Hình học - Ôn thi vào lớp 10

HìNH HọC - ôN THI VàO LớP 10 Bài 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính OB . Đường tròn này cắt đường tròn O tại C và D Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ? CMR OC ^ AD ; OD ^ AC CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đường tròn tâm B Bài 2: Cho đường tròn tâm O và một đường thẳng d cắt đường tròn đó tại hai điểm cố định A và B . Từ một điểm M bất kì trên đường thẳng d nằm ngoài đoạn AB người ta kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm ) . Tính các góc của biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và MQ là 45 . Gọi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên một đường tròn . Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp D MPQ khi M chạy trên d Bài 3: Cho D ABC nội tiếp đường tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại E và cắt đường tròn tại M . CMR OM ^ BC Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB ( Hướng dẫn : áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ) Bài 4: Cho D ABC ( AB = AC , é A < 900 ), một cung tròn BC nằm trong D ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B và C . Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đường vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tương ứng BC , CA , AB . Gọi P là giao điểm của MB , IK và Q là giao điểm của MC , IH. CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp được CMR tia đối của tia MI là phân giác é HMK CMR tứ giác MPIQ nội tiếp được . Suy ra PQ // BC Bài 5: Cho D ABC ( AC > AB ; > 900 ) . I , K theo thứ tự là các trung điểm của AB , AC . Các đường tròn đường kính AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F. CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng CMR tứ giác BFEC nội tiếp được Chứng minh ba đường thẳng AD , BF , CE đồng quy Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp D AEF . Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH , DE . Bài 6: Cho đường tròn (O;R) và điểm A với OA = , một đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M , N ; gọi I là trung điểm của đoạn MN . CMR OI ^ MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O) Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuông Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC của (O) Bài7: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB . Trên cung AC lấy điểm F bất kì . Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF. D AFC và D BEC có quan hệ với nhau như thế nào ? Tại sao ? CMR D FEC vuông cân Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn . CMR tứ giác BECD nội tiếp được Bài8: Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB , CD vuông góc với nhau . E là một điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( ) . EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N. CMR D AMC đồng dạng D ANC . CMR : AM.CN = 2R2 Giả sử AM=3MB . Tính tỉ số Bài 9: Một điểm M nằm trên đường tròn tâm (O) đường kính AB . Gọi H , I lần lượt là hai điểm chính giữa các cungAM , MB ; gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao điểm của AM , HI. Tính độ lớn góc HKM Vẽ IP ^ AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đường tròn (O) Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB Bài 10: Gọi O là trung điểm cạnh BC của D ABC đều . Vẽ góc xOy =600 sao cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lần lượt tại M, N . a) CMR D OBM đồng dạng D NCO , từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN . b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC . c) CMR đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định , khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC Bài11: Cho M là điểm bất kì trên nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB=2R (). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đường tròn đó . Đường Mz cắt Ax , By lần lượt tại N và P . Đường thẳng AM cắt By tại C và đường thẳng BM cắt Ax tại D . Chứng minh : a) Tứ giác AOMN nội tiếp đường tròn và NP = AN + BP b) N và P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC c) AD.BC = 4R2 d) Xác định vị trí M để tư giác ABCD có diện tích nhỏ nhất Bài 12: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB (cung AB không chứa C và D ). Dây ID , IC cắt AB lần lượt tại M và N . CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đường tròn IC và AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau tại F . CMR EF // AB Bài 13: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B () và vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính BC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đường tròn (O’) tại I . Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ? Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng CMR: MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’) và MI2 = MB.MC Bài 14: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đường tròn . Người ta vẽ một đường tròn tâm (E) tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB tại N . Đường tròn này cắt MA , MB lần lượt tại các điểm thứ hai C , D Chứng minh : CD // AB . Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN luôn đi qua một điểm K cố định. CMR : KM.KN không đổi Bài 15: Cho một đường tròn đường kính AB , các điểm C , D ở trên đường tròn sao cho C , D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC , AD lần lượt là M , N ; giao điểm của MN với AC , AD lần lượt là H , I ; giao điểm của MD với CN là K CMR: cân CMR tứ giác MCKH nội tiếp được . Suy ra KH // AD So sánh góc CAK với góc DAK Bài 16: Cho ba điểm A , B , C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng (d) vuông góc với AC tại A . Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì . Tia CM cắt đường thẳng d tại D ; tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai P. CMR tứ giác ABMD nội tiếp được CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ? Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đường tròn cố định khi M di động. Bài 17: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm M nằm trên cung AB ; gọi H là điểm chính giữa của cung AM . Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại điểm K . Các tia AH ; BM cắt nhau tại S . Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đường tròn cố định . Xác định vị trí tưong đối của đường thẳng KS với đường tròn (B;BA) Đường tròn đi qua B , I , S cắt đường tròn (B;BA) tại một điểm N . CMR đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB. Xác định vị trí của M sao cho . Bài 18: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là điểm chính giữa của cung AB không chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F . Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K . CMR: Góc CID bằng góc CKD Tứ giác CDFE nội tiếp được IK // AB Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A Bài 19: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A , kẻ tiếp tuyến chung Ax. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lượt tại các điểm B , C và cắt Ax tại điểm M . Kẻ các đường kính BO1D và CO2E. CMR: M là trung điểm của BC CMR: O1MO2 vuông Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng Gọi I là trung điểm của DE . CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng d Bài 20: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R cố định và một điểm M di động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của tam giác MAB ; P , Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của các đường thẳng AH , BH với đường tròn (O) ; S là giao điểm của các đường thẳng PB , QA. CMR : PQ là đường kính của đường tròn (O) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ? Chứng minh độ dài SH không đổi Gọi I là giao điểm của các đường thẳng SH , PQ . Chứng minh I chạy trên một đường tròn cố định. Bài 21: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP > R . Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm ) . CMR : BM // OP Đườngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N . Tứ giác OBNP là hình gì ? Tại sao ? Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao điểm của ON với PM ; J là giao điểm của PN với OM . CMR : K , I , J thẳng hàng Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đường tròn (O) Bài 22: Cho đường tròn (O;R) , hai đường kính AB và CD vuông góc nhau . Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N . Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đường tròn (O) ở điểm P . CMR tứ giác OMNP nội tiếp được Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ? CMR : CM.CN không đổi CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđường thẳng cố định  Bài 23: Cho hai đường tròn (O) , (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đường thẳng AO , AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đường tròn (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai E , F . CMR: B , F , C thẳng hàng Tứ giác CDEF nội tiếp được Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O) , (O’) Bài 24: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn ( M khác A và B ) . Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt đường trung trực của đoạn AB tại I . Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D ( D nằm trong góc BOM ). CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM. CMR : CA và DB vuông góc với AB CMR : đồng dạng CMR : AC.BD = R2 Bài 25: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên đường tròn . Gọi các điểm chính giữa của các cung AM , MB lần lượt là H , I . Cãc dây AM và HI cắt nhau tại K . Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi Hạ . Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R) Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS . Chứng minh S thuộc đường tròn (O;R) CMR kkhi M di động thì thì đường thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Bài 26: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đường tròn sao cho cung AC < 900 và . Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn sao cho C là điểm chính chính giữa cung AM . Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lượt tại E và F . Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ? CMR : D là điểm chính giữa của cung MB. Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần lượt tại I , K . CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp được. Giả sử tia AM cắt tia BD tại S . Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M , O , B , K , S cùng thuộc một đường tròn Bài 27: Cho (AB = AC ) , một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC . Trên cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tương ứng BC , CA , AB . Gọi giao điểm của BM , IK là P ; giao điểm của CM , IH là Q. CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được . CMR : MI2 = MH . MK CMR tứ giác IPMQ nội tiếp được . Suy ra PQ MI CMR nếu KI = KB thì IH = IC