Hướng dẫn ôn tập kiến thức lý thuyết cơ bản Toán 9 Đại số và Hình học

Hướng dẫn ôn tập kiến thức lý thuyết cơ bản toán 9 Đại số và hình học. a- phần đại số I-Định nghĩa tính chất căn bậc hai: a) Với số dương a, sốđược gọi là căn bậc hai số học(CBHSH) của a. b) Với a ³ 0; x= Û c) +Mỗi số dương a có hai căn bậc hai là hai số đối nhau: >0 và -< 0 + Số 0 có căn bậc hai duy nhất là 0. Số âm không có căn bậc hai . d) Với hai số a và b không âm, ta có: a < b Û e) Với mọi số a, ta có II-Các công thức biến đổi căn thức (Với A ³ 0; B ³ 0) (Với A ³ 0; B ³ 0) (Với B ³ 0) (Với A ³ 0; B ³ 0); (Với A < 0; B ³ 0) (Với AB ³ 0; B ạ 0) (Với B > 0) (Với A ³ 0; ẠB2 ) 9. ( Với A ³ 0; B ³ 0 và ẠB ) III-Hàm số bậc nhất 1) Định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: y= ax + b. ( a, b là các số thực cho trước và a ạ 0 ). 2) Các tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b là : + Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị xẻ R. + Hàm số đồng biến trên R khi a > 0 và nghịch biến trên R Khi a < 0. 3) Đồ thị của hàm số y = ax + b (aạ0): Là một đường thẳng: - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b - Song song với đg thẳng y = ax nếu bạ0; trùng với đg thẳng y = ax nếu b=0 4) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: - Cho hai đường thẳng: (d) y= ax + b và (d') y= a'x + b'(a và a’ là hệ số góc) + (d) cắt (d') Û a ạ a'; + (d) º (d') + (d)// (d') ; + (d) ^ (d') 5) Cách tìm giao điểm của đồ thị y = ax+ b với các trục toạ độ: + Giao với trục tung : cho x = 0 ị y = b ị A(0; b) + Giao với trục hoành: cho y = 0 ị x = -b/a ị B(-b/a; 0) IV-Dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩnvà cách giải: 1. Dạng tổng quát: Trong đó (1) và (2) là những phương trình bậc nhất 2ẩn. 2.Phương pháp giải: a/ Phương pháp đồ thi . b/ Phương pháp thế. c/ Phương pháp cộng đại số. + Ví dụ:Hệ PT V-Hàm số và đồ thị hàm số y = ax2 (a ạ 0) 1-Tính chất của hàm số y = ax2 (a ạ 0) - Nếu a>0 hàm số y = ax2 đồng biến khi x>0, nghịch biến khi x< 0 và bằng 0 khi x=0 - Nếu a< 0 hàm số y = ax2 đồng biến khi x<0, nghịch biến khi x< 0 và bằng 0 khi x= 0 2- Đồ thị hàm số y = ax2 (a ạ0) là một parabol có đỉnh là điểm O(0;0), nhận 0y là trục đối xứng. - Nằm phía trên trục hoành và nhận điểm O(0;0) là điểm thấp nhất nếu a > 0 - Nằm phía dưới trục hoành và nhận điểm O(0;0) là điểm cao nhất nếu a < 0 y y X 0 0 x a > 0 a < 0 3-Một số ví dụ: *VD1: Cho hàm số y = -2x2với x> - Do a =-2ị Hàm số y = -2x2 nghịch biến *VD2: Cho hàm số y= (m + 1)x2 với x < 0 - Vì x < 0 ị Hàm số đồng biến khi m + 1 < 0 hay m <-1 Hàm số nghịch biến khi m + 1 > 0 hay m > -1 - Vậy nếu x -1 . VI-Phương trình bậc hai một ẩn 1) Định nghĩa: PT bậc hai một ẩn là phương có dạng ax2 + bx + c = 0 . Trong đó x là ẩn ; a,b,c là các hệ số đã cho (a ạ0) 2) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai ax2+bx+c= 0 (a ạ0) + D < 0 Phương trình vô nghiệm D = b2 - 4acị + D = 0 Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = + D > 0 PT có 2 nghiệm phân biệt: ; *) Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai ax2+bx+c= 0 với b = 2b' + D'< 0 Phương trình vô nghiệm D'= b'2 - ac ị + D'= 0 Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = + D' > 0 PT có 2 nghiệm phân biệt: ; VII-Hệ thức Viét và ứng dụng 1) Hệ thức Vi ét: Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 có hai nghiệm x1; x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là: ; 2) áp dụng hệ thức Viét để nhẩm nghiệm PT bậc hai: ax2+bx+c = 0(aạ0) + Nếu a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm là:x1= 1; x2= + Nếu a- b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm là: x1=-1; x2= - 3) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình: x2- Sx +P=0 (ĐK: S2- 4P³ 0) d) Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0 có a.c <0 thì luôn có hai nghiệm trái dấu. VIII-Cách giải các dạng phương trình: 1) Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c = 0 (aạ 0) Cách giải: Đặt x2= t ³ 0, ta được phương trình bậc hai : at2+bt+c = 0 2) Phương trình tích: là phương trình có dạng A.B.C = 0 Cách giải: A.B.C = 0 Nghiệm của 3 PT trên là nghiệm của PT tích đã cho 3) Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Cách giải: + Bước1: Tìm ĐKXĐ của phương trình + Bước2: Quy đồng mẫu thức 2 vế rồi khử mẫu + Bước3: Giải phương trình vừa nhận được + Bước4: Trong các giá trị vừa tìm được, loại những giá trị không thoả mãn ĐKXĐ, những giá trị thoả mãn ĐKXĐ là nghiệm của phương trìnhđã cho. 4) Phương trình chứa căn bậc hai: (Thông thường ta đặt ĐK để hai vế không âm rồi bình phương hai vế để khử dấu căn sau đó đố chiếu ĐK để kết luận nghiệm của phương trình) + Dạng hai vế có chứa căn thức bậc hai - Cách giải: Û A = B (A ; B ³ 0 ) + Dạng chỉ có căn thức bậc hai ở một vế: - Cách giải: + Dạng: (Hay ) - Cách giải: ; () IX-Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình). + Bước1: Lập phương trình (Hệ phương trình) - Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Lập phương trình (hệ PT) biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng + Bước2: Giải phương trình (Hệ phương trình) + Bước3: Đối chiếu với điều kiện của ẩn, trả lời bài toán. * Một số dạng toán thường gặp:+ Toán chuyển động : S = v.t + Toán năng suất : Khối lượng công việc = Năng suất . thời gian làm việc (Khối lượng công việc thường quy ước là 1 đơn vị) + Toán tìm số : abc = 100a + 10b + c + Toán phần trăm % : Tăng a% của x ta được: x + x.a% = b- phần hình học I- Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. A c h b c B H a C Cho DABC vuông tại A, đường cao AH Khi đó ta có: c’ b’ 1) b2 = a. b’; c2 = a. c’ 4) h 2) h2 = b’. c’ 5) a2= b2 + c2 (Pytago) 3) ah = bc II- Tỉ số lượng giác của góc nhọn a) Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn (00<a<900) Sin a = ; Cos a =; Tg a = ; Cotg a = b) Một số tính chất của các tỉ số lượng giác: + Cho hai góc a và b phụ nhau. Khi đó có: Sin a = Cos b; Cos a = Sin b; tg a = cotg b ; cotg a = tg b + Cho góc nhọn a. Ta có: 0< Sina<1; 0< Cosa<1; Sin2a + Cos2a=1 tga = ; cotga = ; tga.cotga = 1 c) Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: Cho DABC vuông tại A. Khi đó cạnh góc vuông được tính như sau: b = a.sinB; c = a.sinC (Cạnh huyền nhân với sin góc đối) b = a.cosC; c = a.cosB (Cạnh huyền nhân với cos góc kề) b = c.tgB; c = b.tgC (Cạnh góc vuông kia nhân tg góc đối) b = c.cotgC; c = b.cotgB (Cạnh góc vuông kia nhân cotg góc kề) d)Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt: Góc a Tỉ số lượng giác 00 300 450 600 900 sin a 0 1 cos a 1 0 tg a 0 1 cotg a 1 0 III-Định nghĩa đường tròn: Tập hợp (quỹ tích) các điểm cách điểm 0 cho trước một khoảng không đổi R> 0 là đường tròn tâm O bán kính R. Kí hiệu (O;R). IV- Quan hệ đường kính dây cung. 1- Định lí1: "Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn": 2- Định lí2: Trong một đường tròn đường kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra hai phần bằng nhau. 3- Định lí3:Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó. V-Tiếp tuyến và tính chất của tiếp tuyến: 1- Định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn: Một đường thẳng gọi là 1 tiếp tuyến của đường tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đường tròn đó. 2- Các tính chất của tiếp tuyến: + Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. + Nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại mút nằm trên đường tròn thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn. + Nếu 2 tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. - Tia kẻ từ tâm đường tròn đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm. VI- Định lý liên hệ giữa cung và dây cung, giữa dây và khoảng cách đến tâm * Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn ( hay hai đường tròn bằng nhau) + Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau + Hai dây cung bằng nhau căng hai cung bằng nhau + Cung lớn hơn căng dây lớn hơn và dây lớn hơn căng cung lớn hơn. * Trong một đường tròn. + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và hai dây cách đều tâm thì bằng nhau + Dây lớn hơn thì gần tâm hơn và dây gần tâm hơn thì lớn hơn. VII- Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (O;R) với d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng. STT Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ 1 Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d<R 2 Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn 1 d=R 3 Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d>R VIII- Vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) và (O';r) STT Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ 1 Hai đường tròn cắt nhau 2 R - r< OO’ <R+ r 2 Hai đường tròn tiếp xúc nhau a) Tiếp xúc ngoài b) Tiếp xúc trong 1 OO’ = R + r OO’ = R - r 3 Hai đường tròn không giao nhau a) Hai đường tròn ở ngoài nhau b) Đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ c) Hai đường tròn đồng tâm 0 OO’ > R+ r OO’ < R - r OO’ = 0 IX- Các góc với đường tròn a) Góc ở tâm: + ĐN: Là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn + TC: Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó Số đo cung lớn bằng 3600 trừ đi số đo cung nhỏ (có chung hai điểm mút) b) Góc nội tiếp: + ĐN: Là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. + TC: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn + Hệ quả: Trong một đường tròn - Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau thì bằng nhau - Các góc nội tiếp không quá 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. c) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: + TC: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. + Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. d) Góc có đỉnh ở trong và ngoài đường tròn: + Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn. + Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn. X-Tứ giác nội tiếp + Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn thì được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác). + Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800. + Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn. + Các cách chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp: - Cách1: Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cách đều một điểm O nào đó. OA = OB = OC = OD - Cách2: *Chứng minh tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 1800 hoặc * Chứng minh góc trong bằng góc ngoài của đỉnh đối diện. Cách3: Chứng minh 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau. (Trường hợp đặc biệt hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới 1 góc vuông thì cạnh đó chính là đường kính của đường tròn). XI- Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt a) Công thức tính độ dài đường tròn: C = 2pR (R: bán kính đường tròn) Công thức tính diện tích hình tròn: S = pR2 b) Công thức tính độ dài cung tròn n0 : (R: bán kính đường tròn) Công thức tính diện tích quạt tròn n0: c) Công thức tính diện tích hình viên phân: SVP= Squat - SD XII- Hình không gian a) Hình trụ: + Diện tích xung quanh: Sxq= 2prh + Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + 2 Sd = 2prh + 2pr2 + Thể tích hình trụ : V = Sđ.h = pr2h (Trong đó:r là bán kính đáy; h là chiều cao hình trụ; Sđ là diện tích đáy) b) Hình nón: + Diện tích xung quanh: Sxq = prl + Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sd = prl + pr2 + Thể tích hình nón : V = Sđ.h = pr2h (Trong đó:r là bán kính đáy; h là chiều cao hình nón; l là độ dài đường sinh) c) Hình cầu: + Diện tích mặt cầu: S = pd2 = 4pR2 + Thể tích hình cầu : V= a b c (Trong đó:R là bán kính; d là đường kính hình cầu) d) Hình hộp chữ nhật: + Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + 2 Sd + Thể tích : V = Sđ.h = abc e) Hình lăng trụ đứng:+ Diện tích xung quanh: Sxq = 2p.h + Diện tích toàn phần : Stp = Sxq +2 Sđ + Thể tích hình nón : V = S.h (Trong p lànửa chu vi đáy; S là diện tích đáy; h là chiều cao). f) Hình chóp đều: + Diện tích xung quanh: Sxq = p.d + Diện tích toàn phần : Stp = Sxq+ Sđ + Thể tích : V = (Trong p lànửa chu vi đáy; d là độ dài trung đoạn kẻ từ đỉnh đến trung điểm một cạnh đáy; S là diện tích đáy; h là chiều cao). XIII-Một số công thức liên quan đến tam giác và đường tròn. a) Bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều cạnh a + Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = + Bán kính đường tròn nội tiếp: r = b) Độ dài cạnh của các đa giác đều nội tiếp đường tròn: + Cạnh tam giác đều: a = R + Cạnh hình vuông: a = R + Cạnh lục giác đều: a = R c) Công thức tính diện tích tam giác: + Diện tích tam giác thường : S =(a.h):2 (a là độ dài cạnh, h là chiều cao tương ứng). + Diện tích tam giác vuông: S = a.b (a, b là độ dài 2 cạnh góc vuông) + Diện tích tam giác đều : S = (a là độ dài cạnh tam giác đều)