Giáo án Toán 12 - Cực trị của hàm số

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Sửa|Xóa| Điểm: khanhsy Sửa|Xóa | I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Khái niệm cực trị: Cho hàm số có tập xác định +) được gọi là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho: Khi đó được gọi là giá trị cực đại của hàm số +) được gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho: Khi đó được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số Điểm cực đại và cực tiểu của hàm số được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. 2. Điều kiện cần, đủ để hàm số có cực trị:  +) Nếu hàm số đạt cực trị tại và đồng thới hàm số có đạo hàm tại thì +) Nếu hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm trên khoảng và thì: *) thì hàm số đạt cực tiểu tại     *) thì hàm số đạt cực đại tại +) Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng chưa điểm , và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại thì:              *) thì hàm số đạt cực đại tại              *) thì hàm số đạt cực tiểu tại  3. Kiến thức hỗ trợ: +) Định lý về dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai có biệt thức                 *) thì phương trình vô nghiệm và                 *) thì phương trình có nghiệm kép và                 *) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt và +) Định lý về dấu nhị thức bậc nhất: Cho nhị thức bậc nhất thì  +) Định lý Vi-Ét: Cho tam thức bậc hai . Nếu có hai nghiệm phân biệt thì: II. CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ: Dạng toán 1: Điều kiện để hàm số (đồ thị hàm số) y = f(x, m) có cực trị  Phương pháp giải: Để xác định các giá trị của tham số m sao cho hàm số (đồ thị hàm số) có n cực trị ta tiến hành như sau Tìm tập xác định D của hàm số Tính đạo hàm Xác định điều kiện để đồi dấu n lần trên tập D Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị m thỏa nó (cũng là thỏa bài toán) Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất việc giải toán    Chú ý́ Các hàm số: ,  Hoặc không có cực trị hoặc có hai cực trị (gồm một cực đại và một cực tiểu)  Điều kiện để có cực trị của hàm số đó là: PT có hai nghiệm phân biệt. Ví dụ: Cho hàm số với giá trị nào của thì hàm số có cực trị. Hướng dẫn giải: Tập xác định : Đạo hàm: Đặt Hàm số có cực trị có hai nghiêm phân biệt                        thỏa Đáp án: Bài tập rèn luyện:  Bài 1. Xét hàm số: . Xác định các giá trị của tham số sao cho hàm số có hai cực trị Bài 2.  Xét hàm số: . Xác định các giá trị của tham số sao cho hàm só có cực trị  Bài 3. Xét hàm số: . Xác định các giá trị của tham số sao cho hàm số không có cực trị  Bài 4.  Xét hàm số: . Xác định các giá trị của tham số sao cho hàm số có cực trị  Bài 5. Xét hàm số:. Xác định các giá trị của tham số sao cho hàm số không có cực trị  Dạng toán 2: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm.   Điều kiện để hàm số có cực trị tại Điều kiện để hàm số có cực đại tại    Điều kiện để hàm số có cực tiểu tại   Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu)   có hai nghiệm phân biệt Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : có 3 nghiệm phân biệt Ví dụ: Tìm  để hàm số đạt cực tiểu tại Hướng dẫn giải: Tập xác định Đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cức tiểu tại là: và Ví dụ 2: Xác định các hệ số sao cho hàm số đạt cực trị tại điểm và đồ thị hàm số đi qua điểm Giải:  * Đồ thị hàm số đi qua điểm * Hàm số có cực trị bằng tại điểm có nghiệm bằng và Ta có hệ: Giải hệ này ta được:  Bài tập rèn luyện: 1. Cho hàm số . Tìm giá trị của tham số để hàm số đạt cực đại tại điểm . 2.Cho hàm số . Tìm để hàm số có 3 cực trị. 3. Định để đạt cực đại tại 4. Cho hàm số . Định để hàm số đạt cực trị bằng tại 5. Cho hàm số . CMR đồ thị hàm số luôn có cực đại và cực tiểu . Viết hương trình đường thẳng qua hai điểm cực tiểu của hàm số . III. Một số bài thi đại học: 1.Cho hàm số: . Tìm để hàm số có ba điểm cực trị. (Đề thi Toán khối B năm 2002) 2.Cho hàm số: . Xác định để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng (Đề thi tốt nghiệp bổ túc năm 2003-2004) 3.Cho hàm số: . tìm để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên bằng (Đề thi Toán khối A năm 2005) 4.Cho hàm số: . Chứng minh rằng với bất kì, đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực trị là (Đề thi Toán khối B năm 2005) 5.Cho hàm số: . Với giá trị nào của thì đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của hàm số. 6. Cho hàm số . Tìm dể hàm số có cực trị và các điểm cực trị này tạo với gốc tọa độ một tam giác vuông tại (Đề thi Toán khối A năm 2007) 7. Cho hàm số . Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị này cách đều gốc tọa độ (Đề thi Toán khối B năm 2007).