Giáo án Toán 9 - Hệ phương trình

I. Đối với học sinh đại trà ở lớp 9 : +. Khai thác cách giải hệ bằng PP thế bằng các ví dụ đơn giản sau: Giải các hệ phương trình : a) b) c) d) Ở đây giáo viên nên khai thác câu d) cách khác : Phân tích phương trình (2) thế x - y =3 để học sinh hình dung thế 1 cụm . Chẳng hạn: Giải hệ phương trình : HD: Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của (2) nên từ (2) Þ Thay vào (1) ta được : Û Giải tiếp ta có kết quả +. Khai thác cách giải hệ bằng PP đặt ẩn phụ thông qua 1 số hệ đối xứng ( Loại I ) Chẳng hạn: Giải hệ phương trình: a) b) c) d) Sau khi giải các hệ này giáo viên hình thành PP giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ và lưu ý: Điều quan trọng trong PP này là phát hiện ra ẩn phụ: u =f(x;y) , v=g(x;y) có ngay trong từng phương trình chưa ? Có xuất hiện được sau 1 số ít phép biến đổi cơ bản hoặc chia cho 1 biểu thức khác không được hay không ? Từ đó tiếp tục cho học sinh giải các hệ sau: 1. Giải hệ phương trình : a) HD: Dùng hai ẩn phụ u = x – y ; v = x + y . ĐS: b) Giải hệ phương trình: Từ (1) Þ y ¹ 0 Hệ Û Đặt a = 2x; b = . Ta có hệ: ĐS: Hệ đã cho có 2 nghiệm c) HD: ĐS: d) HD: đặt 2. Giải hệ phương trình (Dự bị ĐH Khối A - 2006) HD: Hệ phương trình Û Dễ thấy y = 0 không thoả mãn. Với y ¹ 0, chia cả 2 vế cho y và đặt: ĐS: (1;2), (-2;5) 3. Giải hệ phương trình HD: Đặt a = 2x + y, b = 2x - y. (Để ý 4x2 - y2 = (2x + y)(2x - y)) ĐS: Hệ đã cho có 2 nghiệm: +. Khai thác cách giải hệ bằng PP cộng: Giáo viên đưa ra hệ : (*) Yêu cầu học sinh nhận xét đặc điểm của hệ và đề xuất PP giải ? Þ đây là hệ đối xứng loại II Þ Trừ vế theo vế ta được: Þ Dùng PP cộng để giải : - Điều kiện: , hệ (*) tương đương với Û Tiếp tục giải bằng PP thế ta có: nghiệm của hệ: Sau đó GV cho học sinh giải các hệ: a) b) c) Từ đây GV có thể khái quát hệ Đối xứng loại II và cách giải: Hệ phương trình hai ẩn x, y là đối xứng loại 2 khi ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại. Cách giải: Trừ từng vế hai phương trình cho nhau. Đưa phương trình kết quả về dạng tích, trong đó có một thừa số là , tức là có nghiệm . Từ đó tìm được các nghiệm còn lại của hệ (nếu có). +. Cũng từ bài tập SGK lớp 10 Nâng cao , Giải hệ phương trình GV cho học sinh giải và cho nhận xét loại hệ nào giải được bằng cách này ? Tiếp tục GV cho học sinh giải các hệ phương trình : a) b) c) HD b) : Xem phương trình (2) là phương trình ẩn y. Þ phân tích phương trình (2) ĐS: Hệ đã cho có 3 nghiệm (0;4), (4;0), HD c) : (1) Þ . D = (3y + 1)2.Þ phân tích phương trình (1) ĐS: Hệ đã cho có 1 nghiệm (5;2) Thiết nghĩ rằng : Nếu chúng ta đưa ra 1 hệ thống các hệ phương trình thì học sinh tiếp thu rất mệt mỏi mà chúng ta chỉ cần nêu 1 số hệ mà học sinh vận dụng được các PP giải đã được học từ lớp dưới. chúng ta nên chỉ bày cho học sinh thực hiện các phép biến đổi tương đương để đưa về các hệ đơn giản, có vậy mới thực hiện yêu cầu giảm tải của chương trình. II. Đối với học sinh lớp 12 và Học sinh khá giỏi lớp 10 ta có thể nâng dần mức độ bằng các bài tập vận dụng phối hợp các PP hoặc phải sử dụng các phép tương đương nhiều hơn . Chẳng hạn : Giải các hệ phương trình : a) HD: Với đ/k : ; Đặt (1) trở thành : Û (b) vô nghiệm vì : Từ (a) Þ thay vào (2) ta giải ra kết quả b) HD: Biến đổi Đặt : ta được hệ quen: c) HD: Cách 1: đến đây dùng phép thế và đặt : x2 = t Cách 2: Hệ Û Û Û Đến đây ta đã biết cách giải . d) HD: PT (1) Û (*) Do x = 0 không phải nghiệm của phương trình (2) Þ (2) Û (3) Thế (2) và (3) vào (*) ta có : Û Û ( Vì x = 0 loại ) Þ Đặc biệt đối với học sinh 12 sau khi học KSHS ta có thể đưa thêm một số ví dụ về giải hệ phương trình bằng PP Khảo sát hàm số. Mấu chốt của PP này là từ hệ ta đưa được về phương trình dạng : f(x)=f(y) hoặc f(x) = 0 ( không giải được theo cách thông thường ) Chẳng hạn : Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: HD : Dễ thấy hệ Û Xét hàm số trên [0 ; 2 ] có Þ hàm số đồng biến trên [0;2] mà (1) Û f(x)=f(y) Û x = y thế vào (2) ta giải ra x Þ y. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: (Khối A 2010) HD: ĐK : Đặt u = 2x, v = thay vào pt thứ nhất trong hệ, ta được: Do đó 2x = , thay vào pt thứ hai trong hệ và rút gọn, ta được: Xét hàm số có và , mặt khác, hàm số liên tục trên nên hàm số nghịch biến trên đoạn . Vậy pt (*) có nghiệm duy nhất do đó y = 2. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình : HD : Đặt t = x + 1 Þ tÎ[0; 2]; ta có (1) Û t3 - 3t2 = y3 - 3y2 (*) Xét : trên [0;2] có : Mà (*) Û f(t)=f(y) Û y = x + 1 (2) Þ C. KẾT LUẬN Trước yêu cầu đổi mới Chương trình Toán THPT có giảm tải , nhưng thực tế có những vấn đề trong thi cử học sinh cũng gặp phải. Vậy làm thế nào để trang bị thêm, mở rộng thêm cho kiến thức cho học sinh để phù hợp với kiến thức vốn có của các em. Trên đây bản thân xin nêu một số cách, đưa một số loại hệ phương trình cho học sinh tiếp cận . Bản thân không dám đưa hết các loại hệ phương trình mà đã có trong một số tài liệu tham khảo đã được các nhà chuyên môn viết thành sách. Rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp. D. BÀI TẬP THAM KHẢO: 1. Giải hệ phương trình : a) b) c) d) e) f) g) h) 2. Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 3. Tìm m để hệ có nghiệm 4. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.