Kinh nghiệm “giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ”

Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh *********************** Kinh nghiệm “GiảI hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ” Hà tĩnh, ngày 25 tháng 03 năm 2008 I. Đặt vấn đề: Trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thường có những bài tập giải hệ phương trình mà việc giải những hệ phương trình đó ta phải sử dụng phương pháp đánh giá, việc đánh giá các hệ phương trình đó cũng không có một trình tự nào rỏ ràng và cụ thể mà chúng ta phải biết vận dụng linh hoạt trong từng trường hợp cụ thể . Sau đây tôi xin nêu một số phương pháp thường gặp khi giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá và một số ví dụ minh họa. II. GiảI quyết vấn đề: Phương pháp1: Phương pháp đánh giá bằng tập xác định Ví dụ: Giải hệ phương trình: (Đề thi vào trường chuyên tĩnh) Lời giải Điều kiện Suy ra Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y = 0 Do vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 0 Phương pháp2: Đánh giá bằng bất đẳng thức Ví dụ1: Giải hệ phương trình (I) Lời giải Viết lại (I) Từ (1) suy ra y= 1 1 + y 0 Lại có (x - 1) 0 , x nên (2) Kết quả (3) thỏa mản (1) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình (I) Vídụ2: Giải hệ phương trình Lời giải Ta có (1) 2x+ 2y+ 2z - 2xy - 2yz - 2xz = 0 (x - y)+ (y - z)+ (x - z) = 0 (3) Vì (x - y) 0; (y - z)0; (x - z)0 với mọi x;y;z (x - y)+ (y - z)+ (x - z) 0 với mọi x; y; z (3) x –y = y – z = z – x = 0 x = y = z Thay vào (2) ta có: 3x = 3y = 3z = 3 x= y= z= 3 Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm là x = y = z = 3 Phương pháp3: Đánh giá bằng tính chẵn lẻ Ví dụ1: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất (I) (Đề thi học sinh giỏi lớp 10 tĩnh Hà Tĩnh năm học 2000 - 2001) Lời giải Để ý nên hệ (I) (II) Điều kiện cần Thấy rằng nếu có nghiệm (x,y) thì hệ cũng có nghiệm (x,-y) Bởi vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là y = 0 Thay y = 0 vào (II) ta có Điều kiện đủ a = -1, hệ (II) trở thành x = y = 0 a = , hệ (II) trở thành Hệ có nghiệm duy nhất Vậy tập hợp các giá trị của a tương thích với yêu cầu bài toán là Ví dụ2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất Lời giải *Điều kiện cần Thấy rằng, nếu hệ có nghiệm (x,y) thì nó cũng có nghiệm (-x,-y), (-x,y),(x,-y).Bởi vậy, nghiệm duy nhất của hệ chỉ có thể là x= y= 0 Thay vào hệ ta có a = *Điều kiện đủ Với a = , hệ trở thành Để ý: Dấu đẳng thức xẩy ra khi x = y = 0. Suy ra (1) x = y = 0. Thấy rằng x = y = 0 cũng là nghiệm của (2) Suy ra x = y = 0 là nghiệm duy nhất của hệ Tóm lại: Tập hợp các giá trị phải tìm của a là a = Phương pháp 4: Đặc biệt hóa một ẩn Ví dụ1: Giải hệ phương trình (I) (Đề thi giáo viên giỏi huyện Cẩm Xuyên năm 2004) Lời giải Viết lại (I) (II) Đặt Hệ (II) trở thành (III) Hệ (III) có nghiệm z = 2 *Với z = 2 ta có (III) u = v = 1 Hệ đã cho có nghiệm (1;0;2) *Với z = -2 ta có (III) u = v = -1 Hệ đã cho có nghiệm (-1; 0; -2) *Tóm lại: Hệ đã cho có hai nghiệm là (1; 0; 2) và (-1; 0; -2) Nhận xét: - Số ẩn nhiều hơn số phương trình suy ra đặc biệt hóa một ẩn xem là tham số - Sự vắng mặt hạng tử z trong phương trình (2) cho ta thấy thiếu bình đẳng của nó đối với x và y - Sự phân tích trên dẩn chúng ta đặc biệt hóa ẩn z, xem nó là tham số Ví dụ2: Giải hệ phương trình (I) Lời giải Xem z là tham số,khi đó phương trình (2) trở thành 4(y - 1) = 4 - z (i) Phương trình (i) có nghiệm khi và chỉ khi z 4 -2 (5) Phương trình (3) trở thành : x+ 2(4 - z)x + 16 - 6z = 0 (ii) Phương trình (ii) có nghiệm z(z - 2) Từ (4), (5), (6) suy ra *Thay z = 0 vào các phương trình (i) và (ii) sẻ lần lượt có x = - 4, Cặp giá trị (x = - 4; y = 0; z = 0) không thỏa mản hệ phương trình (I) (7) Cặp giá trị (x = -4; y = 2; z = 0) thỏa mản hệ phương trình (I) (8) *Thay z = 2 vào các phương trình (i) và (ii) ta sẻ lần lượt có x = -4 ; y = 1 (9) Cặp giá trị (x = -4; y = 1; z = 2) thỏa mản hệ phương trình (I) (10) *Từ (7),(8),(10) kết luận hệ đã cho có hai nghiệm là (- 4; 2; 0) và (- 4; 1; 2) Nhận xét: Sự có mặt của bất đẳng thức (4) cho thấy tính đặc biệt của ẩn z đối với hệ đã cho Khi z được đặc biệt hóa, thì (2),(3) theo thứ tự trở thành phương trình một ẩn đối với x,y. Nhờ đó ta thu được các đánh giá độc lập đối với biến z Phương pháp5: Đánh giá giữa các ẩn Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của hệ Lời giải Ta sẻ chứng minh x = y = z. Thật vậy: Do vai trò của x , y , z như nhau nên không mất tính tổng quát,giả sử x y và x z (4) Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên: Từ (1),(2),(4) 2x = y x = 2y 2x 2y x y (5) Từ (1),(3),(4) 2x = y y = 2z 2x 2z x z (6) Từ (4),(5),(6) suy ra x = y = z Thay vào (1) ta có 2x = x = suy ra x = 1 (do x > 0) Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x = y = z = 1 Phương pháp 6: Đánh giá bằng tính chia hết Ví dụ: Chứng tỏ rằng hệ phương trình không có nghiệm nguyên Lời giải Cộng vế theo vế của (1),(2),(3) ta được: x + y + z = x+ y+ z + 2008 (x - x )+ (y - y) + (z - z) = 2008 x(x- 1) + y(y- 1) + z(z- 1) = 2008 x(x- 1)x(x + 1) + y(y- 1)y(y + 1) + z(z- 1)z(z + 1) = 2008 (4) Dể thấy vế trái của phương trình (4) chia hết cho 6 (do tích của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 6) Mặt khác 2008 chia cho 6 có số dư là 4 Do đó phương trình (4) không có nghiệm nguyên. Vì vậy hệ (I) không có nghiệm nguyên x,y,z III.Kết luận - kiến nghị: Trên đây là một vài phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá mà trong quá trình giảng dạy tôi đã tổng hợp, sử dụng trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.Đây chỉ là kinh nghiệm nhỏ về cách giải hệ phương trình trong rất nhiều phương pháp giải hệ phương trình chúng ta đã gặp. Mong nhận được sự góp ý chân thành từ các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn!