Hình thành cho học sinh lớp 7 các phương pháp chứng minh hình học

Kinh nghiệm dạy học Tên kinh nghiệm : Hình thành cho học sinh lớp 7 các phương pháp chứng minh hình học Hình thành cho học sinh lớp 7 các phương pháp chứng minh hình học I .Nêu vấn đề: Từ mục tiêu đổi mới phương pháp dạy học là tích cực hoá các hoạt động của học sinh ,nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề,rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Từ đặc trưng của bộ môn hình học 7 là kết hợp trực quan và suy diễn giúp học sinh biết cách chứng minh định lí,vận dụng định lí vào việc giải các bài tập chứng minh. Từ yêu cầu giảm dần tính trực quan tăng cường khả năng suy diễn tạo nên các bước lập luận có căn cứ xác đáng ngắn gọn , phù hợp nhất, lựa chọn được phương pháp chứng minh tối ưu nhất. Từ thực tiễn dạy và học hình học 7 hiện nay ở bậc trung học cơ sở khi khoảng cách giữa yêu cầu và hiện thực còn quá xa nhau. Bằng thực tế nhiều năm dạy học toán 7 tôi thấy việc hình thành cho học sinh lớp 7 các phương pháp chứng minh hình học là rất quan trọng vì các phép chứng minh sách giáo khoa đưa ra rất riêng lẻ chưa đủ hình thành cho học sinh các bước chứng minh,các phương pháp chứng minh. Bởi vậy trong các bài thi,các bài kiểm tra hầu hết học sinh lớp 7 trình bày vừa dài lại vừa thiếu,đặc biệt khả năng vận dụng các kiến thức có liên quan trực tiêp còn quá bất cập. Từ những cơ sở lí luận chung của dạy học,từ kết quả đánh giá qua nhiều thế hệ học sinh bằng thực tiễn và tâm huyết của một người làm nghề dạy học tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nhỏ sau mong các bạn đồng nghiệp tham khảo giúp cho quá trình dạy học của chúng ta đạt hiệu quả cao hơn. II Giải quyết vấn đề: Điều trước hết mà tôi quan tâm nhất là việc nắm vững các khái niệm cơ bản nhất của hình học, chương trình hình học 7 rất nặng về khái niệm ,quy trình hình thành các khái niệm ở hình học 7 vừa có tính mô tả trực quan vừa có tính cấu trúc do đó việc nắm được bản chất của khái niệm là yêu cầu bậc nhất.Khái niệm có tính cấu trúc đặc trưng nhất ở hình học 7 là khái niệm định lí.Theo SGK: “Định lí là một khẳng định suy ra từ những khẳng định coi là đúng”.Như vậy để một định lí được trọn vẹn nhất thiết phải được suy luận chặt chẽ(chứng minh) nhưng do tính sư phạm nên nhiều định líđưa ra ở hình học 7lại được thừa nhận.ở đây có nhiều thuận lợi nhưng cũng gặp không ít khó khăn trong quá trình dạy học. Từ việc nhận biết cấu trúc của một định lí ,các hình thức khác nhau diễn đạt một nội dung của một định lí,đến việc lập các mệnh đề đảo,phản,phản đảo của nó.Do đó việc giúp học sinh nhận biết giả thiết,kết luận của một định lí là rất quan trọng đối với học sinh lớp7,đay là cơ sở để định hướng con đường suy diễn từ giả thiết cùng với các bước lập luận có căn cứ để hoàn thiện quy trình chứng minh.Do vậy khi nêu ra một định lí hay một bài toán chứng minh người dạy học phải giúp học sinh diễn đạt được nó dưới nhiều hình thức khác nhau nhưng có nội dung tương đương. Nếu có A (gt) thì có B (kl) Hoặc Có B (kl) khi có A (gt) Việc phân biệt GT,KL của học sinh không phải là điều dễ nên trong quá trình dạy học cần làm rõ các khả năng của một định lí. Loại định lí có một GT và một KL. Ví dụ : Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau Loại nhiều TG suy ra một KL Ví dụ: Hai góc kề và bù nhau thì hai tia phân giác của chúng vuông góc với nhau. Loại một GT suy ra nhiều KL Ví dụ: Nêú hai đường thẳng song song cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành: +Các cặp góc so le trong bằng nhau +Các cặp góc đồng vị bằng nhau +Các cặp góc trong cùng phía bù nhau Do vậy khi bắt gặp một định lí giáo viên cần cho học sinh diễn đạt theo các cách : GT viết trước,KL viết sau KL viết trước,GT viết sau Cần sử dụng đúng các cặp từ : Vì ……….nên……… Có …………khi……… Khi và chỉ khi; cần và đủ; ắt có và đủ. Từ một định lí (có thể xem là thuận) có thể hướng dẫn để học sinh lập được các phát biểu đảo; phản; phản đảo nhằm giúp học sinh hiểu sâu hơn bản chất mỗi định lí. Ví dụ : Từ định lí thuận: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” hãy lập các phát biểu: Đảo: “Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh” Phản: “Hai góc không đối đỉnh thì không bằng nhau” Phản đảo: “Hai góc không bằng nhau thì không đối đỉnh” Hãy xác định giá trị chân lí của mỗi phát biểu trên? Có thể kiểm tra học sinh các kiến thức trên thông qua các câu hỏi trắc nghiệm điền khuyết hay nối đôi Từ mỗi phát biểu trên định hướng cho học sinh các con đường chứng minh cho mỗi phát biểu. Do mới làm quen với chứng minh hình học nên SGK toán 7 chủ yếu sử dụng phương pháp chứng minh tổng hợp đó là phép chứng minh từ GT kết hợp với các phép suy diễn có căn cứ để đi đến KL tuy rất chặt chẽ nhưng nhiều bài sẽ rất dài.Để sử dụng phương pháp chứng minh tổng hợp giáo viên cần giúp học sinh nhận biết thật chính xác căn cứ của mỗi phép suy luận, kết quả của mỗi phép suy luận.Do đó cần hai cách suy diễn sau: Cho A (gt) cần chứng minh có Y(kl) Cách 1: Vì có A (gt) nên có B (kl) Vì có B (gt) nên có C (kl) Vì có C (gt) nên có D (kl) ……………… Vì có X (gt) nên có Y (kl) Cách 2: Có B (kl) vì có A (gt) Có C (kl) vì có B (gt) Có D (kl) vì có C (gt) …………………. Có Y (kl) vì có X (gt) Giáo viên cấn có bài làm mẫu ở dạng trên bằng cách bỏ trống các phần A,B,C,….để học sinh điền khuyết các khái niệm thích hợp. Chú ý : Cần nhấn mạnh quá trình suy luận từ A đến Y là một tổ hợp của nhiều bài toán con,mỗi phép chứng minh có thể xem là một bài toán nên mỗi kết luận trước có thể xem là giả thiết của kết luận sau.Mỗi bài toán chứng minh là tối ưu khi số bước trên là ít nhất. Ví dụ: Để chứng minh định lí : “Tổng ba góc trong của một tam giác bằng 180°”. Ngoài cách chứng minh ở SGK để tiện lợi cho việc giới thiệu góc ngoài của tam giác ở mục sau giáo viên có thể hướng dẫn học sinh cách chứng minh khác như sau: +Vẽ tia Ax là tia đối của tia AB x A y B C +Vẽ tia Ay//BC Hãy xác định các góc bằng nhau? Hãy xác định tổng số đo các góc xAy,yAC,BAC So sánh tổng trên với tổng các góc A,B,C của tam giác ABC Cho học sinh điền vào bảng sau: Bước Căn cứ (GT) Khẳng định ( KL) 1 Tia Ax //BA;Ay//BC éxAy ? éABC(vị trí ……) (1) 2 Góc ACB và góc CAy ở vị trí…….. éACB ? éCAy (2) 3 éBAC + éCAy=? éBAy + éxAy =? éBAC +éCAy +éxAy =? (3) 4 Từ (1),(2),(3) éBAC + éCBA+éACB =? Việc hình thành cho học sinh lớp 7 phương pháp chứng minh tương tự là rất quan trọng vì trong chứng minh hình học có nhiều phép chứng minh có hình thức khác nhau nhưng chung bản chất nên chỉ cần chứng minh chặt chẽ một trường hợp đại diện là đủ giúp học sinh giải nhanh các bài toán đảm bảo cả tính khoa học lẫn sư phạm. Ví dụ : Chứng minh định lí về quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác chỉ cần chứng minh AB + AC > BC là đủ để kết luận AB + BC > AC; AC+BC > AB Giáo viên có thể đưa ra một số ví dụ để học sinh sử dụng phương pháp chứng minh tương tự . Mặc dù việc chứng minh các bài toán khó ít được áp dụng ở hình học 7 nhưng ở môt số trường hợp giáo viên có thể hình thành cho học sinh phương pháp chứng minh phản chứng nhất là các bài toán,định lí có liên quan đến việc so sánh độ dài đoạn thẳng,độ lớn của góc ,thẳng hàng,đồng quy…… Ví dụ : Từ định lí thuận :”Nếu tam giác ACB có AB > AC thì AC” Có thể chứng minh bằng phương pháp phản chứng vì quan hệ giữa AB và AC chỉ có thể xẩy ra một trong ba khả năng sau: AB = AC, AB > AC, AB < AC.(Ba trường hợp trên bài xích lẫn nhau) Nếu AB=AC thì tam giác ABC cân ở A suy ra =(trái GT) Nếu AB (cũng trái GT) Vậy chỉ còn AB > AC là duy nhất. Chú ý: Điều kiện để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng là kết luận phải xẩy ra một trong hữu hạn các trường hợp. Từ quy trình chứng minh các định lí giáo viên dần hình thành cho học sinh phương pháp và quy trình chứng minh các bài toán hình học bởi mỗi phép chứng minh hình học cũng có thể xem là một phép chứng minh định lí. Ví dụ: Cho tam giác ABC phân giác AD (DẻBC) chứng minh: AB = ACÛDB = DC Trước hết cần khẳng định ở đây có hai bài toán chứng minh A B C D a)Từ giả thiết AB = AC ,=suy ra kết luận DB=DC Nếu AB=AC thì tam giác ABC là tam giác gì? Các tam giác ADC ;ADB có các yếu tố nào bằng nhau? Nếu DABD =DACD so sánh DB với DC? Cần cho học sinh viết rõ các bước chứng minh. b) Từ giả thiết DB = DC ,=suy ra kết luận AB=AC Nếu giữ nguyên hình trên đã có đủ điều kiện để suy ra kết luận chưa ? Định hướng: Lấy điểm E sao cho D là trung điểm A của AE .So sánh tam giác ABD với tam giác EDC So sánh tam giác ACD với tam giác EDB ? Tam giác ABE là tam giác gì? Giáo viên có thể cho học sinh điền vào bảng sau: B C Bước Khẳng định Căn cứ 1 D là trung điểm của AE Ta vẽ 2 DABD=DECD ………. 3 = ………. 4 = ………. 5 DECA cân ở C ….. 6 AB=AC ……… D E Chú ý : Trong quá trình chứng minh có thể để trống phần khẳng định hoặc căn cứ để học sinh điền khuyết; giáo viên có thể dùng các câu hỏi định hướng,dẫn dắt. Ví dụ: Chứng minh trong tam giác ABC trung tuyến AM ta luôn có : 2AM<AB+AC Định hướng: Nêu quan hệ độ dài ba cạnh của một tam giác?(bất đẳng thức tam giác) AB;AC;2AM có thể là ba cạnh của một tam giác không? A B M C D Lấy AD sao cho M là trung điểm của AD. So sánh AC với BD? Lập liên hệ giữa AB;AD với BD? Kết luận AD=2AM >AB+BD =AB+AC Vận dụng phương pháp tương tự giải bài toán sau: Cho tam giác ABC; BC=a; AC=b; AB=c.Các trung tuyến AD=m; BE=n; CF=p .Chứng minh: m+n+p < a+b+c Vận dụng các phương pháp chứng minh tổng hợp ; phân tích; phản chứng để giải bài toán sau: Cho tam giác ABC trung tuyến AD. Chứng minh: a) AD = 1/2.BC Û =90° b) AD > 1/2.BC Û <90° c) AD 90° Định hướng : Câu a) vận dụng các phương pháp chứng minh tổng hợp Thuận: AD = 1/2 BC => A=BD = CD =>DDAB; DDCB cân ở D So sánh góc DAB với góc DBA; góc DAC với góc DCA So sánh + với +=> =? Đảo: Nếu góc BAD vuông lấy D trên BC để =;so sánh DA;DB;DC? Câu b) Thuận: Nếu AD > 1/2.BC;lấy A’ trên AD sao cho DA’=DB=DC A A” B C D => A’ẻDA vì DA’<DA So sánh góc BA’D với góc BAD So sánh góc CA’D với góc CAD => góc BAC nhỏ hơn góc BA’C và góc BA’C vuông Đảo: Lấy A’ trên AD sao cho DA’=DB=DC các tam giác DBA’;DCA’ cân ở D => góc BA’C vuông và DA’DA>1/2BC Câuc) Sử dụng phương pháp phản chứng Giả sử c) không xẩy ra mâu thuẫn với câu a);b) nên c) phải xẩy ra III : Kết luận chung: Trên đây là một số ví dụ tôi đã sử dụng trong quá trình dạy học toán7 đã được nhiều thế hệ học sinh cảm nhận dễ dàng, góp phần hình thành cho học sinh kỹ năng giải nhiều bài toán chứng minh hình học phức tạp sau này.Từ thực tiễn dạy học các khái niệm mở đầu của hình học 7 tuy còn rất đơn giản nhưng rất quan trọng trên đã giúp cho cả người dạy lẫn người học thực hiện tốt hơn mục tiêu của giáo dục .Thông qua các kiến thức hình thành các phương pháp chứng minh không những đã giúp cho học sinh nắm chắc được kiến thức mà còn tạo cho học sinh nhiều kỹ năng vân dụng linh hoạt chúng vào việc giải quyết nhiều vấn đề cuộc sống đặt ra.Từ những ví dụ có tính liên thông từ dễ đến khó trên góp phần giúp học sinh thực hiện tốt quan điểm “ đơn giản hoá các vấn đề phức tạp”.Tuy còn nhiều vấn đề chưa được giải quyết thoả đáng song với tinh thần học hỏi để cùng tiến bộ tôi rất muốn được bạn đọc quan tâm góp ý để quá trình dạy học của chúng ta đạt được nhiều thành tích cao hơn