Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2000 - 2001 Đề chính thức Môn thi : toán ( Thời gian làm bài 180 phút )

Sở giáo dục - đμo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2000 - 2001 ***** Đề chính thức Môn thi : toán ( Thời gian làm bài 180 phút ) ******* Bài 1 : ( 4 điểm ) Tìm tất cả giá trị của tham số a để ph−ơng trình : 3 2x 3x a 0− − = có ba nghiệm phân biệt , trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 . Bài 2 : ( 6 điểm ) Trên mặt phẳng toạ độ cho các đ−ờng thẳng có ph−ơng trình : x sin t ycos t cos t 2 0+ + + = , trong đó t là tham số . 1, Chứng minh rằng khi t thay đổi , các đ−ờng thẳng này luôn tiếp xúc với một đ−ờng tròn cố định . 2, Gọi (x0 ; y0) là nghiệm của hệ ph−ơng trình : 2 2 x sin t ycos t cos t 2 0 x y 2y 3 0 + + + =⎧⎨ + + − =⎩ Chứng minh rằng : 2 20 0x y+ ≤ 9 Bài 3 : ( 3 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : 22cos x cos x 1 y cos x 1 + += + Bài 4 : ( 4 điểm ) Trên mặt phẳng toạ độ cho hai đ−ờng thẳng d1 , d2 có ph−ơng trình : (d1) : 4x +3y + 5 = 0 (d2) : 3x – 4y – 5 = 0 Hãy viết ph−ơng trình đ−ờng tròn tiếp xúc với hai đ−ờng thẳng trên và có tâm nằm trên đ−ờng thẳng d có ph−ơng trình : x – 6y – 8 = 0 Bài 5 : ( 3 điểm ) Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi x > 0. 2 x xe 1 x 2 > + + Sở giáo dục - đμo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2001 - 2002 ***** Đề chính thức Môn thi : toán ( Thời gian làm bài 180 phút ) ******* Bài 1 : ( 6 điểm ) Cho hàm số: 22x (m 2)x my 2x m − + + += − 1 ,Tìm các điểm cố định của đồ thị hàm số khi m thay đổi . 2 , Tìm các đ−ờng tiệm cận của đồ thị hàm số . 3 , Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại , cực tiểu Bài 2 : ( 4 điểm ) 1 , Tìm m để : 2 2 29x 20y 4z 12xy 6xz mzy 0+ + − + + ≥ với mọi số thực x , y , z. 2 , Chứng minh rằng nếu các số a , b , c khác 0 và m > 0 thoả mãn hệ thức : a b c 0 m 2 m 1 m + + =+ + thì ph−ơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0 ; 1) 2ax bx c 0+ + = Bài 3 : ( 4 điểm ) 1, Với giá trị nào của a thì hàm số : 6 6y cos x sin x a sin x cos= + + x xác định với mọi giá trị của x . 2, Tìm dạng của tam giác ABC thoả mãn : cot gA cot gB A B 1000A 1001B 2 − = −⎧⎨ + = π⎩ Bài 4 : ( 4 điểm ) Cho tam giác ABC , gọi d1 , d2 , d3 là khoảng cách từ một điểm M nằm phía trong tam giác đến các cạnh của tam giác . 1 , Chứng minh bất đẳng thức : 3 1 2 3 8Sd d , trong đó S là diện tích tam d 27abc ≤ giác ABC ; a , b , c là độ dài các cạnh tam giác . 2 , Lập bất đẳng thức t−ơng tự cho tứ diện trong không gian. Bài 5 : ( 2 điểm ) Cho đ−ờng tròn tâm O , đ−ờng kính AB = 2R . Qua điểm M thuộc đ−ờng tròn , kẻ đ−ờng thẳng MH vuông góc với AB ( H thuộc AB ) . Điểm I thuộc đ−ờng thẳng MH thoả mãn : IM = 2IH . Tìm tập hợp các điểm I khi M di chuyển trên đ−ờng tròn Sở giáo dục - đμo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2002 - 2003 ***** Đề chính thức Môn thi : toán ( Thời gian làm bài 180 phút ) ******* Bài 1 : ( 3 điểm ) Cho hàm số x 2 e v i x y x x 1 v i x 0 ⎧ ≥⎪= ⎨ + + <⎪⎩ ớ ớ 0 Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x = 0 Bài 2 : ( 2 điểm ) Lập bảng biến thiên của hàm số sau : ny x (2 x)= − 2 với n nguyên d−ơng . Bài 3 : ( 2 điểm ) Tìm a để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà không có c−c đại : 4 3 2y x 4ax 3(a 1)x 1= + + + + Bài 4 : ( 3 điểm ) Cho ph−ơng trình : 3 2x mx 1 0 (1+ − = ) 1, Chứng minh rằng ph−ơng trình (1) luôn có một nghiệm d−ơng . 2, Xác định m để ph−ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất . Bài 5 : ( 6 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(a ; 0) , B(0 ; a) (với a > 0)và đ−ờng tròn có ph−ơng trình : ( )ξ 2 2 2x y 2ax m 2y a+ − − + = 0 ( m là tham số ) 1 , Chứng minh rằng đ−ờng tròn ( )ξ tiếp xúc với Ox tại A . Tìm giao điểm thứ hai P của đ−ờng tròn ( và đ−ờng thẳng AB. )ξ 2 , Lập ph−ơng trình đ−ờng tròn ( )′ξ đi qua P và tiếp xúc Oy tại B. 3 , Hai đ−ờng tròn ( và ()ξ )′ξ cắt nhau tại P và Q . Chứng minh rằng khi m thay đổi đ−ờng thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định . Bài 6 : ( 2 điểm ) Lập ph−ơng trình đ−ờng phân giác của góc tạo bởi 2 đ−ờng thẳng : x y 3 0+ − = , 7x y 4 0− + = có chứa điểm M0(-1 ; 5) Bài 7 : ( 2 điểm ) Cho các số thực x1 , x2 , , x2002 , y1 , y2 , , y2000 thoả mãn các điều kiện sau : 1 2 2002 1 2 2000 1 2 2002 1 2 2000 1) e x x ... x y y ... y 2) x x ... x y y ... y ≤ ≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ ≤ + + + ≥ + + + Chứng minh : 1 2 2002 1 2 2000x x ...x y y ...y> Sở giáo dục - đμo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2003 - 2004 ***** Đề chính thức Môn thi : toán ( Thời gian làm bài 180 phút ) ******* Bài 1 : ( 5 điểm ) Cho hàm số 4 2xy 3x x 2 1= − + − 1 , Chứng minh rằng hàm số có 3 cực trị . 2 , Cho tam giác có toạ độ đỉnh là toạ độ các điểm cực trị trên , tìm toạ độ trọng tâm tam giác. Bài 2 : ( 4 điểm ) 1 , Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đ−ợc 2 tiếp tuyến với parabol và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau. 2y 4x x= − 2 , Tính diện tích tam giác có đỉnh là điểm 5 17M( ; ) 2 4 và các tiếp điểm của các tiếp tuyến đó đi qua điểm M. Bài 3 : ( 5 điểm ) 1, Giải hệ ph−ơng trình : 3 3 6 6 x 3x y 3 x y 1 ⎧ y− = −⎪⎨ + =⎪⎩ 2, Giải và biện luận ph−ơng trình ; 2 2x 2ax 2 2x 4ax a 2 23 3 x 2ax+ + + + + a− = + + Bài 4 : ( 4 điểm ) Cho họ đ−ờng cong ( Cm) có ph−ơng trình : 2 2 2 2 x y 1 m m 16 + =− trong đó m là tham số , m 0 . ,m 4≠ ≠ ± 1 , Tuỳ theo giá trị của m , xác định tên gọi của đ−ờng cong đó . 2 , Giả sử A là một điểm tuỳ ý trên đ−ờng thẳng x = 1 và A không thuộc trục hoành. Chứng minh rằng với mỗi điểm A luôn có 4 đ−ờng cong họ ( Cm) đi qua A . 3 , Khi m = 5 hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đ−ờng cong trên. Bài 5 : ( 2 điểm ) Chứng minh rằng trong tam giác ABC luôn có : 1 1 1cot gA cot gB cot gC 3 3 2 sin A sin B sinC ⎛ ⎞+ + + ≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ Sở giáo dục - đμo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2004 - 2005 ***** Đề chính thức Môn thi : toán ( Thời gian làm bài 180 phút ) ******* Bài 1 : ( 5 điểm ) Cho đ−ờng cong (Cm) có ph−ơng trình : 3 2y (m 1)x 3(m 1)x (6m 1)x 2m= + − + − − − 1 , Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua ba điểm cố định thẳng hàng khi m thay đổi . 2 , Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ để (Cm) không đi qua với mọi m . Bài 2 : ( 3 điểm ) Xác định dạng của tam giác ABC nếu : a cosA bcosB ccosC a b c a sin A bsin B csinC 9R + + +=+ + + Bài 3 : ( 4 điểm ) Cho parabol và elip 2y x 2x= − 2 2x y 1 9 1 + = 1, Chứng minh rằng parabol và elip luôn có bốn giao điểm có hoành độ x1 , x2 , , x3 ,x4 thoả mãn − < 1 2 3 41 x 0 x 1 x 2 x 3< < < < < < < 2, Viết ph−ơng trình đ−ờng tròn đi qua 4 giao điểm trên . Bài 4 : ( 6 điểm ) 1, Giải hệ ph−ơng trình : 3 2 3 2 3 2 2z 1 x x x 2y 1 z z z 2x 1 y y y ⎧ + = + +⎪ + = + +⎨⎪ + = + +⎩ 2 , Giải ph−ơng trình : x x2 21 a 1 a 1 2a 2a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −− =⎜ ⎟ với 0 < a < 1 ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Bài 5 : ( 2điểm ) Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ ]0;1 thoả mãn điều kiện f(0) = f(1) . Chứng minh rằng ph−ơng trình : 1f (x) f (x ) 2004 = + luôn có nghiệm thuộc [ ]0;1 Sở giáo dục - đμo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2005 - 2006 ***** Đề chính thức Môn thi : toán ( Thời gian làm bài 180 phút ) ******* Bài 1 : ( 5 điểm ) Cho hàm số : 3 2x 3x 3x ay x − + += 1 , Tìm a để đồ thị hàm số trên có ba điểm cực trị . 2 , Chứng minh rằng các điểm cực trị này luôn nằm trên một parabol cố định khi a thay đổi Bài 2 : ( 4 điểm ) Cho hai ph−ơng trình : 2 2 x x 2m 1 0 (1 x 2x 2m 1 0 (2 + + − = + + + = ) ) 1 , Tìm m để hai ph−ơng trình có nghiệm chung . 2 , Tìm m để một trong hai nghiệm của ph−ơng trình này nằm trong khoảng hai nghiệm của ph−ơng trình kia và ng−ợc lại . Bài 3 : ( 5 điểm ) Giải các ph−ơng trình : x x x x 1) 5sin x cos 2x 2cos x 0 2) 2007 2006 2005 2004 + + = − = − Bài 4 : ( 4 điểm ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đ−ờng tròn có ph−ơng trình : 2 2x y+ =1 1 , Viết ph−ơng trình tiếp tuyến với đ−ờng tròn tại điểm M , biết tia OM hợp với chiều d−ơng trục Ox một góc a. 2 , Giả sử khi a thay đổi từ 0 đến 4 π , tiếp tuyến trên thay đổi theo và quýet đ−ợc một miền trên mặt phẳng toạ độ . Tính phần diện tích giới hạn bởi miền đó và đ−ờng thẳng y = 0 . Bài 5 : ( 2điểm ) Tìm các giá trị của m để hệ sau có nghiệm : 2 2 2 2 1 mx 2xy 7y 1 m 3x 10xy 5y 2 −⎧ + − ≥⎪ +⎨⎪ + − ≤⎩ Sở giáo dục - đμo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2006 - 2007 ***** Đề chính thức Môn thi : toán ( Thời gian làm bài 180 phút ) ******* Bài 1 : ( 5 điểm ) Cho hàm số : 2 m x 2x my ( x 2 − += − m 0C ) với ≠ . 1 , Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A , B sao cho các tiếp tuyến với đồ thị tại A , B vuông góc nhau . 2 , Tìm m để tam giác tạo bởi một tiếp tuyến bất kì của đồ thị (Cm) với hai tiệm cận có diện tích bằng 1 . Bài 2 : ( 4 điểm ) 1 , Giải ph−ơng trình : cos 2x 1 2 1 12 cos 2x log (3cos 2x 1) 2 2 − + = + − 2 , Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hệ sau có nghiệm : 2 2 4 2 2 4 x 4xy 12y 72 3x 20xy 80y a ⎧ + + ≥⎪⎨ + + =⎪⎩ Bài 3 : ( 3 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC . Đ−ờng phân giác trong AD ( D ) , BC∈ đ−ờng cao CH ( ) lần l−ợt có ph−ơng trình : x – y = 0 , 2x + y + 3 = 0 . H AB∈ Cạnh AC đi qua điểm M(0 ; -1) và AB = 2AM . Hãy viết ph−ơng trình các cạnh của tam giác ABC . Bài 4 : ( 2 điểm ) Trên hệ toạ độ Oxy cho đ−ờng (C) có ph−ơng trình : 2 2x y 9+ = . Tìm m để trên đ−ờng thẳng y = m có đúng 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ đ−ợc đúng hai tiếp tuyến đến (C) và mỗi cặp tiếp tuyến ấy tạo thành một góc 45D Bài 5 : ( 5điểm ) 1 , Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta có : x 1ln x x −< 2 , Tìm số thực α thoả mãn bất đẳng thức : 1 n1ln(1 ) n α ≤ − + , với mọi n nguyên d−ơng. Sở giáo dục - đμo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2007 - 2008 ***** Đề chính thức Môn thi : toán ( Thời gian làm bài 180 phút ) ******* Bài 1 : ( 5 điểm) Cho hai số m , p ( m 0 ). ≠ Xét đồ thị (Cm): 2 2−= x my x và (Cp): 3 (2 1)= − −y x p x 1, Tìm điều kiện của m và p để hai đồ thị tiếp xúc nhau. 2, Giả sử hai đồ thị tiếp xúc nhau , chứng minh rằng tiếp điểm của chúng thuộc thị hàm số y = x – x3 Bài 2 : (2 điểm ) Biết rằng ph−ơng trình : 3 2 0+ + + =x x ax b có 3 nghiệm phân biệt . Chứng minh rằng : a2 – 3b > 0 Bài 3 : ( 5 điểm ) 1, Tìm m để hệ sau có nghiệm : 5log ( 3) 4 2 2 2 1 log ( ) log ( 1) +⎧ ≥⎪⎨ + − ≥⎪⎩ xx m x x + 2, Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm : (2 1) 2 ( 2) 2 1 0− + + − − + − =m x m x m Bài 4 : ( 6 điểm) 1, Cho tam giác ABC với B (1 ; 2) , đ−ờng phân giác trong của góc A có ph−ơng trình 2x + y + 1 = 0 (d) . Tìm toạ độ các đỉnh A và C biết rằng khoảng cách từ C đến (d) bằng hai lần khoảng cách từ A đến (d) và C nằm trên trục tung . 2, Cho A(0 ; 4) và B(-4 ; 0) . Xét đ−ờng thẳng Δ : ax + by + 2 = 0 ( a2 + b2 > 0) luôn tiếp xúc với đ−ờng tròn : x2 + y2 = 16 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ A và B đến Δ Bài 5: (2 điểm) Gọi xi là nghiệm của bất ph−ơng trình : ( i = 2 2 ( 1)− + − ≤i ix a x a 2 0 1; ) và n 1 5, 1;2;...;2 ≤ ≤ =ia i n Chứng minh rằng : 2 2 2 1 2 1 2... ...1 2 + + + + + +≤ +n nx x x x x n n x