Giáo án Toán 9 - Phần Hình học

PHẦN HÌNH HỌC I. Tam giác : ( LỚP 7 ): Vấn đề 1 : Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nữa cạnh huyền . Bài 1 : Tính số đo góc của biết rằng đường cao AH ,trung tuyến AM chia góc thành ba góc bằng nhau . Gợi ý : + Kẻ + Bài 2 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Về phía ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác đều ABE và ACF . H là trực tâm của tam giác ABE , N là trung điểm BC . Tính các góc của tam giác FNH . Gợi ý : + Trên tia đối của NH lấy điểm K sao cho NH = NK + Chú ý : , để ý : Vấn đề 2 : Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông cân . Bài 3 : Cho tam giác ABC có . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB .Tính số đo góc . Gợi ý : + kẻ . + cm : vuông cân . Bài 4 : Cho tam giác ABC có góc tù , đường cao AH , đường phân giác BD sao cho . Tính số đo góc . Gợi ý : + Kẻ , có BD là phân giác trong , HD là đường phân giác ngoài nên AD là phân giác góc A ( ) + ( ) + Vì và giả thiết ? Vấn đề 3 : Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác đều . Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông ở A và . Trên tia đối của AB lấy điểm H sao cho BH = 2AC . Tính số đo góc . Gợi ý bài 5 : + Trên nữa mp bờ BC chứa đỉnh A vẽ tam giác đều EBC thì E ở miền trong của tam giác HBC + Lấy K là trung điểm BH .Chứng minh : ( c.g.c ) cân + Chứng minh : . Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông cân ở đỉnh A . Điểm E nằm trong tam giác sao cho . Tính số đo góc . Gợiý:+ Trong lấy điểm K sao cho . Cm : Vấn đề 4 : Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác cân có một góc đã biết số đo . Bài 7 : Cho tam giác ABC có . Trên đường phân giác BE của tam giác ta lấy điểm F sao cho . Gọi N là trung điểm của AF , EN cắt AB tại K . Tính số đo góc . Gợi ý : + Kẻ CK cắt BE tại M . cm : cân tại E . + Trung tuyến EN đồng thời là phân giác ba góc E bằng nhau cân có 1 góc đã biết sđ . Bài 8 : Cho tam giác ABC với . N là điểm thuộc miền trong của tam giác thỏa mãn . Tính số đo góc . Gợi ý : + Kẻ đường cao AH của cắt BN tại O ; vẽ và AK cắt CN tại J + , và ? + Cm : cân tại O ( OA = OC ) là đường trung trực . II .Tam giác – Tứ giác : ( Lớp 8 ) Bài toán 1 : Cho tam giác ABC trong đó AB > AC . Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A và M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , AC , BC . Chứng minh tứ giác MNHP là hình thang cân . Bài toán 2 : Cho hình thang ABCD có và CD = 2AB = 2AD . Lấy một điểm M thuộc đáy nhỏ AB và kẻ đường thẳng Mx vuông góc với DM ; Mx cắt cạnh BC tại N . Chứng minh rằng tam giác DMNlà tam giác vuông cân . Hướng dẫn : + Để cm cân ta chỉ cần cm rằng nó có đường trung tuyến vừa là đường cao ( gọi I là trung điểm DN ). + từ giả thiết suy ra : ? .Gọi K là trung điểm DC suy ra được gì ? kq : + Để ý đến vuông , vuông IM = . + Tổng các góc của tứ giác MBIN Bài toán 3 : Cho tứ giác ABCD .Các đường chéo AC và DB cắt nhau tại O . Các cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại P . Biết rằng và . a ) Chứng minh rằng đường thẳng qua các trung điểm của PO và CD là trục đối xứng AB b ) Tứ giác ABCD phải có điều kiện gì để d và PO trùng nhau . Bài toán 4 : Cho tam giác ABC vuông ở A . Kẻ đường cao AH , vẽ các điểm đối xứng của H qua AB và AC là D và E . Chứng minh : a ) Ba điểm D , A , E thẳng hàng . b ) Tứ giác BCED là hình thang . c ) Bài toán 5 : Cho tam giác ABC , các đường cao AK , BD cắt nhau tại G . Vẽ đường trung trực HE , HF của AC và BC . Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF . Hướng dẫn : Để tận dụng giả thiết E , F là trung điểm của AC và BC ta dựng các tam giác phụ Mà HE , HF là các đường trung bình , rồi so sánh đáy của tam giác này với cạnh ta đang quan tâm . Bài toán 6 : Cho một hình bình hành ABCD trong đó AD = 2AB . Từ C ta kẻ CE vuông góc với AB . Nối E với trung điểm M của AD . Từ M ta kẻ MF vuông góc với CE ; MF cắt BC tại N . a ) Tứ giác MNCD là hình gì ? b ) Tam giác EMC là tam giác gì ? c ) Chứng minh Hướng dẫn : + Từ giả thiết suy ra NM = NC ? + cm : cân . + Ta có : Bài toán 7 : ( quỹ tích ) Cho tam giác ABC và điểm M chạy trên cạnh BC . Từ M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên , cắt AB ở D và AC ở E . Tìm tập hợp trung điểm I của DE khi M chuyển động trên BC . Hướng dẫn : + là hbh nên I là trung điểm DE cũng là trung điểm AM . + Lấy P là trung điểm AB ; Q là trung điểm AC . Giới hạn : * M chạy đến trùng với B thì I trùng với P . * M chạy đến trùng với C thì I trùng với Q . Bài toán 8 : Cho hình chữ nhật ABCD . Kéo dài BC và AD thêm những đoạn CE = DF = DC . Kéo dài DC một đoạn CH = BC . Nối A với E , F với H . Chứng minh rằng : AE vuông góc với FH . Hướng dẫn : + cm : góc F vuông . + cm : Hai tam giác vuông + Xét góc của hai tam giác DAI và KIH . Bài toán 9 : ( quỹ tích ) Cho một tam giác ABC . Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC . Từ D ta kẻ một đường thẳng song song với AB , cắt AC ở E và một đường thẳng song song với AC , cắt AB ở F . Tìm tập hợp các trung điểm I của EF . Tương tự bài toán 7 . Bài toán 10 : Cho hình chữ nhật ABCD . Kẻ BH vuông góc với AC . Gọi M là trung điểm của AH , Klà trung điểm của CD . Chứng minh : Hướng dẫn : + Gọi N là trung điểm BH , đường thẳng MN cắt BC tại E .cm : MN là đường tb Bài toán 11 : Cho hình thoi ABCD có góc . Đường thẳng MN cắt AB và AC theo thứ tự tại các điểm M , N Sao cho tổng MB + NB bằng một cạnh của hình thoi . Cm : là tam giác đều . Gợi ý : có thể cm : Bài toán 12 : Trên các cạnh của một hình bình hành , ta dựng ở phía ngoài nó các hình vuông . Chứng minh rằng tâm của các hình vuông đó là đỉnh của một hình vuông . Gợi ý : + cm : để có DH = HG và Bài toán 13 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Ta dựng các Hình vuông ABDE và BCFG sao cho D và C ở cùng phía của cạnh AB ; G và A ở cùng phía của cạnh BC . Chứng minh rằng : và GA = DC . Gợi ý : Cm : để có Bài toán 14 : Cho tam giác ABC . Dựng các hình vuông ABMN và CBPQ ra ngoài tam giác . Gọi D , E , G , H lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , NB , MP và BQ . a ) Chứng minh : b ) Chứng minh tứ giác DEGH là hình vuông . gợi ý : + cm : DEGH là hình bình hành . Bài toán 15 : Cho tam giác ABC về phía ngoài của nó ta dựng Các hình vuông ABDE , ACGH , BCRS . Gọi lần lượt là tâm của các hình vuông . Chứng minh : Gợi ý : Cm : DC = AS và (1) + (2) Từ (1) và (2) : và + Cm : Bài toán 16 : Trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC , về phía ngoài của nó , ta dựng các hình vuông BCKL và BAED . Chứng minh rằng đoạn thẳng nối cácđỉnh D và L của hai hình vuông bằng hai lần trung tuyến của tam giác ABC ,kẻ từ đỉnh B ( DL = 2BM ). Gợi ý : Cách 1: Kéo dài trung tuyến BM thêm 1 đoạn MQ = MB . Chứng minh : Bài toán 17 : Cho hình vuông ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm Của AB và AC . Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I . Chứng minh : IA = AD . Gợi ý : + Cm : + Kẻ đường cao AH . Cm : HD = HI . Bài toán 18 : Trên cạnh AB của hình vuông ABCD , lấy điểm E tùy ý . Phân giác của góc CDE cắt cạnh BC tại K . Chứng minh : AE + KC = DE . Gợi ý : Trên tia đối của tia AB , lấy điểm F sao cho AF = CK . + Cm : và + Cm : cân tại E . Bài toán 19 : Trên cạnh AB của hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân đỉnh F , có góc ở đáy là . Chứng minh tam giác CFD là tam giác đều . Gợi ý : Dựng có theo cách dựng . Cm : đều . Đường CI kéo dài cắt FB tại H . Cm : cân tại I và mỗi góc ở đáy ? + Hướng thứ 1 : Cm về góc . + Hướng thứ 2 : Cm về cạnh .