Giáo án Phương trình và bất phương trình vô tỷ

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Mục lục Loại 1. Phương pháp lũy thừa ........................................................................................................................................................................................... 2 A. Nội dung phương pháp ..................................................................................................2 B. Một số ví dụ ..................................................................................................................3 C. Bài tập ..........................................................................................................................8 D. Đáp số ...........................................................................................................................9 Loại 2. Phương pháp ẩn phụ ........................................................................................................................................................................................... 11 A. Nội dung phương pháp ................................................................................................ 11 B. Một số ví dụ ................................................................................................................ 11 C. Bài tập ........................................................................................................................ 17 D. Đáp số ......................................................................................................................... 18 Loại 3. Phương trình và bất phương trình tích ............................................................................................................................................................ 19 A. Nội dung phương pháp ................................................................................................ 19 B. Một số ví dụ ................................................................................................................ 19 C. Bài tập ........................................................................................................................ 21 D. Đáp số ......................................................................................................................... 21 Loại 4. Một số phương pháp đặc biệt............................................................................................................................................................................. 22 A. Một số ví dụ ................................................................................................................ 22 B. Bài tập ........................................................................................................................ 24 C. Đáp số ......................................................................................................................... 24 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 Loại 1. Phương pháp lũy thừa A. Nội dung phương pháp Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - phương pháp lũy thừa. Sau đây là một số tình huống tiêu biểu: 1. Lũy thừa hai vế phương trình vô tỷ     f x g x        0g x f x g x    ;     f x g x       2 0g x f x g x    . 2. Lũy thừa hai vế bất phương trình vô tỷ     f x g x        0g x f x g x    ;     f x g x        0g x f x g x    .     f x g x           2 0 0 0 g x f x g x f x g x        .     f x g x           2 0 0 0 g x f x g x f x g x        .     f x g x         2 0 0 g x f x f x g x      . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3     f x g x         2 0 0 g x f x f x g x      . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình: 3 2 5 2 1x x x    .  1 Giải Ta có  1    23 2 5 2 1 2 1 0 x x x x           3 24 2 4 0 2 1 2 x x x x         .  2    22 2 2x x x          2 1 3 1 3 thoûa maõn loaïi thoûa maõn x x x        . Vậy tập nghiệm của  1 là  1;1 3 . Ví dụ 2. [ĐHD06] Giải phương trình: 22 1 3 1 0x x x     .  1 Giải Ta có  1  22 1 3 1x x x       2 2 2 1 3 1 3 1 0 x x x x x            .     2 3  3  2 3 1 0x x    3 5 3 5 2 2 x   .  4  2  4 3 26 11 8 2 0x x x x         2 21 4 2 0x x x              1 4 2 2 4 2 2 4 thoûa maõn thoûa maõn khoâng thoûa maõn x x x           . Tập nghiệm của  1 là  1;2 2 . Ví dụ 3. Giải phương trình 4 1 1 2x x x     .  1 Giải BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 ĐK: 4 0 1 0 1 2 0 x x x          14 2 x   . Ta có  1  4 1 2 1x x x     . Bình phương hai vế phương trình trên ta được phương trình tương đương 24 2 3 2 2 3 1x x x x       22 3 1 2 1x x x     2 22 3 1 4 4 1 2 1 0 x x x x x           22 7 0 2 1 0 x x x        0 7 2 1 2 x x x             0 7 2 x x      . Kết hợp với điều kiện, suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 0x  . Ví dụ 4. Giải phương trình 1 1x x x x    .  1 Giải ĐK: 1 0 0 x x x        2 1 0 0 x x x        1x  . Bình phương hai vế phương trình  1 , ta được phương trình hệ quả 1 1 2x x x x      1 1 x   1x  . Thử lại, ta thấy 1x  là nghiệm của  1 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1x  . Ví dụ 5. Giải phương trình 3 3 31 2 2 3x x x     .  1 Giải Lập phương hai vế của phương trình  1 , ta thu được phương trình tương đương     3 332 3 3 1 2 1 2 2 3x x x x x x              3 33 1 2 1 2 0x x x x      BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5    3 3 3 1 2 0 1 2 0 x x x x             3 3 1 2 1 2 2 x x x x          . Lại có  2   1 2x x     3 2 x  . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 31;2; 2       . Ví dụ 6. [ĐHA05] Giải phương trình 5 1 1 2 4x x x     .  1 Giải ĐK: 5 1 0 1 0 2 4 0 x x x          2x  . Ta có:  1  5 1 2 4 1x x x      25 1 3 5 2 2 6 4x x x x       22 6 4 2x x x    (do 2x   2 0x   )  2 22 6 4 4 4x x x x      2 10 0x x   0 10x  Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của  1 là  2;10 . Ví dụ 7. [ĐHA04] Giải bất phương trình  22 16 73 3 3 x xx x x        .  1 Giải ĐK: 2 16 0 3 0 x x        4x  . Ta có  1   22 16 3 7x x x       22 16 10 2x x     2 2 10 2 0 10 2 0 2 16 100 40 4 x x x x x            2 5 5 20 66 0 x x x x       BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6  5 5 10 34 10 34 x x x          10 34x   (thỏa mãn). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  10 34;  . Ví dụ 8. Giải phương trình:  2 3 6 5 2 4x x x x       .  1 Giải ĐK: 6x  . Ta có  1   2 23 3 2 2 9 18 3 3 2 2 20x x x x x x           2 22 9 18 2 20x x x x      2x  (loại). Vậy  1 vô nghiệm. Ví dụ 9. Giải phương trình: 7 4 1 5 6 2 2 3x x x x       .  1 Giải ĐK: 3 2 x  . Ta có  1   7 2 2 3 5 6 4 1x x x x        2 29 5 4 2 11 21 9 5 2 20 19 6x x x x x x          2 22 2 11 21 20 19 6x x x x         2 24 2 11 21 20 19 6x x x x      212 63 78 0x x    24 21 26 0x x    2 13 4 x x      . Thử lại ta thấy chỉ 13 4 x  là nghiệm của  1 . Vậy  1 có nghiệm duy nhất 13 4 x  . Nhận xét: +) Hai phương trình:    f x g x và    2 2f x g x nói chung là không tương đương. Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại. +) Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng. Trong ví dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế. Nhờ thế mà sau khi bình phương, ta giản ước được 9 5x  ở hai vế. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 Ví dụ 10. Biện luận số nghiệm của phương trình 3 1x x m x     .  1 Giải Ta có  1  3 2 2 1 1 0 x x m x x x            3 2 1 2 1 x x x m x         . Do đó số nghiệm của  1 bằng số nghiệm thỏa mãn 1x  của  2 nên bằng số điểm chung của đường thẳng 1y m   với đồ thị hàm số   3 2f x x x x   ( 1x  ). Ta có   2' 3 2 1f x x x   .  ' 0f x   1 1 3 x x       . Kết luận: +) 1 1m    2m   :  1 vô nghiệm; +) 251 7 m     18 7 m  :  1 có 1 nghiệm; +) 251 7 1 1 m m          18 7 2 m m      :  1 có 2 nghiệm; +) 25 1 1 7 m      182 7 m   :  1 có 3 nghiệm. Ví dụ 11. [ĐHB06] Tìm m để phương trình sau đây có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 1x mx x    .  1 Giải Ta có  1    22 2 2 1 2 1 0 x mx x x             23 4 1 0 2 1 2 x m x x          .  2 là phương trình bậc hai có  24 12 0m m        2 luôn có hai nghiệm phân biệt 1x , 2x . Theo định lý Vi-ét thì 1 2 1 2 4 3 1 3 mx x x x         .  3 1 - 25 7 1 -∞ ++ - 00 f x( ) f ' x( ) x -∞ 1 1 3-1 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8  1 có hai nghiệm phân biệt   2 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1 2   1 2 1 2 1 2 x x          1 2 1 0 2 1 0 2 x x          1 2 1 2 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 x x x x                               1 2 1 2 1 1 1 0 1 1 0 2 4 x x x x x x          .  4 Thay  3 vào  4 ta thu được 4 1 0 3 1 1 4 1 0 3 2 3 4 m m            1 0 2 9 0 m m       1 9 2 m m      9 2 m  . Vậy  1 có hai nghiệm phân biệt  9 2 m  . Chú ý: Ví dụ trên có thể được làm bằng cách khác như sau: biến đổi  1 về dạng 23 4 1 1 2 x xm x x          .  1 có hai nghiệm phân biệt  y m có hai điểm chung với đồ thị hàm số 23 4 1x xy x    , 1 2 x   . C. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau 1) 2 2 3x x x    ; 2) 22 3 1 0x x x     ; 3) 33 1 2x x x     ; 4) 3 2 6 28 5x x x x     ; 5) 4 34 14 11 1x x x x     ; 6)  4 3 25 12 17 7 6 1x x x x x      ; Bài 2. Giải các phương trình sau 1) 4 1 1 3 4x x    ; 2) 3 7 1 2x x    ; 3) 2 29 7 2x x    ; 4)  2 11 2 13 2 1x x x     ; BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 5) 4 1 1 2x x x     ; 6) 3 7 1x x x     . Bài 3. Giải các phương trình sau 1) 3 3 1 2 2 2x x x x      ; 2) 2 22 2 2 2x x x x x x       ; Bài 4. Giải các phương trình sau 1) 33 31 1 2x x x    ; 2) 33 31 3 2x x    ; 3) 3 33 32 1 1x x x    . Bài 5. Giải các bất phương trình sau 1) 9 2 4 5x x    ; 2)  21 2 1x x   ; 3) 22 5 4 3x x x     ; 4) 2 2 23 2 4 3 2 5 4x x x x x x        ; 5)    1 2 1 3 1x x x    ; 6) 2 2 2 2 1 1 x x x     . Bài 6. Giải và biện luận theo m các phương trình 1) 2 1x x m   ; 2) x m x m m    . Bài 7. [ĐHB07] Chứng minh với mọi 0m  , phương trình  2 2 8 2x x m x    có hai nghiệm phân biệt. Bài 8. Giải và biện luận theo m các bất phương trình sau 1) 2m x x m    ; 2) 2x m x   . D. Đáp số Bài 1 1) 1; 2) 3 ; 3) 1 ; 4) 1, 1 13 2   . 5) 2 , 1; 6) 2 3  ; Bài 3 1) 1; 2) vô nghiệm. Bài 4 1) 0 , 1 ; 2) 1, 3 ; 3) 0 , 1, 3 1 2 ; Bài 5 1) 0x  . 2) 1x   hoặc 1 3x  . 3) 141 5 x  . 4) 1x  hoặc 4x  . 5) 1 2x  . 6) 1 0 2 x   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 Bài 6 1) 1m   hoặc 0 1m  : vô nghiệm; 1 0m   hoặc 1m  : 2 1 2 mx m    . 2) 0m  hoặc 0 2m  : vô nghiệm; 0m  : 0x  ; 2m  : 2 4 4 mx  . Bài 8 1) 1m   : 1x m   ; 1m   : x m hoặc 2 1m x m      . 2) 92 4 m  : x m ; 9 4 m  : 9 5 4 2 x  ; 2m  : 2x  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 Loại 2. Phương pháp ẩn phụ A. Nội dung phương pháp Dùng ẩn phụ là một phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng. Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau: +) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ. +) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ. +) Đặt một ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ. +) Đặt hai ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải các phương trình 1) 2 2 11 31x x   ;  1 2)     25 2 3 3x x x x    .  1 Giải 1) Đặt 2 11t x   2 2 11 11 t x t      , ta thu được phương trình  2 11 31t t    2 42 0t t        6 7 thoûa maõn loaïi t t      2 11 6x    2 11 36x    2 25x   5x   . Vậy tập nghiệm của phương trình là  5 . 2)  1  2 23 3 3 10 0x x x x     . Đặt 2 3t x x   2 2 0 3 t x x t     , ta thu được phương trình 2 3 10 0t t        2 5 thoûa maõn loaïi t t     BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12  2 3 2x x   2 3 4x x   2 3 4x x   1 4 x x     . Vậy tập nghiệm của phương trình là  1; 4 . Ví dụ 2. Giải các phương trình 1)  2 12 3 1 1x x x x x     . 2)   32 4 2 2 1 1x x x x    . Giải 1) Ta thấy 0x  không phải nghiệm của  1 nên  1  1 12 3x x x x      1 12 3 0x x x x          . Đặt 1t x x    21 0 x x t t     , ta thu được phương trình 2 2 3 0t t        1 3 thoûa maõn loaïi t t      1 1x x    1 1x x    2 1 0x x    1 5 2  . Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 5 2         . 2) Ta thấy 0x  không phải nghiệm của  1 nên  1  3 1 12x x x x      3 1 1 2 0x x x x          . Đặt 3 1t x x    31x t x   , ta thu được phương trình 3 2 0t t       21 2 0t t t     1t  (do 2 2 1 72 0 2 4 t t t x           ).  3 1 1x x    1 1x x    2 1 0x x    1 5 2  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 5 2         . Ví dụ 3. Giải các phương trình 1) 22 1 2 1x x x x x      .  1 . 2) 2 2 3 2 3 9x x x x x      .  1 Giải 1) Đặt 1t x x    2 2 1 2 2 1 t x x x t       . Với phép đặt ẩn phụ như trên  1 trở thành 2 1 1t t    2 2 0t t    1 ( 2 ( ) thoûa maõn) loaïi t t     .  1 1x x    2 . Xét  2 : ĐK: 0x  . * Dễ thấy 0x  là nghiệm của  4 . * 0x    4 1VT   x không phải nghiệm của  4 . Vậy  1 có nghiệm duy nhất 0x  . 2)  1   2 3 2 3 9x x x x x x       . Đặt 3t x x    2 2 3 2 3 3 t x x x x t         . Với phép đặt ẩn phụ như trên  1 trở thành 2 3 9t t    2 12 0t t    3 ( ) 4 ( ) thoûa maõn loaïi t t     . Thay 3t  vào  2 ta được 3 3x x    2 . Xét  2 : ĐK: 3x   . * Dễ thấy 1x  là nghiệm của  2 . * 1x    2 4VT   x không phải nghiệm của  2 . * 3 1x     2 4VT   x không phải nghiệm của  2 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 Vậy  1 có nghiệm duy nhất 1x  . Ví dụ 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  2 2 22 2 5 2 1x x m x x m     . Giải Đặt 25 2t x x    2 22 5x x t   . Phương trình  1 trở thành: Khi đó phương trình trở thành: 2 22 5 0t mt m     2  5t m  . Xét hàm   25 2f x x x   . Ta có    26 1f x x   . Ta thấy   0f x x  , dấu bằng xảy ra  1 6x    ;   6f x x  , dấu bằng xảy ra  1x   . Do đó tập giá trị của hàm f là 0; 6   . Vậy  1 có nghiệm   2 có nghiệm 0; 6t     0 5 6 0 5 6 m m          5 6 5 5 6 5 m m         . Chú ý:  Điều kiện phương trình    *f x m có nghiệm: o  * có nghiệm  đường thẳng y m có điểm chung với đồ thị hàm số  y f x . o  * có nghiệm  m thuộc tập giá trị của hàm số  y f x .  Trong ví dụ trên, ta dùng điều kiện thứ hai để tìm điều kiện phương trình có nghiệm. Về việc tìm tập giá trị của hàm số  y f x , ta có thể dùng khẳng định sau: Nếu f đạt giá trị nhỏ nhất là m tại a , đạt giá trị lớn nhất là M tại b và f liên tục trên đoạn với hai đầu mút a , b thì tập giá trị của f là  ;m M . Ví dụ 5. Giải phương trình   2 22 1 2 1 2 1x x x x x      .  1 Giải Đặt 2 2 1t x x    2 ,  1 trở thành:   22 1 x t t    2 1 0t t x        0 2 1 0 t t x         0 2 1 t t x     . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 15 Thay 0t  vào  2 ta có 2 2 1 0x x    2 2 1 0x x    1 2x    . Thay  2 1t x  vào  2 ta có  2 2 1 2 1x x x       2 2 2 1 0 2 1 4 8 4 x x x x x           2 1 3 10 5 x x x      1 5 10 3 x x       5 10 3 x  . Vậy tập nghiệm của phương trình là 5 101 2; 3         . Ví dụ 6. Giải phương trình    3 33 335 35 30 1x x x x    . Giải Đặt 3 335t x  ta có 3 335t x    3 3 35 2x t  . Thay 3 335t x  vào  1 , ta có    30 3xt x t  . Ta có hệ gồm hai phương trình  2 và  3 :   3 3 35 30 x t xt x t              3 3 35 30 x t xt x t xt x t         . Thay phương trình dưới vào phương trình trên của hệ trên ta có     3 125 30 x t xt x t          5 30 x t xt x t      . Thay phương trình trên vào phương trình dưới của hệ trên ta có 5 6 x t xt      3 2 x t    hoặc 2 3 x t    . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 16 Vậy tập nghiệm của  1 là  2;3 . Chú ý: Định lý Vi-ét đảo Xét hệ (1) x y S xy P     và phương trình 2 0 (2)t St P   . Khi đó:  (1) có nghiệm  (2) có nghiệm.  Trong trường hợp (2) có nghiệm 1t và 2t thì: 1 2 2 1 (1) x t y t x t y t        . Ví dụ 7. [ĐHA09] Giải phương trình 32 3 2 3 6 5 8 0x x     .  1 Giải Đk: 6 5 0x   6 5 x  . Đặt 3 3 2 6 5 u x v x       suy ra 0v  và 3 2 3 2 6 5 u x v x        3 2 5 15 10 3 18 15 u x v x        3 25 3 8u v   3 25 3 8 0u v   ;  2 phương trình  1 trở thành 2 3 8 0u v     2 4 3 v u   .  3 Thay  3 vào  2 , ta có:   2 3 25 3 4 8 0 3 u u          3 245 8 16 8 03u u u      3 215 4 32 40 0u u u       22 15 26 20 0u u u      2 2 0 15 26 20 0 ' 131 0 u u u            2u   ( 4v  , thỏa mãn)  3 3 2 2x     3 2 8x     2x   . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2x   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 17 C. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1) 21 1 2 1 4x x x      . 2) 23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x        . 3)  33 23 2 2 6 0x x x x     . 4)   3 6 3 3 6x x x x       . 5) 2 22 5 6 10 15x x x x     . 6) 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x        . 7) 5 15 2 4 22 x x xx     . 8) 2 1 1 2 4 xx x     . Bài 2. Cho phương trình   3 6 3 6x x x x m       . 1) Giải phương trình với 3m  . 2) Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 3. Tìm m để BPT    2 2 2 1 2 0m x x x x      có nghiệm 0;1 3x     . Bài 4. Tìm m để BPT     22 4 2x x x x m     nghiệm đúng với mọi  2;4x  . Bài 5. Giải các PT sau: 1) 2 21 1 2x x   . 2)    33 2 21 2 1x x x x    . 3) 2 31 4 3x x x   . Bài 6. Giải các PT sau: 1)  3 25 1 2 2x x   . 2) 2 25 14 9 20 5 1x x x x x       . 3)  2 32 5 2 4 2 21 20x x x x     . 4)  2 32 3 2 3 8x x x    . Bài 7. [ĐHA07] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 243 1 1 2 1x m x x     . Bài 8. Giải các phương trình: 1) 3 24 12 6x x    . 2) 33 3x x   . 3) 4 4 17 3x x   . 4)       2 23 3 32 7 2 7 3x x x x       . 5) 3 3 316 8x x x    . 6) 4 4 41 2 1x x x    . Bài 9. Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 31 1x x a    có nghiệm. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 18 Bài 10. Giải các phương trình sau 1) 3 31 2 2 1x x   . 2) 2 32 4 2 xx x   . 3) 3 3 12 1 2 xx   . D. Đáp số Bài 1 1) 0 . 2) 2 . 3) 2 , 2 2 3 . 4) 0 , 3 . 5)    5 3 5 5 3 52 2; ;    . 6) 67 ;6  . 7)    3 32 20; 2 2;    . 8)  1;1 . Bài 2 1) 3 , 6 . 2) 6 2 9 3 2 m   .Bài 3 2 3 m  . Bài 4 4m  .Bài 5 1) 3 2  . 2) 2 2 , 1 2 2 2 2    . 3) 1 2  , 2 2 4   . Bài 6 1) 5 37 2  . 2) 5 61 2  , 8 . 3) 9 193 4  , 17 3 73 4  . 4) 3 13x   Bài 7 11 3 m   . Bài 8 1) 24 , 88 , 3 . 2) 1. 3) 1, 16 . 4) 1, 6 . 5) 8 , 56 3010 7  . 6) 0 . Bài 9 0 2a  . Bài 10 1) 1, 1 5 2   . 2) 3 17 4   , 5 13 4   . 3) 1 2  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 19 Loại 3. Phương trình và bất phương trình tích A. Nội dung phương pháp Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích. Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số phép biến đổi đơn giản. Việc sử dụng biểu thức liên hợp đôi khi cho ta lời giải bất ngờ. Về biểu thức liên hợp, ta cũng cần biết:  Biểu thức liên hợp của a b là a b :   a b a b a b    .  Biểu thức liên hợp của 3 3a b là    2 23 3 3a ab b  :      2 23 3 3 3 3a b a ab b a b        . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình  23 2 1 2 4 3 1x x x x x x       . Giải  1    3 2 1 2 3 1x x x x x x       (ĐK: 1x   )     3 1 1 2 1 1 0x x x x          1 1 2 3 0x x x      1 1