Giáo án tự chọn 8 Trường THCS Hồng Tiến

phân tích đa thức thành nhân tử. (Thực hiện trong 6 tiết) A. Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ? Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Bài toán 1. Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là phân tích đa thức thành nhân tử ?Tại sao những cách biến đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành nhân tử ? 2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5) - 3 (1) 2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5 -) (2) 2x2 + 5x – 3 = 2(x2 + x - ) (3) 2x2 + 5x – 3 = (2x - 1)(x - 3) (4) 2x2 + 5x – 3 = 2(x - )(x + 3) (5) B. Những phương pháp nào thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử? - Phương pháp đặt nhân tử chung. - Phương pháp dùng hằng đẳng thức. - Phương pháp nhóm nhiều hạng tử. Một số phương pháp khác như : - Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. - Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. - Phương pháp giảm dần luỹ thừa của số hạng có bậc cao nhất. - Phương pháp đặt ẩn phụ(đổi biến). - Phương pháp hệ số bất định. - Phương pháp xét giá trị riêng. - Phương pháp tìm nghiệm của đa thức. Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung Nội dung cơ bản của phương pháp đặt nhân tử chung là gì ? Phương pháp này dựa trên tính chất nào của các phép toán về đa thức? Có thể nêu ra một công thức đơn giản cho phương pháp này không ? Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó biểu diễn được thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác. Phương pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức. Công thức : AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F) Phương pháp: Tìm nhân tử chung. - Lấy ƯCLN của các hệ số. - Lấy các biến chung có mật trong tất cả các hạng tử. - Đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc theo công thức AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F) Chú ý: - Phương pháp này áp dụng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung. - Nhiều khi muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu các số hạng bằng cách đưa số hạng vào trong ngoặc hoặc đưa vào trong ngoặc đằng trước có dấu cộng hoặc trừ. Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 3x2 + 12xy. b) 5x(y + 1) – 2(y + 1). c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y). Giải a) 3x2 + 12xy = 3x(x + 4y). b) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2). c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y) = 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2) = (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y). Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức Nội dung cơ bản của phương pháp dùng hằng đẳng thức là gì ? Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức. Phương pháp dùng hằng đẳng thức: - Nhận dạng các hằng đẳng thức. - Kiểm tra xem có phải đúng là hằng đẳng thức không. Chú ý: Nhiều khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức. Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x2 – 4x + 4. b) 8x3 + 27y3. c) 9x2 – (x - y)2. Giải a) x2 – 4x + 4 = (x - 2)2 b) 8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) c) 9x2 – (x - y)2 = [3x – (x –y)][3x + (x - y)] = (3x –x +y)(3x + x - y) = (2x + y)(4x - y). Ví dụ 2 a, (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 HD: nhóm 2 hạng tử đầu à a3 + b3 = 3(x – z)(x- y)(z – y) b, (x2 +y2)3 + (z2- x2) – (y2 + z2)3 = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x – z)(x + z) c, a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a +b + c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) d, x3 + y3 – z3 + 3xyz = (x + y)3 – z3 – 3xy( x + y – z) = ..... Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử Nội dung cơ bản của phương pháp nhóm nhiều hạng tử là gì ? Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách hợp lí để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng được hằng đẳng thức đáng nhớ. Chú ý: - Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm - Sau khi nhóm ta có thể áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức để xuất hiện nhân tử chung mới hoặc hằng đẳng thức mới. Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x2 – 2xy + 5x – 10y. b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy. c) 8x3 + 4x2 – y3 – y2 Giải a) x2 – 2xy + 5x – 10y = ( x2 – 2xy) + ( 5x – 10y) = x(x – 2 y) + 5 (x – 2y) = (x – 2 y)(x + 5) b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy = x(2x – 3y) + (4xy - 6y2 = x(2x – 3y) + 2y(2x - 3y) = (2x – 3y)(x + 2y) c) 8x3 + 4x2 – y3 – y2 = (8x3 - y3) + (4x2 – y2) = (2x -y)( x2 + xy + y2) + (2x – y)( 2x +y) = (2x -y)( x2 + xy + y2 + 2x +y). Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ được dùng riêng rẽ từng phương pháp hay có thể dùng phối hợp các phương pháp đó ? Có thể dùng phối hợp các phương pháp đã biết. Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) a3 – a2b – ab2 + b3 b) ab2c3 + 64ab2 c) 27x3y – a3b3y. Giải a) a3 – a2b – ab2 + b3 = a2(a – b) – b2(a - b) = (a - b)(a2 - b2) = (a - b) 2 (a + b). b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3+64) = ab2(c3+ 43) = ab2(c + 4)(c2 – 4c + 16). c) 27x3y – a3b3y = y(27x3 – a3b3) = y(3 - ab) (9x2 – 3ab + a2b2). Kiến thức Nâng cao. Phương pháp 5: Phương pháp tách Khi phân tích đa thức : ax2 + bx + c thành nhân tử Cách 1: Tách ax2 + bx + c = a x2 + b1x + b2x + c Với b = b1+ b2 và b1.b2 = a.c Cách 2: Tách ax2 + bx + c = X2 - B2 Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. 2x2 – 3x + 1. 6x2 + x – 2 x2 – 2x - 3 Giải a) 2x2 – 3x + 1 = 2x2 – 2x – x + 1 = 2x(x – 1) – (x – 1) = (x – 1)(2x – 1). b) 6x2 + x – 2 = 6x2 + 4x – 3x – 2 = 2x(3x + 2) – (3x + 2) = (3x + 2) (2x – 1) c) x2 – 2x - 3 = x2 + x – 3x – 3 = .... Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. x2 – 2x – 3 x2 – 10x + 16 Giải a)x2 – 2x – 3 = x2 – 2x + 1 – 4 = (x- 1)2 – 22 = (x – 3)(x+1) b)x2 – 10x + 16 = x2 – 10x + 25 – 9 = (x – 5)2 – 32 = (x – 8)(x – 2) Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. y4 + 64. x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a) Giải a) y4 + 64 = y4 +16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8) 2 - (4y) 2 = (y2 + 8 - 4y) (y2 + 8 + 4y). b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2 + x2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2) + x(x2 – z2) - y(x2-z2 ) - z( y2 – x2) = (y2- x2) ( x – z) + (x2 – z2)(x – y) = (y – x)( x – z) (y +x – x – z) c) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a) = a2b2(b- c + c – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a) =...................... = (b – c) (a – c)(b- a) (ab + bc + ca) Phương pháp 7: Đặt biến phụ Trong đa thức có biểu thức xuất hiện nhiều lần ta đặt biểu thức đó làm biến phụ đưa về đa thức đơn giản. Sau khi phân tích đa thức này ra nhân tử rồi lại thay biến cũ vào và tiếp tục phân tích Ví dụ 1: A , (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 B , (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x – 3) -5 C , ( x2 – 2x + 2)4 – 20x2(x2 – 2x + 2)2 + 64 x4 D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15 E , (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 F , (x2 + x)(x2 + x + 1) – 2. Giải A.Đặt y = x2 + 4x + 8 rồi dùng phương pháp tách phân tích Kết quả: A = (x2 + 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4) B. đặt y = x2 + 3x +1 B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4) C.Đặt y = x2 – 2x + 2 C = (x2 + 2)(x2 – 4x + 2)(x2 – 6x + 2)(x2 + 2x + 2) D = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) F. (x2 + x)(x2 + x + 1) – 2. (*) Đặt(x2 + x) = y Thì (*) trở thành: y(y + 1) – 2 = y2+ y - 1 – 1 = (y2 - 1) + (y – 1) = (y + 1)(y – 1) + (y – 1) = (y – 1)(y + 2). (**) Thay trở lại vào (**) ta có : (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2). Vậy(x2 + x)(x2 + x + 1) – 2 = (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2). Ví dụ 2: (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 HD: c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 = 4x (x+y+z) (x+y) (x+z)+ y2z2 = 4 (x2 +xy+xz)(x2 +xy +xz +yz)+ y2z2 (Đặt t = x2 +xy+xz) = 4t (t + yz) + y2z2 = (2t + yz)2 Ví dụ 3: Giải phương trình a. (2x2 + x)2 – 4(2x2 + x) + 3 = 0 b. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24 = 0 HD: Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa Pt về dạng PT tích ú (t - 1)(t- 3) = 0 *. t = 1 ú 2x2 + x = 1 ú (x +1)(2x-1)= 0 *. t = 3 ú 2x2 + x = 3ú (x -1)(2x+ 3)= 0 Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị riêng Kiến thức: x = a là nghiệm của đa thức f(x) ú f(a) = 0 x = a là nghiệm của đa thức f(x) => Lược đồ Hoor ne . Sơ đồ Hoóc - ne Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3, đa thứ chia là x - a ta được thương là b0x2 + b1 x + b2. Theo sơ đồ Hoóc - ne ta có: a0 a1 a2 a3 a b0 = a0 b1 = ab0 + a1 b2 = ab1 + a2 r = ab2 + a3 nhân cộng a Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích được thành nhân tử. Đối với tam thức bậc hai dạng ax2 + bx + c, muốn xét xem đa thức này có phân tích được thành nhân tử hay không thường dùng phương pháp sau: - Tính D = b2 – 4ac. - Nếu D ³ 0 thì phân tích được. - Nếu D < 0 thì không phân tích được. Ví dụ 1: f(x) = x3 –x2 - 4 Lần lượt kiểm tra với ước của – 4 là 1, - 1, 2, - 2, - 4, 4. f(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 4 = - 4 => x= -1 không phải là nghiệm. f(1) = (1)3- (1)2 - 4 = - 4 => x = 1 không phải là nghiệm. f(2) = 23 - 22 - 4 = 0. f(-2) = -16 => x = - 2 không phải là nghiệm. f(4) = 44 => x = 4 không phải là nghiệm. f(- 4) = - 48 => x = - 4 không phải là nghiệm. Đa thức có nghiệm x = 2 do đó đa thức chứa thừa số (x – 2). Sử dụng lược đồ Hoor ne ta có: f(x) = (x – 2)(x2 – x + 2). Ví dụ 2: Phân tích f(x) = x3 – 2x – 4 Giải Ta có f(2) = 0 => x = 2 là nghiệm của đa thức f(x) => => f(x) = (x - 2)(x2 + 2x + 2) Ví dụ 3: g(x) = 4x3 – 7x2 – x – 2 = (x - 2)(4x2 + x +1) Ví dụ 4 : H(x) = x3 – x2 – 14x + 24 = (x-2)(x - 3)(x + 4) Ví dụ 5 P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y). P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y). Ta thấy nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì đa thức P không thay đổi. Do đó đa thức P có dạng: P = k(x - y)(y - z)( z - x). (k là hằng số). => P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)( z - x). Đúng với mọi x, y, z, nên ta cho các biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 (giá trị riêng của các biến x, y, z tuỳ chọn sao cho (x - y)(y - z)( z - x) ạ 0). Ta được: k = -1 Vậy P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = - (x - y)(y - z)( z - x) = (y - x)(y - z)( z - x). Ví dụ 6 A = x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) Giải +.Nếu x = y => A = 0 => A (x - y) +.Vì vai trò của x,y,z như nhau =>A (y-z); (z-x) =>A (x - y)(y-z)(z-x) +.Vì có bậc cao nhất là 3 còn bậc của (x - y)(y-z)(z-x) là 3 => A = k (x - y)(y-z)(z-x) đúng với mọi x, y, z Cho x = 0; y = 1; z = 2 thay vào => k = 1 Vậy A = (x - y)(y-z)(z-x) Ví dụ 7 P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a) HD: làm tương tự như VD6, thay a = 2; b = 1; c = o tìm được k = -1 Phương pháp 9: Phương pháp hệ số bất định Ví dụ 1: Phân tích : x3 – 15x – 18 thành đa thức bậc nhất và bậc hai Giải Giả sử đa thức trên được phân tích thì x3 – 15x – 18 = (x+ a)(x2 + bx + c) ú x3 – 15x – 18 = x3 + (a+b)x2 + (ab+ c)x + ac Đồng nhất 2 đa thức ở 2 vế ta được: Từ (3)chọn a = 3; thì c = -6; b = -3 thoả mãn (2) Vậy: x3 – 15x – 18 = (x + 3) (x2 – 3x – 6) Ví dụ 2 Phân tích : x3 – 19x - 30 thành đa thức bậc nhất và bậc hai Giải Giả sử đa thức trên được phân tích thì x3 – 19x - 30 = (x + a) (x2 + bx + c) ú x3 – 19x - 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab+ c)x + ac Đồng nhất 2 đa thức ta có Từ (3) chọn a = 2 thì c =- 15; b = -2 thoả mãn (2) Vậy x3 – 19x - 30 = (x +2)(x2 – 2x - 15) Ví dụ 3 x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3. Giải Ta thấy không là nghiệm của đa thức đa thức không có nghiệm nguyên, không có nghiệm hữu tỉ, nên đa thức có dạng Để phân tích đa thức này thành thừa số thì phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a+c)x3 + (ac + b +d)x2 +(ad + bc)x + bd. Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta được hệ điều kiện: ú ú Vậy đa thức x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3). Cách 2 x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 – 4x3 – 2x3 + x2 + 8x2 + 3x2– 2x - 12x + 3 = x2 (x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3). Ví dụ 4 x3 + 4x2 + 5x +2 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 Giải a.ta có x = - 1; x = -2 là nghiệm của đa thức => x3 + 4x2 + 5x +2 (x+1);(x+2) => x3 + 4x2 + 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b) .............................. b = 1 b.Ta có x = 2; x = -1 là nghiệ của đa thức => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 (x+1);(x-2) => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x2 + a x+ b) Đồng nhất 2 đa thức ta có a = -1; b =- 4 Phương pháp 10: Phương pháp hạ bậc Ví dụ 1: a) a5 + a +1. Giải a) a5 + a +1= a5 + a4 – a4 + a3 – a3 + a2 – a2 + a + 1 = (a5 + a4 + a3 ) – ( a4+a3 + a2) + ( a2 + a + 1) = a3( a2 + a + 1) – a2( a2 + a + 1) + ( a2 + a + 1) = ( a2 + a + 1) (a3– a2 + 1). C. ứng dụng Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải các bài toán về tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn đa thức. I. Tìm x Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a) 2(x + 3) – x(x + 3) = 0 b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0 c) x2 + 5x = 6. Giải a) 2(x + 3) – x(x + 3) = 0 ú (x + 3)(2 – x) = 0 ú ú S ={-3; 2}. b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0 ú (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = 0 ú (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = 0 ú (x + 3)(x2 - 3x + 9 + x – 9) = 0 ú (x + 3)(x2 - 2x) = 0 ú x(x + 3)(x - 2) = 0 ú ú S ={-3; 0; 2}. c) x2 + 5x = 6 ú x2 + 5x – 6 = 0 ú x2 - x + 6x – 6 = 0 ú (x2 - x) + (6x – 6) = 0 ú x (x - 1) + 6(x – 1) = 0 ú (x + 6)( x – 1) = 0 ú ú S = {-6; 1}. Ví dụ 2. Giải các phương trình sau (x2 + 2x)2 – x2 – 2x – 2 = 0 x4 – x3 – x2 – x – 2 = 0 [ (x+1)(x-2)(x2+1)= 0] x3 – 2x2 – 9x +18 = 0 [(x-3)(x+3)(x-2) = 0 ] Ví dụ 3. Tìm các cặp số (x; y) thoả mãn x2 + y2 = 0 (x-1)2 + (y+2)2 = 0 4x2 + y2 – 2(2x+y – 1) = 0 x2 + 2y2 + 2y(1-x) = -1 2x2 (1 - y) + y(y + xy -2x) = 0 HD: Đưa về dạng A2 + B2 = 0 e.(x -y)2 + x2(y +1)2 = 0 hoặc Ví dụ 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình a.x+ xy + y + 2 = 0 b. x + y = xy c. x2 + 21 = y2 HD: Biến đổi về dạng X.Y = a (const) => X, Y Ư(a) Ví dụ 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình a. x2 + 21 = y2 b.(x + 1)y – 2x = 8 HD: a. ú (y- x)(y+ x) = 21 > 0 y +x > y – x > 0 hoặc II.Tính giá trị biểu thức Phương pháp : Thu gọn biểu thức Tìm giá trị của biến thay vào Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức A = (x2 + 2)2 – (x+ 2)(x - 2)(x2 + 4) với x = -1/2 +. Rút gọn A = 4x2 + 20 +.Thay A = 21 Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức. a) A = 9x2 +42x + 49 với x = 1 A = (3x + 7)2= 100 b) B = với x= : y = - 5 B = = 0 c) C = với x = - 8; y = 6 C = d) D = với x = - 10 D = e) E = với x = 13 E = g) G = với x = - 2 G = h) H = với x = 1 H == 0 Ví dụ 3 : Cho x – y = 7 . Tính A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37 B = x2(x + 1) – y2 (y - 1) + xy – 3xy(x –y + 1) – 95 ( = (x-y)3 + (x -y)2 - 95 = 297 ) Ví dụ 4: a) Cho x + y = 7, tính giá trị của biểu thức. M = (x + y)3 + 2x2 + 4xy + 2y2 M = (x + y)3 + 2(x + y)2 = 441. b) Cho x - y = - 5, tính giá trị của biểu thức. N = (x - y)3 - x2 + 2xy - y2 N = (x - y)3 - (x - y)2 = - 150 Ví dụ 5 Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến. a) P = (x + 2)3 + (x - 2)3 - 2x(x + 12) P = 0 b) Q = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6x(x + 1)(x - 1) Q = - 8 c) A = y(x2 - y2)(x2 + y2) - y(x4 - y4) A = 0 d) B = (x - 1)3 - (x - 1)(x2 +x + 1) - 3(1 - x)x B = 2 e) M = M = D. Bài tập áp dụng Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (3x – 1)2 - (5x + 3)2 b) (2x + y - 4z)2 - (x + y - z)2 c) ( x2 + xy)2 - (x2 – xy - 2y2)2 d) x4 - x2-2x-1 Bài 2. Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 2x2 + 4x + xy + 2y. với x=88 và y=-76 b) B = x2 + xy – 7 x - 7y. với x= và y= Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x2 - (a + b)xy + aby2 b) ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2) c) (xy + ab)2 + (ay - bx)2 d) a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) - 6x2 - 5y + 3xy + 10x b) x2 + y2 - 2xy – x + y c) (x - z)2 - y2 + 2y – 1 d) x3 + y3 + 3y2 + 3y + 1 Bài 5. Tính giá trị biểu thức sau: A = x2 - 5x – 2xy + 5x + y2 + 4, biết x – y = 1 B = x2(x + 1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x – y + 1), biết x – y = 7. Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (1 + x2)2 - 4x(1 – x + x2) b) x2 - y2- 2yz - z 2 c) 3a2 - 6ab + 3b 2 - 12c2 d) x2 - 2xy + y2 - m2 + 2mn - n2 Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) a 2- 10a + 25 - y2 - 4yz - 4z2 b) x4 - 2x3 + 2x - 1 c) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 d) x3 + 4x2 + 5x + 2 Bài 8. Tính giá trị biểu thức sau: a) A = x2- 5x - 2xy + 5y + y2 + 4, biết x - y=1 b) B = x2(x +1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x – y +1), biết x - y=7 Bài 9. Cho x = y = z = 0. Chứng minh rằng x3+ x2y - y2x – xyz + y3 = 0 Bài 10. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 - c4 > 0. Bài 11. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 b) 5x4 + 9x3 - 2x2 - 4x - 8 Bài 12. Tìm các hệ số a,b,c,d sao cho đa thức: f(x) = x4 + ax3 + bx2 - 8x + 4 là bình phương đúng của đa thức g(x) = x2 + cx + d Bài 13. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (x2 - 8)2 + 36. b) 81x4 + 4. c) x5 + x + 1 Bài 14. Phân tích đa thức thành nhân tử. A = (x2 + 2x)2 + 9x2 +18 + 20 B = x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y – 35 C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 D = (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 Bài 15. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (x2 + x +1)(x2 + x + 2) - 12 b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 Bài 16. Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0. a) b) Bài 17. Cho biểu thức: A= a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định. b) Tính giá trị của A biết Bài 18 a) Tìm x để . b) Tìm các số nguyên x để có giá trị nguyên. Bài 19. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x2 + 25 +10x - y2 - 2y – 1 b) x2 + 4y2 - 4xy - z2 + 6z - 9 Bài 20. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến: (x + y – z - t)2 - (z + t – x - y)2.