Khai thác các phần mềm dạy học để nâng cao chất lượng dạy – học môn toán trung học cơ sở

Chuyên đề : KHAI THÁC CÁC PHẦN MỀM DẠY HỌC ĐỂ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY – HỌC MÔN TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ I .Lý do chọn đề tài Ngày nay , với sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật cùng với sự phát triển tốc độ của công nghệ thông tin và có tác động mạnh mẽ đến đời sống hiện đại . Những mặt trên có tác động rất lớn đến giáo dục, đặc biệt về việc đổi mới phương pháp giảng dạy lấy học sinh làm trung tâm. Người giáo viên luôn tìm tòi các phương pháp giảng dạy hiện đại nhất và đạt hiệu suất cao nhất. Những hoạt động của người thầy trong giảng dạy là hết sức quan trọng , nó tác động rất lớn đến chất lượng học tập của học sinh . Bộ môn Toán là môn khoa học tự nhiên có mức tư duy trừu tượng khá cao, do vậy việc nâng cao chất lượng dạy và học môn toán được giáo viên hết sức chú trọng, việc vận dụng các phần mềm dạy học môn toán một cách linh hoạt củng là một trong những phương thức để nâng cao chất lượng dạy – học môn toán . Hiện nay chúng ta đã có các phần mềm chuyên dụng như : Cabri-2D , Cabri-3D , Shetchpad , Mathcad … . Trong nội dung chuyên đề này tôi xin trinh bày các quan điểm của mình khi vận dụng các phần mềm Shetchpad, Cabri-2D và Mathcad trong việc giảng dạy bộ môn toán ở trường trung học cơ sở . II . Mục đích chọn đề tài : Nhận thấy được tầm quan trọng khi ứng dụng phần mềm dạy tóan vào áp dụng trong giảng dạy Xây dựng bài giảng một cách dễ dàng hướng cho học sinh tự thân phát hiện ra vấn đề ( kiến thức mới , hướng chứng minh định lý , dự đóan quỹ tích , dự đóan kết quả …) Từ việc giải quyết bài tập ta có thể mở rộng , đề xuất các bài toán mới. Giúp ta phát hiện huớng giải các bài tóan khó Giúp người giáo viên có thêm công cụ ra đề kiểm tra hết sức linh động. III. Đặc điểm tình hình : 1/ Thuận lợi : Được sự quan tâm của Ban Giám hiệu , bản thân được trực tiếp đứng lớp giảng dạy trong thời gian khá lâu Tiếp Cận với nhiều đối tương học sinh nên hiểu rõ các em ngại học phần nào từ đó tìm hướng nâng cao chất lượng giảng dạy , đổi mới phương pháp. Bản thân được tham gia học tập nhiều lớp bồi dưỡng nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy môn toán nên ít nhiều củng có chút ít kinh nghiệm 2/ Khó khăn : Đa phần học sinh học yếu , trình độ không đồng đều , khả năng về tin học của các em còn kém Về cơ sở vật chất , nhà trường còn mới chỉ có 01 phòng máy để dạy bằng giáo án điện tử nên việc sử dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy còn hạn chế Chưa nối mạng nên việc liên lạc với bạn bè đồng nghiệp nhằm cập nhật thông tin còn hạn chế. Còn thiếu các phần mềm ( phiên bản mới ) chuyên dụng cho việc dạy học môn toán như Cabri-3D… IV . Phạm vi nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu : Dựa trên sách giáo khoa và sách bài tập các khối lớp 7, 8 , 9 Dựa trên các sách tham khảo các khối lớp nói trên . Các đề thi vào các trường chuyên – các đề thi học sinh giỏi Tài liệu của dự án phát triển THCS II thuộc Bộ Giáo dục Các đối tượng học sinh các khối 7 , 8 , 9 ở trường THCS Nguyễn Đức Ứng – Huyện Long Thành Các học sinh học lớp bồi dưỡng học sinh giỏi toán của Huyện V. Nội Dung Trong khuôn khổ chuyên đề này tôi xin trình bày việc sử dụng và khai thác phần mềm Shetchpad , Cabri-2D trong giảng dạy môn hình học và phần mềm Mathcad trong giảng dạy môn số học và đại số đặc biệt là xây dựng bài dạy theo phương pháp đổi mới với phương châm lấy học sinh làm trung tâm.Cấu trúc chuyên đề được chia làm 2 phần . Phần thứ nhất là vận dụng phần mềm Shetchpad và Cabri-2D trong giảng dạy hình học song song với đó là các ví dụ minh họa đan xen giữa 2 phần mềm ,ngoài ra từ việc giảng dạy ta có thể mở rộng bài toán và khai thác để đề xuất thêm một số bài toán mới . Phần thứ hai làvận dụng phần mềm Mathcad trong giảng dạy môn đại số – số học cấp THCS trong đó có bổ sung các bài toán khó và hướng giải quyết độc đáo khi sử dụng phần mềm. Khai thác tính năng chính xác khi sử dụng phần mềm mà mở rộng và đề xuất một số bài toán khác. § 1 . Vận dụng phần mềm Shetchpad & Cabri -2D trong xây dựng bài giảng và giải một số bài tập hình học Tôi cho rằng sử dụng Shetchpad & Cabri -2D trong dạy học hình học THCS trước tiên là tập trung chủ yếu vào việc sử dụng Shetchpad & Cabri -2D đưa ra các ví dụ , hình vẽ trực quan sinh động về các đối tượng hình học , từ đó học sinh có thể đo đạc , quan sát , phân tích , suy đoán , trừu tựơng hoá , khái quát hoá để tìm được các dấu hiệu đặc trưng làm cơ sở hình thành kiến thức mới . Ví dụ 1. Khi dạy định lý Đường trung bình của tam giác Quá trình hoạt động của học sinh thể hiện rõ trên phiếu học tập . Các thao tác Của học sinh với Cabri -2D được giáo viên gợi ý ở phiếu học tập. Sau khi quan sát học sinh có thể rút ra nhận định riêng của mình và ghi vào phiếu học tập. Chọn công cụ Segment 3 lần để vẽ tam giác ABC Chọn Midpoint để định trung điểm D của AB Chọn Parallel line vẽ Dx // BC Học sinh nhận xét Dx có cắt AC không ? Kéo dài Dx cắt AC tại K => nhận xét vị trí của điểm K Kéo A chuyển động , cho học sinh nhận xét về độ dài KA và KC . Bằng cách này học sinh có thể phát hiện nội dung của định lý , sau đó ta tiến hành các bước tiếp theo Cho điểm E dịch chuyển trên Dx , quan sát ∆ DAK và ∆ ECK Để ∆ DAK = ∆ ECK thì E ở vị trí ……………………………………………………………….. Được xác định bằng cách…………………………………………………………. Kết quả sau quá trình làm việc với Cabri -2D hs chủ động phát hiện ra định lý& Tìm được hướng để chứng minh định lý Ví dụ 2 . Dùng Sketchpad để dạy bài “ Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác” Hoạt động 1 : Vẽ hình Dùng construct \ segment 3 lần để vẽ tam giác ABC Dùng construct \ midpoint 2 lần để xác định trung điểm E của AC và F của AB Dùng construct \ segment 2 lần để tạo các đường trung tuyến BE và CF Dùng construct \ midpoint để xác định trung điểm D của BC Dùng construct \ segment để kẻ đường trung tuyến AD Hoạt động 2 : Thay đổi tam giác ABC để phát hiện tính chất đồng quy Hãy đưa ra nhận xét về vị trí tương đối của điểm G với trung tuyến AD Sử dụng chuột cho tam giác thay đổi -> ta luôn có 3 đường trung tuyến đồng quy ( cùng đi qua điểm G ) Hoạt động 3 : Dự đoán tỉ số AG/AD Dùng lệnh Measure\ distance đo độ dài các đoạn thẳng AG, GD Nhận xét về mối quan hệ giữa độ dài hai đoạn thẳng AG,GD . Mối quan hệ này có bị thay đổi không khi ta thay đổi tam giác ABC Hãy dự đoán tỉ số AG/AD Hoạt động 4 : Tương tự cho các đường trung tuyến còn lại và các tỉ số BG/BE… Hoạt động 5 : HS phát biểu định lý về tính chất 3 đường trung tuyến sau khi GV gút lại những gì đã thu thập được từ các hoạt động Thông qua các hoạt động ta thấy rõ ý đồ của gv như sau : HĐ 1 : củng cố lại khái niệm đường trung tuyến của tam giác thông qua việc vẽ hình HĐ 2 : Giúp hs phát hiện tính đồng quy của 3 đường trung tuyến trong tam giác HĐ 3 : Bằng đo đạc và tinh toán hs phát hiện đuợc các tỉ số 1 /2 và 2/3 HĐ 4 : Củng cố niềm tin về các tính chất vừa phát hiện HĐ 5 : Phát biểu định lý Với biện pháp tương tự như thế gv có thể áp dụng để dạy các bài 3 đường cao , 3 đường phân giác , 3 đường trung trực của tam giác. Ví dụ 3 ( Bài tập 1 ) Cho đường tròn ( O) , gọi M là 1 điểm nằm ngoài đường tròn , từ M kẻ 1 cát tuyến tùy ý MAB đến (O) .Chứng minh rằng Tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí cát tuyến . Bước 1 : Vẽ hình Dùng công cụ đường tròn để vẽ đường tròn bình thường Dùng công cụ điểm để lấy điểm M ngoài (O) Dùng công cụ đường thẳng để vẽ 2 cát tuyến MAB và MCD Bước 2 : Thay đổi vị trí cát tuyến để hs phát hiện tích MA.MB không đổi Dùng lệnh Measure\ distance đo độ dài các đoạn thẳng MA , MB Dùng lệnh Measure\ calculate để tính MA.MB Thay đổi vị trí điểm A -> tích MA.MB không đổi Bước 3 : Tìm hướng chứng minh Đo đạc và tính toán tích MC. MD để phát hiện MA.MB = MC.MD Từ đó dẫn đến việc chứng minh tam giác MAD đồng dạng với tam giác MCB Bước 4 : Phát triển bài toán Sau khi đã hoàn chỉnh bài giải , ta có thể dùng tiếp Sketchpad để phát triển bài toán theo các hướng khác nhau a/ Dịch chuyển sao cho điểm C trùng với điểm D , lúc này cát tuyến MCD trở thành tiếp tuyến MC , ta có thể kiểm chứng bằng các lệnh Measure\ Distance và Measure\ Calculate để chứng tỏ MA.MB = MC2 . Từ đó ta có bài toán mới b/ Ta biết MC2 = d2- r2 ( với d = khoảng cách từ M đến O , r= bán kính (O) ) .Từ đó ta co bài toán mới như sau :” Cho (O; r ) lấy điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = d (không đổi) . Từ M kẽ cát tuyến bất kỳ MAB . Chứng minh MA.MB = d2- r2 “ c/ Ngoài ra ta có thể đặt vấn đề nếu M nằm trong (O) thì tích MA.MB còn bằng với MC.MD không -> phát triển thêm bài toán mới. d/ Dựa vào tính chất bắt cầu ta có thể phát triển thành bài toán khác như sau :” Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A&B , trên tia đối của tia AB lấy một điểm M , từ M kẽ 1 cát tuyến tuỳ ý MCD đến (O) , Kẽ cát tuyến tuỳ ý MEF đến (O’) . Chứng minh MC.MD = ME.MF “ ? Chú ý có thể thay đổi một trong hai cát tuyến thành tiếp tuyến hoặc cả hai cát tuyến thành tiếp tuyến để thu được nhiều bài toán. Ví dụ 4 : (Bài tập 2 ) Cho góc xAy khác góc bẹt , Az là tia phân giác , B là điểm cố định trên Ax , C là điểm chuyển động trên đoạn thẳng AB , D là điểm chuyển động trên tia Ay sao cho AD = BC . Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định khi C , D chuyển động . ( hình 1 ) Hoạt động 1 : Vẽ hình Sử dụng các công cụ của Sketchpad để thể hiện giả thiết ví dụ như chọn 3 điểm : 1 điểm thuộc tia Ax , điểm A , 1 điểm thuộc tia Ay rồi thực hiện lệnh construct\ Angle Bisector để vẽ phân giác góc A Muốn lấy điểm D ta vẽ đoạn thẳng BC rồi chọn BC , điểm A thực hiện lệnh construct \ Circle by center + radius . Hoạt động 2 : Tìm lời giải : Cho điểm C thay đổi vị trí , xảy ra 2 tình huống Một số hs phát hiện ra điểm cố định là giao điểm của phân giác góc A với đường trung trực của AB Một số hs phát hiện ra điểm cố định chính là giao điểm củađường trung trực của AB với đường trung trực của AK ( K thuộc Ay sao cho AK = AB ) Trong cả hai trường hợp hs đều chứng minh được điều dự đoán của mình là chính xác Hoạt động 3 : Minh họa kết quả Khi sử dụng các phương pháp truyền thống sau khi hoàn thành bài giải , hs củng không thể hình dung trọn vẹn “ Hình ảnh “ mà bài giải đã chỉ ra . Gv hướng dẩn cho hs gán thuộc tính “ để lại vết “ ( Display \ Trace ) cho đường trung trực của đoạn thẳng CD , sau đócho điểm C chuyển động trên AB -> Sketchpad sẽ cho ta hình ảnh điểm cố định một cách sinh động ** Chú ý : Nếu dùng Cabri-2D khi vẽ trung trực ta dùng lệnh Perpendicular Bisector . Ví dụ 5 ( Bài tập 3 ) Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a . Vẽ về cùng một phía các tia Ax và By vuông góc với AB . Qua trung điểm M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax và By theo thứ tự tại C , D . xác định vị trí của các điểm C , D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất . Tính diện tích đó . Hoạt động 1 : Vẽ hình , xác định diện tích tam giác MCD Sử dụng các công cụ của Cabri-2D để vẽ hình , sau đó tính diện tích tam giác MCD Hoạt động 2 : Dự đoán kết quả Cho thay đổi vị trí hai đường thẳngvuông góc tại M . Từ kết quả tính diện tích tam giác thể hiện trên màn hình hs dự đoán được vị trí của C, D khi diện tích đạt giá trị nhỏ nhất là CD // AB. *** Sau khi giải quyết bài toán trên , hs phát triển bài toán như sau : Hoạt động 1 : Mở rộng bài toán với M là 1 điểm bất kỳ trên AB HS thao tác giống như đã thực hiện trong trường hợp M là trung điểm của AB rồi đi đến kết luận : Diện tích tam giác CMD đạt giá trị nhỏ nhất khi AC = AM ,BD = BM Hoạt động 2 : Phát hiện tính chất của điểm H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CD HS thấy có 3 điểm C,H ,D thay đổi trong đó điểm C thuộc tia Ax , D thuộc tia By vậy H thuộc đường nào ? + Nối H với A,B cho C,D thay đổi HS dự đoán góc AHB vuông! + HS sử dụng các chức năng đo đạc để kiểm nghiệm kết quả bằng 900 . Từ đó HS phát hiện được yếu tố mới là Quỹ tích điểm H là nữa đường tròn đường kính AB Hoạt động 3 : Phát hiện tính chất đoạn CD Vì MH ┴CD nên CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB . + Sử dụng Trace để lại vết cho CD, HS thấy được hình bao của đoạn CD . § 2 . Sử dụng Sketchpad và Cabri-2D hổ trợ dạy học quỹ tích 2.1 Ví dụ 1 : Bài 44 trang 86/SGK * Đề bài : Cho tam giác ABC vuông tại A có BC cố định . Gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong . Tìm quỹ tích I khi A thay đổi . ■ Phần 1 : Hướng dẫn vẽ hình ( dùng Cabri hay sketchpad đều như nhau ) + Dùng lệnh construct\ segment -> vẽ đoạn thẳng BC + Dùng construct\ midpoint -> lấy trung điểm O của BC + Chọn O , Chọn OB rồi thực hiện construct \ Circle by center + radius -> vẽ đường tròn đường kính BC + Lấy điểm A bất kỳ thuộc (O) , Nối BA, AC + Dựng phân giác góc B bằng cách chọn A,B,C rồi dùng lệnh construct\ AngleBisector + Tương tự dựng phân giác góc C , rồi lấy giao điểm I hai phân giác -> hoàn thành hình vẽ ■ Phần 2 : Gợi ý khai thác hình vẽ + Hoạt động 1 : Gợi ý cho HS dự đoán quỹ tích Cho điểm A thay đổi một vài vị trí khác nhau , trực quan cho thấy hình như góc BIC không đổi , nếu như thế thì quỹ tích I có thể là cung chứa góc . Từ đây hs thử tìm cách chỉ ra góc BIC Góc BIC không đổi khi điểm A thay đổi vị trí-> hs khai thác BI và CI là 2 đường phân giác để suy ra góc BIC = 1350 -> hs giải quyết bài toán theo 3 bước đã học + Hoạt động 2 :Minh họa bằng hình ảnh động quỹ tích khi A thay đổi vị trí Chọn I -> Display/ Trace point -> gán thuộc tính Vết cho I Chọn A -> kéo cho A dịch chuyển -> hs quan sát vết của I ( có thể cho A di chuyển tự động bằng lệnh Display\ Animate Point ? Chú ý : Có thể tạo nút lệnh cho điểm A di chuyển : Edit\ Action Buttons\ animate… 2.2 Ví dụ 2 : Bài 48 , trang 87 SGK * Đề bài : Cho 2 điểm A, B cố định . Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn có tâm B và bán kính không lớn hơn AB . Tìm Quỹ tích các tiếp điểm. ■ Phần 1 : Hướng dẫn vẽ hình : + Dựng đoạn thẳng AB + Dựng đường tròn tâm B có bán kính BC với C là 1 điểm bất kỳ trên AB + Để dựng các tiếp tuyến từ A đến (B;BC) ta: Chọn đoạn thẳng AB Dùng lệnh Construct\ Midpoint để lấy trung điểm AB (giả sử là O ) Chọn O , Chọn OA rồi dùng lệnh construct \ Circle by center + radius để vẽ (O;OA ) Chọn (O;OA) & (B;BC) rồi dùng lệnh Intersection đểlấy giao của 2 đường tròn ( giả sử là M & N ) Nối AM & AN ■ Phần 2 : Gợi ý khai thác hình vẽ Bằng quan sát trực quan , Hs dể dàng phát hiện được góc AMB là góc vuông nên quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính AB bỏ đi điểm A , tương tự cho quỹ tích điểm N Để minh họa quỹ tích , ta tạo vết cho M & N bằng lệnh Display \ Trace point, cho điểm C chuyển động 3.3 Ví dụ 3 : Bài 49 trang 87 ( SKG hình học 9 ) * Đề bài : Cho đường tròn đường kính AB cố định , M là một điểm chạy trên đuờng tròn . Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB . a/ Chứng minh : Góc AIB không đổi. b/ Tìm tập hợp các điểm I ■ Phần 1 : Hướng dẫn vẽ hình : Dựng đoạn AB Chọn AB rồi dùng construct\ Midpoint -> lấy trung điểm O của AB Chọn O , Chọn OA rồi dùng lệnh construct \ Circle by center + radius để vẽ (O;OA ) Lấy M tùy ý thuộc (O) -> Chọn A , chọn M dùng lệnh Construct\ Ray vẽ tia AM Chọn M , chọn MB rồi dùng lệnh construct \ Circle by center + radius để vẽ (M;MB) Chọn (M;MB) ,tia AM rồi dùng lệnh Construct\ Intersection -> lấy giao điểm Kcủa (M;MB) &AM Chọn K , Chọn MB rồi dùng lệnh construct \ Circle by center + radius để vẽ (K;MB) Làm tương tự ta lấy được I sao cho MI = 2MB ■ Phần 2 : Gợi ý khai thác hình vẽ Nối I và B . Bằng trực quan thấy được khi điểm M thay đổi vị trí , HS phát hiện được góc MIB không đổi . Chọn A , I , B rồi sử dụng lệnh Measure\ Angle để đo góc AIB và được kết quả là góc AIB luôn bằng 26,570 tức là 26033’. Như vậy quỹ tích các điểm I sẽ là cung chứa góc 26033’dựng trên đoạn AB Để minh hoạ quỹ tích ta gán thuộc tính để lại vết cho điểm I ( Display\Trace Point) rồi cho M chuyển động ( Display\ Animate Point ) ■ Phần 3 : Khai thác bài toán cho học sinh khá- giỏi Có 3 vấn đề được khai thác a/ Hai cung chứa góc ( là quỹ tích của điểm I ) là hai cung thuộc hai đường tròn nào ? Tâm ở đâu ? b/ Trong trường hợp tổng quát AB không phải là đường kính mà là dây cung thì quỹ tích I là đường nào ? c/ Trong trường hợp MI không bằng 2 MB mà là MI = k.MB thì quỹ tích I là đường nào? Giải quyết a/ Nhận dạng đường tròn chứa quỹ tích + Cho M di chuyển đến những vị trí đặc biệt : M= A thì AM chính là tia tiếp tuyến At với đường tròn tâm O bán kính OA tại A + Chọn A , AB và đoạn thẳng AB ta thực hiện lệnh Construct\ Perpendicular để dựng đường vuông góc với AB , đây là tiếp tuyến At + Gọi G là điểm thuộc At sao cho AG = 2AB . AB cố định , A cố định => G cố định . Nối I với các điểm G và B ( các điểm cố định ) .Mặc dù M thay đổi vị trí nhưng góc GIB là góc vuông ( có thể đo đạc bằng Sketchpad -> Measure\ Angle ) ,từ đó hs nhận ra Quỹ tích I thuộc nữa đường tròn đường kính BG + Tương tự đối với nhánh dưới ,Quỹ tích thuộc nữa đường tròn đường kính BH b/ Việc mở rộng bài tóan với việc xây dựng điểm I sao cho MI =kMB thực tế chỉ là xây dựng tỉ số k bất kỳ và k thay đổi phụ thuộc vào việc ta dùng chuột , còn mọi vấn đề khác làm như bài tóan đã giải . Tôi chỉ trình bày cách xây dựng tỉ số k + Vẽ 1 đường thẳng làm trục đối xứng + dùng phép đối xứng trục để lấy được ảnh của MB qua phép đối xứng trục (a) + Vẽ 2 đọan bất kỳ rồi dùng lệnh Transform\ Mark Segment Ratio để lấy được k là tỉ số của 2 đọan thẳng + Chọn tâm vị tự ( Transform\ Mark center ) + Chọn hình can lấy vị tự là (a) + thực hiện phép vị tự ( Transform\Dilate\ Dilate ) của đường thẳng (a) cho ảnh là đường thẳng (b) + Dựng đường tròn (M;(b)) + Các bước còn lại tiến hành như bài tóan ban đầu. c/ Khi AB không phải là đường kính mà là day cung bất kỳ ta giải quyết như sau + Dựng đường tròn tâm O đường kính EF + Lấy I trên AM sao cho MI=2MB + Tạo vết cho I ta thu được hình ảnh trực quan + cho M di chuyển đến những vị trí đặc biệt như trùng A.. ta thu được phần giới hạn của quỹ tích * Sau đây tôi xin trình bày thêm mối quan hệ giữa đại số và hình học để minh họa vấn đề cực trị và hàm số. Nội dung là dựng 1 hình chữ nhật ABDC có chu vi không đổi nối gắn với tọa độ điểm M sao cho xM = AC và yM = diện tích ABCD. Vậy yM và xM có mối quan hệ hàm số và công thức mô tả hàm số đó là y = ó y – x2 + x Giải : + Dựng hình chữ nhật + Chọn AC -> Mearure ->length (đo AC) + Dựng vùng trong hình chữ nhật -> chọn vùng -> Mersure -> Area (tính diện tích) + Chọn vùng trong hình chữ nhật -> Measure -> Perimeter (tính chu vi) + Chọn kết quả AC và diện tích -> photas (k,y) trong thực đơn Graph + Xuất loại hệ trụ và điểm M -> tạo vét cho M. + Chọn C rồi di chuyển và quan sát hình chữ nhật và quỹ tích M. *** Như vậy với sự hỗ trợ của phần mềm Sketchpad và Cabri-2D , ta không chỉ tìm được hướng giải bài tóan , phán đóan được quỹ tích và chứng minh được quỹ tích củng như tìm giới hạn quỹ tích mà ta còn cho hs công cụ mạnh để mở rộng , phát triển bài toán. § 3 . Khai thác Phần mềm Mathcad để tìm hướng giải một số bài toán Số học – Đại số THCS Thông qua các lệnh của Mathcad chúng ta có thể tìm đáp số cho nhiều loại toán Số học – Đại số khác nhau có trong chương trình Trung học cơ sở. Ý nghĩa của việc này là giáo viên có một công cụ hữu hiệu để kiểm tra kết quả và lời giải. Mặt khác bằng việc sử dụng các lệnh hợp lý ta có thể hướng dẫn cho hs tìm hướng giải các dạng toán Số học – Đại số có trong chương trình toán THCS a/ Mathcad hỗ trợ giải loại toán rút gọn biểu thức *Sử dụng Mathcad chúng ta có thể tìm được đáp số đúng của bài toán rút gọn bằng lệnh simplify , nếu kết hợp khéo léo với các lệnh khác chúng ta sẽ phát hiện ra hướng giải bài toán nói trên Ví dụ 1 : Đơn giản biểu thức sau : Sử dụng Mathcad ta có kết quả Để có được kết quả trên chúng ta phải qui đồng mẫu thức với mẫu thức chung là : MTC : abc(a-b)(a-c)(b-c) . Lúc đó tử thức là : Dùng lệnh factor để phân tích thành nhân tử ta có kết quả -(b-a)(c-a)(c-b) Từ đó thực hiện phép chia tử cho mẫu ta được kết quả Ví dụ 2 . Rút gọn và tính giá trị biểu thức với x = a-1 , a> 1 Ta có thể sử dụng các lệnh của Mathcad để tìm lời giải bài toán này như sau : Lần lượt thu gọn các số hạng của vế phải, ta được ** Tìm hướng giải cho một số bài toán có liên quan tới rút gọn biểu thức và phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách kết hợp lệnh simplify và factor Ví dụ 3 :Cho 3 số a, b , c khác nhau thoả mãn điều kiện Chứng minh rằng hai trong ba phân thức trên bằng 1 và phân thức còn lạibằng-1 Để tìm hướng giải bài toán này ta chuyển 1 sang vế trái , sử dụng lệnh simplify Ta có kết quả sau : Phân tích tiếp tử thức thành nhân tử ta được Từ đó ta thấy ta có thể lý luận đến điều cần phải chứng minh. Ví dụ 4 : Cho đa thức f(n) = n5 -5n3 + 4n . Chứng minh rằng f(n) chia hết cho 120 với mọi số nguyên n. + Sử dụng lệnh fator để phân tích f(n) thành nhân tử n5 -5n3 + 4n fator -> + Từ đó ta có hướng giả quyết bài toán như sau n5 -5n3 + 4n = n( n4 – 5n2 +4 ) = n(n2-1)( n2-4 ) = n(n-1)(n-2)(n+2)(n+1) + Đây là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 120 Ví dụ 5 : Chứng minh nếu x +y +z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz ( Đề thi vào trường chuyên Lê Hồng Phong – Thành phố Hồ Chí Minh 1998 ) + Sử dụng lệnh fator để phân tích thành nhân tử x3 + y3 + z3 -3xyz factor -> + Từ đó ta chỉ cần làm sao xuất hiện x +y +z trong quá trình phân tích thành nhân tử *** Sử dụng lệnh factor kết hợp với các suy luận chúng ta có thể chứng minh các bài toán về nhận biết các số là số nguyên tố , số chính phương hay một số chia hết cho một số khác . Sau đây là các ví vụ minh hoạ Ví dụ 6 : Tìm các số nguyên x , y để A= x4 + 4y4 là số nguyên tố ( Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hồ Chí Minh 1980_ 1981 ) + Phân tích A thành nhân tử bằng lệnh factor ta được A= x4 + 4y4 = Ta nhận xét : để A là số nguyên tố thì x , y là nghiệm của các hệ phương trình sau hay Các hệ trên giải dể dàng , tuy nhiên bài toán vô nghiệm Ví dụ 6 ; Tìm các số p , q nguyên để A = x100+2500 chia hết cho số B = x50+px25+q + Phân tích A thành nhân tử bằng factor ta có x100+2500 - > factor (x50-10x25+50)( x50+10x25+50) + Từ đó phát hiện ra cách giải bằng cách thêm , bớt 100x100 do vậy bài toán được giải quyết Ví dụ 7 :Chúng minh rằng A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+ y4 là một số chính phương với x, y là các số tự nhiên bất kỳ + Phân tích A thành nhân tử ta được + Từ đó ta có hướng giải bài toán như sau A = ((x+y)(x+4y)).((x+2y)(x+3y)) = (x2 +5xy + 4y2) (x2 +5xy + 6y2) = (M –y2) (M +y2) +y4 với M = x2 +5xy + 5y2 **** Mathcad hỗ trợ loại toán giải phương trình Các dạng toán giải phương trình ở chương trình toán THCS rất phong phú , phương hướng sử dụng Mathcad để hỗ trợ như sau ■ Dùng lệnh của Mathcad để đưa phương trình về dạng tích ■ Biến đổi thành phương trình tương đương đơn giản hơn ■ Sử dụng trực tiếp các lệnh giải phương trình , hệ phương trình của Mathcad tìm ra lời giải đúng , từ đó định hướng giải, .. Ví dụ 8 : Giải các phương trình sau : x3+2x2 – (x-3)2 = (x-1)(x2-2) + chuyển về dạng f(x) = 0 Ví dụ 9 : Giải phương trình 2x3 – x2 +3x +6 = 0 + Phân tích vế trái của Phương trình thành nhân tử + từ đó ta có hướng giải quyết Ví dụ 10 :Giải và biện luận phương trình sau: = 0 Sử dụng lệnh factor ta có kết quả sau Vậy việc biện luận Phương trình thực chất là giải và biện luận Phương trình bậc hai có trong phương trình tích trên . Dựa vào kết quả trên ta có thể định hướng để phân tích vế trái của Phương trình về dạng tích . ● Ví dụ 11 Tìm a và b để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt x2 – 2 ( a2 + b2 – 1) x2 + (a2 - b2 + 1 ) 2 - 4 a2 = 0 Sử dụng lệnh factor để phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử ta được x2 – 2 ( a2 + b2 – 1) x2 + (a2 - b2 + 1 ) 2 - 4 a2 factor , x → (x2 + 1- b2 + 2.a.b - a2 ) (x2 +1 - b2 - 2.a.b - a2 ) ( 1) ( 2 ) Với việc phân tích vế trái của pt thành nhân tử giúp ta có thể định hướng cách giải . Để pt có 3 nghiệm thì hoặc (1 ) có 2 nghiệm và ( 2) có 1 nghiệm hoặc (1) có 1 nghiệm và ( 2) có 2 nghiệm tức là ta phải giải hệ sau hoặc Chú ý: Ta có thể sử dụng Mathcad để đề xuất một số bài toán Sử dụng phần mềm Mathcad có thể đề xuất một số bài toán mới từ các bài toán đã giải được . Nguyên tắc của việc đề xuất các bài toán này dựa trên các phương pháp khái quát hóa , trừu tượng hóa kết hợp với tốc độ tính toán rất nhanh của máy để kiểm tra các kết quả dự đoán . Mặt khác ta có thể đề xuất dựa trên ưu điểm của phần mềm Mathcad chẳng hạn như vẽ đồ thị , các loại toán Số học – Đại số mà Mathcad có thể hỗ trợ cách giải , .. đề xuất các dạng bài toán khác nhau . Tuy nhiên sau khi đề xuất các bài toán mới , chúng ta phải sử dụng kiến thức THCS để giải , cỉ khi có thể giải được các bài toán này bằng kiến thức THCS mới kết thúc quá trình đề xuất các bài toán mới . Sau đây là một số ví dụ Ví dụ 12 :Xét bài toán Chứng minh rằng số là số tự nhiên với mọi số