Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2013 – 2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên) Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu Câu 1 (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và parabol (P): y = - x2. a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2); b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2). Tìm m để (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 25. Câu 2 (2 điểm) a. Giải hệ phương trình ; b. Tìm x, y thỏa mãn x – y + 1 = . Câu 3 (2 điểm) a. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất. b. Với x là số thực. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = . Câu 4 (3 điểm) Cho đường tròn đường kính AB; C là một điểm trên đường tròn (C khác A, B). Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC, các tia AI, CI lần lượt cắt đường tròn tại D, E. a. Chứng minh tam giác EAI cân; b. Chứng minh: IC.IE = IA.ID; c. Giả sử biết BI = a, AC = b. Tính AB theo a, b. Câu 5 (1 điểm) Chứng minh trong các số có dạng 20142014 ... 2014 có số chia hết cho 2013. ---------------------------------------------------------------------------------Hết------------------------------------------------------------------------------------ LẠNG SƠN PHÁI ĐƠN VỊ: THPT BÌNH GIA SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN HDC CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên) Hướng dẫn chấm gồm có 2 trang Chú ý: - Học sinh có thể giải theo những cách khác nhau, nếu đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa ứng với phần đó. - Đối với bài hình học: Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai hẳn, không cho điểm; - Điểm của bài thi không làm tròn, để lẻ đến 0,25 điểm. Câu Ý Nội dung trình bày Điểm Câu 1 2 điểm a Đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) 2 = 2.1 – m + 1 0,5 Vậy: m = 1 0,5 b Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt x2 + 2x – m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt 0,25 Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 1 0,25 Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + 1 => y1 – y2 = 2(x1 – x2) Nên: 25 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 5(x1 – x2)2 => (x1 – x2)2 = 5 0,25 Hay: (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m) 0,25 Câu 2 2 điểm a Đặt 0,25 Khi đó có hệ: 0,25 Từ: 0,25 Vậy hệ có nghiệm (2; -2) 0,25 b Ta có: x – y + 1 = . 0,25 Hay: . 0,25 Suy ra: . 0,25 Vì vậy có: x = 2; y = 1. 0,25 Câu 3 2 điểm a Do: nên ADME là hình chữ nhật 0,25 Nên : DE = AM 0,25 DE nhỏ nhất AM nhỏ nhất 0,25 Vì vậy : M là chân đường cao hạ từ A 0,25 b A = , (*) có nghiệm x 0,25 Nếu A = 0 từ (*) có : x = -4/3 0,25 Nếu A 0 có : 0,25 Vậy : 0,25 Câu 4 3 điểm a Vẽ hình để chứng minh a 0,25 Do AD, CE là các đường phân giác nên : 0,25 Do đó: 0,25 Suy ra: Vậy: tam giác EAI cân tại E 0,25 b Ta có: (đối đỉnh) 0,25 (cùng chắn cung DE) 0,25 Do đó : . 0,25 Suy ra: 0,25 c AC cắt BD tại F. Do AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên ABF cân. Do đó AF = AB = x > 0 0,25 Do: nên BID vuông cân suy ra: DB = a/ => BF = a 0,25 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB và BCF có: BC2 = AB2 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 x2 - bx - a2 = 0 0,25 Có: x = (loại), x = . Vậy AB = 0,25 Câu 5 1 điểm Ta xét 2014 số khác nhau có dạng 201420142014 = an, có n bộ 2014. n N* Trong 2014 số này có ít nhất hai số khi chia cho 2013 có cùng số dư. 0,25 Giả sử 2 số đó là ai , aj (j > i). Khi đó aj – ai 2013 hay: 0,25 Số có dạng 201420142014 . 104i 2013 Vì UCLN(10, 2013) = 1 nên UCLN(10n, 2013) = 1 với mọi n Î N* 0,25 Vậy: có số dạng 201420142014 chia hết cho 2013 0,25 --------------------------------------------------------------------------Hết----------------------------------------------------------------------------------- (Cảm ơn thầy Bùi Văn Ngọc GV chuyên Chu Văn An – Lạng Sơn cung cấp)