Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 năm học 2011 - 2012 môn thi : toán lớp 12 thpt thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi : Toán lớp 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28/10/2011 (Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu) Câu 1 (4 điểm) Giải phương trình Câu 2 (4 điểm) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Đồng thời đường thẳng nối điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng y = 2x + 3 góc 450 . Câu 3 (4 điểm) Cho dãy số (xn) thỏa mãn () Đặt . Tính Limun . Câu 4 (4 điểm) Cho 3 số dương a, b, c thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Câu 5 (4 điểm) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) theo a. b. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C'. -----------------------------Hết----------------------------- Đáp án Đề HSG Lạng Sơn 2011 lớp 12 Câu 1 (4 điểm) Giải phương trình: .do nên 1+6x > . Đặt u = 1+6x, v =, khi đó phương trình cho trở thành hay u – 2v = ± 3. *) u – 2v = 3 ta được *) u – 2v = -3 ta được Phương trình có 2 nghiệm x = 1, Câu 2(4điểm) Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu. Đồng thời đường thẳng nối điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng y= 2x + 3 một góc 450. Giải . Tập xác định của hàm số: D = R y’ = 3x2 +6x- (m+1) để hàm số có cực đại, cực tiểu thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt hay . Ta có Do các hoành độ của các cực trị là nghiệm của y’ = 0 lên các điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn đường thẳng Đường thẳng qua 2 cực trị tạo với đường thẳng y = 2x + 3 một góc 450 thì ta có Câu 3 (4 điểm) Cho dãy số (xn) thỏa mãn: Đặt Xét hàm số đồng biến trên (7/2 ; +∞) nên x1 = 8 > 7/2 nên x2 >x1 tương tự ta có xn+1 >xn mọi ta chứng minh (xn ) là dãy không bị chặn trên. Thật vậy nếu dãy (xn ) bị chặn trên thì nó hội tụ về x > 8 hay phương trình có nghiệm x = 5 > 8 (mâu thuẫn). Ta có Cho k chạy từ 1 đến n ta có vậy Limun =1/3 Câu 4 (4điểm) Đặt x, y, z > 0 khi đó Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopki cho 2 dãy số dương Ta được Vậy GTLN của P là 3/4 khi x= y = z hay a = b = c Câu 5 (4điểm) Goi I là trung điểm của AB Khi đó A’I là đường cao của hình lăng trụ (giả thiết) Ta có A’I = diện tích của tam giác ABC là Ta có tam giác A’AC vuông tại A vì gọi E là trung điểm của A’C thì BE là đường cao của tam giác A’BC (vì A’B = BC = 2a) . Diên tích tam giác A’BC Goi V là thể tích của khối chóp A’.ABC thì Góc giữa AA’ và B’C’ cũng là góc giữa AA’ và BC gọi là α ta có