Giáo trình Cơ học chất lưu

1 Chương 1 MỞ ĐẦU 1.1 Đối tượng, phạm vi và mục đích của học phần Cơ học chất lưu là một môn khoa học thuộc lĩnh vực cơ học, nghiên cứu các quy luật chuyển động và đứng yên của chất lưu và các quá trình tương tác của nó với các vật khác. Chất lưu bao gồm chất lỏng và khí giống như các môi trường liên tục, được cấu tạo từ nhiều phân tử (chất điểm). Khác với vật rắn, các phân tử của chất lưu có thể chuyển động hỗn loạn bên trong khối chất lưu, vì vậy chất lưu luôn có hình dạng thay đổi phụ thuộc hình dạng bình chứa. Chất khí khác với chất lỏng ở chỗ thể tích của một khối khí có thể thay đổi phụ thuộc thể tích bình chứa, khối lượng riêng hay mật độ phân tử của chất lỏng lớn hơn hàng ngàn lần so với của chất khí. Ở điều kiện bình thường, các phân tử của chất lỏng luôn giữ khoảng cách trung bình cố định ngay cả trong quá trình chuyển động hỗn loạn, vì vậy chất lỏng được xem là không chịu nén dưới tác động của ngoại lực. Đối với chất khí, lực đẩy giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi khoảng cách giữa các phân tử giảm khá nhỏ, cho nên ở điều kiện bình thường chất khí bị nén dễ dàng. Phạm vi nghiên cứu của học phần cơ học chất lưu là các trạng thái vật lý, các qui luật vận động và tương tác của chất lưu ở trạng thái tĩnh và động. Mục đích của học phần cơ học chất lưu là Trang bị cho người học những hiểu biết nền tảng về các hiện tượng Vật lý xảy ra trong chất lưu, có kiến thức cơ bản để giải quyết các bài toán về cơ học chất lưu. Có thể vận dụng kiến thức để làm việc trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: thiết kế các phương tiện vận chuyển; tính toán cho cấp, thoát nước, công trình thủy lợi và xây dựng, thiết kế các thiết bị thủy lực, … 1.2 Tính chất vật lý cơ bản của chất lưu 1.2.1 Khối lượng riêng, trọng lượng riêng, tỷ trọng, thể tích Khối lượng riêng trung bình của chất lưu theo định nghĩa là khối lượng của một đơn vị thể tích chất lưu: m V   (1.1) 2 trong đó là khối lượng riêng trung bình, m là khối lượng của khối chất lưu có thể tích V. Trong khối chất lưu có thể có sự phân bố mật độ không đồng đều, khi đó khối lượng riêng  tại một điểm nào đó của chất lưu được tính bởi: 0 lim V m dm V dV        (1.2) Trong hệ đơn vị SI,  có đơn vị là kg/m3. Trọng lượng riêng  của chất lưu là lực trọng trường tác dụng lên một đơn vị thể tích chất lưu:  = g (1.3) với g là gia tốc trọng trường tại vị trí của khối chất lưu Trong hệ đơn vị SI,  có đơn vị là N/m3. Trong thực tế còn dùng đơn vị kgf/m3, 1 kgf = 9,81 N Tỉ trọng  của một chất lưu là tỉ số của khối lượng riêng  của chất lưu đó đối với khối lượng riêng của nước: n     (1.4) Tại cùng vị trí thì g = const, do đó: n     (1.4’) Ví dụ: Nước có n = 1000 kg/m 3  n = 9,81.10 3 N/ m 3 Cồn có  = 780 kg/m3  tỉ trọng của cồn  = 0,78 Thể tích riêng Vi của chất lưu được định nghĩa là thể tích của một đơn vị khối lượng chất lưu: 1 iV   (m3/kg) (1.5) Chú ý: khối lượng một vật không thay đổi nhưng trọng lượng (riêng) thay đổi do gia tốc trọng trường g thay đổi theo vĩ độ và độ cao trên mặt đất. 1.2.2 Tính nén được Đối với chất lỏng hệ số (suất hay modun) đàn hồi K được định nghĩa: 3 K dp V dV   (1.6) Do M = ρV => dM = ρdV + Vdρ = 0, nên: K dp d    (1.6’) Ví dụ: ở 20o C nước có suất đàn hồi Knước = 2,2 10 9 N/m 2 Chất lưu được xem là không nén được khi khối lượng riêng thay đổi không đáng kể ( = const). Chất lỏng thường được xem là không nén được trong hầu hết các bài toán kỹ thuật. Ví dụ: Một xilanh chứa 0,1 lít nước ở 20 oC. Nếu ép pitton để thể tích giảm 1 % thí áp suất trong xilanh tăng lên bao nhiêu? Giải: Ở 20o C, suất đàn hồi của nước Kn = 2,2.10 9 N/m 2 Thể tích giảm 1 %  dV V  -1/100 Vậy áp suất tăng: dP = – K n dV V = 2,2.10 9 .10 -2 = 2,2.10 7 N/m 2 Hệ số nén p được xác định bằng biểu thức: / o p dV V dp    (1.7) với p là áp suất tuyệt đối, Vo là thể tích ban đầu của chất lưu. Suất đàn hồi K thường dùng cho chất lỏng, hầu như là hằng số, rất ít phụ thuộc vàp áp suất và nhiệt độ. Hầu hết các loại chất lỏng đều rất khó nén nên được xem như là chất lưu không nén được. Một dòng khí chuyển động với vận tốc nhỏ thì sự thay đổi khối lượng riêng không đáng kể nên vẫn được xem là chất lưu không nén được. Khi dòng khí chuyển động với vận tốc lớn hơn 0,3 lần vận tốc âm thanh ( 100 m/s) thì được xem là chất lưu nén được. Đối với chất khí, hầu hết các khí thực ở điều kiện bình thường được xem như là khí lý tưởng, chúng tuân theo phương trình trạng thái khí lý tưởng: pV = RT Hay: p = RT Trường hợp nén khí đẳng nhiệt thì: 4 pV = const Trường hợp nén khí đoạn nhiệt thì: pV  = const với  là hệ số poisson hay chỉ số đoạn nhiệt. Vận tốc truyền âm trong chất lưu: dp K c d    1.2.3 Tính nhớt của chất lưu Chất lưu không có khả năng chịu lực cắt, khi có lực này tác dụng, nó sẽ chảy và xuất hiện lực ma sát bên trong. Ứng suất ma sát giữa các lớp chất lưu song song do sự chuyển động tương đối giữa các lớp phụ thuộc vào gradient vận tốc du/dy. Hình 1.1 Chất lỏng Newton chảy tầng Để đặc trưng cho ma sát giữa các phần tử chất lưu trong chuyển động, ta xét một chất lỏng Newton chảy tầng theo phương vuông góc với y (hình 1.1), theo định luật ma sát nhớt Newton ta có biểu thức: du dy   (1.8) Trong đó: τ là ứng suất ma sát (đơn vị là N/m2) µ là hệ số nhớt động lực học u là vận tốc chất lưu, phụ thuộc vào y Trong hệ đơn vị SI, đơn vị của µ là 2 . . N s kg Pa s msm   . Trong thực tế còn 5 dùng đơn vị poise, 1 poise = 0,1 Pa.s. Ngoài hệ số động lực học µ, người ta còn sử dụng hệ số nhớt động họcυ, được định nghĩa:     (1.9) Đơn vị của υ trong hệ SI là m2/s hay stoke, 1 stoke = 1cm2/s = 10-4 m2/s. Có hai loại chất lưu (hình 1.2): Hình 1.2 + Chất lưu Newton: có ứng suất ma sát tỉ lệ thuận với suất biến dạng, hay độ nhớt động lực học µ = const. + Chất lưu phi Newton: có ứng suất ma sát không tỉ lệ với suất biến dạng, hay độ nhớt động lực học µ  const. Độ nhớt động lực học µ = 0 đối với chất lưu lý tưởng Hệ số nhớt µ phụ thuộc vào nhiệt độ và áp suất. Khi nhiệt độ tăng đối với chất lỏng µ giảm, còn đối với chất khí thì ngược lại. Khi áp suất tăng µ của chất lỏng tăng, còn đối với chất khí µ hầu như không thay đổi khi áp suất tăng. Hầu hết các loại chất lưu thông thường như nước, xăng, dầu, … đều thỏa mãn công thức Newton, tuy nhiên một số chất lỏng kém linh động như hắc ín, nhựa nóng chảy, dầu thô, ... không tuân theo công thức Newton được gọi là chất lỏng phi Newton. Đối với chất lỏng thông thường khi chảy ở trạng thái chảy rối cũng không tuân theo công thức Newton. Với khái niệm hệ số nhớt có thể định nghĩa chất lưu lý tưởng là chất lưu có 6 hệ số nhớt (ma sát) bằng không, còn chất lưu thực có hệ số nhớt (ma sát) luôn khác không. Ðộ nhớt trong chuyển động của chất lưu thực có hai vai trò: Thứ nhất là tạo ra sự truyền chuyển động từ lớp nọ qua lớp kia, nhờ đó mà vận tốc trong dòng chất lưu thay đổi liên tục từ điểm này qua điểm khác. Thứ hai là chuyển một phần cơ năng của dòng thành nội năng của nó, tức là tạo ra sự khuếch tán cơ năng. 1.2.4 Áp suất hơi Áp suất hơi là áp suất cục bộ của phần hơi trên bề mặt tiếp xúc với chất lỏng. Nếu trong không gian kín trên bề mặt chất lỏng, khi các phần tử chất lỏng bốc hơi đạt đến trạng thái bão hoà cân bằng động với các phân tử chất lỏng ngưng tụ thì áp suất trong khoảng không gian kín đó được gọi là áp suất hơi bão hòa pbh. Áp suất hơi bão hoà tăng theo nhiệt độ. Ví dụ ở 25o C, nước có pbh = 0,025 at; ở 100 o C, pbh = 1at. Khi áp suất tác dụng lên bề mặt chất lỏng  áp suất hơi bão hoà thì chất lỏng bắt đầu sôi (hoá hơi). Ví dụ có thể cho nước sôi ở 25o C nếu hạ áp suất xuống còn 0,025at. Tại một số vùng nào đó trong dòng chảy nếu áp suất tuyệt đối nhỏ hơn giá trị áp suất hơi thì chất lỏng sẽ sủi bọt. Các bọt khí này khi vỡ sẽ gây tổn hại đến bề mặt của thành rắn gọi là hiện tượng xâm thực khí. 1.2.5 Sức căng mặt ngoài và hiện tượng mao dẫn Khoảng cách giữa các phân tử chất lỏng khá nhỏ so với trong chất khí, do đó lực hút giữa các phân tử chất lỏng là lớn hơn lực hút giữa các phân tử chất lỏng với các phân tử chất khí. Vì vậy lớp phân tử nằm ở mặt thoáng chất lỏng chịu một lực tác dụng hướng vào trong chất lỏng. ực tác dụng lên các phân tử ở lớp mặt ngoài chất lỏng ép lên các phân tử chất lỏng phía trong và gây nên một áp suất gọi là áp suất phân tử. Hiện tượng này làm bề mặt chất lỏng giống như một màng mỏng bị căng, nó tạo ra một sức căng trên bề mặt chất lỏng. Theo định nghĩa, sức căng bề mặt  là lực căng trên 1 đơn vị chiều dài nằm trong bề mặt cong của chất lỏng và vuông góc với đường bất kỳ trên bề mặt chất lỏng. Đơn vị trong hệ SI của  là N/m. Chính do sức căng bề mặt mà các giọt chất lỏng trong tự nhiên thường có dạng cầu. Cũng do sức căng bề mặt mà gây nên hiện tượng chất lỏng làm ướt và 7 không làm ướt chất rắn, hệ quả của nó là hiện tượng mao dẫn (hình 1.2). ọi h là chiều cao cột chất lỏng dâng lên (hay hạ xuống) trong ống mao dẫn, r là bán kính ống mao dẫn, là bán kính cong của mặt khum chất lỏng,  là góc làm ướt, theo công thức urin (hình 1.2) ta có: 2 osc h r g     (1.10) Hình 1.2 Hiện tượng mao dẫn Từ công thức (1.10) ta thấy: + Nếu 0   0 chất lỏng dâng lên. + Nếu /2 <   , cos 0 chất lỏng hạ xuống. Với chất lỏng xác định, ở nhiệt độ xác định thì khối lượng riêng  và  không đổi, ống càng nhỏ (r bé) chiều cao cột chất lỏng càng lớn. Hiện tượng mao dẫn có vai trò rất quan trọng đối với tự nhiên và kỹ thuật. 8 Chương 2 TĨNH HỌC CHẤT LƯU 2.1 Áp suất thủy tĩnh 2.1.1 Khái niệm Tĩnh học chất lưu nghiên cứu chất lưu ở trạng thái cân bằng, không có chuyển động tương đối giữa các phần tử. Một khối chất lưu được gọi là ở trạng thái tĩnh tuyệt đối khi nó nằm ở trạng thái cân bằng chỉ chịu tác dụng của ngoại lực duy nhất là trọng lực. Một khối chất lưu được gọi là ở trạng thái tĩnh tương đối: khi nó nằm ở trạng thái cân bằng chịu tác dụng của nhiều ngoại lực (trọng lực, lực quán tính, lực ly tâm, ….) 2.1.2 Áp suất thủy tĩnh Khi có một vật rắn tiếp xúc với chất lỏng thì các phân tử của chất lỏng sẽ tác dụng lực vào vật rắn tiếp xúc với nó. ực tác dụng này được phân bố trên toàn bộ diện tích tiếp xúc và vuông góc với bề mặt tiếp xúc gọi là áp lực. Hình 2.1 Xét một diện tích S bất kỳ trong khối chất lưu, ọi là áp lực tác dụng vuông góc lên S (hình 2.1). Theo định nghĩa, áp suất thủy tĩnh trung bình tác dụng lên S là: F p S    (2.1) 9 Áp suất thủy tĩnh tại một điểm là: 0 lim S F p S d dS F       (2.2) 2.1.3 Tính chất - Từ định nghĩa ta thấy áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực và hướng vào diện tích ấy. - Trị số áp suất thuỷ tĩnh không phụ thuộc vào hướng của diện tích chịu lực. Ta có thể chứng minh điều này: Xét sự cân bằng của một thể tích vi phân chất lưu hình tứ diện vuông góc có các cạnh x, y, z, s đặt tại gốc toạ độ (hình 2.2). Các lực lên phần tử chất lưu gồm: ực mặt: pxyz; pyxz; pzyx; psys. ực khối: 1 2 Fxyz với  là khối lượng riêng của chất lưu, F là lực khối đơn vị. Hình 2.2 Do khối chất lưu nằm cân bằng nên tổng các lực tác dụng lên nó theo phương bất kỳ phải bằng không, chẳng hạn phương x: pxδyδz – psδyδz + 1 2 ρFxδxδyδz = 0 p x – p s + 1 2 Fxx = 0 (2.3) 10 với: pxδyδz là lực do p x tác dụng lên mặt ABCD theo phương Ox – psδyδz là lực do p s tác dụng lên mặt BCEF chiếu lên Ox: – p s y.s.sin = – p s ysz/s = –p s y z 1 2 ρFxδxδyδz là lực khối tác dụng lên phần tử chất lưu chiếu lên phương Ox Từ phương trình (2.3) ta thấy khi x  0 thì px = ps. Chứng minh tương tự cho các phương khác, Cuối cùng ta có: px = py = pz = pn (2.4) Biểu thức (2.4) chính là điều phải chứng minh. 2.1.4 Đơn vị của áp suất Trong hệ đơn vị SI đơn vị của áp suất là: [p] = N/m2 = Pa Ngoài ra trong thực tế còn dùng các đơn vị: kgf/cm2, atmotphe kỹ thuật (at), atmotphe vật lý (atm), m nước, mHg, 2 dyn cm 1 at = kgf/cm 2 = 10 m nước = 736 mHg = 9,81.104 Pa 1 tor = 1 mHg = 133 Pa là áp suất gây nên bởi cột thuỷ ngân cao 1 mm. 1 atm là áp suất gây nên bởi cột thuỷ ngân cao 760 mHg = 1,01.105 Pa. 2 2 1 0,1 10 dyn N Pa cm m   2.1.5 Áp suất tuyệt đối, áp suất dư và áp suất chân không Áp suất tuyệt đối ptđ : là giá trị đo áp suất so với chuẩn là chân không tuyệt đối, nó chính là giá trị áp suất thực, ví dụ áp suất của không khí pk = 98100 N/m 2 . Áp suất dư pd: là giá trị đo áp suất so với chuẩn là áp suất khí trời (p a ) tại vị trí đo (còn gọi là áp suất tương đối) hay áp suất được so sánh với áp suất khí quyển: pd = ptđ – pa (2.3) Áp suất chân không pck: là áp suất còn thiếu cần phải thêm vào cho bằng áp suất khí trời: pck = pa – ptđ = 98100 N/m 2 – ptđ = – pd (2.4) 11 2.1.6 Lực khối và lực mặt Ngoại lực tác dụng lên mọi phần tử của chất lỏng và tỉ lệ với khối lượng của chất lỏng gọi là lực khối. ọi là lực khối tác dụng lên thể tích V của chất lưu có khối lượng riêng  (hình 2.3). Theo định nghĩa vector cường độ lực khối tại một điểm nào đó trong khối chất lưu là: Ví dụ các lực khối như: Hình 2.3 - Trọng lực: gF  - ực quán tính: aF  - ực ly tâm: 2F r Ngoại lực tác dụng lên từng phần tử của thể tích chất lưu và tỉ lệ với diện tích bề mặt bao bọc chất lưu gọi là lực mặt. ọi là lực mặt tác dụng lên diện tích S của chất lưu (hình 2.4), vector ứng suất  tại một điểm trên S được định nghĩa: 0 lim S f S       Ví dụ về lực mặt như: - Áp suất - Ứng suất ma sát Hình 2.4 Trong trường hợp tổng quát  là một tenxo hạng hai:   xx xy xz yx yy yz zx zy zz                      với ( ij =  ji ) Ứng suất trên một diện tích bất kỳ được biểu diễn: 12 n n x y y z zn n n      2.2 Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng cân bằng 2.2.1 Phương trình vi phân cơ bản Xét khối chất lỏng vi phân khối lượng riêng  dạng khối hộp có các cạnh dx, dy, dz nằm cân bằng (hình 2.5). ực khối tác dụng lên khối chất lỏng là ). ực tác dụng lên khối hình hộp theo phương x gồm: - ực khối: .dxdydz.Fx - ực mặt: . p p dydz p dx dydz x        Hình 2.5 Khối chất lỏng cân bằng ực tổng cộng tác dụng lên khối chất lưu theo phương x phải bằng 0: .dxdydz.Fx + . p p dydz p dx dydz x        = 0 Fx – p x   = 0  1 x p F x    = 0 (2.5) Chứng minh tương tự cho các trục khác: 1 0y p F y     (2.6) 13 1 0z p F z     (2.7) Các phương trình (2.5 – 2.7) có thể viết gộp lại dưới dạng vecto:   1 0F grad p    (2.8) (2.8) là phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học chất lưu. Nếu lực khối tác dụng chỉ là trọng lực, phương trình cơ bản tĩnh học chất lưu trở thành: 1 – 0g p    (2.9) với g là gia tốc trọng trường. 2.2.2 Phương trình thuỷ tĩnh Xét một khối chất lưu tĩnh đặt trong trường trọng lực (hình 2.6), dưới tác dụng của trọng lực, lực khối theo từng phương sẽ là: Fx = Fy = 0; Fz = – g (2.9) Hình 2.6 Theo phương trình (2.8) ta có: 0 p x     p = p(y,z) 0 p y     p = p(x,z) p g z      Đối với chất lưu không nén được thì  , do đó: p = – gz + C hay: 14 p + z = C  (2.10) p z   gọi là cột áp tĩnh (2.10) gọi là phương trình cơ bản thủy tĩnh dạng 1 hay quy luật phân bố áp suất thuỷ tĩnh. Thay z = z o , p = p o vào (2.10), sau khi biến đổi ta được: p = p o + γ(z o - z) = p o + γh (2.10’) (2.10’) gọi là phương trình cơ bản thủy tĩnh dạng 2 là phương trình để tính áp suất tại một điểm. trong đó: p 0 là áp suất tại mặt phân chia chất lỏng. h là độ sâu từ mặt phân chia chất lỏng đến điểm cần tính áp suất. Hình 2.7 Xét 2 điểm A và B ở độ cao zA và zB tương ứng so với mặt chuẩn 0 (độ cao qui ước z = 0) (hình 2.7). Áp dụng phương trình (2.10) cho 2 điểm A và B ta được: PA + gzA = PB + gzB Hay: PB = pA + hAB (2.11) (2.11) là phương trình thuỷ tĩnh. Từ (2.11) ta suy ra một số hệ quả sau: – Trên mặt đất mặt đẳng áp của các chất lưu là mặt nằm ngang. – Trong một khối thể tích có nhiều chất lưu khác nhau, khối lượng riêng khác nhau, không trộn lẫn vào nhau thì mặt phân chia là các mặt đẳng áp. – Độ chênh áp suất giữa hai điểm A và B trong một môi trường chất lưu chỉ 15 phụ thuộc khoảng cách thẳng đứng giữa hai điểm đó. Đối với chất khí: Do tính chất nén được của chất khí nên   const. Xét khối khí nằm trong trường trọng lực, coi chất khí là khí lý tưởng, từ phương trình trạng thái khí lý tưởng: p = RT  p RT   Từ đó: dp p dp g g dz dx RT p RT      Nếu nhiệt độ khối khí thay đổi theo độ cao, ví dụ theo qui luật T = To – az với a > 0, To là nhiệt độ ứng với z = 0 (thường lấy là mực nước biển). Khi đó: ( )o dp g dz p R T az   ấy tích phân hai vế ta được:   ( )o g Lnp Ln T az Ln C aR    Kí hiệu po là áp suất ở độ cao z = 0, ta có:   ( )o o g Lnp Ln T L a p n C R    oo T p C aR         o g aR o p C T  Cuối cùng ta thu được phương trình tĩnh học khí quyển: (2.12) 2.3 Ứng dụng phương trình thủy tĩnh 2.3.1 Áp kế Áp kế tuyệt đối: Dùng để đo áp suất tuyệt đối của khí quyển, nguyên tắc cấu tạo của dụng cụ (hình 2.8), áp suất khí quyển pk được xác định bởi chiều cao cột thuỷ ngân dâng lên trong ống hàn kín: Pk = Hggh 16 Định luật hai bình thông nhau: Một ống hình chữ U hở hai đầu đựng hai chất lỏng khối lượng riêng 1 và 2 tương ứng (hình 2.9). Từ phương trình thuỷ tĩnh ta có: pA = pA’ + 2gh2 pB = pB’ + 1gh1 (a)  pA = pA’ + 2h2 pB = pB’ + 1h1 (b) Dễ dàng chứng minh được pA = pB do cùng nằm trên một mặt phẳng ngang trong cùng một chất lỏng. Hình 2.8 Áp kế tuyệt đối Hình 2.9 pA’ = pB’ do đều nằm trên mặt thoáng chất lỏng nên chỉ chịu tác dụng của áp suất khí bên ngoài. Từ các phương trình (a) và (b) ta suy ra: 1h1 = 2h2 Hay: 1 2 2 1 h h    (2.13) 2.3.2 Định luật Pascal Trạng thái cân bằng của chất lưu là trạng thái mà ở đó không có sự chuyển động tương đối giữa các phần khác nhau của chất lưu, ở đây ta bỏ qua sự chuyển động hỗn loạn của các phân tử chất lưu. Định luật: Khi chất lưu ở trạng thái cân bằng thì áp suất tại một điểm trong lòng chất lưu là phân bố đều theo mọi phương. Nghĩa là áp suất tại điểm đó phân bố theo mọi phương có độ lớn bằng nhau. Từ định luật Pascal có thể chứng minh được nếu chất lỏng đứng yên và chịu 17 tác dụng của một áp suất nào đó từ bên ngoài thì áp suất đó sẽ được chất lỏng truyền đi theo mọi phương với cùng độ lớn. Điều này được ứng dụng trong kỹ thuật máy nén thuỷ lực 2.3.3 Biểu đồ phân bố áp suất Từ công thức (2.10’) biểu diễn sự thay đổi áp suất trên một diện tích ta sẽ được biểu đồ phân bố áp suất (hình 2.10). Nếu biểu diễn độ cao áp suất thì ta được biều đồ phân bố áp lực (hình 2.11). Hình 2.10 Biểu đồ phân bố áp suất. Hình 2.11 Biểu đồ phân bố áp lực. Hình 2.12 biểu diễn một số biểu đồ phân bố áp lực trên mặt cong. Hình 2.12 Biểu đồ phân bố áp lực trên mặt cong Dùng biểu đồ phân bố áp lực theo chiều sâu (hình 2.11) ta xác định được áp lực tác dụng lên các mặt của khối chất lỏng hình hộp chữ nhật có đáy nằm ngang (hình 2.13). 18 a) b) Hình 2.13 Áp lực tác dụng lên các mặt của khối chất lỏng hình hộp chữ nhật. Áp lực tác dụng lên mặt đáy (hình 2.11a): F = hLb Áp lực tác dụng lên mặt bên (hình 2.11b): F = h2b/2 2.4 Áp lực thủy tĩnh 2.4.1 Áp lực thủy tĩnh lên một mặt phẳng Áp lực lên thành phẳng là tổng hợp của các lực song song và cùng chiều. Gọi áp lực tổng hợp là P. Ta cần xác định độ lớn và điểm đặt của P (hình 2.14). Kí hiệu C là trọng tâm của diện tích S,  là góc nghiêng của diện tích S so với phương nằm ngang, h là độ sâu của diện tích vi phân dS, po là áp suất khí trên mặt thoáng chất lỏng,  là trọng lượng riêng của chất lỏng. Áp lực tác dụng lên diện tích vi phân dS là: dP = pdS = (po + h)dS = (po + ysin)dS Hình 2.12 Áp lực tác dụng trên toàn bộ diện tích S là: 19   sin sino S o SS P p y dS p dS ydS        S ydS chính là momen tĩnh của diện tích S đối với trục Ox. Do đó: S ydS = yCS Từ đó: P = poS + yCSsin = (po + hC)S Hay: P = pCS (2.14) với po + hC chính là áp suất tác dụng tại điểm C. Kết luận: Áp lực tác dụng lên một diện tích phẳng bằng áp suất tại trọng tâm của diện tích nhân với diện tích đó. Xác định điểm đặt của áp lực Áp dụng định lý Varignon's: “Mômen của hợp lực đối với một trục bằng tổng mômen của các lực thành phần đối với trục đó”. Ở đây ta lấy mômen đối với trục Ox: d D d S P y dP y  Sau khi tích phân ta được: C D C C J y y y S   (2.15) trong đó: yD là toạ độ điểm đặt của áp lực y C là toạ độ trọng tâm C, h C = y C sinα h C là độ sâu trọng tâm J c là mômen quán tính của S ứng với trục song song với Ox và đi qua trọng tâm C. Ví dụ J c của một số hình: - Hình tròn đường kính d: J c = d 4 /64 20 - Hình chữ nhật rộng b cao h: J c = b.h 3 /12 Như vậy điểm đặt áp lực luôn ở sâu hơn trọng tâm của hình phẳng. 2.4.2 Áp lực chất lỏng lên mặt cong Trường hợp đơn giản: mặt cong một chiều abc nằm xiên góc đối với trục Oz và Oy, có cạnh ab song song với trục Oy (hình 2.13). ực tổng cộng tác dụng lên mặt cong có thể viết dưới dạng tổng quát: Do ab  Oy nên Fy = 0. Áp lực dP tác dụng lên diện tích vi phân dS là dF = pdS. Theo phương Ox ta có: dFx = pdSsin = pdSx  Fx = S xpdS = pSx (2.16) Hình 2.13 Với  là góc hợp bởi pháp tuyến của dS với phương Oy, Sx chính là hình chiếu của mặt cong lên phương thẳng đứng Oz hay diện tích a’b’c. Kết luận: ực tác dụng lên mặt cong abc theo phương Ox chính là lực tác 21 dụng lên hình chiếu của mặt cong trên mặt phẳng zOy. Tương tự theo phương Oz ta có: dFz = p.dS.cos = p.dSz  zz S pdSF   Xét Trường hợp áp suất trên mặt thoáng bằng 0: ọi h là khoảng cách từ dA theo phương thẳng đứng đến mặt thoáng ta có: Fz = z z S S hdS hdS   = .W (2.17) với W = z S dS = thể tích (abb’a’c) gọi là thể tích vật áp lực, nó chính là thể tích giới hạn bởi mặt cong và các mặt bên thẳng đứng tựa trên chu vi của mặt cong và mặt thoáng. 2.4.3 Lực đẩy Archimède Nếu bỏ qua chuyển động quay của Trái đất quanh trục thì có thể xem trọng lượng của một vật đúng bằng trọng lực của nó. Định luật Archimède được phát biểu như sau: Khi một vật được nhúng trong một chất lưu, chất lưu sẽ tác dụng lên vật một lực có độ lớn đúng bằng trọng lực của phần chất lưu bị vật chiếm chỗ, phương của lực trùng với phương của trọng lựccủa vật, có chiều ngược với chiều trọng lực. Nếu vật ngập trong chất lưu ở độ sâu h nào đó, vật sẽ chịu tác dụng một áp lực: F = W với  là trọng lượng riêng của chất lỏng, W là thể tích vật áp lực. 2.5 Sự cân bằng một vật trong chất lưu 2.5.1 Vật ngập hoàn toàn trong chất lỏng Ký hiệu C là điểm đặt của trọng lượng của vật, D là điểm đặt của lực đẩy Archimède tác dụng lên vật. Khi vật ngập hoàn toàn trong chất lỏng sẽ có thể có 2 trường hợp xảy ra (hình 2.14). Nếu C nằm ở dưới điểm D, vì một lý do nào đó (ngoại lực tác dụng chẳng hạn) vật bị nghiêng đi, khi không còn tác dụng của ngoại lực vật sẽ tự chuyển về trạng thái cân bằng ban đầu. Đó là trạng thái cân bằng ổn định. 22 Nếu D nằm dưới điểm C, khi vật bị nghiêng đi khỏi vị trí cân bằng ban đầu, nó sẽ không thể tự trở về trạng thái cân bằng ban đầu được. Đó là trạng thái cân bằng không ổn định. Hình 2.14 2.5.2 Vật ngập một phần trong chất lỏng a) b) Hình 2.15 a) Vật nổi cân bằng; b) Vật nổi mất cân bằng Ký hiệu W là thể tích phần vật thể bị chìm trong chất lưu; C là trọng tâm của vật; D là trọng tâm của thể tích phần vật thể bị ngập khi ở vị trí cân bằng nó cũng 23 chính là điểm đặt của lực đẩy Archimède tác dụng lên vật; D' cũng giống như trên nhưng ở vị trí nghiêng; là trọng lượng của vật thể; P là lực đẩy Archimède, bằng trọng lượng chất lưu bị vật chiếm chỗ; M là tâm định khuynh, nó là giao điểm của trục nổi (trục CD) với phương tác dụng của lực đẩy Archimède P khi nghiêng (hình 2.15). Khi góc nghiêng bé, điểm M giữ vị trí không đổi trên trục nổi. ọi α là góc nghiêng; Rm là bán kính định khuynh (độ cao của điểm M so với điểm D); hm l