Giáo án Một loại toán đại số tổ hợp thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh đại học

Một loại toán đại số tổ hợp thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh đại học Ths. Nguyễn Bá Thủy Trong một số đề thi TS vào ĐH, CĐ những năm gần đây, phần Đại số tổ hợp chúng ta thường gặp các bài toán dạng: Tính tổng: (Đề thi TS ĐH, CĐ năm 2003B) Hoặc Tìm số nguyên dương n sao cho (*) (ĐH - CĐ Khối D - 2002) Hay Chứng minh: (ĐHKT Quốc dân - năm 2000 - 2001) Đối với những học sinh giỏi thì những bài toán dạng trên là không quá khó song đối với đa số học sinh để có một lời giải ngắn gọn, không mất nhiều thời gian cho những bài toán này lại không phải là chuyện dễ dàng. Nhằm giúp các em có thể giải tốt các bài toán loại đó, trong khuôn khổ bài báo này chúng tôi xin trình bày một vài bài toán tổng quát và những áp dụng của chúng: Bài toán 1. Chứng minh: (1 +x)n = (1) (Phương pháp chứng minh: áp dụng trực tiếp nhị thức Niutơn với a=1, b=x) Nhìn vào đặc điểm các hệ số của các tổ hợp ở VT của (1) nếu cứ chọn x một giá trị thực và n một số tự nhiên khác 0 thì sẽ tính được rất nhiều tổng 1 cách dễ dàng. Chẳng hạn: 1) Tính tổng: S = áp dụng (1) với x=4, n=500 ta được: S1 = (1 +4)500 = 5500 2) Tính tổng: (Cao đẳng SP kỹ thuật Vinh - 2002) áp dụng (1) với x=-3, n=10 ta được: S2 = (1 - 3)10 = (-2)10 = 1024 3) Tìm số nguyên dương n sao cho (*) (ĐH - CĐ Khối D - 2002) áp dụng (1) với x = 2 ta có: = (1+ 2)n = 3n Vậy: Từ (*): 3n = 243 Û 3n = 35 Û n = 5 (thỏa mãn) Một số tổng tương tự: Tính tổng 4). 5) 6) 7) 8) Từ (1), nếu nhìn nhận (1+x)n là biểu thức của một hàm số với đối số là x thì ta có bài toán sau: Bài toán 2: Chứng minh: n (1+ x)n - 1 = (2) (" x ẻ R, n ³ 1, n ẻ N) (Phương pháp: Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được (2)) Cũng như (1), nếu thay x bởi một số thực, n bởi một số tự nhiên khác 0 vào vế trái của (2) thì ta lại được rất nhiều tổng lý thú khác. Chẳng hạn: 8) Tính tổng: áp dụng (2) với x=1, n=15 ta được: S7 = 15(1+1)14 = 15.214 9) Tìm số dương n sao cho: (ĐH - CĐ năm 2005 - Khối A) áp dụng (2) với x=-2, n bởi 2n + 1 ta được : VT = (1 - 2)2n. (2n +1) = 2n+1 Vậy từ (*): 2n +1 = 2005 Û n = 1002 Một số tổng tương tự: 11) Tính tổng 12) Chứng minh: = n . 3n – 1 (KTQD 2000) Mở rộng 1: Nếu đạo hàm tiếp theo x của (2) thì ta được: n(n - 1) (1 +x)n -2 =2.1. (3) (" x ẻ R, n ³ 2, n ẻ N) + Nếu chọn x = 1 thì ta được tổng = n.(n - 1).2n -2 Mở rộng 2: Đạo hàm tiếp 2 vế của (3) theo x ta có: n (n -1)(n -2)(1+x)n -3 = (4) +Nếu chọn x = 1 thì ta được tổng: Nhận xét: Như vậy, với cách tư duy trên, tuỳ vào đặc điểm từng dạng của tổng, học sinh biết lấy đạo hàm 1,2 hoặc nhiều lần, để từ đó tính được các tổng 1 cách nhanh gọn. Mở rộng3: Nếu cộng theo vế của (1) và (2) thì ta lại được tổng dạng (5) Ví dụ: Tính tổng: S13= (ĐHAN năm 2000 D) áp dụng (5) với x=1, n=2000 ta được S12 = (1 + 1)2000 - 1(1 + 1 + 2000) = 2002. 21999 = 1001.22000 Mở rộng 4: Từ (2): Nhân hai vế với x ạ 0 ta có: x.n. (1 + x)n - 1 = = (6) Lấy đạo hàm 2 vế theo x của (6) ta được 1 tổng đẹp khác nữa. Ví dụ: Chọn x= 1 Từ (7) ta có tổng: Mở rộng 5: Từ tổng (1): (1 +x)n = và tổng (1'): (1 -x)n = * Nếu cộng theo vế của (1) và (1') thì ta được tổng: Chẳng hạn chọn x =3, n =2006 ta được tổng: * Nếu trừ theo vế của % (1) và (1') thì ta lại được tổng Chẳng hạn chọn x=3, n =2006 ta được tổng: Bây giờ ta xét (1) theo hướng khác: Nếu lấy tích phân 2 vế của (1) theo x trên 1 đoạn [a, b] nào đó (a, b ẻ R, a < b), (1+ x)n liên tục ẵ[a, b], n nguyên dương ) thì ta có bài toán sau: Bài toán 3. Tính a, b, Giải: a, (8) b, == (9) Nhận xét: Từ (8) và (9) ta lại được tổng khác: (10) * Cũng như các tổng tổng quát trên. Nếu chọn 1 đoạn [a; b] và n cụ thể thì từ (10) ta có được rất nhiều tổng. Ví dụ: 2. (Đề thi ĐH, CĐ 2003B) Tính tổng: (n là số nguyên dương) Giải: Ta nhận thấy tổng trên có dạng (9) với a=1, b=2 Vậy từ (10) ta có kết quả: S15 = Một số tổng tương tự: Tính tổng (3) S17 = 5 (4) (Đề thi ĐHSP TP HCM -2000D,E) S18 = (5) S19 = (6) S20 = (7) S21 =