Hướng dẫn chấm thi, đề thi môn Toán học THPT

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2012 Môn thi: TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Bản hướng dẫn này gồm 04 trang) I. Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi. 3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,00 điểm). II. Đáp án và thang điểm CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1. (2,0 điểm) Tập xác định: D .= \ 0,25 Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: 3 04 ; 0 2 x y x x y' x . =⎡′ = − = ⇔ ⎢ = ±⎣ + Trên các khoảng ( )2 ; 0− và ( )2 ; 0, y′+ ∞ > nên hàm số đồng biến. + Trên các khoảng ( ); 2−∞ − và ( )0 ; 2 0, y′ < nên hàm số nghịch biến. 0,50 • Cực trị: + Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ 0.= + Hàm số đạt cực tiểu tại 2x = ± và yCT 4.= − 0,25 • Giới hạn: ; x x lim y lim y . →−∞ →+∞ = +∞ = +∞ 0,25 Câu 1 (3,0 điểm) • Bảng biến thiên: 0,25 +∞ − 4 x − ∞ − 2 0 2 +∞ y’ − 0 + 0 − 0 + y − 4 +∞ 0 2 Đồ thị: Lưu ý: Thí sinh chỉ trình bày: Đồ thị cắt Ox tại O và ( )2 2 ;0± hoặc thể hiện ( )2 2 ;0± trên hình vẽ thì vẫn cho đủ 0,50 điểm. 0,50 2. (1,0 điểm) Ta có ( ) ( )3 24 ; 3 4f x x x f x x .′ ′′= − = − 0,25 ( ) 20 0 01 3 4 1 1f x x x .′′ = − ⇔ − = − ⇔ = ± 0,25 ( )0 0 71 ; 1 3,4x y f '= ⇒ = − = − ta được phương trình tiếp tuyến là 53 4 y x .= − + 0,25 ( )0 0 71 ; 1 3,4x y f '= − ⇒ = − − = ta được phương trình tiếp tuyến là 53 4 y x .= + 0,25 1. (1,0 điểm) Điều kiện: 3x .> 0,25 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với ( ) ( )2 4 2 23 2 32 2log x log x log x log x− + − += ⇔ = 0,25 ( ) 22 3 2 3 4 0log x x x x⇔ − = ⇔ − − =⎡ ⎤⎣ ⎦ 0,25 1 4 x x = −⎡⇔ ⎢ =⎣ . Vậy nghiệm của phương trình là 4x .= 0,25 2. (1,0 điểm) Đặt 1x xt e dt e dx.= − ⇒ = 0,25 Đổi cận: 0 0x t= ⇒ = ; 2 1x ln t .= ⇒ = 0,25 Suy ra 11 3 2 0 0 3 tI t dt .= =∫ 0,25 Câu 2 (3,0 điểm) Vậy 1 3 I .= 0,25 (loại) x y O 2 4− 2 2 2 2− 2− 3 3. (1,0 điểm) Trên đoạn [ ]0 ; 1 , ta có ( ) ( ) 2 2 1 1 m mf x . x − +′ = + 0,25 Mà ( )2 1 0, 0m m m f x .′− + > ∀ ∈ ⇒ >\ Nên hàm số đồng biến trên [ ]0 ; 1 . 0,25 Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [ ]0 ; 1 là ( ) 20f m m.= − + 0,25 [ ] ( ) 20;1 2 2min f x m m .= − ⇔ − + = − Vậy 1m = − và 2m = . 0,25 Ta có ( ) n o60A A ABC A BA .′ ′⊥ ⇒ = 0,25 Diện tích đáy: 2 2ABC aS .∆ = 0,25 Chiều cao lăng trụ: 60 3AA' atan a .= =D 0,25 Câu 3 (1,0 điểm) Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A B C′ ′ ′ là 3 3 2ABC.A B C ABC aV S .A A' .′ ′ ′ ∆= = 0,25 1. (1,0 điểm) Ta có ( )2 ; 0 ; 4 ,AB = −JJJG suy ra AB có vectơ chỉ phương là ( )1 ; 0 ; 2u .= −G 0,50 Vậy phương trình tham số của đường thẳng AB là 2 2 1 2 x t y z t. = −⎧⎪ =⎨⎪ = +⎩ 0,50 2. (1,0 điểm) Gọi ( )S là mặt cầu có đường kính AB và I là trung điểm AB. Suy ra ( )1 ; 2 ; 3I là tâm của ( )S . 0,25 Bán kính của ( )S là ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 2 1 3 5R IA .= = − + − + − = 0,25 Mà ( )( ) ( )( )22 2 2 1 1 2 5 , 5 2 1 0 . . d I P . + − += = + − + 0,25 Câu 4.a (2,0 điểm) Nên ( )( ),d I P R= . Vậy ( )P tiếp xúc với ( )S . 0,25 A A' C' C B B' 60D 4 Ta có 2 6 8z i= − và 3 4z i.= + 0,25 Suy ra 2 9 4z z i.+ = − 0,25 Câu 5.a (1,0 điểm) ( ) ( )( ) ( )25 3 4 25 4 325 4 3 3 4 3 4 9 16 i i ii i. z i i + − += = = − +− + + 0,50 1. (1,0 điểm) Đường thẳng OA có vectơ chỉ phương là ( )2 ; 1 ; 2OA .=JJJG 0,50 Vậy phương trình của đường thẳng OA là 2 2 x t y t z t =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩ hoặc 2 1 2 x y z .= = 0,50 2. (1,0 điểm) Bán kính mặt cầu ( )S là 2 2 22 1 2 3R OA .= = + + = 0,25 Suy ra ( )S : ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 9x y z .− + − + − = 0,25 Đường thẳng ∆ qua ( )1 ; 3 ; 0B và có vectơ chỉ phương ( )2 ; 2 ; 1u .=G Mặt khác, ( )1 ; 2 ; 2BA = −JJJG ( ), 6 ; 3 ; 6BA u .⎡ ⎤⇒ = −⎣ ⎦ JJJG G Nên ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 , 6 3 6 , 3 2 2 1 BA u d A . u ⎡ ⎤ − + +⎣ ⎦∆ = = = + + JJJG G G 0,25 Câu 4.b (2,0 điểm) Suy ra ( ),d A R∆ = . Vậy ∆ tiếp xúc ( )S . 0,25 Ta có ( )( )( )( ) 1 9 11 9 8 10 1 1 1 2 i ii i . i i i + ++ − += =− − + 0,25 Suy ra 4 5 5 4z i i .= − + − = − 0,25 Câu 5.b (1,0 điểm) Mặt khác, ( )24 2z i .= − = Vì vậy các căn bậc hai của z là 2i− và 2i. 0,50 --------------- Hết ---------------