Kinh nghiệm khai thác bài toán tính tổng của dãy số tự nhiên viết theo quy luật

Kinh nghiệm Khai thác bài toán tính tổng của dãy số tự nhiên viết theo quy luật I. Đặt vấn đề Trong chương trình toán THCS có một số dạng toán hay mà ta hay gặp đó là tính tổng của dãy số tự nhiên viết theo một quy luật nào đó. Để giải các bài toán dạng này thông thường ta biến đổi để làm xuất hiện các số hạng đối nhau sau khi thu gọn ta được một số ít số hạng mà ta dễ dàng tính được hoặc làm xuất hiện các dẫy số mà ta dễ dàng tính được. Nhưng biến đổi như thế nào để xuất hiện các hạng tử đối nhau hoặc các dãy số dễ dàng tính được lại là vấn đề không đơn giản mà học sinh hay mắc phải. Đó chính là lí do mà tôi viết chuyên đề này. Trước khi triển khai chuyên đề tôi đã tiến hành kiểm tra sự hiểu biết của các em học sinh khá giỏi của nhà trường trong việc khai thác cách giải và giải một số bài toán về dãy số tự nhiên viêt theo quy luật qua đề bài sau. Đề bài: (Thời gian làm bài 45phút) Bài 1: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 Bài 2: Tính B = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Bài 3: Tính C = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 3.4.5 + … + 98.99.100 *Thống kê kết quả: Lớp 5đ- 6,5đ 7đ - 7,5 đ 8đ - 10đ SL % SL % SL % 6A1 17 42.5 17 42.5 0 0 6A2 20 50 13 32.5 0 0 *) Nhận xét: Sau khi kiểm tra các lớp 6A1, 6A2 của trường tôi thấy học sinh còn tồn tại như sau: - Học sinh có nhiều em chưa biết cách giải một số bài toán đơn giản về dãy số dạng như bài kiểm tra, lời giải còn trình bày dài dòng, rắc rối. - Học sinh chưa phát huy được tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi kiến thức mới. II. giảI quyết vấn đề I) Bài toán mở đầu và một số dãy số đơn giản : 1) Bài toán 1. Tính : A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 Để tính A ta biến đổi A để xuất hiện các hạng tử đối nhau. Muốn vậy ta cần tách một thừa số trong mỗi hạng tử thành một hiệu : a = b - c Giải: 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + … + 99.100. (101 - 98) = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + 99.100.101 - 98.99.100 = 99.100.101 A = 33.100.101 = 333 300 2) Một số dãy số dễ dàng tính được 1 + 2 + 3 + … + n a + (a + k) + (a + 2k) + … + (a + nk) k là hằng số II) Khai thác bài toán 1 Trong bài toán 1 . Các thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau 1 hay cách nhau 1 đơn vị. Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ta có bài toán 2. Bài toán 2 . Tính : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Giải 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 3 + 97.99.101 = 161 651 Trong bài toán 1 ta nhân A với 3 (a = 3) . Trong bài toán 2 ta nhân A với 6 (a = 6). Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử. 3k n(n + k) = n(n + k)(r + 2k) - (n - k) n (n + k) Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toán 3 Bài toán 3 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100 Giải : 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + … + 98.99.100(101 - 97) = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + … + 98.99.100.101 - 97.98.99.100 = 98.99.100.101 A = 98.99.25.101 = 24 497 550 Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán: Bài toán 4 : Tính : A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 Giải : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 = 11 517 600 Trong bài 3 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách). Trong bài 4 ta nhân A với 8 (bốn lần khoảng cách). Như vậy để giải bài toán dạng ta nhân với 4k (4 lần khoảng cách) sau đó tách 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k) Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán: Bài toán 5 : Tính A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100 Giải A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 + … + (98 + 1).100 = 3 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 + … + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 + … + 100) = 98.100.102 : 6 + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 Cách khác A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) = 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + … + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + … + 99) = 171650 – 2500 = 169150 Trong bài toán này ta không nhân A với một số hạng mà tách ngay một thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. Làm tương tự với các bài toán: Bài toán 6 : Tính A = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002 Giải : A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99 + 1) = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + … + 99.100 + 100 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 + … + 100) = 333300 + 5050 = 338350 Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số trong bài 6 ta có bài toán: Bài toán 7: Tính A = 12 + 32 + 52 + … + 992 Giải : A= 1 + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + … + 99(2 + 97) = 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + … + 2.99 + 97.99 = 1 + 2(3 + 5 + 7 + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99) = 1 + 4998 + 161651 = 166650 Trong bài toán 5 và 7 có thể sử dụng : (n - a) ((n + a) = n2 - a2 n2 = (n - a)(n + a) + a2 a là khoảng cách giữa các cơ số Bài toán 8 Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.99.100 Giải : A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 -3) + … + 99.101.( 103 – 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101) = 13517400 – 3.171650 = 13002450 Thay đổi số mũ của bài toán 7 ta có bài toán: Bài toán 9 : Tính A = 13 + 23 + 33 + … + 1003 Giải Sử dụng : (n - 1)n(n + 1) = n3 - n n3 = n + (n - 1)n(n + 1) A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + … + 100 + 99.100.101 = (1 + 2 + 3 + … + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) = 5050 + 101989800 = 101994850 Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 8 ta có bài toán . Bài toán 10: Tính A = 13 + 33 + 53 + … + 993 Giải : Sử dụng (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + … + 97.99.101 + 4.99 = 1 + (1.3.5 + 3.5.7 + … + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 + … + 99) = 1 + 12487503 + 9996 = 12497500 Với khoảng cách là a ta tách : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n. ở bài toán 8, 9 ta có thể làm như bài toán 6, 7. Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 1 ta có: Bài toán 11: Tính A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 Giải : A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) = 25497450 – 333300 = 25164150 Với cách khai thác như trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán trên thành rất nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh phải có sự linh hoạt, sáng tạo. Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy bằng số hạng tổng quát theo quy luật của dãy. *Vận dụng cách giải trên hãy giải các bài toán sau: 1. Tính A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 2. Tính B = 1.3 +5.7+9.11+ …+ 97.101 3 Tính C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101 4. Tính D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 5. Tính E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 6. Tính F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512 III. Kết quả thực hiện: 1) Kết quả cụ thể: Sau khi triển khai chuyên đề với học sinh khá giỏi của nhà trường tôi đã tiến hành khảo sát học sinh để kiểm tra sự lĩnh hội của các em về đề tài này. Đề bài: (Thời gian làm bài 45phút) Bài 1: Tính A = 12 + 42 + 72 + …. +1002. Bài 2: Tính B = 1.32 + 3.52 + 5.72 + … + 97.992. *Thống kê kết quả: Lớp 5 đ – 6,5 đ 7đ - 7,5 đ 8 đ - 10đ SL % SL % SL % 6A1 1 2.5 12 30 27 67.5 6A2 2 5 12 30 26 65 2) Kết quả chung: Sau khi triển khai đề tài với các lớp học khá, giỏi của trường tôi thấy so với trước khi triển khai chuyên đề học sinh có một số tiến bộ sau: - Học sinh đã biết cách tính tổng của các số viết theo quy luật một cách nhanh hơn . - Học sinh giải có thể tự ra đề bài và nêu được hướng giải bài toàn dạng trên. - Học sinh tiếp tục phát triển tư duy sáng tạo, tăng cường học hỏi bạn khác, tự tìm tòi kiến thức mới. IV. Bài học kinh nghiệm: Sau khi triển khai kinh nghiệm “Khai thác bài toán tính tổng của dãy số tự nhiên viết theo quy luật” tại nhà trường tôi đã rút ra một số bài học sau: Để dạy học sinh giỏi có hiệu quả cần phải dạy cách học, cách tìm tòi kiến thức mới và phát triển các kiến thức đã học vào chứng minh các tính chất hay công thức Toán học khác. Từ đó có biện pháp vận dụng và khai thác các tính chất hay công thức vào giải các bài tập cụ thể. Cần tăng cường giáo dục học sinh tinh thần tự học, tự nghiên cứu kiến thức vì đây là con đường làm chủ và chiếm lĩnh tri thức một cách hiệu quả nhất. V. phạm vi áp dụng của đề tài Kinh nghiệm “Khai thác bài toán tính tổng của dãy số tự nhiên viết theo quy luật”áp dụng hiệu quả cao trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi các khối lớp 6,7. kết luận và kiến nghị Như đã trình bày đề tài này sau khi được áp dụng trong các buổi học bồi dưỡng học sinh giỏi hoặc các buổi ngoại khoá môn Toán lớp 6 tôi thấy nội dung nêu ra có tác dụng thiết thực: - Bổ sung thêm kiến thức cho học sinh và phát triển tư duy toán - Gợi mở cho học sinh hướng vận dụng một số đẳng thức áp dụng vào giải toán một cách nhanh chóng. Trên cơ sở các kết quả đã đạt được tôi dự kiến hướng tiếp tục nghiên cứu đề tài như sau: - Tiếp tục tuyển chọn các đề toán liên quan đến dãy số viêt theo quy luật, yêu cầu hoc sinh vận dụng kiến thức đã học để luyện tập. - Xuất phát từ bài toán trên và các bài tập được vận dụng yêu cầu học sinh sáng tạo các đề toán mới. Trên đây là toàn bộ nội dung kinh nghiệm “Khai thác bài toán tính tổng của dãy số tự nhiên viết theo quy luật”. Kính đề nghị Hội đồng khoa học các cấp xem xét đánh giá và rút kinh nghiệm cho tôi, tôi xin chân thành cảm ơn.