Giáo án Tự chọn Hình học NC lớp 10

Chđ ®Ị I : VÐc t¬ vµ c¸C BµI TO¸N VỊ VÐCT¬ Vấn đề 1: CÁC KHÁI NIỆM VỀ VECTƠ ­ CỘNG VÀ TRỪ CÁC VECTƠ A. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ ­ TÌM MỘT ĐIỂM THỎA ĐẲNG THỨC VECTƠ. I.. PHƯƠNG PHÁP: 1). Sử dụng các phép toán về vectơ: cộng, trừ các vectơ, phép nhân một vectơ với một số. 2). Sử dụng Quy tắc ba điểm: . 3). Sử dụng Quy tắc trung điểm: I là trung điểm đoạn AB Û , (M tùy ý). 4). Để tìm điểm I thỏa một đẳng thức vectơ cho trước, ta biến đổi đẳng thức đó về dạng: , trong đó A là điểm cố định, là vectơ không đổi. II. CÁC BÀI TOÁN: Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD. 1). Chứng minh rằng: . 2). Gọi O là trung điểm của KE và M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng: . Bài 2: Cho DABC có trọng tâm G. Gọi A/, B/, C/ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. 1). Chứng minh rằng: . Suy ra G là trọng tâm của DA¢B¢C¢. 2). Gọi I, J, K là các điểm định bởi: , , . Chứng minh rằng G là trọng tâm của DIJK. 3). Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho 2CM = 3BM và N là điểm trên BC kéo dài sao cho 5NB = 2NC. Đặt: . Tính theo các vectơ : a). ; b). . Bài 3: Cho DABC. Gọi G¢ là điểm đối xứng của trọng tâm G qua điểm B. 1). Tính . 2). Tìm điểm M sao cho: . 3). Tìm điểm N sao cho: . Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Chứng minh rằng các vectơ sau không phụ thuộc vào vị trí điểm M, tính modun (độ dài) của mỗi vectơ đó. 1). ; 2). . B. CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG ­ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM: I. PHƯƠNG PHÁP: 1). Sử dụng: A, B, C thẳng hàng Û , kỴR. 2). Cho hai điểm cố định A, B. a). Nếu , kỴR thì tập hợp các điểm M là đường thẳng AB. b). Nếu thì tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn AB. c). Nếu không đổi thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A bán kính . II. CÁC BÀI TOÁN: Bài 1: Cho DABC. Gọi I và J là hai điểm định bởi: . 1). Tính vectơ . 2). Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của DABC. 3). Tìm tập hợp các điểm M sao cho: , kỴR. Bài 2: Cho DABC, M là điểm di động. Dựng . 1). Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. 2). Gọi P là trung điểm của CN, chứng minh rằng đường thẳng MP đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. Bài 3: Cho DABC, lấy các điểm M, N, P sao cho: . 1). Tính . 2). Chứng minh rằng ba điểm M, N, P thẳng hàng. Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, M là điểm trên đoạn AB, N là điểm trên đoạn CD sao cho: 3AM = AB và 2DN = DC. 1). Tính . 2). I và J là các điểm định bởi: vàa, β. 3). Định a, β để J là trọng tâm của DBMN. ************************************************* TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TiÕt: 15-16-17-18 Ngµy so¹n: 21/11/2007 I. Mơc tiªu: 1. VỊ kiÕn thøc: - N¾m ®­ỵc c¸ch x¸c ®Þnh gãc gi÷a hai vÐct¬, ®Þnh nghÜa, ý nghÜa vËt lý cđa tÝch v« h­íng, hiĨu ®­ỵc c¸ch tÝnh b×nh ph­¬ng v« h­íng cđa mét vÐct¬. 2. VỊ kü n¨ng: - Thµnh th¹o c¸ch x¸c ®Þnh gãc gi÷a hai vÐc t¬ vµ c¸ch tÝnh tÝch v« h­íng cđa hai vÐct¬ khi biÕt ®é dµi hai vÐc t¬ vµ gãc gi÷a hai vÐc t¬ ®ã. 3. VỊ t­ duy: - HiĨu ®­ỵc gãc gi÷a hai vÐct¬ vµ ®Þnh nghÜa tÝch v« h­íng cđa hai vÐct¬. BiÕt suy luËn ra tr­êng hỵp ®Ỉc biƯt (b×nh ph­¬ng v« h­íng). 4. VỊ th¸i ®é: - CÈn thËn, chÝnh x¸c. - X©y dùng bµi míi mét c¸ch tù nhiªn, chđ ®éng. - To¸n häc b¾t nguån tõ thùc tiƠn. II. ChuÈn bÞ ph­¬ng tiƯn d¹y häc: - Thùc tiƠn häc sinh ®· ®­ỵc häc trong vËt lý kh¸i nhiƯm c«ng sinh ra bëi lùc vµ c«ng thøc tÝnh c«ng theo lùc. III. Gỵi ý vỊ ph­¬ng ph¸p d¹y häc: - Ph­¬ng ph¸p vÊn ®¸p gỵi më th«ng qua c¸c ho¹t ®éng ®iỊu khiĨn t­ duy. IV. TiÕn tr×nh bµi häc vµ c¸c ho¹t ®éng I/. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC a: 1). Tỉ số lượng giác của góc nhọn a (0o £ a £ 90o): a). Cho góc nhọn . Lấy một điểm M tuỳ ý khác O trên Oy, kẻ MP ^ Ox. a y x O P M · · Ta có: ; b). Ox º Oy thì a = 0o. Ta có: không xác định. c). Ox ^ Oy thì a = 90o. Ta có: không xác định. 2). Tỉ số lượng giác của góc tù và góc bẹt a (90o £ a £ 180o): 3). Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt: Góc a Tỉ Số L. giác 0o 30o 45o 60o 90o 180o sin 0 1 0 cosin 1 0 – 1 tang 0 1 || 0 cotang || 1 0 || 4). Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ . Lấy một điểm O tuỳ ý. O A B Vẽ . Góc được gọi là góc giữa hai vectơ , kí hiệu là . Nếu = 90o thì ta nói hai vectơ vuông góc với nhau, kí hiệu: . II/. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ: 1). Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ là một số, kí hiệu là được xác định như sau: = ª Đặc biệt: + Hai vectơ vuông góc với nhau Û = 0. + Số gọi là bình phương vô hướng của vectơ . Ta có: . 2). Các tính chất của tích vô hướng: + = ; + ; . + = + ; + = , k Ỵ R. 3). Các công thức cần nhớ: °; °; ° 4). Trục và độ dài đại số trên trục: a/. Một đường thẳng được gọi là trục nếu trên đó đã chọn một điểm gốc O và một vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị của trục. Kí hiệu trục là hoặc là Ox. ° ° x M O b/. Cho điểm M trên trục . Khi đó sẽ có số k sao cho . Số k được gọi là toạ độ của điểm M đối với trục đã cho. d A B c/. Cho hai điểm A và B trên trục . Số m sao cho gọi là độ dài đại số của vectơ đối với trục đã cho, kí hiệu là . 5). Công thức hình chiếu: a/. Định nghĩa: Cho đường thẳng d và vectơ . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên d. Khi đó được gọi là hình chiếu vuông góc (gọi tắt là hình chiếu) của vectơ lên đường thẳng d. b/. Cho hai hai vectơ . Gọi là hình chiếu của vectơ lên giá của vectơ . Khi đó, ta có: = . II/. CÁC BÀI TOÁN: Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức: a). S1 = 2sin135o + cos120o ­ tg150o.sin60o + 4cotg30o. b). S2 = . Bài 2: a). Rút gọn biểu thức: P(x) = . b). Tìm tất cả các giá trị m sao cho: m2.tg60o.cotg120o + (2cotg45o + 2cos150o)m ­ 4cos150o = 0. Bài 3: Cho DABC có AB = 5a, BC = 7a, AC = 8a. a). Tính góc A của tam giác. b). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a giá trị của . c). Gọi D là điểm trên cạnh AC sao cho CD = 3a. Tính theo a giá trị của . Bài 4: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = AD = a, CD = 2a. a). Tính theo a các tích vô hướng: . b). Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Tính theo a tích vô hướng suy ra . Bài 5: Cho DABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H lên AC, M là trung điểm của HD. a). Chứng minh rằng AM ^ BD. b). Biết AH = a, BC = . Tính độ dài của AM theo a. Bài 6: Cho hai điểm A, B. Gọi O là trung điểm của đoạn AB và M là một điểm di động trên mặt phẳng (M khác A và B). a). Chứng minh rằng: 4.MO2 = AB2 Û MA ^ MB. b). Gọi H là một điểm trên đường thẳng AB sao cho: . Chứng minh rằng: MH ^ AB. Bài 7: Cho đường tròn (C) tâm O. Từ điểm I ở trong đường tròn (C), dựng hai dây cung AIB và CID vuông góc với nhau. a). Chứng minh rằng: b). Gọi J là trung điểm của BD. Chứng minh: IJ ^ AC. Bài 8: Cho 4 điểm A, B, C, M. a). Chứng minh rằng: . b). Áp dụng kết quả trên, chứng minh rằng trong một tam giác ba đường cao đồng quy. Bài 9: Cho DABC có trọng tâm là G. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh các hệ thức: a). ; b). . ****************************************************** BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I: Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh . Chứng minh rằng MNPQ là một hình bình hành. Đặt . Tính các vectơ . Bài 2: Cho ΔABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của ΔABC và D là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh HBDC là hình bình hành. Chứng minh rằng . Gọi M là một điểm trên cạnh BC sao cho và I là trung điểm của đoạn BM. Chứng minh rằng: . Bài 3: Cho ΔABC vuông tại A có AB = a, BC = 2a. Hãy tính theo a và b các tích vô hướng sau: . Cho tam giác đều MNP có cạnh bằng m. Đặt . Tính theo m biểu thức P= ********************************************* chđ ®Ị 2: HƯ thøc l­ỵng trong tam gi¸c vµ trong ®­êng trßn (Th¸ng 1 n¨m 2007) Vấn đề 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I/. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: A B H C Cho ΔABC vuông tại A có các cạnh a = BC, b = AC, c = AB và đường cao AH = h. Đặt: . Ta có + ; a2 = b2 + c2; + ; . II/. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC BẤT KÌ: Cho ΔABC có các cạnh a = BC, b = AC, c = AB và các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt có độ dài là ma, mb, mc. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Định lí Côsin: A B M C Định lí Sin: Định lí trung tuyến: ; ; Diện tích của tam giác: Gọi S là diện tích; ha, hb, hc là độ dài các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c; r là bán kính đường tròn nội tiếp và p là nửa chu vi của ΔABC. Ta có S = ; S = S = ; S = p.r; S = (hệ thức Hê – rông). III/. CÁC BÀI TOÁN: Bài 1: Cho ΔABC có độ dài các cạnh là . 1). Tính các góc của tam giác; 2). Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác; 3). Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác. Bài 2: Cho ΔABC biết các góc A = 30o, B = 45o và tích số hai cạnh . 1). Tính độ dài các cạnh của tam giác; 2). Tính độ dài các đường cao của tam giác. Bài 3: Cho ΔABC có trọng tâm G. 1). Chứng minh: ; 2). Chứng minh rằng: a.GB. SinGBC =b.GB.SinGCA =c.GA.sinGAB. Bài 4: Cho ΔABC cân tại A, có AB = AC = a, Gãc BAC = . 1). Tính chu vi của tam giác; 2). Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh: . Bài 5: Cho ΔABC có hai góc B, C nhọn. Gọi là đường cao kẻ từ A, H là trực tâm và G là trọng tâm của tam giác. 1). Chứng minh: ; 2). Chứng minh rằng: . Bài 6: Cho ΔABC có các đường trung tuyến là BD và CE. 1). Chứng minh ; 2). Chứng minh rằng AB.CE = AC.BD Û b2 + c2 = 2a2. Bài 7: Cho ba số a = x2 + x + 1; b = 2x + 1; c = x2 – 1. 1). Định các giá trị của x để a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác; 2). Trong trường hợp đó, hãy chứng tỏ rằng tam giác đó có một góc bằng 120o. Bài 8: Cho ΔABC vuông tại A có AC = b, AB = c. Gọi la là độ dài đường phân giác trong vẽ từ A. Chứng minh rằng . Bài 9: Cho ΔABC có các cạnh thỏa b + c = 2a. Chứng minh các đẳng thức 1). sinB + sinC = 2sinA; 2). (ha, hb, hc là độ dài các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c). ********************************************************** CHđ §Ị iii: pH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MỈT PH¼NG (Th¸ng 3 n¨m 2007) Vấn đề 1: VECTƠ VÀ TOẠ ĐỘ – ĐƯỜNG THẲNG Bài 1: Cho ba điểm . Chứng tỏ rằng ABC là một tam giác cân. Tính toạ độ trọng tâm G của tam giác; Tìm phương trình các cạnh của tam giác. Bài 2: Cho ba điểm . Tính toạ độ đỉnh D sao cho ABCD là hình bình hành; Gọi E là điểm thoả . Viết phương trình của đường thẳng DE. Bài 3: Cho ba điểm . Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông. Tìm toạ độ hình chiếu của đỉnh góc vuông trên cạnh huyền; Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác. Bài 4: Cho ba điểm . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng lần lượt là trung điểm của các cạnh ; Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác. Bài 5: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh , và . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác; Viết phương trình các đường cao của tam giác. Bài 6: Cho tam giác ABC có đỉnh , hai đường cao lần lượt là và . Lập phương trình các cạnh của tam giác; Tính diện tích của tam giác. Suy ra . Bài 7: Cho hai đường thẳng . Tính diện tích của hình vuông có bốn đỉnh nằm trên hai đường thẳng và ; Lập phương trình của đường thẳng song song và cách đều hai đường thẳng và . Bài 8: Cho đường thẳng và hai điểm . Viết phương trình của đường thẳng AB. Tìm giao điểm của hai đường thẳng d và AB; Tìm toạ độ của điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d. Suy ra phương trình của đường thẳng đối xứng với đường thẳng AB qua đường thẳng d. Bài 9: Một tam giác có trung điểm của một cạnh là , hai cạnh còn lại lần lượt có phương trình là . Tính toạ độ các đỉnh của tam giác. Bài 10: Lập phương trình của đường thẳng đi qua điểm và cắt các đường thẳng , tại hai điểm sao cho I là trung điểm của MN. Bài 11: Lập phương trình của đường thẳng đi qua điểm và cách đều hai điểm . Bài 12: Lập phương trình của đường thẳng đi qua điểm và cách điểm một đoạn bằng 2. Bài 13: Một tam giác cân có cạnh đáy và cạnh bên lần lượt có phương trình là , . Lập phương trình cạnh bên còn lại biết rằng nó đi qua điểm . Bài 14: Cho đường thẳng và hai điểm . Lập phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và tạo với một góc ; Tìm trên đường thẳng điểm M sao cho tổng nhỏ nhất. ******************************************************