Kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh lớp 12 thpt năm học 2004 - 2005 môn: toán (vòng 1) đề chính thức thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 12 thPT năm học 2004 - 2005 Môn : TOáN (vòng 1) Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ................................................................................................................................................. BàI 1: Tìm nghiệm của ph−ơng trình : 02sin1.2cossincos =+−− xxxx thỏa điều kiện : 2004 < x < 2005 . BàI 2: Trong mặt phẳng (P), cho tam giác vuông ABC cố định có AB = AC. Tìm tập hợp những điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho : MCMBMCMBMA −−+≤4 BàI 3: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 22 2 )2( 2 + += x xxy . b) Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho với mọi số thực a, b luôn có : a + b + ab ≤ k(a2 + 2)(b2 + 2) . ------------- Hết --------------- UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 12 thPT năm học 2004 - 2005 Môn : TOán (vòng 2) Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ................................................................................................................................................ BàI 1: a) Cho hàm số ( )ln sin cos ( ) sin 2 x x x g x x −= ( ) ( ) 0 0 g x khi x f x khi x có tập xác định là D. Tính đạo hàm của hàm số : D∈=  = b) Giải bất ph−ơng trình : 3 )1ln()( 23 xx exxxe ≤+−+ BàI 2: Xét hai độ dài khác nhau a, b. Tìm điều kiện của a, b để tồn tại tứ diện (T) có một cạnh bằng a và các cạnh còn lại đều bằng b. Với tứ diện (T) này, hãy xác định mặt phẳng (α ) sao cho thiết diện của mặt phẳng (α ) và tứ diện (T) là một hình vuông (V). Tính diện tích của hình vuông (V) theo a và b. BàI 3: Chứng minh rằng tồn tại một tập con E của tập các số tự nhiên N thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau : a) E có 2005 phần tử . b) Với bất kì cặp số nguyên phân biệt k, h của E thì tích k.h chia hết cho (k-h)2. ------------ Hết -------------- Đáp án - Thang điểm vòng 1 Bài Nội dung Điểm 1 ....... 2 02sin1.2cossincos =+−− xxxx (*) + x2sin1+ = xx sincos + cos2x = ( xcos - xsin ).( xcos + xsin ) + (*) (⇔ xcos - xsin ).{1 - ( xcos + xsin ) xx sincos + } = 0 ⇔ xcos - xsin =0 (1) hoaởc ( xcos + xsin ) xx sincos + = 1 (2) + (1) cos2x= 0 ⇔ + (2) (1+⇔ x2sin ).(1+sin2x) = 1⇔ sin2x=0 (vỡ sin2x >0 khoõng theồ xaỷy ra ) Tửứ ủoự : (*) cos2x= 0 hoaởc sin2x= 0⇔ ⇔ sin4x= 0 ⇔ x =k 4 π ; k ∈Z + Vụựi ủieàu kieọn 2004< x <2005 , choùn soỏ nguyeõn k=2552. Vaọy : x = 638π . ..................................................................................................................................... + MB +MC - MB-MC = 2 Min (MB; MC) 4MA ≤ MB +MC - MB-MC ⇔ 2MA≤MB vaứ 2MA≤MC + Chọn hệ trục Axy và đơn vị trên trục sao cho : B(3;0) ,C(0;3) . Gọi M(x;y) 2MA≤MB ⇔ 4MA2 –MB2≤ 0 4(x⇔ 2+y2) – (x-3) 2 –y2 ≤ 0 ⇔ (x+1) 2 +y2 ≤ 4 Vậy : 2MA MB M ở trong hình tròn (T) tâm I(-1;0),bán kính 2. (kể cả biên) ≤ ⇔ T−ơng tự : 2MA MC M ở trong hình tròn (S) tâm J(0;-1),bán kính 2. (kể cả biên) ≤ ⇔ +Tập hợp những điển M thoả bài toán là phần giao của hai hình tròn (T) và (S) . (kể cả biên) 6 ......... 6 y 3 a ....... 3 b -5 5 10 6 4 2 -2 -4 -6 y I J M A C B 22 2 )2( 2 + += x xxy + Taọp xaực ủũnh : R + y’ = 32 23 )2( )223(2 + −−+− x xxx = 2 2 3 2( 1)( 4 2) ( 2) x x x x − − + + + + y’= 0 x=1 ; x= ⇔ 22 ±− ; y(1)= 3 1 ; y( 22 −− )= 16 12 − ; y( 22 +− )= 16 12 +− ; 0lim =∞±yx x - -2-∞ 2 -2+ 2 1 +∞ y ' + 0 - 0 + 0 - y 16 12 − 3 1 0 16 12 +− 0 + Vaọy : 1 3R Ma x y = ; Miny= 2 116RMin y +− ........................................................................................................................................ + Giả sử k là số thoả bài toán. Lúc đó : k ba abba ≤++ ++ )2)(2( 22 đúng với mọi a,b Với a=b=1 ,ta có k 3 1≥ . 4 .......... 4 x +Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi a,b : a+b+ab≤ 3 1 (a2+2)(b2+2). Ta có : (a2+2)(b2+2)- 3(a+b+ab) = a2b2+2a2+2b2+4-3a-3b-3ab = (ab-1) 2+ 2 1 (a-b) 2+ 2 3 [(a-1) 2+(b-1) 2] 0 ≥ +Từ đó số k nhỏ nhất thoả bài toán là : 3 1 . ĐáP áN - THANG ĐIểM (Vòng 2) Bài Nội dung Điểm 1.a) ........ 1.b) ....... 2 + Khi và 0x D x∈ ⇔ ≠ , 4 x k kπ π≠ + ∈Z và *, 2 x k kπ≠ ∈Z : 2 ln(1 sin 2 ) (sin 2 2 cos 2 ) ln(1 sin 2 ) cot 2( ) '( ) 2sin 2 2sin 2 1 sin 2 x x x x x x xf x f x g x x x x − − −= ⇒ = − − + Khi x = 0 : ( ) 0 0 ln 1 sin 2( ) (0) 1lim lim '(0) 2( sin 2 ) 2x x xf x f f x x→ → −− = − = − =− . ...................................................................................................................................... 3 )1ln()( 23 xx exxxe ≤+−+ (*) + Biĩu thức ln(x2+1) luôn xác định . + x=0 ; x=1 ; x=-1 là các giá trị thoả bất ph−ơng trình . -x= (3x 3 xx − ). )( 3 232 xxxx ++ +Khi x∉{0;1;-1} thì x≠ 3 x .Theo định lí Lagrange ,tồn tại số c ở giữa x và 3 x sao cho: e - x 3 xe = ( 3 xx − ) e c Vậy: (*) (⇔ 3 xx − ).[ e + c )3 232 xxxx ++( ln(x2+1)]≤ 0 ⇔ 3 xx − ≤ 0 ( Vì [ + ce )( 3 232 xxxx ++ ln(x2+1)]> 0 ) -x 0 . ⇔ 3x ≤ + Nghi−m cđa bất ph−ơng trình đã cho là : x ]1;0[]1;( ∪−−∞∈ . ....................................................................................................................................... Điịu ki−n cđa a,b : +Giả s− tứ di−n (T) tồn tại .Gọi AB là cạnh bằng a, các cạnh : AC,AD,BC,BD CD địu cùng bằng b . Gọi I là trung điĩm cạnh CD.Tam giác AIB là tam giác cân : AB=a ;AI=BI= 2 3b . Từ AB<AI+BI suy ra : 3ba <<0 +Ng−ỵc lại víi : 3ba <<0 .Dựng tam giác địu BCD cạnh b víiự chiịu cao BI. Dựng tam giác cân AIB có AB=a ,nằm trong mỉt phẳng chứa BI và vuông góc vói mp(BCD) Ta có :A∉ mp(BCD) Tứ di−n ABCD thoả điịu ki−n bài toán 3 ......... 4 ......... 7 ........ 3 mp(BCD) .Ta có :A∉ mp(BCD) .Tứ di−n ABCD thoả điịu ki−n bài toán . Q P M N a I D C B A Xác định mỉt phẳng (α ): + Giả s− thiết di−n là hình vuông MNPQ. Các mỉt cđa tứ di−n (T) lần l−ỵt chứa các đoạn giao tuyến MN,NP,PQ,QM đ−ỵc gọi tên là mỉt I, mỉt II, mỉt III, mỉt IV. Do MN//PQ;MQ//NP nên cạnh chung cđa mỉt I và mỉt III; cạnh chung cđa mỉt IIvà mỉt IV ,nằm trên hai đ−ờng thẳng song song víi mp(α ). Ngoài ra, hai đ−ờng thẳng này vuông góc nhau,vì MN vuông góc MQ. + Do a khác b nên tứ di−n (T) chỉ có một cỉp cạnh đối vuông góc,đó là AB và CD . Vì vậy mp(α ) phải song song víi AB và CD. + Gọi giao điĩm cđa mp(α ) víi AC,BC,BD,AD,lần l−ỵt là M,N,P,Q. Đỉt k = MC MA . Ta có :MN= k a +1 ;MQ= k kb +1 . Từ MN=MQ ta có : k = b a . + Di−õn tích cđa hình vuông MNPQ là : 2)( ba ab + ........................................................................................................................................ + Ta xây dựng các tập En có n phần tử thỏa tính chất : “Với bất kì cặp số nguyên phân biệt k ,h của En thì tích k.h chia hết cho (k-h)2 “ bằng ph−ơng pháp qui nạp theo n (n > 1) + Chọn : E2 ={1;2} + Giả sử tập En ={a1 ; a2 ;.......;an } với n >1 , thỏa tính chất trên . Xét tập : En+1= F∪ {m} với m= a1.a2 ......an và F = {ai+ m/ i=1,2,....,n } En+1 có n+1 phần tử . Ta chứng minh En+1 thoả tính chất trên . Với k ,h là hai phần tử phân biệt của En+1 ,thì có hai khả năng : i/Chỉ một phần tử thuộc F ii/Cả hai đều thuộc F Tr−ờng hợp i/ : k= ai+ m , h = m= a1.a2 ......an Ta có : h chia hết cho ai ; k chia hết cho ai ; k.h chia hết cho :ai .ai còn (k-h)2 = ai2 Tr−ờng hợp ii/: k= ai+ m , h= aj+ m ; ai và aj thuộc En và khác nhau. Ta có :k chia hết cho ai ;h chia hết cho aj ;k.h chia hết cho :ai.aj còn (k-h) 2 =(ai -aj)2 Nh−ng ai và aj thuộc En nên tích ai.aj chia hết cho (ai -aj)2 . Từ đó tích k.h chia hết cho (k-h)2 . ......... 6