Giáo trình Đại số đại cương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT F 7 G GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG ĐỖ NGUYÊN SƠN 2000 Đại Số Đại Cương - 2 -MỤC LỤC mục lục ..........................................................................................................................2 CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ ................................................7 1. Tập hợp - Ánh xạ - Quan hệ..................................................................................7 1.1 Tập hợp. ...........................................................................................................7 1.2 Ánh xạ..............................................................................................................8 A, B ⊂ X ⇒ ⎩⎨⎧ ∩⊂∩ ∪=∪ )()()( )()()( BfAfBAf BfAfBAf ....................................................................8 U, V ⊂ Y ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧ ∩=∩ ∪=∪ −−− −−− )()()( )()()( 111 111 VfUfVUf VfUfVUf .........................................................9 1.3 Tập hữu hạn - vô hạn - đếm được....................................................................9 1.4 Quan hệ hai ngôi. ...........................................................................................9 1.5 Quan hệ tương đương. ...................................................................................10 1.6 Mệnh đề .........................................................................................................11 1.7 Quan hệ thứ tự ...............................................................................................12 2. Cấu trúc đại số .....................................................................................................13 2.1 Phép tóan đại số .............................................................................................13 2.2 Các tính chất của phép toán đại số...............................................................14 2.3 Các phần tử đặc biệt......................................................................................15 2.4 Cấu trúc đại số...............................................................................................15 2.5 Các cấu trúc đại số cơ bản .............................................................................16 BÀI TẬP......................................................................................................................18 CHƯƠNG 2: SỐ HỌC TRÊN 9..............................................................................21 1. Số tự nhiên ...........................................................................................................21 1.1 Xây dựng số tự nhiên .....................................................................................21 1.2 Phép cộng trên ∠...........................................................................................21 1.3 Định lí.............................................................................................................22 1.4 Phép nhân trên ∠...........................................................................................23 1.5 Định lí..............................................................................................................23 1.6 Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên.......................................................23 1.7 Định lí: ............................................................................................................23 2. Vành số nguyên ...................................................................................................24 2.1 Xây dựng tập số nguyên ................................................................................24 2.2 Phép cộng ......................................................................................................25 2.3 Phép nhân .....................................................................................................25 2.4 Định lí.............................................................................................................26 2.5 Quan hệ thứ tự trên 9....................................................................................27 3. Sự chia hết trên tập số nguyên...........................................................................27 3.1 Định nghĩa.......................................................................................................27 3.2 Tính chất ( a, b, c, d là các số nguyên) ........................................................27 3.3 Định lí ( phép chia Euclide) ..........................................................................28 3.4 Ước chung lớn nhất (ƯCLN) .........................................................................28 3.5 Định líù ............................................................................................................28 3.6 Hệ quả...........................................................................................................29 Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 3 -3.7 Định líù ............................................................................................................29 3.8 Định lí..............................................................................................................30 3.9 Thuật toán tìm ƯCLN của hai số .................................................................30 4. Số nguyên tố cùng nhau. ....................................................................................30 4.1 Định nghĩa.......................................................................................................30 4.2 Định lí (Bezout) ..............................................................................................31 4.3 Định lí (Gauss) ...............................................................................................31 4.4 Định lí.............................................................................................................31 5 Bội chung nhỏ nhất (BCNN) ...............................................................................32 5.1 Định nghĩa :.....................................................................................................32 5.2 Mệnh đề .........................................................................................................32 5.3 Mệnh đề ..........................................................................................................33 6. Số nguyên tố .......................................................................................................33 6.1 Định nghĩa......................................................................................................33 6.2 Định lí..............................................................................................................33 6.3 Định lí..............................................................................................................33 6.4 Định lí.............................................................................................................34 6.5 Định líù .............................................................................................................34 6.6 Định lí.............................................................................................................34 6.7 Sàng Eratosthène...........................................................................................34 6.8 Định lí ( cơ bản của số học) ..........................................................................35 6.9 Dạng phân tích chính tắc...............................................................................36 6.10 Định lí...........................................................................................................36 6.11 Cách tìm ƯCLN và BCNN........................................................................36 7 Đồng dư .................................................................................................................37 7.1 Định nghĩa......................................................................................................37 7.2 Lớp đồng dư..................................................................................................37 7.3 Tính chất ........................................................................................................38 BÀI TẬP......................................................................................................................39 CHƯƠNG 3: NHÓM...................................................................................................42 1 Nửa nhóm - Vị nhóm ............................................................................................42 1.1 Định nghĩa.......................................................................................................42 1.2 Tích của n phần tử trong nửa nhóm ..............................................................42 1.3 Định lí..............................................................................................................42 1.4 Định lí..............................................................................................................43 2 Nhóm.....................................................................................................................44 2.1 Định nghĩa.......................................................................................................44 2.2 Các tính chất cơ bản của nhóm.....................................................................45 3. Nhóm con ............................................................................................................47 3.1 Định nghĩa......................................................................................................47 3.2 Định lí (tiêu chuẩn để nhận biết một nhóm con) ..........................................47 3.3 Nhóm con sinh bởi một tập con của nhóm ...................................................48 4. Nhóm con chuẩn tắc - Nhóm thương..................................................................49 4.1 Lớp kề - Quan hệ tương đương xác định bởi một nhóm con .......................49 4.2 Mệnh đề .........................................................................................................50 Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 4 -4.3 Định lí (Lagrange) .........................................................................................51 4.4 Nhóm con chuẩn tắc ......................................................................................51 4.5 Nhóm thương .................................................................................................52 5. Đồng cấu nhóm....................................................................................................54 5.1 Định nghĩa.......................................................................................................54 5.2 Ảnh và nhân của đồng cấu ...........................................................................55 5.3 Các tính chất của đồng cấu nhóm.................................................................55 5.4 Định lí ( cơ bản của đồng cấu nhóm).............................................................57 5.5 Hệ quả.............................................................................................................58 6. Nhóm cyclic .........................................................................................................58 6.1 Định nghĩa.......................................................................................................58 6.2 Cấp của một phần tử trong nhóm .................................................................58 6.3 Định lí ( phân loại nhóm tuần hoàn)..............................................................59 7. Tác động của một nhóm lên một tập hợp...........................................................59 7.1 Định nghĩa:......................................................................................................59 7.2 Nhóm con ổn định của một phần tử..............................................................60 7.3 Quỹ đạo của một phần tử..............................................................................60 8. Nhóm đối xứng ....................................................................................................60 8.1 Định nghĩa.......................................................................................................60 8.2 Định lí (Ceyley) ..............................................................................................61 8.3 Nhóm đối xứng Sn..........................................................................................61 8.4 r - chu trình....................................................................................................61 8.5 Tính chất .........................................................................................................62 8.6 Định lí.............................................................................................................62 8.7 Định liù .............................................................................................................62 8.8 Hệ quả.............................................................................................................63 BÀI TẬP......................................................................................................................65 CHƯƠNG 4: VÀNH VÀ TRƯỜNG..........................................................................70 1. Vành và trường ....................................................................................................70 1.1 Định nghĩa......................................................................................................70 1.2 Các tính chất .................................................................................................71 2. Vành con – Trường con........................................................................................72 2.1 Định nghĩa.......................................................................................................72 2.2 Định lí (tiêu chuẩn nhận biết một vành con).................................................73 2.3 Định lí (tiêu chuẩn nhận biết một trường con) ............................................73 3. Ideal - Vành thương .............................................................................................74 3.1 Định nghĩa.......................................................................................................74 3. 2 Ideal chính.....................................................................................................75 3. 3 Vành thương..................................................................................................75 4. Đồng cấu vành .....................................................................................................76 4.1 Định nghĩa.......................................................................................................76 4.2 Các tính chất của đồng cấu vành...................................................................77 4.3 Định lí ( cơ bản của đồng cấu vành).............................................................78 4.4 Hệ quả............................................................................................................78 4.5 Đặc số của vành .............................................................................................78 Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 5 -5. Các định lí nhúng đẳng cấu .................................................................................78 5.1 Định lí (nhúng đẳng cấu một vị nhóm)..........................................................78 5.2 Định lí ( nhúng đẳng cấu một vành nguyên).................................................80 6. Số học trên vành nguyên - Vành chính - Vành Euclide - Vành Gauss ............82 6.1 Các định nghĩa ................................................................................................82 6.2 Các tính chất .................................................................................................83 6.3 Vành chính .....................................................................................................84 6.4 Định líù .............................................................................................................84 6.5 Định lí..............................................................................................................85 6.6 Vành Euclide ................................................................................................86 6.7 Định lí..............................................................................................................86 6.8 Thuật tóan tìm ƯCLN....................................................................................86 6.9 Vành Gauss (Vành nhân tử hóa)...................................................................87 6.10 Định lí............................................................................................................88 6.11 Định lí............................................................................................................89 BÀI TẬP......................................................................................................................91 CHƯƠNG 5: VÀNH ĐA THỨC.............................................................................96 1 Vành đa thức một biến .........................................................................................96 1.1 Định nghĩa......................................................................................................96 1.2 Định lí.............................................................................................................97 1.3 Định lí..............................................................................................................97 1.4 Định lí..............................................................................................................98 1.5 Không điểm của đa thức ...............................................................................99 1.6 Định lí............................................................................................................100 1.7 Cấp của không điểm ..................................................................................100 1.8 Định lí............................................................................................................100 1.9 Định lí............................................................................................................100 1.10 Định lí..........................................................................................................101 1.11 Hàm đa thức................................................................................................101 1.12 Định lí..........................................................................................................102 1.13 Định lí.........................................................................................................103 2. Vành đa thức nhiều biến ...................................................................................104 2.1 Định nghĩa.....................................................................................................104 2.2 Cách sắp xếp đa thức theo lối tự điển .......................................................105 2.3 Định lí...........................................................................................................105 2.4 Đa thức đối xứng ........................................................................................106 2.5 Định lí...........................................................................................................106 2.6 Định lí...........................................................................................................107 3. Các đa thức trên trường số ................................................................................108 3.1 Định lí (d' Alermbert) ...................................................................................108 3.2 Định lí............................................................................................................108 3.3 Định lí ( tiêu chuẩn Eisenstein) ..................................................................109 BÀI TẬP....................................................................................................................110 PHỤ LỤC ..................................................................................................................112 1. Trường số thực ..................................................................................................112 Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 6 -1.1 Lát cắt hữu tỉ................................................................................................112 1.2 Các quan hệ trên 3 . ......................................................................................112 1.3 Phép cộng .....................................................................................................113 1.4 Phép nhân .....................................................................................................113 2. Trường số phức ..................................................................................................113 2.1 Xây dựng số phức .........................................................................................113 2.2 Định lí (d' Alermbert) ...................................................................................115 Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 7 -CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 1. Tập hợp - Ánh xạ - Quan hệ. 1.1 Tập hợp. • Tập hợp là một khái niệm ban đầu. Tập hợp được mô tả như một tòan thể nào đó bao gồm những đối tượng nào đó có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất định. Các đối tượng lập nên tập hợp gọi là phần tử. Ta thường kí hiệu các tập hợp bằng các chữ cái A, B, X, Y.... còn các phần tử của chúng bằng các chữ cái nhỏ a, b, x, y Có hai cách để xác định một tập hợp, một là liệt kê ra tất cả các phần tử của nó, A = {a1 ,a2 ,an }; hai là miêu tả đặc tính các phần tử tạo nên tập hợp, X = {x : x có tính chất E }. Nếu a là phần tử của tập hợp A thì ta viết a A. Nếu a không là phần tử của tập hợp A thì ta viết a ∈∉A. Tập hợp không chứa một phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng và kí hiệu là ∅ . Ví dụ, các tập hợp số mà ta đã quen biết : tập các số tự nhiên (không có số 0) ∠ = {1, 2, 3, , n,}; tập số tự nhiên (với số 0), ∠0 = {0,1, 2, , n,}; tập các số nguyên 9 = {0, ± 1, ± 2,, n,}; tập các số hữu tỉ Θ = {± nm : m∈9, n∈∠}; tập các số thực 3; tập các số phức ∀ = {a + bi : a,b ∈ 3}. • Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là các phần tử của tập hợp B thì ta nói A nằm trong B, hay B chứa A, hay A là tập con của B , và kí hiệu là A ⊂ B hoặc B A. ⊃ trong các tập hợp A và được kí hiệu là B = A VÍ DỤ: ∪ [0, 1 – • Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập hợp đã cho. Hợp của hai tập hợp được kí hiệu là A∪ B. Hợp của họ các tập hợp {A } là một tập hợp B gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một α α∪ α α ∞• =1n n 1 ] = [0, 1) ợ ệu là A B. • Giao của họ các tập hợp {A } là một tập hợp B gồm tất cả các phần tử đồng ïc kí hiệu là B =• Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử đồng thời thuộc tập hợp A và tập hợp B. Giao của hai tập hợp đư c kí hi ∩α α∩ A α . thời thuộc vào mọi tập hợp A α và đươ • VÍ DỤ: =∩1n [– ∞ n , 1 n ] = {0} 1B A A • Hợp và giao các tập hợp có các tính chất 1) A = B ∪ ∩ B = B ∩ A (Giao hóa∪ n) 2) A (B C) = (A B) C A∪ ∪ ∪ ∪ ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Kết hợp) Đỗ Nguyên Sơn Khoa Toán Tin Đại Số Đại Cương - 8 -3) A A ) = (A A ) A∩ ( α α α∪ α ∪ ∩ α ∪ ( ∩ A ) = α α∩ (A A ) (Phân phối) tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử của tập hợp mà không phải là phần tử của tập hợp B. Hiệu của hai tập hợp được kí hiệu là A A và B là tập hợp (A – B) (B – A). Hiệu đối ∪ α • Hiệu của haiA\ B hay A – B Hiệu đối xứng của hai tập hợp• ∪xứng của hai tập hợp được kí hiệu là A ∆ B. Rõ ràng rằng A ∆ B = B ∆ A. • Tích trực tiếp hay tích Descartes của hai tập hợp A và B la