Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh Môn: Toán

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy b) Cho biểu thức với a là số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ A có giá trị nguyên. Bài 2 : (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 – 9x2 + 13x – 6 b) Tính giá trị của biểu thức M = x3 – 6x với x = Bài 3 : (5,0 điểm) a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình: Bài 4 ( 5,0 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC;< 900), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M . Gọi I; H; K lần lượt là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK, Q là giao điểm của MC với IH. a) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK. b) Chứng minh PQ // BC. c) Gọi (O1) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp MPK vàMQH. Chứng minh rằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2 ). d) Gọi D là trung điểm của BC; N là giao điểm thứ hai của (O1),(O2 ) Chứng minh rằng M,N,D thẳng hàng. Bài 5 ( 2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh : 9 ----------------- HẾT----------------- Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : TOÁN Bài Câu Bài giải Điểm 1 4điểm a 2điểm Ta có: 2x(y – 3) – 5(y – 3) = 33 (y – 3)(2x – 5) = 33 = 1.33 = 3.11 = (-1).(-33) = = (-33).(-1) = (-3).(-11) = (-11).(-3) Ta xét các trường hợp sau : * * * * Các cặp số nguyên dương đều thỏa mãn đẳng thức trên. Vậy các cặp số cần tìm là : (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4) Các trường hợp còn lại giải ra đều không thoả mãn bài toán 0,75đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ b 2điểm Vì a chẵn nên a = 2k Do đó Ta có : Ta chứng minh : Thật vậy : - Nếu k = 3n (với) thì - Nếu k = 3n + 1 (với) thì - Nếu k = 3n + 2 (với) thì Với mọi luôn chia hết cho 2 và cho 3 Mà (2, 3) = 1 Vậy A có giá trị nguyên. 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,75đ 0,25đ 2 4điểm a 2điểm a) 2x3 – 9x2 + 13x – 6 = 2x3 – 2x2 – 7x2 + 7x + 6x – 6 = 2x2(x -1) – 7x(x – 1) +6(x – 1) = (x – 1)(2x2 – 7x + 6) = (x – 1)(x – 2)(2x – 3) 0,5đ 1,0đ 0,5đ b 2điểm Đặt u = ; v = Ta có x = u + v và u.v = x = u + v = 40 + 6x hay . Vậy M = 40 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 3 5điểm a 2,5điểm PT: (1) ĐKXĐ: 2 Chứng minh được: Dấu “=” xảy ra x – 2 = 6 – x x = 4 Dấu “=” xảy ra (x – 4)2 = 0 x - 4 = 0 x = 4 Phương trình (1) xảy ra x = 4 Giá trị x = 4 : thỏa mãn ĐKXĐ Vậy: 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ b 2,5điểm Điều kiện: Giải (2) ta được: Thay xy = 2 vào (1) ta được x + y = 3 (5) Từ (5) và (3) ta được: ( thoả mãn ĐK) Thay xy = vào (1) ta được x + y = (6) Từ (6)và(4) ta được:(thoả mãn ĐK) Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 4 5điểm C a 1.0điểm b 1,5điểm c 1,25điểm d 1,25điểm a) Chứng minh tia đối của tia MI là phân giác của Vì ABC cân tại A nên Gọi tia đối của tia MI là tia Mx Ta có tứ giác BIMK và tứ giác CIMH nội tiếp Vậy Mx là tia phân giác của của. b) Tứ giác BIMK và CIMH nội tiếp Mà ( cùng bằng ) ( cùng bằng ) Ta lại có ( tổng ba góc trong tam giác) Do đó tứ giác MPIQ nội tiếp ( cùng bằng ) Mà ( vì cùng bằng ) PQ// BC c) Ta có ( cùng bằng ) mà ( c/minh b) Hai tia QP;QH nằm khác phía đối với QM PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O2) tại tiêp điểm Q (1) Chứng minh tương tự ta có PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O1) tại tiêp điểm P (2) (1) và (2) PQ là tiếp tuyến chung của đường tròn (O1) và (O2) d) Gọi E; E’lần lượt là giao điểm của NM với PQ và BC S Ta có PE2 = EM .EN ( vì PEM NEP ) S QE2 = EM .EN ( vì QEM NEQ ) PE2 = QE2 ( vì PE;QE >0) PE = QE Xét MBC có PQ // BC ( c/m b) nên: ( định lí Ta Lét) Mà EP = EQ E’B = E’C do đó E’D Suy ra N, M, D thẳng hàng. 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,75đ 5 2điểm Từ A và O kẻ AH BC OK BC (H, K BC) AH // OK Nên (1) (2) (1) , (2) Tương tự : Nên (3) Với ba số dương a,b,c ta chứng minh được: (a+ b + c) ( ) 9 Nên ( (4) Từ (3) ,(4) suy ra : (đpcm) 0,25đ 0,25đ 0,75đ 0,75đ - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------