Hướng dẫn ôn tập môn Toán lớp: 9 - Học kì I (2013 – 2014)

TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG HƯỚNG DẪN ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP: 9 - HỌC KÌ I (2013 – 2014) CHỦ ĐỀ 1: C¨n thøc – rót gän biÓu thøc I. Kiến thức: Œ Kiến thức cơ bản: + Nhác lại các hằng đẳng thức áp dụng nhiều cho dạng toán rút gọn biểu thức: 1. Bình phương của một tổng : (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2. Bình phương của một hiệu : (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 3. Hiệu hai bình phương : A2 – B2 = (A + B).(A – B) 4. Lập phương của một tổng : (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5. Lập phương của một hiệu : (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 6. Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B).(A2 – AB + B2) 7. Hiệu hai lập phương: A3 - B3 = (A – B).(A2 + AB + B2) 8. Tổng hai lập phương, (áp dụng vào định lí Viét) : A2 + B2 = (A + B)2 – 2AB . 1. §iÒu kiÖn tån t¹i : Cã nghÜa 2. H»ng ®¼ng thøc: = 3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương: 4. Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph­¬ng: 5. §­a thõa sè ra ngoµi c¨n: 6. §­a thõa sè vµo trong c¨n: ; 7. Khử mẫu của biểu thức lấy căn: (A.B0 và B0) 8. Trục căn thức ở mẫu ( TH: 1,2): ; . (A0 và AB2) 9. Trôc c¨n thøc ë mÉu (trường hợp 3,4):  Bài tập:  T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× c¸c biÓu thøc sau ®©y x¸c ®Þnh: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) + Một số bài tập giải mẫu: Tìm x để có nghĩa? có nghĩa khi: 2x – 1 0 x Tìm x để có nghĩa? có nghĩa khi 3x + 4 0 3x ‚ Rút gọn biểu thức *Ví dụ: 1)Tính giá trị biểu thức: (Áp dụng trục căn thức ở mẫu) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) + Một số bài tập giải mẫu: Bài 1: a) Tính: b) Tính: = c) Tính: d) Đề thi vào lớp 10 năm học 2009 – 2010: 1/ Rút gọn biểu thức Giải: ƒ Giải phương trình: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 11) 12) + Một số bài tập giải mẫu: Tìm x biết: Vậy: tập nghiệm của phương trình là II. CÁC BÀI TẬP DẠNG TỔNG HỢP: A. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN:  Ph©n tÝch tö vµ mÉu thµnh nh©n tö (råi rót gän nÕu ®­îc) ‚ T×m §KX§ cña biÓu thøc: lµ điều kiện xác định cña căn bậc 2 và điều kiện cho mẫu tức khác 0, rồi chọn lọc kết luận lại. ƒQuy ®ång, gåm c¸c b­íc: + Chän mÉu chung : lµ tÝch c¸c nh©n tö chung vµ riªng, mçi nh©n tö lÊy sè mò lín nhÊt. + T×m nh©n tö phô: lÊy mÉu chung chia cho tõng mÉu ®Ó ®­îc nh©n tö phô t­¬ng øng. + Nh©n nh©n tö phô víi tö – Gi÷ nguyªn mÉu chung. „Bá ngoÆc: b»ng c¸ch nh©n ®a thøc hoÆc dïng h»ng ®¼ng thøc. …Thu gän: lµ céng trõ c¸c h¹ng tö ®ång d¹ng. †Ph©n tÝch tö thµnh nh©n tö ( mÉu gi÷ nguyªn). ‡Rót gän. B.Bµi tËp luyÖn tËp: Bài 1 Cho biểu thức : A = 1) Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của biểu thức A tại Bµi 2: Cho biểu thức A = a) Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn A b) Tìm x để A = - 1 Bµi 3: Cho biÓu thøc : P = a) T×m điều kiện để biểu thức P có nghĩa vµ rót gän P b) T×m x ®Ó P = 2 Bµi 4: Cho biÓu thøc: Q = ( a) T×m điều kiện để biểu thức Q có nghĩa råi rót gän Q b) T×m a ®Ó Q d­¬ng c) TÝnh gi¸ trÞ cña BiÓu thøc biÕt a = 9- 4 + Một số bài tập giải mẫu: Bài 1: Cho biểu thức: Tìm điều kiện xác định của biểu thức A. Rút gọn A. Tìm giá trị lớn nhất của A. Giải: a) Điều kiện xác định của biểu thức A là b) Rút gọn A : c) Tìm giá trị lớn nhất của A: Giá trị lớn nhất của A là 1 khi x = 0 Bài 2: Cho biểu thức: với a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để A có giá trị bằng 6. Giải: a) Rút gọn biểu thức A: = = b) Tìm x để A có giá trị bằng 6: A = 6 () (TMĐK) Vậy: A = 6 thì x = 4 Bài 3: Cho biểu thức: Tìm điều kiện xác định của P. Rút gọn biểu thức P Với giá trị nào của a thì P có giá trị bằng. Giải: Tìm điều kiện xác định của P. Điều kiện: Rút gọn biểu thức P: Với giá trị nào của a thì P có giá trị bằng: Bài 4: Cho biểu thức: P = , với x 0 Rút gọn biểu thức P. Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức Q = nhận giá trị nguyên. Giải: a) Rút gọn biểu thức P: P = , với x 0 = = b)Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức Q = nhận giá trị nguyên: Q = = Q thì Q = -1 Bài 5: Cho biểu thức: P(x) = , với x 0 và x 1 Rút gọn biểu thức P(x). Tìm x để: 2x2 + P(x) 0 Giải: a) Rút gọn biểu thức P. P = , với x 0 và x 1 = b) Tìm x để: 2x2 + P(x) 0: 2x2 + P(x) 0 Kết hợp điều kiện, suy ra: Bài 6: ( Đề Thi vào lớp 10 trường THỰC HÀNH CAO NGUYÊN năm học 2012 – 2013 ) (1,5 đ) Cho biểu thức: a) Rút gọn A b) Tìm a để A < -1 Giải: a) Rút gọn A: điều kiện: Bài 7: ( Đề Thi vào lớp 10 năm học 2009 – 2010 ) (1,5 đ) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức B. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên . Giải: a) ĐKXĐ: b) ( Với ) B nguyên Vậy : Với thì B nguyên Chủ đề 2: hµm sè - hµm sè bËc nhÊt I. Hàm số: Kh¸i niÖm hµm sè * NÕu ®¹i l­îng y phô thuéc vµo ®¹i l­îng x sao cho mçi gi¸ trÞ cña x, ta lu«n x¸c ®Þnh ®­îc chØ mét gi¸ trÞ t­¬ng øng cña y th× y ®­îc gäi lµ hµm sè cña x vµ x ®­îc gäi lµ biÕn sè. * Hµm sè cã thÓ cho bëi c«ng thøc hoÆc cho bëi b¶ng. II. Hàm số bậc nhất: Œ Kiến thức cơ bản:  §Þnh nghÜa: Hµm sè bËc nhÊt là hàm số cã d¹ng: Trong ®ã a; b lµ c¸c số cho trước () Nh­ vËy: §iÒu kiÖn ®Ó hµm sè d¹ng: lµ hµm sè bËc nhÊt lµ: VÝ dô: Cho hµm sè: y = (3 – m) x – 2 (1) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè (1) lµ hµm sè bËc nhÊt. Gi¶i: Hµm sè (1) lµ bËc nhÊt ‚ TÝnh chÊt: + TX§: + §ång biÕn khi . NghÞch biÕn khi VÝ dô: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - 2 (2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè (2): + §ång biÕn trªn R + NghÞch biÕn trªn R Gi¶i: + Hµm sè (1) §ång biÕn + Hµm sè (1) NghÞch biÕn ƒ §å thÞ: + §Æc ®iÓm: §å thÞ hµm sè bËc nhÊt lµ ®­êng th¼ng c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng b. c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng . + Tõ ®Æc ®iÓm ®ã ta cã c¸ch vÏ: - cho x = 0 y = b ta được điểm P(0; b) thuộc đồ thị trên. - Cho y = 0 x = ta được điểm Q thuộc đồ thị trên. Hoặc lập bảng biến thiên sau: x 0 -b/a y b 0 VÏ ®­êng th¼ng qua hai ®iÓm: -b/a ( ë trôc hoµnh) vµ b ( ë trôc tung) VÝ dô: VÏ ®å thÞ hµm sè : y = 2x + 1 Gi¶i: x 0 - 0,5 y 1 0 „ §iÒu kiÖn ®Ó hai ®­êng th¼ng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + C¾t nhau: (d1) c¾t (d2). */. §Ó hai ®­êng th¼ng c¾t nhau trªn trôc tung th× cần thªm ®iÒu kiÖn . */. §Ó hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau th× : + Song song víi nhau: (d1) // (d2). + Trïng nhau: (d1) (d2). VÝ dô: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + 2 (d1) Và y = 2 x – m (d2) a/ T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hai hµm sè song song víi nhau. b/ T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hai hµm sè c¾t nhau c/ T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hai hµm sè c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung. Gi¶i: a/ (d1)//(d2) b/ (d1) c¾t (d2) c/ (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung … HÖ sè gãc cña ®­êng th¼ng y = ax + b lµ a. + C¸ch tÝnh gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng víi trôc Ox lµ dùa vµo tØ sè l­îng gi¸c Tr­êng hîp: a > 0 th× gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng víi trôc Ox lµ gãc nhän. Tr­êng hîp: a < 0 th× gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng víi trôc Ox lµ gãc tï. VÝ dô 1: TÝnh gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng y = 2x + 1 víi trôc Ox Gi¶i: Ta cã: VËy gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng y = 2x + 1 víi trôc Ox lµ: VÝ dô 2: TÝnh gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng y = - 2x + 1 víi trôc Ox. Ta cã: VËy gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng y = - 2x + 1 víi trôc Ox lµ: † Các dạng bài tập về đường thẳng: Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng nhau. Ph­¬ng ph¸p: Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn. -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a0). Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn. ¤Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b ; (d2): y = a’x + b’ Ph­¬ng ph¸p: §Æt ax + b = a’x + b’ gi¶i ph­¬ng tr×nh ta t×m ®­îc gi¸ trÞ cña x; thay gi¸ trÞ cña x vµo (d1) hoÆc (d2) ta tÝnh ®­îc gi¸ trÞ cña y. CÆp gi¸ trÞ cña x vµ y lµ to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng. ¤Tính chu vi diện tích của các hình tạo bởi các đường thẳng: Ph­¬ng ph¸p: +Dùa vµo c¸c tam gi¸c vu«ng vµ ®Þnh lý Py ta go ®Ó tÝnh ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng kh«ng biÕt trùc tiÕp ®­îc. Råi tÝnh chu vi tam gi¸c b»ng c¸ch céng c¸c c¹nh. + Dùa vµo c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Ó tÝnh S -Dạng 3: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn. -D¹ng 4: §iÓm thuéc ®å thÞ; ®iÓm kh«ng thuéc ®å thÞ: Ph­¬ng ph¸p: VÝ dô: Cho hµm sè bËc nhÊt: y = ax + b. §iÓm M (x1; y1) cã thuéc ®å thÞ kh«ng? Thay gi¸ trÞ cña x1 vµo hµm sè; tÝnh ®­îc y0. NÕu y0 = y1 th× ®iÓm M thuéc ®å thÞ. NÕu y0y1 th× ®iÓm M kh«ng thuéc ®å thÞ. -D¹ng 5: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng: VÝ dô: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng y = ax + b ®i qua ®iÓm P (x0; y0) vµ ®iÓm Q(x1; y1). Ph­¬ng ph¸p: + Thay x0; y0 vµo y = ax + b ta ®­îc ph­¬ng tr×nh y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vµo y = ax + b ta ®­îc ph­¬ng tr×nh y1 = ax1 + b (2) + Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ta t×m ®­îc gi¸ trÞ cña a vµ b. + Thay gi¸ trÞ cña a vµ b vµo y = ax + b ta ®­îc ph­¬ng trình ®­êng th¼ng cÇn t×m. -D¹ng 6: Chøng minh ®­êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh hoÆc chøng minh ®ång quy: VÝ dô: Cho c¸c ®­êng th¼ng : (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Víi m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m r»ng khi m thay ®æi th× d1 lu«n ®i qua 1®iÓm cè ®Þnh . b) C/m r»ng khi d1 //d3 th× d1 vu«ng gãc d2 c) X¸c ®Þnh m ®Ó 3 ®­êng th¼ng d1 ;d2 ;d3 ®ång qui Gi¶i: a) Gäi ®iÓm cè ®Þnh mµ ®­êng th¼ng d1 ®i qua lµ A(x0; y0 ) thay vµo PT (d1) ta cã : y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Víi mäi m => m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) = 0 víi mäi m ; §iÒu nµy chØ x¶y ra khi : x0+ 1 =0 x0+y0+5 = 0 suy ra : x0 =-1 y0 = - 4 VËy ®iÓm cè ®Þnh lµ A (-1; - 4) b) +Ta t×m giao ®iÓm B cña (d2) vµ (d3) : Ta cã pt hoµnh ®é : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vµo y = x +1 = 1 +1 =2 VËy B (1;2) §Ó 3 ®­êng th¼ng ®ång qui th× (d1) ph¶i ®i qua ®iÓm B nªn ta thay x =1 ; y = 2 vµo pt (d1) ta cã: 2 = (m2 -1) .1 + m2 -5 m2 = 4 => m = 2 vµ m = -2 VËy víi m = 2 hoÆc m = - 2 th× 3 ®­êng th¼ng trªn ®ång qui.  Bài tập: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau . 2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính. Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(mvà y = (2 - m)x + 4 ;. Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng trên: Song song. Cắt nhau . Bài 5: Víi giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm trên trục tung .Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10. Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7). Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3). Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = và (d2): y = a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho c¸c ®­êng th¼ng (d1) : y = 4mx - (m+5) víi m0 (d2) : y = (3m2 +1) x + (m2 -9) a; Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (d1) // (d2) b; Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (d1) c¾t (d2) t×m to¹ ®é giao ®iÓm Khi m = 2 c; C/m r»ng khi m thay ®æi th× ®­êng th¼ng (d1) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh A ;(d2) ®i qua ®iÓm cè ®Þnh B . TÝnh BA ? Bài 10: Cho hàm số y = (m-2)x + m - 1 Vẽ đồ thị hàm số trên với m = 4,tìm trên đồ thị vừa vẽ điểm có hoành độ bằng Với giá trị nào của m thì hàm số trên đồng biến trên R Tìm m để đồ thị hàm số đã cho và đồ thị các hàm số y = 2x +1 và y = -x +4 là ba đường thẳng đồng quy. + Một số bài tập giải mẫu: Bài 1: Cho hai hàm số: và Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ Oxy. Bằng đồ thi xác định toạ độ giao điểm A của hai đường thẳng trên. c) Tìm giá trị của m để đường thẳng đồng qui với hai đường thẳng trên. Giải: a)Vẽ đồ thị của hai hàm số: x -1 0 y = x +1 0 1 x 0 3 y = -x +3 3 0 b) Nhìn trên đồ thị ta có tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là A(1 ; 2) c) Đường thẳng đồng qui với hai đường thẳng trên khi nó đi qua điểm A(1 ; 2). Thay x = 1 và y = 2 vào : y = m.x + (m – 1) ta được: Vậy: thì đường thẳng đồng qui với hai đường thẳng trên. Chủ đề 3: Chương III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. 1.Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: (1) + Mỗi đồ thị của mỗi PT là 1 đường thẳng, cách vẽ: + cho x = 0 tìm y = ta được 1 điểm A(0; ) + Cho y = 0 tìm x = ta tìm được 1 điểm B(;0),kẻ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được đồ thị (d). Cách vẽ(d’) tương tự như vẽ đường thẳng (d),nhưng đặt tên hai điểm là C( 0 ; ) và D(;0 ). (d) (d’) ≠ thì hệ phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất. (d) //( d’) = ≠ thì hệ phương trình (1) vô nghiệm. (d) (d’) == thì hệ phương trình(1) vô số nghiệm. + Giải hệ PT bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế,ta làm như sau: -Từ 1 PT của ẩn, ta biểu thị ẩn x theo y (hoặc ẩn y theo x). - Thế biểu thức tìm được của x (hoặc của y) vào PT còn lại để được PT 1 ẩn y ( hoặc x) - Giải PT bậc nhất vừa tìm được, rồi thay giá trị tìm được của y (hoặc x) vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm giá trị của ẩn còn lại. + Một số bài tập giải mẫu: Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: Vậy hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất: (x = 2 ; y = 2) Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: Giải hệ phương trình: Û Û Vậy hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất: (x = 1 ; y = - 3) Bài 3 : Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: Giải: Vậy hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất: (x = 10 ; y = 7) CHỦ ĐỀ 4: h×nh häc I.Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH.(hình 1)  HÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®­êng cao: + . Từ hệ thức 1 + + + + + Từ hệ thức 1 + ‚HÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc: ¤Tû sè l­îng gi¸c: D là cạnh đối, K là cạnh kề, H là cạnh huyền. ¤TÝnh chÊt cña tû sè l­îng gi¸c: 1/ NÕu Th×: 2/ Víi nhọn thì 0 < sin < 1, 0 < cos < 1 *sin2 + cos2 = 1 *tan = sin/cos *cotg= cos/sin *tan. cot=1 ¤HÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc: + C¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh huyÒn nh©n Sin gãc ®èi: + C¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh huyÒn nh©n Cos gãc kÒ: + C¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh gãc vu«ng kia nh©n tangãc ®èi: + C¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh gãc vu«ng kia nh©n Cot gãc kÒ: Bµi TËp ¸p dông: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết b = 4 cm, c = 3 cm. Giải tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có b’ = 7, c’ = 3. Giải tam giác ABC? Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có c’ = 4, B = 550. Giải tam giác ABC? Bài4: Biết tỉ số của hai cạnh góc vuông là 3: 4. đường cao ứng với cạnh huyền là 9,6. Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền. II. Đường tròn: .Sù x¸c ®Þnh ®­êng trßn: Muèn x¸c ®Þnh ®­îc mét ®­êng trßn cÇn biÕt: + T©m vµ b¸n kÝnh,hoÆc: + §­êng kÝnh( Khi ®ã t©m lµ trung ®iÓm cña ®­êng kÝnh; b¸n kÝnh b»ng 1/2 ®­êng kÝnh) , hoÆc: + §­êng trßn ®ã ®i qua 3 ®iÓm ( Khi ®ã t©m lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng trung trùc cña hai ®o¹n th¼ng nèi hai trong ba ®iÓm ®ã; B¸n kÝnh lµ kho¶ng c¸ch tõ giao ®iÓm ®Õn mét trong 3 ®iÓm ®ã) . ‚ TÝnh chÊt ®èi xøng: + §­êng trßn cã t©m ®èi xøng lµ t©m cña ®­êng trßn. + BÊt k× ®­êng kÝnh vµo còng lµ mét trôc ®èi xøng cña ®­êng trßn. ƒ C¸c mèi quan hÖ: 1. Quan hÖ gi÷a ®­êng kÝnh vµ d©y: +Trong một đường tròn đường kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra hai phần bằng nhau. + Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó. 2. Quan hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y: + Hai d©y b»ng nhau Chóng c¸ch ®Òu t©m. + D©y lín h¬n D©y gÇn t©m h¬n. „VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng víi ®­êng trßn: + §­êng th¼ng kh«ng c¾t ®­êng trßn (không giao nhau) Kh«ng cã ®iÓm chung d > R (d lµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn ®­êng th¼ng; R lµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn) + §­êng th¼ng c¾t ®­êng trßn Cã 2 ®iÓm chung d < R. + §­êng th¼ng tiÕp xóc víi ®­êng trßn (gọi là tiếp tuyến của đường tròn) Cã 1 ®iÓm chung d = R. … TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn: 1. §Þnh nghÜa: TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn lµ ®­êng th¼ng tiÕp xóc víi ®­êng trßn ®ã 2. TÝnh chÊt: TiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn th× vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i ®Çu mót cña b¸n kÝnh (tiÕp ®iÓm) 3.DÊu hiÖu nhhËn biÕt tiÕp tuyÕn: §­êng th¼ng vu«ng gãc t¹i ®Çu mót cña b¸n kÝnh cña mét ®­êng trßn lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®ã. 6) Các tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu 2 tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. - Tia kẻ từ tâm đường tròn đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm. Bµi TËp tæng hîp: Bµi 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và tại C cắt d theo thứ tự ở D và E . Tính góc DOE Chứng minh : DE = BD + CE Chứng minh : BD.CE = R2 ( R là bán kính đường tròn (O) ) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE. Bµi 2 Cho ( O) vµ A lµ ®iÓm n»m bªn ngoµi ®­êng trßn . KÎ c¸c tiÕp tuyÕn AB ; AC víi ®­êng trßn ( B , C lµ tiÕp ®iÓm ) a/ Chøng minh: OA BC b/VÏ ®­êng kÝnh CD chøng minh: BD// AO c/TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC biÕt OB =2cm ; OC = 4 cm? Baøi 3: Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O, ñöôøng kính AB = 2R, M laø moät ñieåm tuyø yù treân nöûa ñöôøng troøn ( M ¹ A; B).Keû hai tia tieáp tuyeán Ax vaø By vôùi nöûa ñöôøng troøn.Qua M keû tieáp tuyeán thöù ba laàn löôït caét Ax vaø By taïi C vaø D. a) Chöùng minh: CD = AC + BD vaø goùc COD = 900 b) Chöùng minh: AC.BD = R2 c) OC caét AM taïi E, OD caét BM taïi F. Chöùng minh EF = R. d) Tìm vò trí cuûa M ñeå CD coù ñoä daøi nhoû nhaát. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 5cm, AB = 2AC, Tính AC. Từ A hạ đường cao AH, trên AH lấy điểm I sao cho AI = . Từ C kẻ Cx //AH. Gọi giao điểm của BI với Cx là D. Tính diện tích tứ giác AHCD. Vẽ hai đường tròn (B, BA) và (C, CA). Gọi giao điểm khác A của hai đường tròn là E. Chứng minh rằng CE là tiếp tuyến của đường tròn (B). + Một số bài tập giải mẫu: Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax; By là các tia vuông góc với AB.(Ax ; By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax tại C và cắt By tại D. Chứng minh Chứng minh: Kẻ AD và BC cắt nhau tại N. Chứng minh: Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Giải: a)Chứng minh: CD = AC+BD Ta có: CM = CA ( CM; CA là 2 tiếp tuyến) DM = DB ( DM; DB là 2 tiếp tuyến) Cộng theo vế ta được: CM + DM = CA + DB Hay CD = CA +BD. b) Chứng minh Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì : OC là phân giác của góc AOM OD là phân giác của góc BOM Mà Góc AOM và góc BOM là hai góc kề bù nên hay . c) Chứng minh MN song song với BD Ta có : ( cùng vuông góc với AB) Suy ra tam giác ANC đồng dạng tam giác BND ( Hệ quả của định lí Talét) = mà (cmt) (định lí đảo của định lí Talét) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn: Ta có : Tam giác COD vuông; có OM là đường cao nên: CM.MD = = ( không đổi) Mà CA = CM và BD = DM (cmt) Nên CA.BD = ( không đổi) khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn Bài 2: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ đường tròn tâm K đường kính OB. a) Chứng tỏ hai đường tròn tâm (O) và tâm (K) tiếp xúc nhau. b) Vẽ dây BD của đường tròn (O) ( BD khác đường kính), dây BD cắt đường tròn (K) tại M. Chứng minh: KM // OD. Giải: Chứng tỏ hai đường tròn (O) và (K) tiếp xúc nhau: Ta có: K là tâm đường tròn đường kính OB Nên: K là trung điểm của OB OK + KB = OB OK = OB – KB Hay: OK = R – r Vậy: hai đường tròn (O) và (K) tiếp xúc trong tại B b) Chứng minh: KM // OD : Ta có: OMB nội tiếp đường tròn đường kính OB Nên: OMB vuông tại M MD = MB Mà: OK = KB (Bán kính đường tròn tâm O) Do đó: MK là đường trung bình của tam giác ODB KM // OD ……………………………Tạm dừng ………………………………. Chúc các em ôn tập thật tốt, tận dụng mọi thời gian để học tập, thi học kỳ I đạt kết quả cao.