Học liệu mở môn Toán – khối 9 Năm học : 2013 - 2014

PHÒNG GD – ĐT BÌNH TÂN TRƯỜNG THCS TÂN THÀNH CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc Tân Thành, ngày 21 tháng 10 năm 2013 HỌC LIỆU MỞ Môn : Toán – Khối 9 Năm học : 2013 - 2014 I. ĐẠI SỐ Câu 1: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc? Đáp án: Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ) Mỗi giờ người thứ nhất làm được(cv), người thứ hai làm được(cv) Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được=(cv) Do đó ta có phương trình Û 5x2 – 14x – 24 = 0 D’ = 49 + 120 = 169, => (loại) và (TMĐK) Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ, người thứ hai làm xong công việc trong 4+2 = 6 giờ. Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đường thẳng (D): trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính. Đáp án: a) Đồ thị: Lưu ý: (P) đi qua O(0;0), (D) đi qua b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (D) là Û x2 + 2x – 8 = 0 y(-4) = 4, y(2) = 1 Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (D) là . Câu 3: Cho phương trình (x là ẩn số) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức M = đạt giá trị nhỏ nhất Đáp án: a/ Phương trình (1) có ∆’ = m2 - 4m +8 = (m - 2)2 +4 > 0 với mọi m nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b/ Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: S = ; P = M = = . Khi m = 1 ta có nhỏ nhất lớn nhất khi m = 1 nhỏ nhất khi m = 1 Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là - 2 khi m = 1 Câu 4: Cho biểu thức: A = với a và b là các số dương khác nhau. a) Rút gọn biểu thức A – . b) Tính giá trị của A khi a = và b = . Đáp án: Ta có : a) Ta có : Vậy = 0 b) Ta có : Thay vào biểu thức ta được : Vậy với a = 7 - ; b = 7 + 4 thì A = . II. Hình học Câu 1: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB. 1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh 3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C 4) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và . Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK Đáp án: A B C M H K O E Ta có ( do chắn nửa đường tròn đk AB) (do K là hình chiếu của H trên AB) => nên tứ giác CBKH nội tiếp trong đường tròn đường kính HB. Ta có (do cùng chắn của (O)) và (vì cùng chắn .của đtròn đk HB) Vậy Vì OC ^ AB nên C là điểm chính giữa của cung AB Þ AC = BC và Xét 2 tam giác MAC và EBC có MA= EB(gt), AC = CB(cmt) và = vì cùng chắn cung của (O) ÞMAC và EBC (cgc) Þ CM = CE Þ tam giác MCE cân tại C (1) Ta lại có (vì chắn cung ) . Þ(tính chất tam giác MCE cân tại C) Mà (Tính chất tổng ba góc trong tam giác)Þ (2) Từ (1), (2) Þtam giác MCE là tam giác vuông cân tại C (đpcm). A B C M H K O S P E N 4) Gọi S là giao điểm của BM và đường thẳng (d), N là giao điểm của BP với HK. Xét DPAM và D OBM : Theo giả thiết ta có (vì có R = OB). Mặt khác ta có (vì cùng chắn cung của (O)) Þ DPAM ∽ D OBM .(do OB = OM = R) (3) Vì (do chắn nửa đtròn(O)) Þ tam giác AMS vuông tại M. Þ và (4) Mà PM = PA(cmt) nên Từ (3) và (4) Þ PA = PS hay P là trung điểm của AS. Vì HK//AS (cùng vuông góc AB) nên theo ĐL Ta-lét, ta có: hay mà PA = PS(cmt) hay BP đi qua trung điểm N của HK. (đpcm) Câu 2: Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME<MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO). Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp. Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh rằng đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC. Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng. M E F K S A B T P Q C H O V Đáp án Vì ta có do hai tam giác đồng dạng MAE và MBF Nên MA.MB = ME.MF (Phương tích của M đối với đường tròn tâm O) Do hệ thức lượng trong đường tròn ta có MA.MB = MC2, mặt khác hệ thức lượng trong tam giác vuông MCO ta có MH.MO = MC2 MA.MB = MH.MO nên tứ giác AHOB nội tiếp trong đường tròn. Xét tứ giác MKSC nội tiếp trong đường tròn đường kính MS (có hai góc K và C vuông). Vậy ta có : MK2 = ME.MF = MC2 nên MK = MC. Do đó MF chính là đường trung trực của KC nên MS vuông góc với KC tại V. Do hệ thức lượng trong đường tròn ta có MA.MB = MV.MS của đường tròn tâm Q. Tương tự với đường tròn tâm P ta cũng có MV.MS = ME.MF nên PQ vuông góc với MS và là đường trung trực của VS (đường nối hai tâm của hai đường tròn). Nên PQ cũng đi qua trung điểm của KS (do định lí trung bình của tam giác SKV). Vậy 3 điểm T, Q, P thẳng hàng. Câu 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC,B Î (O),CÎ(O’). Đường thẳng BO cắt (O) tại điểm thứ hai là D. Chứ`ng minh rằng tứ giác CO’OB là một hình thang vuông. Chứng minh rằng ba điểm A, C, D thẳng hàng. Từ D kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E là tiếp điểm). Chứng minh rằng DB = DE. Đáp án B C E D A O O’ 1) Theo tính chất của tiếp tuyến ta có OB, O’C vuông góc với BC Þ tứ giác CO’OB là hình thang vuông. 2) Ta có góc ABC = góc BDC Þ góc ABC + góc BCA = 900 Þ góc BAC = 900 Mặt khác, ta có góc BAD = 900 (nội tiếp nửa đường tròn) Vậy ta có góc DAC = 1800 nên 3 điểm D, A, C thẳng hàng. 3) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông DBC ta có DB2 = DA.DC Mặt khác, theo hệ thức lượng trong đường tròn (chứng minh bằng tam giác đồng dạng) ta có DE2 = DA.DC Þ DB = DE. HIỆU TRƯỞNG TỔ TRƯỞNG GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN