Giáo án Toán lớp 11 - Bài tập đạo hàm

1 1 BÀI TẬP ĐẠO HÀM Bài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y = 2x 1 tại x0 = 5 Giải: Tập xác định D = 1 x : x 2        Với  x là số gia của x0 = 5 sao cho 5+ x   thì   y = 2(5 x) 1   - 10 1  Ta có: y x   = 9 2 x 9 x     Khi đó: y’(5)= x 0 y lim x    =      x 0 9 2 x 3 9 2 x 3 lim x 9 2 x 3             =  x 0 9 2 x 9 lim x 9 2 x 3         =  x 0 2 lim 9 2 x 3     = 1 3 Bài 2 : Chứng minh hàm số x y x 1   liên tục tại x0 = 0, nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. HD: Chú ý định nghĩa: x = x ,neáu x 0 -x ,neáu x<0    Cho x0 = 0 một số gia  x  y = f(x0+ x) –f(x0) = f( x) –f(0) = x x 1    y x   =   x x x 1      Khi  x 0+ ( thì  x > 0) Ta có: x 0 y lim x    =  x 0 x lim x x 1      =  x 0 1 lim x 1    =1 Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = 2x , ,     neáu x 0 x neáu x<0 a) Cm rằng hàm số liên tục tại x = 0 b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm x = 0 hay không ? Tại sao? Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) = 2(x 1) , n , n      2 eáu x 0 -x eáu x<0 không có đạo hàm tại x = 0. Tại x = 2 hàm số đó có đạo hàm hay không ? Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) = 2(x 1) , ,2 neáu x 0 (x+1) neáu x<0      không có đạo hàm tại x0 = 0, nhưng liên tục tại đó. HD:a) f(0) = (0-1)2 = 1; x 0 y lim x    = -2; x 0 y lim x    = 2 x 0 y lim x     x 0 y lim x     hàm số không có đạo hàm tại x0 = 0 b) Vì x 0 lim f (x)   =1; x 0 lim f (x)   =1; f(0) = 1  x 0 lim f (x)   = x 0 lim f (x)   = f(0) = 1 hàm số liên tục tại x0 = 0 2 2 Bài 6: Cho hàm số y = f(x) = cos x, sin x Neáu x 0 Neáu x<0    a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0. b) Tính đạo hàm của f(x) tại x = 4  HD:a) Vì x 0 lim f (x)  = x 0 lim cos x  =1 và x 0 lim f (x)  = x 0 lim ( sin x)   = 0; f(0) = cos0 = 1  x 0 lim f (x)   x 0 lim f (x)   hàm số không liên tục tại x0 = 0 (hàm số gián đoạn tại x0 = 0) Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1. y = ( 2x -3x+3)( 2x +2x-1); Đs: y’ = 4x3-3x2 – 8x+ 9 2. y = ( 3x -3x+2)( 4x + 2x -1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x 3. Tìm đạo hàm của hàm số: y =  2 3x x 1 x        Giải: y’ =  2 3x ' x 1 x        +  2 3x x 1 ' x        =  2 2 3 x 1 x         = 2 1 3x x 2 x          =  2 2 3 x 1 x         + 1 3x x x 2 x  3. y =   1x 1 1 x        4. y =   3 23 x 2 1 x 3x   5. y = ( 2x -1)( 2x -4)( 2x -9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x 6. y = (1+ x )(1+ 2x )(1+ 3x ) 7. y = 1 x 1 2x   8. y = 3 3 1 2x 1 2x   9. y = x 1 x 1   ; Đs:- 3 1 (x 1)(x 1)  10. y = 2 2 1 x 1 x   ; Đs:- 2 2 3 2x (1 x )(1 x )  11. y = cos2 1 x 1 x       ; Đs: 2 1 1 x sin 2 x (1 x ) 1 x        12. y = (1+sin2x)4; Đs: 2 3(1 sin x) sin 2x 13. y =sin2(cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x 14. y = sin x cos x sin x cos x   ; Đs: 2 2 (sin x cos x) 15. y = 2 sin 3x sin x.cos x 3 3 518) y = f(x) = x 1 cos x ; y’ =   2 1 cos x x sin x 1 cos x    519) y = f(x) = tan x x ; y’ = 2 2 x sin x cos x x cos x  522) y = f(x) = sin x 1 cos x ; y’ = 1 1 cos x 523) y = f(x) = x sin x cos x ; y’ = sin x cos x x(sin x cos x) 1 sin 2x     526) y = f(x) = 4 1 tan x 4 ; y’ = tan3x. 2 1 cos x 527) y = f(x) = cosx 3 1 cos x 3  ; y’ = -sin3x 528) y = f(x) = 3sin2x –sin3x; y’ = 3 sin 2x(2 sin x) 2  529) y = f(x) = 1 3 tan3x –tanx + x; y’ = tan4x 535) y = f(x) = tan x 1 2  ; y’ = 2 1 x 1 2cos 2  539) y = f(x) = cos34x; y’ = -12cos24x.sin4x 544) y = f(x) = 1 1 tan x x        ; y’ = 2 2 2 x 1 1 1 2x cos x 1 tan x x x                672) y = f(x) = 3cos2x –cos3x; y’ = 3 2 sin2x(cosx-2) 682) y = f(x) = 22sin x cos 2x ; y’ = 2 2sin 2x cos 2x 684) y = f(x) = x x tan cot 2 2 x  ; y’ = 2 2 2(x cos x sin x) x sin x   685) y = f(x) = 2 x x sin cot 3 2 ; y’ = 1 x 2x cot sin 3 2 3 21 xsin 2 2  . 689) y = f(x) = 2 41 tan x tan x  ; y’ = 2 2 2 4 tan x(1 2 tan x) cos x 1 tan x tan x    694) y = f(x) = 6 8 1 1 sin 3x sin 3x 18 24  ; y’ = sin53xcos33x 705) y = f(x) = cosx.  21 sin x ; y’ = 3 2 2sin x 1 sin x   706) y = f(x) = 0.4 2 2x 1 cos sin 0.8x 2       ; y’ = -0.8 2x 1 cos sin 0.8x 2       2x 1 sin cos0.8x 2       713) y = f(x) = 2 1 1 sin x ; y’ =   32 sin 2x 2 1 sin x   721) y = f(x) = sin2x.sinx2; y’ =2sinx(xsinx.cosx2+cosx.sinx2) 4 4 722) y = f(x) = 2cos x cos 2x ; y’ = 2sin x cos 2x cos 2x BÀI TẬP ĐẠO HÀM BỔ SUNG 1.Tìm đạo hàm của hàm số: y = x cot2x Giải: y’ = ( x )cot2x+ x (cot2x)’ = 1 2 x cot2x 2 2 x sin 2x  2. Tìm đạo hàm của hàm số: y = 3sin2xcosx+cos2x y’ = 2(sin2x)’cosx+3(sin2x)(cosx)’+(cos2x)’ = 6sinxcos2x-3sin3x-2cosxsinx =sinx(6cos2x-3sin2x-2cosx) 3. Cho hàm số : y = 2 x x x 1  Tìm TXĐ và tính đạo hàm của hàm số ? TXĐ: D = R y’ = 2 2 2 2x 1 x x 1 x. 2 x x 1 x x 1         =   2 32 2(x x 1) x(2x 1) x x 1       = Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: a) y = sin6x + cos6x +3sin2xcos2x; HD: Cách 1: y = (sin2x)3+(cos2x)3+3sin2xcos2x= (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) +3sin2xcos2x = [(sin2x)2+[(cos2x)2+2sin2xcos2x-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x =[(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x = 1 y’ = 0 (đpcm) Cách 2: y’ = 6sin5x.(sinx)’ +6cos5x.(cosx)’+3[(sin2x)’.cos2x+sin2x(cos2x)’] = 6sin5x.cosx -6cos5x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos2x+sin2x.2cosx.(cosx)’] = 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 3[2sinx.cosx. cos2x-sin2x.2cosx.sinx] = 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 6sinx.cosx(cos2x – sin2x) b) y = cos2 x3      +cos 2 x 3      +cos 2 2 x 3      +cos 2 2 x 3       -2sin 2x. Bài : Cho hàm số y = f(x) = 2cos2(4x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x) Bài : Cho hàm số y = f(x) = 3cos2(6x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x) Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình : a) y = 22x x ; y3y"+1 = 0. b) y = e4x+2e-x; y''' –13y' –12y = 0. c) y = e2xsin5x; y"-4y'+29y = 0 d) y = 3x [cos(lnx)+sin(lnx)]; 2x y"-5xy'+10y = 0. e) y =   2 2x x 1  ; (1+ 2x )y"+xy'-4y = 0 Bài : Cho hàm số y= f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x. 1/. Tính f’(x) và f”(x), từ đó tính f’(0) và f”( ). 2/. Giải phương trình f”(x) = 0. Bài : Cho hàm số y = f(x) = x 1 2  cos2x a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0 Bài : Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng: f(x) = 3x+ 60 x 3 64 x  +5; b) f(x) = sin 3x 3 +cosx- 3 cos3x sin x 3       5 5 Giải: f’(x) = 3 2 60 x  + 2 6 64.3x x == 3 2 60 x  + 4 64.3 x == 3 2 4 20 64 1 x x        f’(x) = 0  2 4 20 64 1 x x        = 0 x4-20x2+64 = 0 (x  0)   2; 4 