Giáo án Toán lớp 11 - Tiết 9 + 10: Sự biến thiên và đồ thị của các hàm số lượng giác

Chương I: Hàm số lượng giác Tiết 9+10: sự biến thiên và đồ thị của các hàm số lượng giác I. Mục tiêu 1. Kiến thức: - Học sinh nắm vững định nghĩa hàm số tuần hoàn, đồ thị của hàm số tuần hoàn, tính tuần hoàn và chu kỳ của các hàm số lượng giác.. 2. Kỹ năng: - Rèn luyện cho HS kỹ năng: xác định tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, chu kỳ, tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số lượng giác: y = sin x; y = cos x; y = tan x; y = cot x - Rèn luyện cho HS kỹ năng vẽ đồ thị của các hàm số: y = sin x; y = cos x; y = tan x; y = cot x. 3. Trọng tâm: - HS biết cách c/m một hàm số là tuần hoàn và tìm được chu kỳ của hàm số - HS biết vẽ đồ thị các hàm số lượng giác: y = sin x; y = cos x; y = tan x; y = cot x. - HS nắm được sự biến thiên của các hàm số lượng giác và biết vận dụng để giải bài tập. II. Chuẩn bị đồ dùng dạy học Compa; Thước kẻ. III. PPDH và Tài liệu tham khảo a. PPDH: Cơ bản dùng phương pháp gợi mở, nêu – giải quyết vấn đề, đan xen hoạt động nhóm HS. b. Tài liệu 1. SGK Đại số và Giải tích 11 (Ban KHTN). 2. SGK Đại số và Giải tích 11 (Phan Đức Chính). IV. Tiến trình bài giảng Tiết 9 1. ổn định và tổ chức lớp: ổn định trật tự và kiểm tra sĩ số lớp. 2. Nội dung bài mới. Hoạt động của hS Hoạt động của GV Nội dung HS. Nghe GV giao nhiệm vụ, tìm hiểu nhiệm vụ. Nắm đ/n hàm số tuần hoàn, chu kỳ T của nó. GV. Yêu cầu HS tìm hiểu, nắm định nghĩa hàm số tuần hoàn, khái niệm chu kỳ hàm số tuần hoàn. I. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác 1. Định nghĩa Một hàm số f(x) xác định trên tập hợp D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại 1 số dương T sao cho với mọi x ẻ D; f(x + T) = f(x) Số nhỏ nhất (nếu có) trong các số T có các tính chất trên gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn f(x). sin(x + 2p) = sinx Gv. Nhắc lại tập xác định của y = sinx? Xét quan hệ của: sin(x + 2p) và sinx? Dựa vào đ/n hàm số tuần hoàn hãy cho biết y = sinx có tuần hoàn không? 2. Tính tuần hoàn và chu kỳ của các hàm số y = sinx và y = cosx. a) y = sinx + TXĐ: R + "x ẻ R ta có: ị y = sinx là hàm số tuần hoàn Ta chứng minh 2p là chu kỳ của hàm số, y = sinx hay 2p là số dương nhỏ nhất thỏa mãn các t/c trên. HS nhắc lại sina = 1 a = + k2p (kẻZ) GV yêu cầu HS Dựa vào định nghĩa để chứng minh hàm số y = sinx là tuần hoàn? Chu kỳ tuần hoàn của y = sinx là bao nhiêu? Thật vậy: Giả sử có số T sao cho O < T < 2p và thỏa mãn tính chất (2), ta có: "x ẻ IR : sin (x + T) = sinx Xét x = => Û (k ẻ Z) Û T = k2p (k ẻ Z), trái giả thiết O < T < 2p ị 2p là số dương nhỏ nhất thỏa mãn tính chất (2) Vậy hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kỳ 2p. GV gợi ý và yêu cầu HS tự trình bày phần b) vào vở b) y = cosx Chứng minh tương tự ta có hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kỳ 2p. tan(x + p) = tanx GV yêu cầu HS Nhắc lại tập xác định của y = tanx? Xét quan hệ của: tan(x + p) và tanx? Dựa vào đ/n hàm số tuần hoàn hãy cho biết y = tanx có tuần hoàn không? 3. Tính tuần hoàn và chu kỳ của các hàm số y = tgx và y = cotgx. a) y = tgx TXĐ : D = R \ ớ + k p, k ẻ Z} "x ẻ D ta có: x ± p ẻ D (1) và tg (x + p) = tgx (2) ị y = tgx là hàm số tuần hoàn. Ta chứng minh p là số dương nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên. Thật vậy: HS nhắc lại: tga = 0 Û a = kp, k ẻ Z Dựa vào định nghĩa để chứng minh hàm số y = tanx là tuần hoàn? Chu kỳ tuần hoàn của y = tanx là bao nhiêu? Giả sử có số T sao cho O < T < p và thỏa mãn tính chất (2), tức là: "x ẻ D: tg (x + T) = tgx Xét x = 0 => tg (0 + T) = tg0 Û tgT = O Û T = kp, k ẻ Z, trái giả thiết O < T < p ị p là số dương nhỏ nhất thỏa mãn tính chất (2). Vậy y = tgx là hàm số tuần hoàn có chu kỳ p. GV hướng dẫn và yêu cầu HS trình bày phần b) vào vở. b) y = cotgx Chứng minh tương tự ta có y = cotgx là hàm số tuần hoàn có chu kỳ p. HS quan sát hình: KL: Đồ thị trên các đoạn đã nêu là giống nhau. GV hướng dẫn: Quan sát hình 15 (SGK trang 27) nhận xét đồ thị hàm tuần hoàn trong các đoạn đã nêu? 4. Đồ thị của hàm số tuần hoàn Giả sử y = f(x) là một hàm số xác định trên D và tuần hoàn với chu kỳ T. Gọi ( C1 ) và ( C2 ) là phần đồ thị ứng với x ẻ X1 = [a, a + T] và x ẻ X2 = [a + T, a + 2T] với aẻD. Ta chứng minh được (2) là ảnh của (1) trong phép tính tiến theo vectơ với = (T, 0) = const. HS nêu cách vẽ đồ thị hàm số tuần hoàn. GV hướng dẫn HS vẽ đồ thị của 1 hàm tuần hoàn chu kì T. Kết luận: Muốn vẽ đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kỳ T, ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên đoạn [a, a + T] sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến liên tiềp theo dọc theo Ox : T, 2T, 3T... -T, -2T, -3T ... đơn vị ta được toàn bộ đồ thị của hàm số đó. HS chứng minh: y = sinx là hàm số lẻ và suy ra tập khảo sát là [O, p]. Xét sự biến thiên của hàm số trên tập khảo sát. GV hướng dẫn Hàm y = sinx là hàm tuần hoàn chu kỳ 2p nên ta chỉ xét trên [-p; p], Do y = sinx là lẻ. Vì vậy ta chỉ cần khảo sát trên [O, p] là đủ. II. Hàm số y = sinx 1. Sự biến thiên a) Tập xác định: R b) Tập khảo sát: [O, p] c) Chiều biến thiên Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng (O, p/2) và nghịch biến trên khoảng (p/2, p). Bảng biến thiên: (O < x < p/2) (p/2 < x < p) GV hướng dẫn cụ thể cách vẽ đồ thị hàm số y = sinx. 2. Đồ thị a) Đồ thị hàm số trên đoạn [O, p]: là 1 đường cong đi qua các điểm có tọa độ (x, y) cho trong bảng sau: b) Đồ thị trên đoạn [-p, p]: thêm hình đối xứng của đồ thị trên qua gốc tọa độ O. HS nắm cách vẽ đồ thị và thực hiện cách vẽ. +) Vẽ đồ thị y = sinx trên [O, p] +) Lấy đ/xứng qua O +) Tịnh tiến dọc theo trục hoành từng đoạn bằng 2p đơn vị c) Đồ thị hàm số y = sinx trên R 3. Củng cố 4. Hướng dẫn công việc ở nhà. Bài tập về nhà 1. Học thuộc định nghĩa hàm số tuần hoàn. 2. Giải các bài tập 1, 2, 3 (SGK - T35). 3. BT: CMR các HS sau đây tuần hoàn: a) y = 2sin2x b) y = - tg3x Tiết 10 1. ổn định và tổ chức lớp: ổn định trật tự và kiểm tra sĩ số lớp. 2. Kiểm tra bài cũ. Câu hỏi 1: Em hãy nhắc lại định nghĩa hàm số tuần hoàn? Câu hỏi 2: HS chứng minh hàm số y = 2sin2x tuần hoàn với chu kỳ 2p? 3. Nội dung bài mới. Hoạt động của hS Hoạt động của GV Nội dung HS chứng minh: y = cosx là hàm số chẵn và suy ra tập khảo sát là [O, p]. GV yêu cầu HS: Chứng minh hàm số y = cosx là hàm số chẵn. Suy ra tập khảo sát. GV hướng dẫn Hàm y = cosx là hàm tuần hoàn chu kỳ 2p nên ta chỉ xét trên [-p, p], do y = cosx là chẵn. Vì vậy ta chỉ cần khảo sát trên [O, p] là đủ. III. Hàm số y = cosx 1. Sự biến thiên a) Tập xác định: R b) Tập khảo sát: [-p, p] c) Chiều biến thiên: Hàm số y = cosx nghịch biến trên đoạn [0, p]. Bảng biến thiên HS nhắc lại cách vẽ đồ thị của hàm số tuần hoàn với chu kỳ T. Muốn vẽ đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kỳ T, ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên đoạn [a, a + T] sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến liên tiềp theo dọc theo Ox : T, 2T, 3T... -T, -2T, -3T ... đơn vị ta được toàn bộ đồ thị của hàm số đó GV hướng dẫn HS vẽ đồ thị của hàm số y = cosx tương tự như: y = sinx +) Vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [0, p] +) Vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [-p, p]. +) Suy ra đồ thị trên toàn R (bằng cách tịnh tiến dọc theo trục hoành từng đoạn bằng 2p đơn vị) 2. Đồ thị Vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [0, p] (dựa vào bảng giá trị đặc biệt) Bảng giá trị trên [0, p] Lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số trên đoạn [-p, p]. Suy ra đồ thị hàm số y = cosx trên R. HS chứng minh: Hàm số y = tgx lẻ. Đồng biến trên khoảng GV yêu cầu HS: Chứng minh hàm số y = tgx là lẻ và suy ra tập khảo sát của hàm số. IV. Hàm số y = tgx 1. Sự biến thiên a) Tập xác định: D = R \ ớ + kp, k ẻ Z } b) Tập khảo sát: c) Chiều BT: y = tgx đồng biến trên Bảng biến thiên GV hướng dẫn HS: Vẽ đồ thị hàm số tanx 2. Đồ thị: Vẽ đồ thị hàm số tanx Trên ; sau đó trên ; rồi trên D. HS nắm cách vẽ đồ thị và thực hiện cách vẽ. Trên ; =>Trên ; => Trên D. (bằng cách tịnh tiến dọc theo trục hoành từng đoạn bằng p đơn vị) GV yêu cầu HS trình bày phần V vào vở và kiểm tra. V. Hàm số y = cotgx 1. Sự biến thiên a) Tập xác định: D = R \ ớ kp, k ẻ Z} b) Tập khảo sát: c) Chiều BT: y = cotgx nghịch biến trên Bảng biến thiên HS nắm cách vẽ đồ thị và thực hiện cách vẽ. Vẽ đồ thị hàm số cotx Trên ; =>Trên ; => Trên D. (bằng cách tịnh tiến dọc theo trục hoành từng đoạn bằng p đơn vị) 2. Đồ thị 4. Củng cố. 5. Hướng dẫn công việc ở nhà. Bài tập về nhà 1. Vẽ đồ thị các hàm số sau đây: a) y = 2 cosx b) y = tg2x 2. Bài tập SGK (T 35) Bài 4, 5, 6, 7.