Giáo án Tự chọn môn Toán học 11 - Chủ đề 2: Tổ hợp, xác suất

Tiết 7 – 12 Ngày soạn: .............. Chủ đề 2 : TỔ HỢP – XÁC SUẤT I. MỤC TIÊU : - Ôn lại kiến thức của lý thuyết tổ hợp, xác suất. - Vận dụng làm được các bài tập cơ bản và nâng cao : II. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC : 1 Bài mới : Hoạt động của GV Hoạt động của HS - Hãy nhắc lại quy tắc nhân ? * BT : Cho một hộp gồm 3 bi vàng và 4 bi trắng lấy ra một viên có bao nhiêu cách? * Chú ý: - Nếu Avà B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì n(AB) = n(A) + n(B) - Quy tắc cộng còn mở rộng cho nhiều hành động. * BT : Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ B đến C có 4 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C (qua B). Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp. Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Chẳng hạn: Hai hoán vị abc và bac của 3 phần tử a, b, c là khác nhau. H: Hãy liệt kê các số có 3 chữ số như đầu bài H: Mỗi số đó có là hoán vị của 3 phần tử 1, 2, 3 không * Tìm số các hoán vị ? Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 bạn an, bình, chi, dung ngồi vào bàn học gồm 4 chỗ ngồi? H: Hãy liệt kê các cách sắp xếp. H: Để sắp xếp cần mấy hành động? H: Hãy tính số các hoán vị? * Nêu khái niệm chỉnh hợp ? H: Qua 2 điểm A, B có mấy vectơ? H: Mỗi cách chọn một vectơ có phải là một chỉnh hợp không? H: Hãy liệt kê các vectơ. * Tìm số các chỉnh hợp ? * BT : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? H: Mỗi cách viết ra một số có là chỉnh hợp hay không? H: Tính số các số như vậy? * Chú ý: k trong định nghĩa thõa Quy ước: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng Hỏi: Tam giác ABC và tam giác BAC có khác nhau không? Hỏi: Mỗi tam giác là một tập con gồm ba điểm của số các điểm trên đúng hay sai? .* BT Cho tập . Hãy liệt kê các tổ hợp chập 3, chập 4 của 5 phần tử của A. H: Liệt kê các tổ hợp chập 3 của A. H: Liệt kê các tổ hợp chập 4 của A H: Hai tổ hợp khác nhau là gì? H: Tổ hợp chập k của n khác chỉnh hợp chập k của n là gì? * Nêu định lý ? * BT : Có 16 đội bóng đá tham gia thi đấu. hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao cho hai đội bất kì đều gặp nhau đúng một lần? * Nhắc lại các tính chất của số * BT : Chứng minh rằng: * Cho HS nhắc lại kiến thức cũ. * Chú ý: Số các hạng tử là n + 1. Các hạng tử của số mũ của a giảm dần từ n về 0, số mũ của b tăng từ 0 đến n. nhưng tổng các số mũ a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n. (quy ước a0 = b0 = 1) Các hệ số của mỗi hạng tử các đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. * BT : Khai triển các hằng đẳng thức (a + b) 2, (a + b)3, (a + b)4? * Cho HS lên bảng làm bài. * Nêu định nghĩa phép thử ? H: Khi gieo một con súc xắc có mấy kết quả có thể xảy ra? H: Từ các số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau? Khi gieo một con súc xắc, một đồng xu, lập các số ta được một phép thử. * Thế nào là không gian mẫu ? * BT : Hãy liệt kê các kết quả có thể có của phép thử gieo một con súc sắc H: một con súc sắc gồm mấy mặt? H: hãy liệt kê các kết quả khi gieo một con súc sắc * Thế nào là một biến cố ? H: Khi gieo một con súc sắc, tìm các khả năng các mặt xuất hiện là số chẵn? H: khi gieo 2 đồng tiền, tìm các khả năng các mặt xuất hiện là đồng khả năng? * Cho HS nhắc lại các kí hiệu * Nêu khái niệm về biến cố đối ? * Cho HS nhắc lại các kí hiệu liên quan : * Nêu định nghĩa cổ điển về xác suất ? * BT : Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng nhất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau: a) A” Mặt sấp xuất hiện hai lần”; b) B” Mặt sấp xuất hiện đứng một lần”; c) C” Mặt sấp xuất hiện đúng một lần”; * Nêu các tính chất của xác suất ? * BT : Một hộp chứa ba quả cầu trắng hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Hãy tính xác suất sao cho hai quả cầu đó. a) Khác màu. b) Cùng màu. * Cho HS nhắc lại khái niệm biến cố xung khắc và quy tắc cộng xác suất. * BT : Bạn thứ nhất có một đồng tiền, ban thứ hai có con súc sắc (đều cân đối đồng nhất). xét phép thử . Bạn thứ nhất gieo đồng tiền sau đó bạn thứ hai gieo súc sắc. a) Tính xác suất của các biến cố sau: A” Đồng tiền xuất hiện mặt sấp’ B” Con súc sắc xuất hiện mặt 6” C” Con súc sắc xuất hiện mặt lẻ” b) Chứng tỏ: P(A.B) = P(A).P(B) P(A.C) = P(A).P(C) * Nhắc lại công thức tính. Kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn ? *BT1 : Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho: a) Các chữ số có thể giống nhau? b) Các chữ số khác nhau? * BT2 : Xếp ngẫu nhiên 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi vào 6 ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho: a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau. b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau. * BT3 : Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác suất sao cho: a) Bốn quả lấy ra cùng màu. b) Có ít nhất một quả cầu trắng. * BT 4 : Có 4 bạn An, Bình, Chi, Diễm chọn một bạn thi học sinh giỏi thì có bao nhiêu cách ? Đó là những cách nào? * BT 5 : Tổ 1 có 6 học sinh, tổ 2 có 7 học sinh, tổ 3 có 8 học sinh. Hỏi chọn một học sinh trực nhật có bao nhiêu cách chọn? * BT 6 : a) Có bao nhêu số tự nhiên có ba chữ số? b) Có bốn chữ số chia hết cho 5? * BT 7 : Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có bao nhiêu số tự nhiên: Có bốn chữ số khác nhau từ các số trên? Nhỏ hơn 100? * BT 8 : Gieo nhẫu nhiên một con xúc sắc cân đối và đồng nhất. Tính xác suất của các biến cố sau: A : ''Mặt chẵn xuất hiện'' B: '' Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3'' C: ” Xuất hiện mặt có số chấm không bé hơn 3'' * BT 9 : Một hộp chứa 20 quả cầu đánh số từ 1 đến 20 lấy ngẫu nhiên một quả. Tính xác suất của các bến cố sau: a) A” Nhận được quả cầu ghi số chẵn” b) B” Nhận được quả cầu ghi số chia hết cho 3” c) AB d) C” Nhận được quả cầu ghi số không chia hết cho 6” * BT 10 : Một bài kiểm tra trắc nghiệm cĩ 4 câu. Mỗi câu cĩ 5 phương án trả lời trong đĩ chỉ cĩ một phương án trả lời là đúng. Nếu trả lời đúng thì được 5 điểm. Nếu trả lời sai thì khơng được điểm. An làm bài thi bằng cách ở mỗi câu chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Gọi X là tổng số điểm mà An nhận được. Tính độ lệch chuẩn của X. * BT 11 : Gieo một con súc sắc cân đối ba lần. Gọi X là số lần con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm. Tính kì vọng của X. * BT 12 : Xác suất bắn trúng vịng 10 của An là 0,4. An bắn 3 lần. Gọi X là số lần trúng vịng 10. Tính phương sai của X. 1. Quy tắc cộng: a) Quy tắc cộng : Một công việc hoàn thành bởi một trong hai hành động, nếu hành động một có m cách thực hiện, hành động hai có n cách thực hiện không trùng với bất kỳ cách nào của hành động một thì công việc đó có m + n cách thực hiện. * Giải: Lấy một viên bi là thực hiện một trong hai hành động hoặc lấy bi vàng hoặc lấy bi trắng. Nếu lấy bi vàng thì có 3 cách chọn. Lấy bi trắng thì có 4 cách chọn. Vậy lấy một viên bi từ hộp trên có 4 + 3 = 7 cách b) Quy Tắc Nhân: * Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hoàn thành công việc. Giải: Từ A đến B có 3 cách chọn. Từ B đến C có 4 cách chọn. Vậy từ A đến C có 3.4 = 12 cách chọn 2. Hoán vị: Cho tập A gồm n phần tử (n > 0) Mỗi kết quả của việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Gọi ý: 123, 132, 231, 213, 312, 321. Gợi ý: Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị. 3. Số các hoán vị: Kí hiệu: pn là số các hoán vị của n phần tử. Định lý: pn = n(n – 1)(n – 2)……2.1 chú ý: pn = n! (n! đọc là n giai thừa) Giải : Gọi ý: ABCD, ACBD, … Gợi ý: 4 hành động. Gợi ý: Số cách sắp xếp là: 4.3.2.1 = 24 4. Chỉnh hợp: Cho tập A gồm n phần tử (n > 0) Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. Gọi ý: Có hai Gợi ý: Là một chỉnh hợp Gợi ý:, … 5. Số các chỉnh hợp: Kí hiệu là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (). Định lý: Chú ý: quy ước: 0! = 1 a) b) *Giải : Là chỉnh hợp chập 5 của 7. Gợi ý: 6. Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử (n > 0) Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Tl: Giống nhau Tl: Đúng. * Lên bảng làm BT 7. Số các tổ hợp: Kíù hiệu: là số các tổ hợp chập k của n phần tử () Định lí: * Giải : 8. Tính chất của của số a) Tính chất 1: b) Tính chất 2: * Cho HS lên bảng làm bài 9. Công thức nhị thức Niu – tơn : Hệ quả: với a = b = 1 ta có: Với a = 1, b = -1 ta có: * Giải : (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2= a2 + ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + a2b + ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = a4 +a3b + a2b2 + ab3 + b4 10. Phép thử : Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặt dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. * TL : Có 6 kết quả có thể xảy ra. * TL : 24 số 11. Không gian mẫu : Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là (đọc là ô – mê – ga) * TL : Một cọ súc sắc gồm 6 mặt * TL : Gọi các kết quả bao gồm các mặt có số chấm là:1, 2, 3, 4, 5, 6. 12. Biến cố: Một các tổng quát, mỗi biến cố có liên quan đến một phép thử được mô tả bởi một tập con của không gian mẫu. Từ đó ta có định nghĩa sau đây: Biến cố là một tập con của không gian mẫu. Tập được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). còn tập được gọi là biến cố chắc chắn. * Quy ước : khi nói cho các biến cố A, B, …mà không nói gì thêm thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến một phép thử. Ta nói rằng biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của phép thử đó là một phần của A (hay thuận lợi cho A) * TL các câu hỏi của GV. 13. Phép toán trên biến cố: * Khái niệm biến cố đối: Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử. Tập được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là Do , nên xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. Tập được gọi là hợp của các biến cố A và B. Tập được gọi là giao của các biến cố A và B. nếu thì ta nói A và B là xung khắc. Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố A là biến cố A là biến cố không A là biến cố chắc chắn C là biến cố: “A hoặc B” C là biến cố: “A và B” A và B xung khắc A và B đối nhau 14. Định nghĩa cổ điển về xác suất : Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số là xác suất của biến cố A. Kí hiệu: P(A) Vậy P(A) = * Giải : Không gian mẫu A = , n(A) = 1, n() = 4 Vậy P(A) = = B=, n(B) = 2 Vậy P(B) = = = C= , n(C) = 3 Vậy P(C) = 15. Tính chất của xác suất: a) P(Þ) =0, P()=1 b) 0 với mọi biến cố A c) P() = 1 - P(A) * Giải : Lấy ngẫu nhiên 2 quả từ 5 quả do đó ta có không gian mẫu la:ø n() = = 10 a) Gọi A “Hai viên khác màu” Ta có : Màu trắng có 3 cách, màu đen co 2 cách Vậy n(A) = 3.2 = 6 p(A) = = b) Gọi B” Hai quả cùng màu” thì B = Vậy P(B) = P() = 1 - P(A) = 1= 16. Biến cố xung khắc, Quy tắc cộng xác suất : * Biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. * Nếu 2 biến cố A và B xung khắc thì : 17. Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất : Một biến cố xảy ra không ảnh hưởng đến xác suất của một biến cố khác ta nói hai biến cố đó độc lập. * A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B) * HS thảo luận và lên bảng trình bày. 18. Kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn : * Kỳ vọng : ở đó * Phương sai : ở đó , * Độ lệch chuẩn : 19. Bài tập : - Hướng dẫn HS tự giải và cho HS tự nguyện lên bảng. - Hướng dẫn HS tự giải và cho HS tự nguyện lên bảng. - Hướng dẫn HS tự giải và cho HS tự nguyện lên bảng. - Hướng dẫn HS tự giải và cho HS tự nguyện lên bảng. - Hướng dẫn HS tự giải và cho HS tự nguyện lên bảng. - Hướng dẫn HS tự giải và cho HS tự nguyện lên bảng. - Hướng dẫn HS tự giải và cho HS tự nguyện lên bảng. - Hướng dẫn HS tự giải và cho HS tự nguyện lên bảng. - Hướng dẫn HS tự giải và cho HS tự nguyện lên bảng. - Hướng dẫn HS tự giải và cho HS tự nguyện lên bảng. - Hướng dẫn HS tự giải và cho HS tự nguyện lên bảng. - Hướng dẫn HS tự giải và cho HS tự nguyện lên bảng.