Hình giải tích - Hình học không gian

Hình giải tích_HHKg Câu 1(ĐH AN GIANG_00D) Cho hình chóp tam giác OABC đỉnh O, dáy là tam giác đều ABC, AB=a, góc của các cạnh bên OA, OB, OC với mặt phẳng đáy (ABC) bằng nhau và bằng . CMR : OA=OB=OC. Hãy tính thể tích của hình chóp theo a. Câu 2(ĐH AN GIANG_01B) Cho hình lập phương có các cạnh bên và độ dài cạch AB=a. Cho các điểm M, N trên cạnh sao cho . Xét mặt cầu (K) đi qua bốn điểm: A,,M và N. CMR các đỉnh và B thuộc mặt cầu (K). Hãy tính độ dài của bán kính mặt cầu (K) theo a. Câu 3(ĐH AN GIANG_01B) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1. Các cạnh bên AA’, BB’, CC’ ,DD’. Đặt hệ trục toạ độ Oxyz sao cho A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Hãy viết phương trình chùm mặt phẳng chứa đường thẳng CD’. Kí hiệu (P) là mặt phẳng bất kì chứa đường thẳng CD’ còn là góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (BB’D’D). hãy tìm giá trị nhỏ nhất của . Câu 3(ĐH AN NINH_98A) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d): Và hai mặt phẳng Viết phương trình mặt cầu có tâm I trên đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng . Câu 4(ĐH AN NINH_99A) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA=x, BC=y, các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích hình chóp theo x và y. Với x, y nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất? Câu 5(ĐH AN NINH_00A) Cho góc tam diện Oxyz và đường tròn đơn vị , trong góc tam diện ấy. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu ấy tại M, cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA=a>0, OB=b>0, OC=c>0. Chứng minh rằng: . . Tìm vị trí điểm M để đạt dấu đẳng thức. Câu 5(ĐH AN NINH_01A) Cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz. Trên các nửa trục toạ độ Ox, Oy, Oz lấy các điểm tương ứng A(2a;0;0), B(0;2b;0), C(0;0;c) với a>0, b>0, c>0. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo a, b, c. Tính thể tích khối đa diện OABE trong đó E là chân đường cao AE trong tam giác ABC. Câu 6(ĐH AN NINH_01D) Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có OA = a, OB = b, OC = c (a,b,c>0) . CMR tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c. CMR bình phương diện tích tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện OABC. Câu 7(ĐH BK HN_97A) Trong không gian với hệ toạ độ đề các trực chuân Oxyz cho M(1;2;-1) và đường thẳng (d) có phương trình : Gọi N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng (d). Hãy tính độ dài MN. Câu 8(ĐH BK HN_98A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các trực chuẩn Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình: Tìm toạ độ các điểm thuộc (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó tới (P) bằng 1. Gọi K là điểm đối xứng với I(2;-1;3) qua đường thẳng (d). Hãy xác định toạ độ K. Câu 9(ĐH BK HN_99A) Trong không gian với hệ toạ độ đề các trực chuẩn Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình: Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P). Tính góc giữa (d) và (P). Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d’) của (d) trên mặt phẳng (P). lấy điểm B nằm trên (d) sao cho AB=a, với a là số dương cho trước. Xét tỉ số với điểm M di động trên mặt phẳng (P). CMR tồn tại một vị trí của M để tỉ số đó đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ấy. Câu 9(ĐH BK HN_00A) Trong không gian với hệ trục toạ độ đề các trực chuẩn Oxyz cho bốn điểm S(3;1;-2), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0). CMR hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều và ba mặt bên là các tam giác vuông cân. Tính toạ độ điểm D đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB. M là điểm bất kì trên mặt cầu có tâm là D, bán kính (điểm M không thuộc mặt phẳng (ABC)). Xét tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài các đoạn thẳng MA, MB, MC. Hỏi tam giác ấy có đặc điểm gì? Câu 10(ĐH BK HN_01A) Trong không gian với hệ trục toạ độ đề các trực chuẩn Oxyz cho bốn điểm A(1;0;0), B(1;1;0), C(0;1;0), D(0;0;m) với m là tham số. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD khi m=2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BD. Tìm các giá trị của tham số m để diện tích tam giác OBH đạt giá trị lớn nhất. Câu 11(PV BC TT_98A) Trong không gian Oxyz cho đường trẳng (D) có phương trình : và đường thẳng (D’) có phương trình CMR hai đường thẳng đó cắt nhau. Tìm giao điểm I của chúng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (b) đi qua hai đường thẳng (D) và (D’). Tìm thể tích phần không gian giới hạn bởi (b) và ba mặt phẳng tọa độ. Câu 12(PV BC TT_99A) Cho hai đường thẳng (D) và (D’) có phương trình sau đây: CMR hai đường thẳng (D) và (D’) chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của (D) và (D’). Câu 13(ĐH CS NN_00A) Cho hai đường thẳng CMR hai đường thẳng chéo nhau. Gọi đường vuông góc chung của là MN ( )). Tìm toạ độ của M,N và viết phương trình tham số của đường thẳng MN. Câu 14(ĐH Cần Thơ_98B) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M,N lần lượt trên các cạnh SB,SD,sao cho . Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỉ số . Tính thể tích hình chóp SAMPN theo thể tích V của hình chóp SABCD Câu 15(ĐH Cần Thơ_98D) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x+y+z+1=0 và đường thẳng (d) có phương trình Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P). Câu 16(HV BCVT_98A) Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn C bán kính a, chiều cao h=3a/4 Và cho hình chóp đỉnh S, đáy là một đa giác lồi ngoại tiếp C. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp . Biết thể tích khối chóp bằng4 lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toàn phần của hình chóp. Câu 17(HV BCVT_99A) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD. mà D(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a;0), . Gọi M là trung điểm của AD, N là tâm của hình vuông . Tìm bán kính của mặt cầu đi qua các điểm B, , M, N. Câu 18(HV BCVT_00A) Trong không gian cho hai đường thẳng : Hãy lập phương trình chính tắc của đường thẳng đối xứng với qua Xét mặt phẳng () : x+y+z+3=0. Viết phương trình hình chiếu của theo phương lên mặt phẳng () . Tìm điểm M trên mặt phẳng () để đạt được giá trị nhỏ nhất, biết và . Câu 19(HV BCVT_01A) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=2a,AA’=a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số . Tính khoảng cách từ M đến (AB’C). Tính thể tích tứ diện AB’D’C. Câu 20(ĐH Dược HN_98A) Cho A(0;1;1) và hai đường thẳng Lập phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với và cắt . Câu 20(ĐH Dược HN_99A) Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(-5;-4;8).Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ A. Câu 21(ĐH Dược HN_01A) Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là điểm bất kì trên đường thẳng At vuông góc với (P) tai A. Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD khi SA=2a. M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD(MCB, NCD) và đặt CM=m, CN=n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với nhau một góc . Câu 22(ĐH Đà Lạt_99B) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với đáy. Độ dài các cạnh AB=a, AD=b, SA=2a. Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện gì? Tính diện tích thiết diện ấy. Câu 23(ĐH Đà Lạt_01D) Cho hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 27, diện tích toàn phần bằng 9a và các cạnh lập thành cấp số nhân. Tính các cạnh của hình chữ nhật khi a=6. XĐ a để tồn tại hình hộp chữ nhật có các tính chất nêu trên. Câu 23(ĐH Đà Nẵng_01A) Cho mặt phẳng (P) có phương trình và điểm Hãy viết phương trình mặt phẳng qua M và song song với (P). Hãy tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (P). Hãy tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua (P). Câu 24(ĐH Đà Nẵng_01A) Cho tứ diện S.ABC có SA=CA=AB=. SC vuông góc với (ABC), Tam giác ABC vuông tai A, các điểm Mthuộc SA và N thuộc BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a). Tính độ dài đoạn thẳng MN. Tìm giá trị t để MN ngắn nhất. Khi MN ngắn nhất hãy chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA. Câu 25(ĐH GTVT_97A) Trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz cho ba điểm Viết phương trình giao tuyến của mặt phẳng (HKI) với mặt phẳng x+z=0 ở dạng chính tắc. Tính cosin của góc phẳng tạo bởi (HKI) với mặt phẳng tọa độ Oxy. Câu 26(ĐH GTVT_97A) Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S. Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. CMR các điểm A, B, C, H, K cùng nằm trên một mặt cầu. Tình bán kính của mặt cầu trên biết AB=2, AC=3, . Câu 27(ĐH GTVT_98A) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu có phương trình và song song với mặt phẳng (P) có phương trình 4x+3y-12z+1=0. Câu 28(ĐH GTVT_99A) Trong hệ toạ độ đề các Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm H của (P) với (S). Tìm điểm đối xứng của gốc tọa độ O qua (P). Câu 29(ĐH GTVT_00A) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, các cạnh của nó có độ dài bằng 1. Trên các cạnh BB’, CD, A’D’ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho: B’M=CN=D’P=a(0<a<1). CMR: vuông góc với mặt phẳng (MNP). Câu 30(ĐH GTVT_01A) Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S có các cạnh đáy đều bằng a, đường cao SH=h. XĐ thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng (P) đi qua cạnh đáy BC và vuông góc với cạnh bên SA. Nếu tỉ số thì mặt phẳng (P) chia thể tích hình chóp theo tỉ số nào? Câu 31(HV HCQG_01A) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=2a, AA’= và M là một điểm thuộc đoạn AD, K là trung điểm của B’M. Đặt AM=m. Tính thể tích khối tứ diện A’KID theo a và m trong đó I là tâm của hình hộp. Tìm vị trí của M để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất. Khi m là trung điểm của AD: a, Hỏi thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (B’KC) là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó theo a. b, CMR đường thẳng B’M tiếp xúc với mặt cầu đường kính AA’. Câu 32(ĐH Huế_98A ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: Chứng tỏ rằng và chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với . Tính khoảng cách giữa và . Câu 33(ĐH Huế _98A) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a. Dựng thiết diện của lăng trụ tạo bởi mặt phẳng đi qua B’ và vuông góc với cạnh A’C. tính diện tích của thiết diện nói trên. Câu 34(ĐH Huế_00A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng y+2z=0 và cắt hai đường thẳng: Câu 35(ĐH Huế_00A) Cho S.ABC là một tứ diện có tam giác ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC=2a; Cạnh SA vuông góc với (ABC) và SA=a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC). Câu 36(ĐH Huế _00D) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Viết phương trình tổng quát của các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) và (ABC). XĐ toạ độ tâm I của hình cầu nội tiếp tứ diện OABC. Tìm toạ độ điểm J đối xứng với I qua (ABC). Câu 37(ĐH Huế_01A) Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=OB=OC=a. Kí hiệu M, N, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với (OMN). Chứng minh CE vuông góc với (OMN). Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a. Câu 38(ĐH Huế_01D) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a, BC=a. các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng . Tính thể tích của hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh SN vuông góc với (MEF). Tính khoảng cách từ A đến (SCD). Câu 39(ĐH KTQD_97A) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO=1 và đáy ABC có cạnh bằng . Điểm M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng. Tính thể tích của hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó. Câu 40(ĐH KTQD_98A) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: Câu 41(ĐH KTrúc_97A) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac Oxyz cho điểm A(1;2;1) và đường thẳng (D):. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và chứa đường thẳng (D). Tính khoảng cách từ điẻm A đến đường thẳng (D). Câu 42(ĐH KTrúc_98A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các trực chuẩn Oxyz cho tứ diện S.ABC với các đỉnh S(-2;2;4), A(-2;2;0), B(-5;2;0), C(-2;1;1). Tính khoảng cách giũă hai cạnh đối SA và BC. Câu 43(ĐH KTrúc_99A) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho một hình tứ diện có bốn đỉnh O(0;0;0), A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8). Chứng minh SB vuông góc với OA. CMR hình chiếu của SB lên (OAB) vuông góc với OA. Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với OA. Hãy tìm tọa độ K. Gọi P, Quyền lần lượt là điểm giữa các cạnh SO và AB. Tìm tọa độ điểm M trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau. Câu 44(ĐH KTrúc_01A) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho các điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của OA và BC, P và Q là hai điểm trên OC và AB sao cho và hai đường thẳng MN, PQ cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng (MNPQ) và tìm tỉ số . Câu 45(HV KTQS_97A) Tam giác ABC có A(1;2;5) và phương trình hai trung tuyến là: Viết phương trình chính tắc các cạnh của tam giác. Viết phương trình chính tắc của đường phân giác trong góc A. Câu 46(HV KTQS_98A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các vuông góc cho A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1). Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD. Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc chung của AC và BD. Câu 47(HV KTQS_00A) Cho hai đường thẳng: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với Ox và cắt tại M, cắt tại N. Tìm tọa độ M, N. A là điểm trên , B là điểm trên , AB vuông góc với cả và . Viết phương trình mặt cầu đường kính AB. Câu 48(HV KTQS_01A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho A(4;0;0), (với ) sao cho OB=8 và Xác định C trên Oz để thể tích OABC bằng 8. Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB và điểm M trên AC có AM=x. Tìm M để OM vuông góc với GM. Câu 49(ĐH Luật HN_99A) Trong hệ toạ độ đề các Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (C) . Mặt phẳng (P) cắt (C) theo giao tuyến đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó. Trong hệ toạ độ đề các Oxyz cho A(-1;2;3) và các mặt phẳng (P): x+2=0 và (Q): y-z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A vuông góc với cả (P) và (Q). Câu 50(ĐH Luật HCM_01A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các vuông góc Oxyz cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm M(m;0;0), N(0;n;0) thay đổi sao cho m+n=1 và m>0, n>0. CMR thể tích hình chóp S.OMAN không phụ thuộc vào m và n. Tính khoảng cách từ A đến (SMN). Từ đó suy ra (SMN) tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Câu 51(ĐH Mỏ Địa Chất_98A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz xét đường thẳng có phương trình Và mặt phẳng có phương trình x-y+3z+8=0(P) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của trên (P). Câu 52(ĐH Mỏ Địa Chất_99A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho mặt cầu (C) đường thẳng và măt phẳng (Q) lần lượt có phương trình: Viết phương trình tất cả các mặt phẳng chúa và tiếp xúc với (C). Viết phương trình hình chiếu vuông góc của lên (Q). Câu 53(ĐH Mỏ Địa Chất_00A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho tam giác ABC có C(3;2;3), đường cao AH nằm trên đường thẳng có phương trình: Và đường phân giác trong BM nằm trên đương thẳng có phương trình: Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. Câu 54(HVNgân Hàng_98D) Trong không gian cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz và cho tam giác vuông cân OAB, vuông góc tại O, nằm trong mặt phẳng (xOy) mà đường thẳng AB song song với trục Ox và AB=2a. Xác định toạ độ điểm A, điểm B, biết rằng A có hoành độ x>0 và tung độ y>0. Viết phương trình chính tắc của mặt phẳng đi qua điểm C(0;0;c), c>0, vuông góc với đường thẳng đi qua O và trọng tâm G của tứ diện OABC. Câu 55(HVNgân Hàng_99D) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a và một điểm M trên cạnh AB,AM=x, 0<x<a. Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M chứa đường chéo A’C’ của hình vuông A’B’C”D’. Tính diện tích của thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện, hãy tìm x để thể tích của một trong hai khối đa diện đó gấp đôi thể tích của khối đa diện kia. Câu 56(HVNgân Hàng HCM_01D) Cho tứ diện ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ tương ứng là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Gọi G là giao điểm của AA’, BB’. Chứng minh rằng: . Chứng minh rằng: AA’, BB’, CC’, DD’ đồng quy. Câu 57(ĐH Ngoại Ngữ_97D) Cho hai đường thẳng có phương trình: Chứng minh () và chéo nhau. Tính khoảng cách giữa () và . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;1;1) và cắt đồng thời cả () và . Câu 57(ĐH Ngoại Ngữ_99D) Bên trong hình trụ tròn xoay cho một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ. Câu 58(ĐH Ngoại Ngữ_00D) Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau: Tính khoảng cách giữa A và B. Câu 59(ĐH Ngoại Ngữ_01D) Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2a;0;0), C(0;2a;0), D(0;0;2a), B(2a;2a;0), (a>0) . Gọi E là trung điểm của đoạn BD, hãy tìm toạ độ giao điểm F của đoạn thẳng OE với mặt phẳng (ACD). Tính thể tích hình chóp D.OABC Tìm toạ độ điểm O’ đối xứng với O qua đường thẳng DB. Câu 60(ĐH Ngoại Thương_98A) Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC theo OA=a, OB=b, OC=c. Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn có OA+OB+OC+AB+BC+CA=k (k:hằng số). Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC. Câu 61(ĐH Ngoại Thương HCM_01A) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của BC và DD’. Chứng minh MN song song với (A’BD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN theo a. Câu 62(ĐH NN I_97A) Cho hai điểm A(1;2;3) và B(4;4;5) trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz . Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm giao điểm P của nó với mặt phẳng xOy. Chứng tỏ rằng với mọi điểm Q thuộc mp(xOy), biểu thức có giá trị lớn nhất khi Q trùng P. Tìm điểm M trên mp(xOy)sao cho tổng các độ dài MA+MB nhỏ nhất. Câu 62(ĐH NN I_99A) Trong hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình Lập phương trình mặt cầu (C) có tâm nằm trên đường thẳng (d), tiếp xúc với mp(P) và có bán kính bằng 1. Gọi M là giao điểm của (P) với (d), T là tiếp điểm của mặt cầu (C) với (P). Tính MT. Câu 63(ĐH Nông Lâm HCM_01A) Cho hai đương thẳng: CMR hai đương thẳng (d) và (d’) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó. Hai điểm A, B khác nhau và cố định trên một đường thẳng (d) sao cho . Khi C di động trên (d’), tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC. Câu 64(HV QHQT_97A) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AA’=a, AB=b, AD=c. Tính thể tích tứ diện ACB’D’ theo a, b, c. Câu 65(HV QHQT_98A) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với cạnh bằng a. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BD’. CMR đường chéo BD’ vuông góc với mặt phẳng (DA’C’). Câu 66(HV QHQT_99A) Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Giả sử I là một điểm thay đổi trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB là nhỏ nhất. Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD và DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất. Câu 67(HV QHQT_00A) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’, D’C’, C’C, AA’. CMR bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a. Câu 68(HV QHQT_01A) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB=a, BC=b, AA’=c. Tính diện tích của tam giác ACD’ theo a, b, c. Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hãy tính thể tích tứ diện D’DMN theo a, b, c. Câu 69(HV QY_00A) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng AC=a, và . Câu 70(HV QY_01A) Cho hai nửa mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến . Trên lấy AB=a (a là độ dài cho trước). Trên nửa dường thẳng Ax vuông góc với và ở trong (Q) lấy điểm N sao cho . Tính khoảng cách từ A đền (BMN) theo a, b. Tính MN theo a, b. Với giá trị nào của B thì MN có độ dài cực tiểu. Tính độ dài cực tiểu đó. Câu 71(HV QY_01A) Trong hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của lên mp(xOy). CMR đường thẳng luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định có tâm là gốc tọa độ. Câu 72(ĐH QGHN_97A) AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng x và y chéo nhau, A thuộc x, B thuộc y. Đặt AB=d, m là một điểm thay đổi thuộc x, N là một điểm thay đổi thuộc y. Đặt AM=m, BN=n . Giả sử ta luôn có , k không đổi. Xác định m, n để độ dài đoạn MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Trong trường hợp hai đường thẳng x, y vuông góc với nhau và , hãy xác định m, n (theo k và d) để thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó. Câu 73(ĐH QGHN_97B) Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A (M không trùng với A) Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác MBC. Gọi O là trực tâm của tam giác ABC, hãy xác định vị trí của M để thể tích tứ diện OHBC đạt giá trị lớn nhất. Câu 74(ĐH QGHN_97D) Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I. Các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (ABCD) và ở cùng phía với mặt phẳng đó. Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM=m, CN=n. Tính thể tích của hình chóp B.AMNC. Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện đối với a, m, n để góc MIN vuông. Câu 75(ĐH QGHN_98A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các vuông góc Oxyz cho các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a, b, c>0). Dựng hình hộp chữ nhật nhận O, A, B, C làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉng O của hình hộp đó. Tính khoảng cách từ C đến (ABD). Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD). Tìm điều kiện đối với a, b, c để hình chiếu đó nằm trong mặt phẳng (xOy). Câu 76(ĐH QGHN_98B) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz xét tam giác đều OAB trong mp(Oxy) có cạnh bằng a, đường thẳng AB song song với trục Oy, điểm A thuộc góc phần tư thứ nhất của mp(Oxy). Xét điểm . XĐ tọa độ của các điểm A, B và trung điểm E của OA, sau đó viết phương trình của mp(P) chứa SE và xong xong với Ox. Tính khoảng cách từ O đến (P), từ đó suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng Ox và SE. Câu 77(ĐH QGHN_98D) Cho đường tròn tâm O bán kính R. Xét các hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy (S và A cố định), SA=h cho trước, dáy ABCD là tứ giác tuỳ ý nội tiếp đường tròn đã cho mà các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất? Câu 78(ĐH QGHN_99B) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho các điểm A(a;0;0), B(0;a;0), C(a;a;0), D(0;0;d) (a>0, d>0). Gọc A’, B’ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A xuống các đường thẳng DA, DB. Viết phương trình mặt phẳng chứa các đường thẳng OA’, OB’. CMR mặt phẳng đó vuông góc với đường thẳng CD. Tính d theo a để góc A’OB’ có số đo bằng. Câu 79(ĐH QGHN_99D) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Dựng mặt phẳng chứa đường chéo AC của hình vuông ABCD và đi qua trung điểm M của cạnh B’C’. Mặt phẳng đó chia hình vuông thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phân đó. Câu 80(ĐH QGHN_00A) Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng (P) có phương trình: Tìm tọa độ giao điểm I của mặt phẳng (P) và đường thẳng đi qua hai điểm A, B. Tìm tọa độ của C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều. Câu 81(ĐH QGHN_00B) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai điểm , và mặt phẳng (P) có phương trình: x+y+z-1=0 CMR đường thẳng qua A và B cắt (P) tại một điểm I thuộc đoạn AB. Tìm toạ độ điểm I. Tìm trên (P) điểm M sao cho có giá trị lớn nhất. Câu 82(ĐH QGHN_00D) Cho một lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, , BC’ hợp với đáy (ABC) góc . Gọi I là trung điểm của AA’. Biết là góc vuông. CMR tam giác BIC vuông cân. CMR: . Câu 83(ĐH QGHN_01A) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song có các phương trình tương ứng là: và điểm A(-1;1;1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó. Gọi (S) là mặt cầu bất kì qua Avà tiếp xúc với cả hai mặt phẳng . CMR bán kính của hình cầu (S) là một hằng số và tính bán kính đó. Gọi I là tâm của hình cầu (S). Chứng minh rằng I thuộc một đường tròn cố định. XĐ tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó. Câu 84(ĐH QGHN_01B, D) Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giác cân AB=AC=3a, BC=2a. Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) đều hợp với mặt đáy (ABC) một góc . K