Giáo án Tự chọn 8 Chủ đề 1 Một số dạng toán về tứ giác-đa giác (nâng cao)

Chủ đề 1 : MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỨ GIÁC-ĐA GIÁC (Nâng cao) Môn: Toán 8 – Số tiết : 06 I.Mục tiêu của chủ đề Kiến thức: Kĩ năng: Thái độ: HS có ý thức phân tích, và giải quyết vấn đề một cách khoa học. II.Nội dung a)Lí thuyết 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. b)Bài tập 1.Dạng toán: “XÁC ĐỊNH, CHỨNG MINH DẠNG CỦA TỨ GIÁC, ĐA GIÁC” Ø Phương pháp chung: Bài toán xác định, chứng minh dạng của tứ giác, đa giác là bài toán không quá khó . Bài tập: 1 Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. Hai đường chéo AC và BD phải thoả mãn điều kiện gì để M,N,P,Q là bốn đỉnh của : +Hình chữ nhật +Hình thoi +Hình vuông Lời giải: GT Tứ giác ABCD. M,N,P,Q là trung điểm của AB, BC, CD, DA KL a.MNPQ là hình bình hành. b.Tìm mối quan hệ của AC và BD để MNPQ là: +Hình chữ nhật +Hình thoi +Hình vuông a) Xét ABC có : MN là đường trung bình nên MN//AC và MN = AC (1) Xét ADC có PQ là đường trung bình nên PQ//AC và PQ = AC (2) Từ (1) và (2) suy ra MN//PQ và MN=PQ. Do đó MNPQ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh song song và bằng nhau) b) +Để MNPQ là hình chữ nhật ta chứng minh MNP = 90o hay MN NP (hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật) Mà theo giả thiết MN//AC (MN là đường trung bình ABC ) NP//BD (NP là đường trung bình BCD ) Vậy để MN NP thì AC BD. +Để MNPQ là hình thoi ta chứng minh MN = NP (hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau là hình thoi) Mà theo giả thiết MN=AC (MN là đường trung bình ABC ) NP=BD (NP là đường trung bình BCD ) Vậy để MN = NP thì AC = BD. +Để MNPQ là hình vuông ta chứng minh MNPQ là hình thoi có 1 góc vuông. Thật vậy theo chứng minh trên ta dễ dạng suy ra AC=BD và AC BD thì MNPQ là hình vuông. Bài tập: 2. Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác các góc trong của hình bình hành cắt nhau tại E,F,G,H. a)Chứng minh AM=AD. b)Chứng minh MBND là hình bình hành. c)Xác định dạng của tứ giác EFGH. d)Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để EFGH là hình vuông? Lời giải: GT Hình bình hành ABCD. Các tia phân giác các goc của hình bình hành cắt nhau tại E,F,G,H KL a.AM=AD. b.MBND là hình bình hành. c.Xác định dạng của tứ giác EFGH. d.Điều kiện để EFGH trở thành hình vuông? a)Ta có D1=D2 (DM là phân giác của góc D) M1=D1 (So le trong) D2 = M1 nên ADM cân. Do đó AM=AD b)Ta có N1 =B1 (So le trong) , B1 = B. Suy ra N1=B (1). Mặt khác D1= D và = (ABCD là hình bình hành) (2). Từ (1) và (2) N1=D1 DM//BN MB//DN(giả thiết) Suy ra MBND là hình bình hành. c)Ta có C1 = C , D1= D (giả thiết) Nên C1+D1 = (C+D)=.180o =90o (C và D là hai góc trong cùng phía) Suy ra DFC có F=90o Tương tự AHB có H=90o AED có E=90o Vậy EFGH là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông). d)Theo câu a) và câu d) AMD cân tại A có đường cao , suy ra E là trung điểm của MD. Tương tự G là trung điểm của NB, do đó EG // CD. Chứng minh tương tự FH//AD Điều kiện để hình chữ nhật EFGH trở thành hình vuông là hai đường chéo EG và FH phải vuông góc. Mà EGFH Û CD AD. Hay Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật. Bài tập: 3. Cho ABC (AB<AC) có đường cao AH. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của cạnh BC,CA,AB . a)Chứng minh NP là đường trung trực của AH. b)Chứng minh MNPH là hình thang cân. c)Xét trường hợp đặc biệt khi AB=AC. Lời giải: GT ABC (AB<AC), đường cao AH. M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB KL a. NP là đường trung trực của AH. b. MNPH là hình thang cân. c. Xét trường hợp đặc biệt khi AB=AC. a)Trong ABC có: PN//BC (đường trung bình của ABC) AH BC(giả thiết) Suy ra PN AH (1) Mặt khác trong AHB có : PI là đường trung bình của tam giác. Do đó I là trung điểm của AH (2). Từ (1) và (2) ta có P thuộc đường trung trực của AH . (*) Tương tự trong AHC: N thuộc đường trung trực của AH . (**) Từ (*) và (**) ta có PN là đường trung trực của AH. b)Ta có PN//BC (đường trung bình của ABC) Suy ra MNPH là hình thang. Ta lại có MP=AC (đương ftrung bình của ABC) HN=AC (HN là trung tuyến của HAC vuông tại H) Do đó HN = MP . Vậy MNPH là hình thang cân (hình thang có 2 đường chéo bằng nhau). c)Khi AB=AC ta có ABC cân tại A. Suy ra M trùng với H. Do đó MNPH trở thành tam giác cân MPN. 2.Dạng toán: “SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỨ GIÁC, ĐA GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT KHÁC” Ø Phương pháp: Bài tập: 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M,N,Plần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BD, CA và Q là giao điểm của của MN với CD. a)Chứng minh MN=NQ. b)NP//CD. Lời giải: GT Hình thangABCD (AB//CD). M,N,P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BD, CA. MNCD Q . KL a. MN=NQ. b. NP//CD. a)Theo giả thiết ABCD là hình thang có AB//CD, hai đường chéo AC và BD nên ta có : B1 = D1 (so le trong) NB=ND (giả thiết cho N là trung điểm của BD) N1=N2 (đối đỉnh) Suy ra MNB = QND (g-c-g) Do đó MN = QN. Gọi R là giao điểm của MP với CD . Chứng minh tương tự câu a ta có MPA= RPC (g-c-g) Suy ra MP=RP. Hay P là trung điểm của MR. (1) Từ MN = QN (câu a) ta có N là trung điểm của MQ. (2) Từ (1) và (2) suy ra NP là đường trung bình của QMR. Vậy NP //QR hay NP//CD. Bài tập: 2. Cho hình bình hành ABCD. O là giao điểm của hai đường chéo, E và F theo thứ tự là trung điểm của OD và OB. a)Chứng minh rằng AE // CF. b)Gọi K là giao điểm của AE và CD. Chứng minh DK=KC. Lời giải GT Hình bình hành ABCD. ACBDO, E và F lần lượt là trung điểm của OD và OB. AE CDK KL a. AE // CF. b. DK=KC. a)Giả thiết cho ABCD là hình bình hành Suy ra OA=OC, OB=OD. Ta lại có OE=OD (giả thiết cho E là trung điểm của OD) OF=OB (giả thiết cho F là trung điểm của OB) Suy ra OE = OF Tứ giác AECF có OA=OC, OE=OF nên AECF là hình bình hành. Do đó AE//CF (hai cạnh đối của hình bình hành). b)Gọi H là trung điểm của KC. Ta có O là trung điểm của EF (chứng minh trên). Suy ra OH là đường trung bình của ACK. Do đó OH//AK. Xét DHO có EK//OH (do AK chứa EK) Mà E là trung điểm của OD (giả thiết) Nên K là trung điểm của DH. Suy ra DK=KH=HC Do đó DK=KC. Bài tập: 3. Hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, các tia phân giác của các góc tạo bởi hai đường chéo hình thoi cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại E, F, G, H . Chứng minh rằng OE=OF=OG=OH. Lời giải GT Hình thoi ABCD. ACBDO, các tia phân giác của các góc tạo bởi hai đường chéo hình thoi cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại E, F, G, H . KL OE=OF=OG=OH Xét BOE và BOF có : EBO = FBO (BD là đường chéo của hình thoi cũng là tia phân giác của góc B) BO là cạnh chung . EOB = FOB =45o(giả thiết cho OE và OF là phân giác của các AOB và BOC) Do đó BOE = BOF (c-g-c). Suy ra OE = OF (1). Chứng minh tương tự ta có : DOG = DOH (c-g-c). Suy ra OG = OH (2) AOH = AOE (c-g-c). Suy ra OE = OH (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra OE=OF=OG=OH. 3.Dạng toán: “TÍNH GÓC CỦA TỨ GIÁC, ĐA GIÁC” Ø Phương pháp: Để giải loại toán này ta sử dụng tính chất có liên quan đến góc của Tứ giác - Đa giác: -Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360o, tính chất hình thang cân. -Hai góc liên tiếp của hình bình hành bằng 180o, các góc của hình chữ nhật. -Hai đường chéo của hình thoi là tia phân giác trong của các góc của hình thoi. -Hai đường chéo hình chữ nhật vuông góc và bằng nhau. -Tổng các góc trong n-giác bằng (n-2).180o. Và một số tính chất khác cũng có thể áp dụng. Bài tập 1. Hình thang cân ABCD (AB//CD) có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC. Biết rằng EFK là tam giác đều. a)Tính góc BEC. b)Tính góc AOB Lời giải: GT Hình thang cân ABCD (AB//CD), ACBDO E,F,K theo thứ tự là trung điểm của OA,OD,BC EFK đều. KL a)Tính BEC. b)Tính AOB. Trong AOD có: EF=AD (EF là đường trung bình) AD=BC (ABCD là hình thang cân ) Suy ra EF=BC mà EK = EF (giả thiết cho EFK đều ) nên EK = BC (1) Giả thiết cho K là trung điểm của BC nên EK là trung tuyến (2) Trong BEC có trung tuyến EK =BC, suy ra BEC vuông tại E Vậy BEC = 90o b)Nối BE, xét ABE và OBE có: EA = EO ( giả thiết cho E là trung điểm của OA) AEB = OEB ( chứng minh câu a ) BE là cạnh chung Suy ra ABE = OBE nên OAB = AOB (1) Mặt khác trong OAB có OAB = OBA (2) (vì ABCD là hình thang cân, O là giao điểm của hai đường chéo ). Từ (1) và (2) suy ra OAB = OBA = AOB nên OAB đều . Vì vậy AOB = 60o . Bài tập 2. Hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E, trên tia đối của tia DA lấy điểm F sao cho CE=DF=DC. Trên tia đối của tia CD lấy điểm H sao cho CH=BC. Nối A với E, F với H, AE cắt FH tại K. Chứng minh rằng KAF=DHF từ đó suy ra số đo góc AKF. Lời giải: GT Hình chữ nhật ABCD, E và F lần lượt thuộc tia đối của tia CB và DA sao cho CE=DF=DC. H thuộc tia đối của tia CD sao cho CH=BC. AEFH K KL CMR: KAF = DHF Từ đó suy ra số đo góc AKF Theo giả thiết ta có CE//DF CE=DF=CD, ECD= 90o Suy ra EF AF . Xét AFE và HDF có : AFE = HDF = 90o (giả thiết) EF=DC=DF HD=AF (vì DF = DC) Suy ra AFE =HDF . Vậy : KAF = DHF . Trong DHF có DHF + HFA = 90o (DHF vuông tại D) Mà do KAF = DHF nên AKF có : KAF + HFA = DHF + HFA = 90o . Suy ra AKF vuông tại K . Nên AKF = 90o . Bài tập 3. 4.Dạng toán: “BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH” Ø Phương pháp: Sử dụng công thức tính diện tích của tam giác, tứ giác : +Diện tích hình chữ nhật: S=a.b trong đó a,b là kích thước hình chữ nhật +Diện tích hình vuông: S=a2 trong đó a là cạnh hình vuông. +Diện tích tam giác : S=a.ha trong đó a là cạnh của tam giác, ha là đ.cao tương ứng. +Diện tích tam giác vuông: S=b.c trong đó b và c là hai cạnh góc vuông. +Diện tích hình thang: S=(a+b)h trong đó a,b là hai đáy, h là đường cao. +Diện tích hình bình hành: S=a. ha trong đó a là cạnh của một cạnh, ha là đ.cao tương ứng. +Diện tích hình thoi: S=c.d trog đó c,d là độ dài hai đường chéo. +Tính diện tích đa giác ta thường đưa về diện tích tam giác, tứ giác. Bài tập 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E là trung điểm của AD. H là hình chiếu của E trên BC. Biết EH = 5cm, BC= 8cm. a/ Tính diện tích BEC b/ Qua E vẽ đường thẳng song song với BC, cắt các đường thẳng AB và CD thứ tự ở I và K. Xác định dạng của tứ giác IBCK và tính diện tích của nó. c/ Chứng minh rằng các tam giác AEI và tam giác DEK có diện tích bằng nhau. d/ Tính diện tích hình thang ABCD. Lời giải : GT Hình thang ABCD (AB//CD). EAD, EA=ED EH BC H, EH =5cm, BC = 8cm. Đường thẳng qua E song song với BC cắt AB và CD theo thứ tự ở I và K. KL a/ Tính S BEC b/Xác định dạng của tứ giác IBCK và tính SIBCK. c/ S AEI=S DEK . d/ Tính SABCD. a/Áp dụng công thức diện tích tam giác : S BEC = BC.EH = 8.5 = 20 cm2 b/Theo giả thiết ta có BI//CK (AB//CD) KI//BC ( giả thiết) Suy ra IBCK là hình bình hành. SIBCK = BC.EH=8.5=40cm2.