Hệ thống kiến thức Hình học

Hệ thống kiến thức Hình học GV: Nguyễn Thị Hồng Lan Hình học 7 I/ Hai đường thẳng song song, vuông góc 1) a  b = A ; a  c = B ; A B  a // b 2) a // c ; b // c  a // b 3) a  c ; b  c  a // b 4) a // b ; b  c  a  c 2/ Góc tạo bởi 2 đường thẳng song song c  d = A ; c  d' = B ; a // b  1 1A B (đv) ; 4 2A B (slt) ; o1 2A B 180  (tcp) 3/ Tam giác 1/ ABC  oA B C 180   2) ABC có o oA 90 B C 90    3/ ABC  2B A C  4) ABC  2 2B A ; B C  5) AB = DE ; BC = EF ; CA = FD  ABC = DEF (c-c-c) 6) AB = DE ; A D ; AC = DF  ABC = DEF (c-g-c) 7) B E;BC EF;C F    ABC = DEF (g-c-g) 8) oA D 90  và   BC = EF , B E BC = EF , AB = DE  ABC = DEF 9) Định lý Pythagore: ABC có oA 90  AB2 + AC2 = BC2 4/ Bất đẳng thức trong tam giác 1) Đường xiên hình chiếu: Cho Ad ; B, H  d : AH  d  AH < AB 2) AC < AB  HC < HB ; AC = AC'  HC = HC' 3) A, B, C không thẳng hàng  |BC – CA| < AB < BC + CA Nếu A, B, C là ba điểm bất kỳ  |BC – CA|  AB  BC + CA 5/Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác 1) ABC có AB  AC  C B 2) ABC cân tại A    AB = AC B C 3) ABC đều    AB = BC = CA A B C  4) ABC cân tại A và có một góc bằng 60o  ABC là tam giác đều. 5) ABC cân tại A  oA 180 2B  ; o180 A B 2   ; nA 2B BH: hìnhchiếu của AB trên d Hệ thống kiến thức Hình học GV: Nguyễn Thị Hồng Lan 6/ Các đường chủ yếu trong tam giác 1/ Đường trung tuyến: Đường hạ từ đỉnh xuống trung điểm cạnh đối diện. • AM  BN  CQ = G : AG = 2 3 AM ; BG = 2 3 BN ; CG = 2 3 CQ. • Điểm G gọi là trọng tâm của ABC 2/ Đường cao: Đường hạ từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện. • AI  BK  CJ = H. Điểm H gọi là trực tâm của ABC • Sử dụng đặc điểm này để chứng minh hai đường thẳng vuông góc. EBC có CA  EB ; BD  CE  H là trực tâm. Vậy EH  BC 3/ Đường trung trực Đường vuông góc tại trung điểm mỗi cạnh. • Ba đương trung trực của tam giác đồng quy tại I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. 4/ Đường phân giác Đường phân giác trong của mỗi góc trong tam giác đồng quy tại O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Hình học 8 I. Tứ giác 1/ ABCD  oA B C D 180    2/ ABCD là hình thang  AB // CD (Nếu oD 90  ABCD là hình thang vuông) 3/ ABCD là hình thang cân    C D (hoặc A B ) AC = BD 4/ Đường thẳng qua trung điểm: • ABC, MA = MB, MN // BC  AN = NC • ABCD, AB // CD, AM = MD, MN // CD  BN = NC 5/ ABC, AM = MB, AN = NC  MN là đường trung bình của ABC • ABC, AM = MB, AN = NC  MN // BC và MN = 1 2 BC 6/ ABCD, AB // CD, AM = MD, BN = NC  MN là đường trung bình của ABCD • ABCD, AB // CD, AM = MD, BN = NC  MN = 1 2 (AB + CD) 7/ ABCD là hình bình hành      AB // CD, AD // BC AB = CD, AD = BC AB // CD, AB = CD A C, B D  AC  BD = I và AI = IC, BI = ID • ABCD là hình bình hành  ABCD là hình thang có 2 cạnh bên song song Hệ thống kiến thức Hình học GV: Nguyễn Thị Hồng Lan 8/ ABCD là hình chữ nhật     oA B C 90   ABCD: hình bình hành có 1 góc vuông ABCD: hình bình hành, AC = BD ABCD hình thang cân có 1 góc vuông • ABC vuông tại A  AM = 1 2 BC (M: trung điểm BC) 9/ ABCD là hình thoi      AB = BC = CD = DA ABCD: hình bình hành, AB = BC ABCD: hình bình hành, AC  BD ABCD: hình bình hành, AC (BD) là phân giác 10/ ABCD là hình vuông     ABCD: hình chữ nhật, AB = BC ABCD: hình chữ nhật, AC  BD ABCD: hình chữ nhật, AC (BD) là phân giác ABCD: hình thoi có 1 góc vuông ABCD: hình thoi, AC = BD Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng  AB // d, AC // d hoặc ABC = 180 hoặc AB + BC = AC. 12/ Mối quan hệ II. Diện tích đa giác 1/ ABCD: hình chữ nhật  SABCD = AB.AD 2/ ABC có A = 90  SABC = 1 2 AB.AC 3/ ABCD: hình vuông  SABCD = AB2 4/ ABC, AH  BC  SABC = 1 2 AH.BC 5/ ABCD: hình thang, AH  CD  SABCD = 1 2 AH.(AB + CD) 6/ ABCD: hình bình hành, AH  CD  SABCD = AH.CD 7/ ABCD: hình thoi  SABCD = 1 2 AC.BD 8/ Diện tích đa giác: S = S1 + S2 + . . . + Sn (Si: diện tích tam giác thứ i  N*) III. Định lý Ta-let (Thalet) 1/ ABC, B'C' // BC  • AB' B'B = AC' C'C • AB' AB = AC' AC • BB' BA = CC' CA 2/ ABC, B'C' // BC  AB' AB = AC' AC = B'C' BC 3/ ABC, AD: phân giác của A  AB AC = DB DC Hệ thống kiến thức Hình học GV: Nguyễn Thị Hồng Lan 3'/ ABC (AB  AC), AD': phân giác ngoài của A  AB AC = D'A D'B 4/ ABC, MN // BC  ABC ∽ AMN 5/ ABC, A'B'C' có: A'B' AB = A'C' AC = B'C' BC  A'B'C' ∽ ABC 6/ ABC, A'B'C', A'B' AB = A'C' AC , A' A  A'B'C' ∽ ABC 7/ ABC ; A'B'C', A A' ; B B'   A'B'C' ∽ ABC 8/ Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu: a/ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia. b/ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia. 9/ ABC ; A'B'C': A A' = 90, B'C' BC = A'B' AB  A'B'C' ∽ ABC 10/ A'B'C' ∽ABC theo tỉ số k, AH  BC, A'H'  B'C'  A'H' AH = k 11/ A'B'C' ∽ABC theo tỉ số k  SA'B'C' SABC = k2 Hình học 9 I. Hệ thức lượng trong tam giác vuông 1/ ABC, A = 90, AH  BC     AB2 = BH.BC, AC2 = CH.BC BC2 = AB2 + AC2 AH2 = BH.CH AB.AC = AH.BC 1 AH2 = 1 AB2 + 1 AC2 2/ ABC, A = 90      sinB = cosC = AC BC , tanB = cotC = AC AB sinC = cosB = AB BC , tanC = cotB = AB AC 3/ ABC, A = 90  AB = BC.sinC = BC.cosB = AC.tanC ; BC = AC sinB = AB cosB II. Đường tròn 1/ Đường tròn (O;R) xác định     OM = R AB = 2R, OA = OB (OAB) A, B, C không thẳng hàng 2/ Đường tròn (O;R), A, B  (O), I  AB: OI  AB  IA = IB 3/ Đường tròn (O;R), A, B  (O), I  AB: IA = IB (I  O)  OI  AB 4/ Đường tròn (O;R), A, B, C, D  (O), OH  AB, OK  CD, ta có: AB  CD  OH  OK Hệ thống kiến thức Hình học GV: Nguyễn Thị Hồng Lan 5/ Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng a, OH  a tại H, ta có: • a  (O) = {A, B}  OH < R • a tiếp xúc (O) tại H  OH = R (khi đó a gọi là tiếp tuyến của (O)) • a  (O) =   OH > R 6/ a là tiếp tuyến của (O;R)  OH  a và OH = R 7/ (O;R), MA, MB: tiếp tuyến của (O)  MA = MB ; MO: phân giác của AMB 8/ Cho (O;R) và (O';r), ta có: • (O;R)  (O';r) = {A, B}  |R – r| < OO' < R + r • (O;R) tx ngoaif (O'r)  OO' = R + r •(O;R) tx trong (O'r)  OO' = |R – r| • (O;R) ngoài (O';r)  OO' > R + r • (O;R) đựng (O'r)  OO' < |R – r| III. Góc với đường tròn 1/ A, B  (O)  AOB là góc ở tâm và AOB sdAB 2/ BAC góc nôi tiếp (O)  1 BAC BOC 2  3/ A, B, C  (O), Ax là tiếp tuyến  BAx BCA 4/ OA > R, B, C, D, E  (O;R)  1 BAC sd(DE BC) 2   5/ OA < R, B, C, D, E  (O;R)  1 BAC sd(BC DE) 2   6/ A, B, C, D  (O)  oA C B D 180    7/ A, B, C, D  (O)  BAC BDC 8/ Chu vi đường tròn (O;R): C = 2RĐộ dàiAB có số đo al a 180 R 9/ Diện tích hình tròn (O;R): S = R2. Diện tích hình quạt OAB có số đo a0: S = a 360 R2. Tìm tập hợp điểm (quỹ tích) 1/ M  d: trung trực của AB  MA = MB 2/ M  d: phân giác của xAy d(M,Ax) = d(M,Ay) 3/ M  d // BC  d(M,BC) = h (không đổi) 4/ M  (O;R)  OM = R (không đổi) 5/ M  (O;R), A, B, (O)  AMB = a (không đổi) ( AMB : cung chứa góc a) Hệ thống kiến thức Hình học GV: Nguyễn Thị Hồng Lan Hình học 10 I. Vec tơ Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. • AB có điểm đầu là A, điểm cuối là B. • Độ dài AB được kí hiệu là: | AB | = AB. • Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị. • Vectơ còn được kí hiệu là a • Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ gọi là giá của vectơ đó. • Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. • Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. • Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng  ABvà AC cùng phương. • Hai vectơ a và b bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a = b . • Cho a và điểm O bất kỳ. ! A: OA = a . • Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 . 0 AA A. • 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. AB 0 A B   , | 0 | = 0 II. Tổng, hiệu hai vec tơ • Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ AB a , BC b . Vectơ AC gọi là tổng của hai vectơ a và b . Kí hiệu : a b . • Qui tắc ba điểm: AB BC AC  • Qui tắc hình bình hành: AB AC AD  • AB CD  ABDC: hình bình hành •  a, b, c , ta có: * a b b a   * (a b) c a (b c)     * a 0 0 a a    • Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a gọi là vectơ đối của a , kí hiệu: a . • a b a ( b)    • AB MB MA  • I là trung điểm của AB  IA IB 0  • G là trọng tâm ABC  GA GB GC 0   III. Tích của vec tơ với một số • Cho số k ≠ 0 và vectơ a 0 . Tích của a với số k là một vectơ, kí hiệu k a . | k a | = |k|.| a | * 0. a = a .0 = 0 * k(a b) ka kb   * (h + k) a = h a + k a * h(k a ) = (hk) a * 1. a = a ; (–1). a = – a • I là trung điểm của AB  MA MB 2MI  • G là trọng tâm ABC  MA MB MC 3MG   (với M tuỳ ý) • a cùng phương b  kR: a kb • A, B, C thẳng hàng  kR: AB kAC • Cho a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số m, n sao cho x ma nb  . IV. Hệ trục toạ độ • Cho Oxx' và i là vec tơ đơn vị, điểm M(O; i ) có toạ độ xM  OM xi • A, B  (O; i )  xB. i – xA. i = AB • Cho (O; i )  (O; j ) ta có hệ trục (O; i ; j ) hay Oxy • i = (1;0) , j = (0;1) • a = (x;y)  a xi yj  • a (x;y),b (x ';y ')  , a b  x = x' và y = y' • M(x;y)  OM = (x;) • M  Ox  yM = 0 • MOy  xM = 0 • A(xA;yA), B(xB;yB)  AB= (xB – xA ; yB – yA) • 1 2 1 2 a a a b b b( ; ), ( ; )   a b = (a1 + b1 ; a2 + b2) ; a b = (a1 – b1 ; a2 – b2) ; k a (ka1;ka2) • A(xA;yA), B(xB;yB) ). I là trung điểm của AB  I(xI;yI) = 1 2 (xA + xB ; yA + yB) • Cho ABC với A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). G là trọng tâm của ABC  G(xG;yG) = 1 3 (xA + xB + xC ; yA + yB + yC) V. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ • yM = sin ; xM = cos • tan yM xM  90)cot = xM yM (  0) sin cos tan cot 90 –  cos sin cot tan  sin – cos – tan – cot 1/ Góc giữa hai vec tơ a) Cho OA a,OB b  ( a,b  0 ), ta có: (a,b) AOB =  với 0   •  a b •  a,b cùng hướng •  a,b ngược hướng. b) Cho a,b  0 , ta có: a.b | a | . | b | .cos(a,b) A B Hệ thống kiến thức Hình học GV: Nguyễn Thị Hồng Lan • Nếu a 0 hoặc b 0  a.b 0 • Với a,b  0 , a.b 0 a b   • 2 2a | a | c) Tính chất Với a, b, c bất kỳ và kR, ta có: • a.b b.a • (ka).b a.(kb) • a(b c) a.b a.c   • a.b 0 (a.b)  < 90 • oa.b 0 (a,b) 90   • oa.b 0 (a,b) 90   2/ Biểu thức toạ độ của tích vô hướng Cho 1 2 1 2a (a ;a ),b (b ;b )  , ta có: a.b = a1b1 + a2b2 • a b  a1b1 + a2b2 = 0 • 2 2 1 2| a | a a  • cos( a,b ) = 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 a b a b a a . b b    • A(xA;yA), B(xB;yB)  AB = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 VI. Các hệ thức trong tam giác 1/ Trong tam giác vuông (Xem lại lớp 9) 2/ Trong tam giác thường Cho ABC có AB = c, BC = a, CA = b, AM = ma ; BN = mb ; CP = mc. Ta có: • a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC  cosA = b2 + c2 - a2 2bc cosB = c2 + a2 - b2 2ca cosC = a2 + b2 - c2 2ab • a = sinA.2R b = sinB.2R c = sinC.2R 4ma2 = 2(b2 + c2) – a2 4mb2 = 2(c2 + a2) – b2 4mc2 = 2(a2 + b2) – c2 3/ Diện tích tam giác Cho ABC, có AB = c, BC = a, CA = b và S là diện tích ABC, ta có: a) S = 1 2 aha = 1 2 bhb = 1 2 chc b) S = 1 2 bcsinA = 1 2 casinB = 1 2 absinC c) S = abc 4R = pr (p = 1 2 (a + b + c)) d) p(p - a)(p - b)(p - c) V. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 1/ Phương trình đường thẳng a) Phương trình tham số • Vectơ u là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu u 0 và giá của nó song song hoặc trùng với . • Trong Oxy, cho  qua M(xo;yo) có vec tơ chỉ phương u = (u1;u2), phương trình tham số của  có dạng:    x = xo + tu1 y = yo + tu2 (tR) Ứng với mỗi giá trị của t ta xác định được một điểm trên . • Chú ý: Nếu  có vec tơ chỉ phương u = (u1;u2) và u1  0 thi  có hệ số góc k = u2 u1 . Khi đó : y = k(x – xo) + yo b) Phương trình tổng quát • Vectơ n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu n 0 và giá của nó vuông góc với . • Trong Oxy, cho  qua M(xo;yo) có vec tơ pháp tuyến n = (a;b), phương trình tổng quát của  có dạng: a(x – xo) + b(y – yo) = 0  ax + by + c = 0 (c = – axo – byo) • Chú ý: Nếu : ax + by + c = 0 thì  có: VTPT n = (a;b) ; VTCP u = (b;–a) ; hệ số góc k = – a b c) Phương trình chính tắc Cho  qua A(a1;a2), B(b1;b2), đường thẳng  có phương trình: x – a1 b1 – a1 = y – a2 b2 – a2 d) Các dạng đặc biệt Cho : ax + by + c = 0 (1) • Nếu a = 0  (1): y = – c b • Nếu b = 0  (1): x = – c a • Nếu c = 0  (1): y = – a b x • Nếu a, b, c  0  (1): x x0 + y y0 = 1 với A(xo;0), B(0;yo). Khi đó (1) gọi là phương trình đoạn chắn. e) Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho 1: a1x + b1y + c1 = 0 ; 2:a2x + b2y + c2 = 0 (a2, b2, c2  0) • 1cắt 2  a1 a2  b1 b2 • 1 // 2  a1 a2 = b1 b2  c1 c2 • 1  2  a1 a2 = b1 b2 = c1 c2 • 1  2  a1a2 + b1b2 = 0 Hệ thống kiến thức Hình học GV: Nguyễn Thị Hồng Lan 2/ Góc giữa hai đường thẳng Cho 1: a1x + b1y + c1 = 0 ; 2:a2x + b2y + c2 = 0. Đặt 0  ,2)  90. Ta có: cos a1a2 + b1b2| a12 + b12. a22 + b22   3/ Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng Cho : ax + by + c = 0, M(x0;y0). Ta có: d(M,) = |ax0 + by0 + c| a2 + b2 VI. Phương trình đường tròn 1/ Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước • Phương trình đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 Hoặc (C): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 – c = R2 > 0) 2/ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn • Cho (C) có tâm I(a;b), M(x0; y0)(C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0(x0; y0): (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0 •  là tiếp tuyến của (C)  d(I, ) = R VII. Phương trình đương Elip 1/ Định nghĩa Cho 2 điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. M  (E)  F1M + F2M = 2a F1, F2: các tiêu điểm ; F1F2 = 2c: tiêu cự. 2/ Phương trình chính tắc x2 a2 + y2 b2 = 1 (b2 = a2 – c2) • A1(–a;0), A2(a;0), B1(0;–b), B2(0;b) • A1A2 = 2a (trục lớn) • B1B2 = 2b (trục nhỏ) Hình học 11 I. Phép biến hình 1/ Định nghĩa Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng (P) với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng (P). Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) và gọi điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F. Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập các điểm M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H’, hay hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép biến hình đồng nhất. 2/ Phép tịnh tiến • M' = vT (M)  MM ' v (Nếu v 0 thì M'  M: phép biến hình đồng nhất) • M' = vT (M) ; vN ' T (N)  MN M ' N ' • Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. • Trong Oxy cho v = (a;b), M(x;y), M'(x';y') khi đó M' = M' = vT (M)     x' = x + a y' = y + a 3/ Phép đối xứng trục • M' = Đd(M)  d là trung trực của MM' • Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì • Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. • Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó. • Trong Oxy cho M(x;y) khi đó M' = ĐOx(M)  M'(x;–y) hoặc M' = ĐOy(M)  M'(–x;y) • Biểu thức toạ độ: Cho M(x;y), (d): Ax + By + C = 0. M' = Đd (M) Gọi H(d) là hình chiếu của M trên (d)  MH = k. n = k.(A;B)  H(x0;y0)     x' = 2x0 + x y' = 2y0 + y Hệ thống kiến thức Hình học GV: Nguyễn Thị Hồng Lan 4/ Phép đối xứng tâm • M' = ĐI(M)  IM ' IM  • Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. • Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. • Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến thành chính nó. • Biểu thức toạ độ: Cho M(x;y), I(a;b). M' = ĐI (M)     x' = 2a + x y' = 2b + y 5/ Phép quay • M' = Q(O;(M)  MOM' = và' • Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. • Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính • Biểu thức toạ độ: Cho M(x;y). M' = Q(O,(M)     x' = xcos - ysin y' = ycos+ xsin 6/ Phép vị tự • M' = V(O;k)(M)  OM kOM'  • M' = V(O;k)(M), N' = V(O;k)(N)  M N k MN' ' . • Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó. • Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng) với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bẳng k lần nó, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó theo tỉ số k, biến góc thành góc bằng nó, biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k.R. • Nếu có phép vị tự tâm O tỉ số k biến đường tròn này thành đường tròn kia thì O được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn đó. * k > 0 thì điểm O gọi là tâm vị tự ngoài * k < 0 thì điểm O gọi là tâm vị tự trong. 7/ Phép đồng dạng • Phép biến hình F là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kỳ M, N và ảnh M', N' của chúng, ta có: M'N' = k.MN • Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D. Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. II. Quan hệ song song Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng qua hai điểm phân biệt Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng trên một mặt phẳng Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng • A, B  d  (P)  d  (P) • (P) xác định  A, B, C  (P) hoặc A  (P), d  (P) hoặc d  d' • Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: Tìm M  P  Q ; a  P ; b  Q ; a  b = N  P  Q = MN Ví dụ: Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC) S  (SAD)  (SBC) ; AD và BC  (ABCD)  AD  BC = N. Vậy: (SAD)  (SBC) = SM 1/ Đường thẳng và mặt phẳng: a)  // (P)    (P) =  b) (P) d (P) / /(P) / /d         c)    // (P)   (Q) (P)  (Q) = d   // d d)   P  Q = d  // P  // Q   // d e)   P  Q = a Q  R = b R  P = c  a // b // c hoặc đồng quy f) a // b ; b // c  a // c g)    P  Q = a b  P, c  Q b // c  a // b (a // c ; a  b ; a  c) 2/ Hai mặt phẳng song song a) (P) // (Q)  (P)  (Q) =  b) b)   a  b = M a // P, b // P  (a,b) // P c) (P) // (Q), (Q) // (R)  (P) // (R) Hệ thống kiến thức Hình học GV: Nguyễn Thị Hồng Lan d)   P // Q a  P  a // Q e)   P // Q P  R = a Q  R = b  a // b f)   P // Q // R a cắt P,Q,R tại A,B,C b cắt P,Q,R tại A',B',C'  AB A'B' = BC B'C' = CA C'A' g)    a chéo b A, B, Ca A', B', C'b AB A'B' = BC B'C' = CA C'A'  AA', BB', CC' // (P) • Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: • Tìm M  P  Q ; a  P ; b  Q ; a // b  P  Q = Mx // a // b • Tìm M  P  Q ; a  P ; a // Q  P  Q = Mx // a • Tìm M  P  Q ; Q // R ;  = P  R  P  Q = Mx //  Ví dụ: S  (SAD)  (SBC) ; AD // BC  (SAD)  (SBC) = Sx // AD III. Quan hệ vuông góc 1/ Đường thẳng vuông góc mặt phẳng • a  b  (a,b) = 90 a) a  P  a   b  P b)   a  b = A a  c, b  c  c  (a,b) c)   P  a a // b  P  b d)   a  P b  P  a // b e)   P // Q a  P  a  Q f)   a  P a  Q  P // Q g)   a // P b  P  b  a h)   a  b P  b  a // P i) a  P = A ; b  P ; a  b  b  a' 2/ Hai mặt phẳng vuông góc: Gọi  là góc giữa (P) và (Q (P)  (Q) = , a  (P), b  (Q) và a  , b  . Khi đó  = (a,b) • (P)  (Q)   a)   a  P a  Q  P  Q b)   P  Q theo d a  P a  d  a  Q c)   P  Q = d P  R Q  R  d  R d)    (P)  (Q) A(P) và A  (Q)    (P) 3/ Góc a) Góc giữa a và P bằng góc giữa a và hình chiếu a' của a trên P. b) Góc giữa P và Q là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm. c) Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì S' = S.cos trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’). IV. Khoảng cách • Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên đường thẳng ∆). Ký hiệu d(M;(P)), d(M;()) • Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P). • Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Chú ý: 1) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại. b Hệ thống kiến thức Hình học GV: Nguyễn Thị Hồng Lan 2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. Phương pháp tính khoảng cách a) Xác định d(A,): Cách 1: Dựng AH   tại H  d(A,) = AH Cách 2: Dựng a qua A: a // . Chọn M bất kì thuộc a hoặc   d(A,) = d(M.) Cách 3: Dựng P qua A: P   tại B  d(A,) = AB b) Xác định d[A,(P)]: Cách 1: Dựng AH  (P) tại H  d[A,(P)] = AH Cách 2: Dựng a qua A: a // (P). Chọn M bất kì thuộc a  d[A,(P)] = d[M,(P)] Cách 3: Dựng (Q) qua A: (Q)  (P) tại   d[A(P)] = d(A,) c) Xác định d[a,(P)] Chọn Aa  d[a(P)] = d[A,(P)] d) Xác định d(a,b) với a chéo b: Cách 1: Nếu a (P)  b tại H  d(a,b) = AH với AH  b (Ab) Cách 2: Dựng (P)  a: (P) // b  d(a,b) = d[b,(P)] Hình học 12 I. Khối đa diện • Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). • Một khối đa diện là khối đa diện lồi  miền trong của nó luôn nằm về một phía với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó. • Khối đa diện đều loại {p;q} là khối đa diện lồi có tính chất sau: a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh. b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. • Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại {3;3}, loại {4;3}, loại {3;4}, loại {5;3} và loại {3;5}. II. Thể tích khối đa diện a) Khối lăng trụ: V = S.h b) Khối chóp: V = 1 3 S.h c) Chóp cụt: V = h 3 (S + S' + SS' ) d) Nếu hình