Giáo trình Phương trình nghiệm nguyên - Nguyễn Tiến Tài

MỤC LỤC Mở đầu..................................................................................................................................... 2 Chương I. Phương trình Diophante bậc nhất..................................................................... 4 Bài 1. Điều kiện có nghiệm...................................................................................................... 4 Bài 2. Giải phương trình Diophante bậc nhất......................................................................... 4 Bài 3. Phương trình bậc nhất hai ẩn....................................................................................... 6 Bài tập chương I..................................................................................................................... 10 Chương II. Phương trình Pell............................................................................................... 12 Bài 1. Tập hợp nghiệm............................................................................................................. 12 Bài 2. Giải phương trình Pell bằng liên phân số..................................................................... 15 Bài 3. Giải phương trình Pell loại 2........................................................................................ 18 Bài 4. Sự tồn tại nghiệm của phương trình Pell...................................................................... 23 Bài 5. Phương trình Pell tổng quát.......................................................................................... 25 Bài 6. Phương trình liên quan đến phương trình Pell............................................................. 30 Bài tập chương II.................................................................................................................... 32 Chương III. Bài toán Fermat................................................................................................ 34 Bài 1. Phương trình xn + yn = zn.............................................................................................. 34 Bài 2. Phương trình Pythagore................................................................................................ 34 Bài 3. Một vài mở rộng của phương trình Pythagore.............................................................. 36 Bài 4. Chứng minh định lí Fermat với n = 4........................................................................... 37 Bài 5. Chứng minh định lí Fermat với n = 3........................................................................... 39 Bài 6. Chứng minh bổ đề Euler............................................................................................... 41 Bài tập chương III.................................................................................................................. 47 Bài tập nghiên cứu.................................................................................................................. 49 Lời giải - hướng dẫn – đáp số............................................................................................... 50 Chương I.................................................................................................................................. 50 Chương II................................................................................................................................. 52 Chương III................................................................................................................................ 58 Bảng chỉ dẫn về thuật ngữ....................................................................................................... 63 Tài liệu tham khảo.................................................................................................................... 64 MỞ ĐẦU Phương trình dạng trong đó F = là một đa thức của các biến với hệ số nguyên, thường được gọi là phương trình Diophante hay phương trình nghiệm nguyên. Giải phương trình Diophante nghĩa là tìm các số nguyên thỏa mãn phương trình. Phương trình Diophante là một lĩnh vực nghiên cứu rất phong phú và rộng lớn của Toán học. Định lí lớn Fermat: “Phương trình không có nghiệm khác 0 với ” là một bài toán về phương trình Diophante. Việc giải các bài toán về phương trình Diophante đã thúc đẩy sự phát triển của Toán học, làm nảy sinh những ngành Toán học mới. Không có một phương pháp chung nào cho việc giải các phương trình Diophante. Tuy nhiên, đối với một số lớp phương trình Diophante nào đó đã có câu trả lời trọn vẹn về sự có nghiệm cũng như cách tìm các nghiệm của nó. Chương I của quyển sách này trình bày về phương trình Diophante bậc nhất nhiều ẩn. Mặc dù sinh viên đã được học về phương trình Diophante bậc nhất hai ẩn trong giáo trình Số học của Cao đẳng Sư phạm nhưng để đảm bảo tính hệ thống, trong giáo trình này vẫn trình bày lại các kết quả đó. Chương II được dành để trình bày các kết quả rất phong phú và lí thú về một lớp phương trình Diophante bậc hai, hai ẩn là phương trình Pell. Chương III đề cập đến phương trình Pythagore và lời giải của bài toán Fermat với n = 4 và n = 3. Lời giải của bài toán Fermat với n = 3 đợc trình bày đúng như lịch sử của nó. Điều đó nhằm để người học có dịp thấy được sự phát triển logic của tư tưởng Toán học thông qua một ví dụ cụ thể. Lời giải này cũng dẫn người học đến ngưỡng cửa của Lí thuyết Số đại số. Trong khuôn khổ của một giáo trình chuyên đề cho sinh viên ngành Toán của các trường Cao đẳng Sư phạm, quyển sách này chỉ đòi hỏi ở độc giả những kiến thức cơ bản của đại số đại cương về các cấu trúc vành và trường, và các kiến thức số học về tính chia hết, số nguyên tố, lí thuyết đồng dư và về liên phân số. Theo tinh thần đổi mới, giáo trình này cũng chú trọng trình bày các thuật toán giải phương trình và đề xuất những bài tập có tính chất nghiên cứu để sinh viên có thể tự tìm hiểu về những vấn đề mở rộng và sâu sắc hơn ngoài giáo trình. Giáo trình này đã được bổ sung và sửa chữa trong quá trình tác giả giảng dạy ở lớp chuyên đề dành cho sinh viên K52 khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội. Tác giả cảm ơn các sinh viên của lớp về những nhận xét và về nhiều bài tập các bạn đã cung cấp để bổ sung vào giáo trình. Tác giả cũng trân trọng cảm ơn GS. Đoàn Quỳnh, PGS.TSKH. Đặng Hùng Thắng và TS. Trần Phương Dung đã đọc bản thảo và cho nhiều nhận xét quý báu. Cuối cùng, qua quyển sách, tác giả hi vọng gây được sự hứng thú cho người đọc đối với phương trình Diophante, một vấn đề rất cổ điển, nhưng có tính thời sự này của Toán học. Tác giả xin chân thành cảm ơn những nhận xét quý báu của bạn đọc. Tác giả BẢNG CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ TẮT SỬ DỤNG TRONG SÁCH Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số tự nhiên khác 0 Tập hợp số nguyên Tập hợp số hữu tỉ Liên phân số Giản phân cấp k của liên phân số Phép gán b cho a (x, y), (x, y, z) Cặp số nguyên, bộ ba số nguyên d = ƯCLN(x, y) d là ước chung lớn nhất của x và y Kí hiệu Legendre Chuẩn của a đồng dư với b theo môđun m a \ b a chia hết b a mod b Số dư trong phép chia a cho b CHƯƠNG I. PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE BẬC NHẤT Bài 1. ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM Phương trình Diophante bậc nhất là phương trình dạng: (1) trong đó và là những số nguyên không đồng thời bằng 0. Kí hiệu d = ƯCLN(a1, a2,..., an) là ước chung lớn nhất của a1, a2,..., an. Ta có định lí sau: 1.1. Định lí Điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có nghiệm nguyên là d | b. Chứng minh Giả sử phương trình (1) có nghiệm nguyên. Khi đó tồn tại các số nguyên b1, b2,..., bn sao cho Từ đẳng thức trên suy ra mọi ước chung của a1, a2,..., an đều là ước của b. Đặc biệt, d | b. Ngược lại, giả sử d | b. Ta có, chẳng hạn b = dq. Vì d là ước chung lớn nhất của a1, a2,..., an nên tồn tại các số nguyên k1, k2,..., kn sao cho Nhân cả hai vế của đẳng thức trên với q, với chú ý rằng b = dq, ta được: Vậy phương trình (1) có nghiệm là x1 = k1q, x2 = k2q,..., xn = knq. Định lí được chứng minh. 1.2. Định lí Nếu phương trình (1) có nghiệm thì nó có vô số nghiệm. Chứng minh Giả sử x1 = b1, x2 = b2,..., xn = bn là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là: Đặt và ở đây t1, t2,..., tn-1 là những số nguyên tuỳ ý. Dễ kiểm tra được rằng khi đó y1, y2,..., yn cũng là nghiệm của phương trình (1). Thật vậy, ta có: Cho t1, t2,..., tn-1 độc lập với nhau nhận các giá trị nguyên tùy ý, ta được một tập hợp vô hạn các nghiệm của phương trình (1). Bài 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE BẬC NHẤT Giả sử phương trình (1) có nghiệm. Để trình bày thuật toán giải phương trình này, trước hết ta hãy xét hai trường hợp đặc biệt sau: 2.1. Phương trình có một hệ số của ẩn bằng Giả sử phương trình (1) có một hệ số của ẩn bằng chẳng hạn a1 = 1, khi đó nó có dạng Chuyển các số hạng chứa ẩn x2,..., xn sang phải ta được Cho x2,..., xn các giá trị nguyên tuỳ ý x2 = t2,..., xn = tn, ta được: Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là: trong đó t2,..., tn là những số nguyên tuỳ ý. Ví dụ. Giải phương trình: 3x – y + 4z = 2. Từ phương trình suy ra: y = 3x + 4z – 2. Đặt x = u, z = v ta được y = 3u + 4v – 2. Vậy tập nghiệm của phương trình là: x = u, y = 3u + 4v – 2, z = v, với u, v là những số nguyên tuỳ ý. 2.2. Phương trình có các hệ số khác 0 của ẩn bằng nhau về trị tuyệt đối Giả sử phương trình (1) có các hệ số khác 0 của ẩn đều bằng nhau về trị tuyệt đối và bằng c. Khi đó do điều kiện có nghiệm của (1) ta phải có c | b. Chia hai vế của phương trình cho c, ta được một phương trình có hệ số của ẩn bằng 1, đã xét ở trên. Chú ý khi giải phương trình (1) ta không cần chú ý đến các ẩn với hệ số bằng 0. Các ẩn này sẽ nhận các giá trị nguyên tuỳ ý độc lập với nhau và độc lập với các giá trị của các ẩn khác. Ví dụ. Giải phương trình: Chia hai vế cho 3 ta được phương trình: Hay Đặt ta được: Vậy nghiệm của phương trình là: với u, v, k, t là những số nguyên tuỳ ý. 2.3. Phương trình Diophante bậc nhất tổng quát Ta có thể đưa một phương trình Diophante bậc nhất tổng quát về một trong hai dạng đặc biệt trên nhờ thuật toán sau: Giả sử các hệ số của phương trình (1) không bằng nhau tất cả, và giả sử Thực hiện phép chia có dư cho : Khi đó hai số hạng đầu của phương trình được viết thành: Bằng phép đổi biến số: ta đưa phương trình (1) về một phương trình mới đối với các ẩn trong đó hệ số của là thoả mãn điều kiện Nếu đã tìm được các nghiệm nguyên của phương trình này thì ta cũng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình (1). Như vậy, thực hiện phép biến đổi trên ta luôn có thể đưa phương trình đang xét về một phương trình có hệ số của ẩn nhỏ hơn về giá trị tuyệt đối. Nhưng một dãy số tự nhiên giảm dần bị chặn dưới bởi 0, nên sau hữu hạn phép biến đỏi như vậy ta đưa được phương trình đã cho về một phương trình có một hệ số của ẩn bằng hoặc tất cả các hệ số khác 0 của ẩn bằng nhau về trị tuyệt đối. Ví dụ 1. Giải phương trình: 3x – 7y + 5z = 2. Ta có 7 = 3.2 + 1. Do đó phương trình có thể viết thành 3(x – 2y) – y + 5z = 2. Đặt u = x – 2y, ta được phương trình: 3u – y + 5z = 2 hay y = 3u + 5z – 2. Phương trình có nghiệm Từ u = x – 2y, suy ra x = u + 2y = k + 2(3k + 5t – 2) hay x = 7k + 10t – 4. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: Ta nói các nghiệm của phương trình phụ thuộc hai tham số. Ví dụ 2. Một người mua ba loại rau là bắp cải, xu hào và khoai tây hết 50.000đ. Hỏi người đó đã mua mỗi thứ bao nhiêu kilôgam, biết rằng giá của bắp cải, xu hào, khoai tây tương ứng là 3000đ, 4000đ, 5000đ một kilôgam, số kilôgam mỗi loại là một số nguyên và số khoai tây không ít hơn 7kg. Giải Gọi x, y, z là số kilôgam bắp cải, xu hào, khoai tây mua được. Ta có phương trình: 3000x + 4000y + 5000z = 50000 Hay Đặt u = x + y, ta được phương trình 3u + y + 5z = 50 Suy ra y = 50 – 3u – 5z. Tập hợp nghiệm của phương trình này là: Ta có: x = u – y = k – (50 – 3k – 5t) = 4k + 5t – 50. Vậy phương trình xuất phát có nghiệm là: Theo giả thiết Với t = 7, ta được x = 4k – 15, y = 15 – 3k. Vì x > 0, y > 0 nên suy ra k = 4. Vậy x = 1, y = 3, z = 7. Với t = 8, ta được x = 4k – 10, y = 10 – 3k. Để x > 0, y > 0 thì k = 3. Vậy x = 2, y = 1, z = 8. Với không có số nguyên k nào để đồng thời có x > 0 và y > 0. Kết luận số bắp cải, xu hào, khoai tây tương ứng đã mua là 1kg, 3kg, 7kg hoặc 2kg, 1kg, 8kg. Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE BẬC NHẤT HAI ẨN Xét phương trình Diophante bậc nhất hai ẩn: ax + by = c (2) với Kí hiệu d = ƯCLN(a, b). Đây là trường hợp đặc biệt của phương trình Diophante bậc nhất tổng quát. Trường hợp này đã được xét trong giáo trình Lí thuyết số (xem [5], [11]) như một áp dụng của lí thuyết chia hết. Tuy nhiên, vì tính hệ thống của vấn đề, ở đây ta cũng trình bày lại kết quả về tập hợp nghiệm và cách giải phương trình (2). Theo định lí 1.1. điều kiện cần và đủ để phương trình (2) có nghiệm là d | c. Định lí dưới đây cho thấy rằng tập hợp nghiệm của phương trình (2) sẽ hoàn toàn được xác định khi biết một nghiệm riêng của nó. 3.1. Định lí Nếu là một nghiệm của phương trình (2) thì tập hợp các nghiệm (x, y) của phương trình (2) được xác định bởi hệ thức: (3) Chứng minh Dễ thấy, mỗi cặp số nguyên (x, y) dạng (3) với t là một số nguyên tuỳ ý đều là nghiệm của phương trình (2). Thật vậy, ta có: Ngược lại, giả sử (x, y) là một nghiệm tuỳ ý của phương trình (2), vì cũng là một nghiệm của phương trình nên ta có đồng thời hai đẳng thức: Trừ các vế tương ứng của hai đẳng thức này ta được: (4) hay Đẳng thức này chứng tỏ chia hết cho b. Từ đó suy ra: chia hết cho Vì d là ước chung lớn nhất của a và b, nên và nguyên tố cùng nhau và từ khẳng định trên suy ra: chia hết cho Hay tồn tại số nguyên t sao cho: Vậy Thay kết quả này vào (4) ta được: Từ đó suy ra: Đó là điều phải chứng minh. Chú ý. Định lí 3.1. cho thấy để giải phương trình (2) ta chỉ cần tìm một nghiệm riêng của nó. Dưới đây ta sẽ trình bày các phương pháp tìm một nghiệm riêng của phương trình (2). Nhưng trước hết ta trình bày một thuật toán giải phương trình này dựa theo phương pháp giải phương trình Diophante bậc nhất tổng quát. 3.2. Thuật toán Euclide giải phương trình bậc nhất hai ẩn Trước hết, ta luôn có thể coi các hệ số a, b của phương trình (2) là những số nguyên dương. Nếu chẳng hạn, a < 0 thì bằng phép đổi biến số x’ = -x ta được phương trình có hệ số của x dương. Giả sử a > b. Thực hiện phép chia a cho b, ta được: Nếu r = 0 thì b = ƯCLN(a, b) | c và phương trình (2) có dạng: bqx + by = c. Chia hai vế cho b ta được: qx + y = c1, (c = bc1). Phương trình có nghiệm là: Nếu r > 0 thì phương trình (2) có dạng: (bq + r)x + by = c hay b(qx + y) + rx = c. Đặt ta được phương trình (5) Trong đó b < a, r < b. Lại tiếp tục thực hiện thuật toán trên với phương trình (5), bằng cách chia b cho r: Thuật toán sẽ dừng lại sau khi ta gặp phép chia có dư bằng 0. Thuật toán sẽ dừng lại sau hữu hạn bước vì dãy các số dư là dãy số tự nhiên đơn điệu giảm: b > r > r1 > ... Do đó đến một lúc nào đó phải có rn = 0. Nhận xét rằng thuật toán trình bày trên chính là thuật toán Euclide để tìm ước chung lớn nhất của a và b. Vậy ta có thuật toán giải phương trình: ax + by = c với a > b > 0 như sau: Chia a cho b: a = bq + r, Nếu r = 0 ta viết nghiệm: Nếu r > 0 thì thực hiện các phép gán: Ví dụ. Giải phương trình: 107x + 21y = 5. Chia 107 cho 21 ta được: 107 = 21.5 + 2. Đặt x1 = 5x + y, y1 = x, ta được phương trình: 21x1 + 2y1 = 5. Chia 21 cho 2 ta được: 21 = 2.10 + 1. Đặt x2 = 10x1 + y1, y2 = x1, ta được phương trình: 2x2 + y2 = 5. Phương trình cuối cùng có nghiệm là: Thay ngược lên ta được: x1 = y2 = 5 – 2t 10x1 + y1 = x2 = t Hay x = y1 = 21t – 50 5x + y = x1 = 5 – 2t Hay x = 21t – 50 y = 5 – 2t – 5(21t – 50) = -107t + 255. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 3.3. Tìm một nghiệm riêng bằng liên phân số Với giá thiết phương trình (2) có nghiệm, ta có d = ƯCLN(a, b) là ước của c. Chia cả hai vế của phương trình cho d ta được một phương trình, trong đó các hệ số của x và y nguyên tố cùng nhau. Vì vậy ta luôn có thể giả thiết phương trình (2) các hệ số a, b nguyên tố cùng nhau. Giả sử số hữu tỉ có biểu diễn liên phân số như sau: và là các giản phân của liên phân số này. Theo công thức về các giản phân ta có: Mặt khác, ta có: và vì và đều là những phân số tối giản, nên ta có Vậy: Từ đó suy ra: Hay là một nghiệm riêng của phương trình (2). Ví dụ. Giải phương trình: 147x + 60y = 6. Ta thấy ƯCLN(147, 60) = 3 | 6. Chia hai vế cho 3 ta được: 49x + 20y = 2. Để khai triển thành liên phân số, ta thực hiện thuật toán Euclide giữa 49 và 20. 49 20 20 9 2 9 2 2 2 1 4 0 2 Vậy Để tính các giản phân của liên phân số này ta lập bảng: 2 4 2 2 2 5 22 49 1 2 9 20 Ta có: Hay Vậy là một nghiệm riêng của phương trình. Phương trình có nghiệm là: 3.4. Giải phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đưa về phương trình đồng dư bậc nhất Dễ thấy phương trình ax + by = c tương đương với hệ: Vì vậy để giải phương trình (2) ta cần giải phương trình đồng dư với ƯCLN(a, b) = 1. Ta đã biết cách giải phương trình đồng dư này qua giáo trình Lý thuyết số. Ví dụ. Giải phương trình: 107x + 43y = 5. Trước hết, ta giải phương trình đồng dư hay Vì ƯCLN(21, 43) = 1 và nên theo định lí Euler ta có: Từ đó suy ra: Vậy nghiệm của phương trình đồng dư là: hay Từ đó suy ra: x = -10 + 43t và Nghiệm của phương trình đã cho là: Chú ý. Ứng dụng định lí Euler, ta dễ dàng viết được nghiệm của phương trình đồng dư với ƯCLN(a, b) = 1 là Tuy nhiên, khi khá lớn thì việc tính theo mod b không phải dễ dàng. giả hãy tự kiểm tra kết quả trong ví dụ trên: từ suy ra Ta có thể giải phương trình đồng dư theo thuật toán sau: Chú ý bằng cách thay a bởi dư trong phép chia a cho b, nếu cần, ta luôn có thể giả thiết 0 < a < b. Nếu ta tìm được số nguyên y sao cho c – by chia hết cho a thì nghiệm của phương trình sẽ là: Nhưng việc tìm số nguyên y thoả mãn điều kiện trên, về thực chất, là giải phương trình đồng dư: Nghĩa là, ta đã đưa việc giải phương trình đồng dư bậc nhất đã cho về giải một phương trình như vậy, nhưng với môđun nhỏ hơn. Tiếp tục làm như thế với phương trình mới nhận được, sau hữu hạn bước ta được phương trình đồng dư với môđun đủ nhỏ để có thể thấy ngay được nghiệm. Ta có thuật toán đệ quy sau để giải phương trình đồng dư: ở đây b mod a kí hiệu dư trong phép chia b cho a. Ví dụ. Giải phương trình: Đặt với y nghiệm đúng phương trình: hay (vì 43 mod 21 = 1). Ta lấy y = 5 được Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: BÀI TẬP CHƯƠNG I 1. Giải các phương trình bậc nhất ba ẩn: a) 5x + 7y + 18z = 2 b) 4x – 10y + 11z = -5 2. Hãy tự đặt một bài toán mà lời giải của nó dẫn đến việc giải một phương trình bậc nhất có ít nhất ba ẩn và giải bài toán đó. 3. Giải các phương trình sau, bằng cách sử dụng thuật toán giải phương trình Diophante bậc nhất. a) 73x – 105y = 6. b) 140x + 63y = 91. 4. Giải các phương trình sau, bằng cách tìm một nghiệm riêng của nó nhờ liên phân số: a) 35x + 83y = -1 b) 321x – 129y = 15. 5. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình đồng dư bậc nhất. a) 47x + 101y = 2 b) -85x + 230y = 100. 6. Tìm một số nguyên, biết rằng khi chia số đó cho 5, cho 7 và cho 9 ta được các số dư tương ứng là 1, 3 và 6. 7. Tìm các số nguyên x, biết rằng khi chia x cho 13 và cho 17 được các số dư tương ứng là 4 và 9. 8. Tìm các số nguyên x biết rằng x chia hết cho 11 còn 2x + 3 thì chia hết cho 25. 9. Hãy sưu tầm và hệ thống các bài tập trong các sách giáo khoa phổ thông mà có thể giải bằng phương trình Diophante bậc nhất. 10. Giải và biện luận theo tham số mcác phương trình Diophante sau: a) 12x – 19y = 5m + 4 b) 21x + 36y = 2m + 5. 11. Cho ƯCLN(a, b) = 1. Hãy giải phương trình ax + by = ab. 12. Tìm các nghiệm nguyên dương của các phương trình sau: a) x + y = xy b) x + y + z = xyz. 13. Cho a, b là hai số nguyên dương, ƯCLN(a, b) = 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên c: a) phương trình ax + by = c chỉ có cùng lắm hữu hạn nghiệm nguyên dương; b) phương trình ax – by = c có vô hạn nghiệm nguyên dương. 14. Cho a, b là hai số nguyên dương, ƯCLN(a, b) = 1. Chứng minh rằng phương trình ax + by = c có nghiệm nguyên dương với mọi số nguyên c > ab. 15. Cho a, b là hai số nguyên dương, ƯCLN(a, b) = 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì phương trình ax + by = c có nghiệm nguyên không âm. 16. Hãy sưu tầm và giải các bài toán dân gian về phương trình Diophante bậc nhất. Dưới đây là một số ví dụ. a) Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Đủ ba sáu con Một trăm chân chẵn Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó? b) Một đàn em nhỏ đứng ven sông To nhỏ cãi nhau chuyện chia bòng Mỗi em năm quả còn năm quả Mỗi em sáu quả một em không Hỏi chàng trai trẻ đang dừng bước Có mấy em thơ, mấy quả bòng? c) Đem một trăm đồng chẵn Mua gà được trăm con Năm đồng mỗi con trống Con mái ba đồng tròn Mỗi đồng ba gà chiếp (gà con) Hỏi mỗi loại mấy con? CHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH PELL BÀI 1. TẬP HỢP NGHIỆM Xét phương trình vô định dạng: (1) trong đó d là một số nguyên. Nhận xét rằng phương trình (1) bao giờ cũng có hai nghiệm Ta gọi đó là các nghiệm tầm thường của phương trình (1). Dễ thấy rằng: Nếu d < -1 thì phương trình (1) chỉ có nghiệm tầm thường. Nếu d = -1 thì phương trình (1) có 4 nghiệm là và Nếu d = 0 thì phương trình có vô số nghiệm là y nhận giá trị nguyên tuỳ ý. Nếu d là một số chính phương, thì phương trình (1) có dạng: Dễ thấy khi đó phương trình chỉ có nghiệm tầm thường. Với các nhận xét trên, ta chỉ xét phương trình (1) với giả thiết d là một số tự nhiên không phải là số chính phương. Phương trình (1) với điều kiện như vậy được mang tên nhà Toán học người anh J.Pell (1611 – 1685). Giải phương trình Pell nghĩa là tìm các nghiệm không tầm thường của nó. Dưới đây ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường của phương trình Pell, nhưng trước hết ta có mệnh đề sau: 1.1. Mệnh đề Nếu phương trình Pell có nghiệm không tầm thường thì nó có vô số nghiệm. Chứng minh Giả sử là một nghiệm không tầm thường của phương trình (1), nghĩa là và Đặt ta có: Vậy cũng là một nghiệm của phương trình (1) và rõ ràng Lập lại lí luận trên với các nghiệm ,... ta xây dựng được một tập vô hạn các nghiệm của phương trình (1), xác định theo công thức truy hồi sau: (2) Chú ý. Công thức truy hồi (2) không bao gồm tất cả các nghiệm của phương trình (1). Nhận xét rằng nếu (x, y) là một nghiệm của phương trình (1) thì cũng là những nghiệm của phương trình (1), vì thế chúng ta chỉ cần đề cập đến các nghiệm nguyên dương của (1). Kí hiệu N là tập hợp các nghiệm nguyên dương của phương trình Pell (1). Dưới đây ta giả thiết N Ta có bổ đề sau: 1.2. Bổ đề Giả sử N. Khi đó ta có khi và chỉ khi Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết ta có: Từ đó suy ra: Vì đều là những số nguyên dương nên đẳng thức cuối cùng chứng tỏ khi và chỉ khi 1.3. Định nghĩa Giả sử N. Ta định nghĩa: nếu và Bổ đề 1.2 chứng tỏ quan hệ định nghĩa trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trên N và hơn nữa N cùng quan hệ trên là một tập sắp thứ tự tốt. Ta cũng thấy ngay kết quả sau. 1.4. Bổ đề Với N, ta có khi và chỉ khi (3) Chứng minh Hiển nhiên, nếu thì và , do đó Ngược lại, nếu có thì không thể xảy ra đồng thời các bất đẳng thức và Khi đó theo bổ đề 1.2. phải có và hay . Chú ý. Hơn nữa, vì là một số vô tỉ nên ta có khi và chỉ khi Do (N, ) là một sắp thứ tự tốt, nên tồn tại phần tử nhỏ nhất. Phần tử này được gọi là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell. Định lí dưới đây nói lên vai trò của nghiệm nhỏ nhất. 1.5. Định lí Nếu là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell (1), thì tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình này được xác định bởi công thức: (4) với n = 1, 2,... Chứng minh Hiển nhiên các số xác định theo công thức (4) là những số nguyên dương. Trước hết, từ hệ thức (4) ta suy ra: (5) với n = 1, 2,... Từ công thức (5) ta suy ra Vậy là một nghiệm nguyên dương của phương trình (1) với mọi và tập hợp lập thành một dãy đơn điệu tăng trong N . Vì Ngược lại, giả sử (x, y)N, ta chứng minh tồn tại sao cho Giả sử phản chứng Khi đó do là nghiệm nhỏ nhất, và do tính đơn điệu tăng của dãy suy ra tồn tại sao cho: hay Nhân các vế của bất đẳng thức kép trên với chú ý rằng và ta được hay Đặt với Ta chứng minh (u, v) là một nghiệm nguyên dương của (1). Thật vậy: Mặt khác, nếu là các nghiệm của (1) thì và do đó Đồng thời từ chỗ: và suy ra hay do đó v > 0. Như vậy, (u, v) là một nghiệm nguyên dương của (1) thoả mãn bất đẳng thức: Điều này mâu thuẫn với giả thiết là nghiệm nhỏ nhất của (1). Định lí được chứng minh. Hệ quả. Từ phép chứng minh định lí, ta có công thức truy hồi để tính các nghiệm của phương trình (1) như sau: (6) Thật vậy, theo hệ thức (5) ta có: Từ đó, do là một số vô tỉ và là những số nguyên, ta suy ra hệ thức (6). 1.6. Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell bằng cách thử trực tiếp Từ định lí 1.5. suy ra để giải phương trình Pell ta cần tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của nó, sa