàm

Vấn đề 4. ĐẠO HÀM TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 1) Định nghĩa. Cho hàm số xác định trên khoảngvà . Nếu tồn tại : thì đạo hàm của hàm số tại điểm là : hay , trong đó : Cách tính đạo hàm tại một điểm Bước 1. Giả sử là số gia của , tính . Bước 2. Lập tỉ số . Bước 3. Tính . II. Các quy tắc tính đạo hàm Giả sử và là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác định. Ta có : (k là hằng số) III. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản IV. Đạo hàm cấp cao Cho hàm số có đạo hàm cấp , kí hiệu là . Nếu có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của , kí hiệu là hay . với . CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Tìm các giá trị của x để đạo hàm của hàm số sau đây bằng 0 . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Phòng cháy Chữa cháy, 2001) Giải Ta có: . Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số : có đạo hàm không phụ thuộc vào x. (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Thái Nguyên, 2001) Giải Ta có: Do đó: (đpcm) Ví dụ 3. Cho hàm số . Tính đạo hàm và giải phương trình . (Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 2000) Giải Ví dụ 4. Cho hàm số . Tính đạo hàm và giải bất phương trình . Giải Với điều kiện , ta có: (do và ) So với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình: và . Ví dụ 5. Chứng minh hàm số thoả mãn phương trình: . Giải Ta có: Do đó: (đpcm) Ví dụ 6. Cho hàm số .Tính đạo hàm theo định nghĩa. (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 2000) Giải Ta có: . Chú ý. . Ví dụ 7. Cho hàm số .Tính đạo hàm theo định nghĩa. (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 1998) Giải Ta có: . Chú ý. . Ví dụ 8. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại : . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội, 2000) Giải Ta có: có đạo hàm tại điểm Vậy giá trị cần tìm là: . Ví dụ 9. Cho hàm số . 1) Tính đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của hàm số trên. Tổng quát, hãy tìm đạo hàm cấp n . 2) Chứng minh rằng : . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Dân lập Duy Tân, 2000) Giải Ta có: Suy ra: (*) (*) đã đúng khi . Giả sử (*) đúng khi , ta có: (**) Ta sẽ chứng minh (*) vẫn đúng khi , tức là: Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta có: (đpcm) Ta có: (đpcm). Ví dụ 10. Tính đạo hàm cấp n của hàm số . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải, 1996) Giải Ta có: Suy ra: (*) (*) đã đúng với . Giả sử (*) đúng khi , nghĩa là: (**) Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng với , tức là: Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta được: (đpcm) Ví dụ 11. Cho hàm số . Tính đạo hàm cấp n của (không phải chứng minh). (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 2000) Giải Ta có: Do đó: Suy ra: . Ví dụ 12. Tính đạo hàm cấp n của hàm số , từ đó suy ra đạo hàm cấp n của hàm số . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 1999) Giải Ta có: Suy ra: (*) (*) đã đúng với . Giả sử (*) đúng với , ta có: (**) Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng khi , nghĩa là: Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta có: Vậy: Suy ra đạo hàm cấp n của hàm số : Ta có: Lấy đạo hàm cấp n hai vế, ta có: Suy ra: . BÀI TẬP Bài 1. Cho hàm số . Chứng minh: . Bài 2. Cho hàm số . Chứng minh: . Bài 3. Cho hàm số . Chứng minh rằng: . Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số: Đáp số: Do nên không tồn tại . Bài 5. Cho hàm số: Tính đạo hàm của hàm số đó tại . Đáp số: . Bài 6. Hãy tính , biết: Đáp số: . Bài 7. Tính đạo hàm của hàm số: Đáp số: . Bài 8. Cho hàm số: . Xác định a để hàm số có đạo hàm tại . Tính . Đáp số: . Bài 9. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại : . Đáp số: . Bài 10. Cho hàm số: . Xác định b và c để có đạo hàm tại . Đáp số: . Bài 11. Cho hàm số: . Tìm các giá trị của b và c để hàm số có đạo hàm tại . Đáp số: . Bài 12. Tính đạo hàm cấp n của hàm số . Đáp số: . Bài 13. Tính đạo hàm cấp n của hàm số . Đáp số: . Bài 14. Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm cấp n bằng: . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 483. Cho. Tính (x) Câu 484. Cho . Tính (x) Câu 485. Cho . Tính Các câu khác đều sai. Câu 486. Cho . Tính . Câu 487. Tìm , biết . Câu 488. Tìm , biết . Câu 489. Cho . Tính (x) Câu 490. Đạo hàm của hàm số là . Các câu khác đều sai. Câu 491. Đạo hàm của hàm số y = sinx(1+cosx) là cosx + cos2x cosx - cos2x cosx + 1 cosx + sin2x. Câu 492. Đạo hàm của hàm số là . Câu 254. cho y = cos(x2). Tính y’ tại là : . . . -. Câu 255. Cho . Tính y’ tại là : 4. 1 1/4 0. Câu 3. Hàm số có đạo hàm tại x = p/4 là . . . . Câu 4. Hàm số y = sin4x + cos4x có đạo hàm tại x = p/4 là 0. . 1. –1. Câu 9. Tính đạo hàm hàm số tại x = 2 là –1/. 1/. 1. 2. Câu 12. Tính đạo hàm của y =x3cosx 3x2cosx - x3sinx. –3x2sinx. 3x2sinx. x2cosx. Câu 13. Nếu hàm số có đạo hàm thì (a,b) bằng (3,-3). (2,-3). (2,3). (0,2). Câu 14. Cho y = sin(x2). Tính y’ 2x.cos(x2). -2x.cos(x2). cos(x2). cos(x2). Câu 15. Cho y = sin2x. Tính y’ sin2x. 2x.cos2x. cos2x. 2x.sin2x. Câu 30. Nếu đồ thị hàm số đi qua điểm và tại đó thì: . . Không tồn tại a, b thỏa đề bài Tất cả các câu trả lời khác đều sai.